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支出最小化問題の制約条件

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支出最小化問題の制約条件

復習になりますが、消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と連続性を満たす場合には\(\succsim \)を表現する連続な効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在し、予算対応\(B:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)は非空値かつコンパクト値をとる連続対応になります。したがって、価格ベクトルと所得のそれぞれの組\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)のもとでの効用最大化問題\begin{equation*}
\max_{x\in \mathbb{R} _{+}^{N}}u\left( x\right) \quad s.t.\quad x\in B\left( p,w\right)
\end{equation*}に対してベルジュの最大値定理を適用することができ、その結果、需要対応(需要関数)間接効用関数に関する望ましい性質を導くことができました。

支出最小化問題についても同様の議論が可能でしょうか。目標とする効用水準\(v\in u\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \)が\(u\left( 0\right) >v\)を満たす場合、\(\left( p,v\right) \)のもとでの支出最小化問題の解は明らかにゼロベクトル\(0\)であるため、以降では\(v\geq u\left( 0\right) \)を満たす効用水準\(v\in u\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \)のみを議論の対象とします。つまり、支出最小化問題において消費者が目標として設定する効用\(v\)がとり得る値の範囲を、\begin{equation*}
U=\{v\in u\left(
\mathbb{R} _{+}^{N}\right) \ |\ v\geq u\left( 0\right) \}
\end{equation*}に限定するということです。その上で、それぞれの目標効用\(v\in U\)に対して、それ以上の効用をもたらす消費ベクトルからなる集合\begin{equation*}
S\left( v\right) =\{x\in
\mathbb{R} _{+}^{N}\ |\ u\left( x\right) \geq v\}
\end{equation*}を像として定める対応\(S:U\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)を定義すると、それぞれの\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)のもとでの支出最小化問題を、\begin{equation*}
\min_{x\in
\mathbb{R} _{+}^{N}}p\cdot x\quad s.t.\quad x\in S\left( v\right)
\end{equation*}と定式化できます。目的関数\(p\cdot x\)は明らかに連続関数であるため、ベルジュの最大値定理が要求する条件をクリアしています。したがって、制約条件を規定する対応\(S\)が非空値かつコンパクト値をとる連続対応であるならば、支出最小化問題に対してもベルジュの最大値定理を適用できます。ただ、この対応\(S\)はそれらの性質を満たすとは限りません。以下の例から明らかです。

例(支出最小化問題の制約条件)
2財モデルにおいて消費集合が\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)であり、効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの消費ベクトル\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
u\left( x,y\right) =xy
\end{equation*}を定めるものとします。\(u\)は連続関数です。このとき、\begin{equation*}
u\left( 0,0\right) =0
\end{equation*}であるため、支出最小化問題において消費者が目標として設定する効用がとり得る値の範囲を、\begin{equation*}
U=\left\{ v\in u\left(
\mathbb{R} _{+}^{2}\right) \ |\ v\geq 0\right\}
\end{equation*}に限定します。例えば、\(\left( p_{x},p_{y},v\right) =\left( 2,3,10\right) \)のもとでの支出最小化問題は、
$$\begin{array}{cl}
\min\limits_{\left( x,y\right) } & 2x+3y \\
s.t. & xy\geq 10 \\
& x\geq 0 \\
& y\geq 0\end{array}$$ですが、この問題において\(\left( x,y\right) \)がとり得る値の範囲は、\begin{equation*}
S\left( 10\right) =\{\left( x,y\right) \in
\mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ xy\geq 10\}
\end{equation*}であり、これはコンパクト集合ではありません。\(\left( p_{x},p_{y},v\right) \)のもとでの支出最小化問題とは\(S\left( v\right) \)に属する消費ベクトル\(\left( x,y\right) \)の中から支出\(p_{x}x+p_{y}y\)を最小化するようなものを特定することを意味します。ただ、対応\(S:U\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)はコンパクト値をとらないため、べルジュの最大値定理を利用できません。
例(支出最小化問題の制約条件)
1財モデルにおいて消費集合が\(\mathbb{R} _{+}\)であり、効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)が下図のグラフで表される連続関数であるものとします。\(u\)の値域\(u\left( \mathbb{R} _{+}\right) \)は有界ではないため、目標となる効用\(v\in U\)を任意に選んだとき、それに対して\(S\left( v\right) \)は下図のような無限区間であるためコンパクト集合ではありません。\(\left( p,v\right) \)のもとでの支出最小化問題とは\(S\left( v\right) \)に属する消費ベクトル\(x\)の中から支出\(p\cdot x\)を最小化するようなものを特定することを意味します。ただ、対応\(S\)はコンパクト値をとらないため、ベルジュの最大値定理を利用できません。
図:支出最小化問題
図:支出最小化問題
例(支出最小化問題)
1財モデルにおいて消費集合が\(\mathbb{R} _{+}\)であり、効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)が下図のグラフで表される連続関数であるものとします。\(u\)の値域\(u\left( \mathbb{R} _{+}\right) \)は上に有界であるため、効目標となる効用\(v\in U\)を任意に選んだとき、それに対して\(S\left( v\right) \)は下図のような有界な閉区間、すなわちコンパクト集合をとります。したがって、この場合には、ベルジュの最大値定理を使える可能性があります。
図:支出最小化問題
図:支出最小化問題

 

支出最小化問題の変換

上の例が示唆するように、支出最小化問題に対してベルジュの最大値定理を適用できるとは限りません。そこで、問題の一般性を失わないまま、支出最小化問題をベルジュの最大値定理を適用できる形へと変換することを考えます。

繰り返しになりますが、消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す連続な効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、先と同様に、支出最小化問題において消費者が目標として設定する効用\(v\)がとり得る値の範囲を、\begin{equation*}
U=\{v\in u\left(
\mathbb{R} _{+}^{N}\right) \ |\ v\geq u\left( 0\right) \}
\end{equation*}に限定します。ここで、それぞれの目標効用\(v\in U\)に対して、それ以上の効用をもたらす消費ベクトルからなる集合\begin{equation*}
S\left( v\right) =\{x\in
\mathbb{R} _{+}^{N}\ |\ u\left( x\right) \geq v\}
\end{equation*}を像として定める対応\(S:U\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)を定義すると、\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)のもとでの支出最小化問題は、\begin{equation}
\min_{x\in \mathbb{R} _{+}^{N}}p\cdot x\quad s.t.\quad x\in S\left( v\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}と定式化されます。ただし、先に例を通じて確認したように、上のように定義された対応\(S\)は非空値かつコンパクト値をとる連続対応であるとは限らないため、支出最小化問題に対してベルジュの最大値定理を利用できません。

このような問題を踏まえた上で、上の対応\(S\)の代替となる対応を導入します。具体的には、目標効用\(v\in U\)を任意に選ぶと、\(U\)の定義より、それに対して\(u\left( x_{v}\right) =v\)を満たす消費ベクトル\(x_{v}\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)が必ず存在するため、それぞれの\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)に対して、\begin{equation*}
S\left( p,v\right) =\left\{ x\in
\mathbb{R} _{+}^{N}\ |\ u\left( x\right) \geq v\wedge p\cdot x\leq p\cdot x_{v}\right\}
\end{equation*}を像として定める対応\(S:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)が定義可能です。つまり、\(S\left( p,v\right) \)は目標効用\(v\)以上の効用をもたらすとともに、\(v\)をもたらす消費ベクトル\(x_{v}\)のもとでの支出以下の支出で実現できるような消費ベクトルからなる集合です。なお、\(v\)に対して\(u\left( x_{v}\right) =v\)を満たす消費ベクトル\(x_{v}\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)が複数存在する可能性がありますが、\(S\left( p,v\right) \)を定義する際にはその中のどれを採用してもよいものとします。以上のように定義される対応\(S\)を制約対応(constraint correspondence)と呼ぶこととします。以上を踏まえた上で、それぞれの\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)に対して以下の制約付き最小化問題\begin{equation}
\min_{x\in
\mathbb{R} _{+}^{N}}p\cdot x\quad s.t.\quad x\in S\left( p,v\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}を考えます。

支出最小化問題\(\left( 1\right) \)と制約対応のもとでの最小化問題\(\left( 2\right) \)は何が違うのでしょうか。支出最小化問題\(\left( 1\right) \)は、目標効用\(v\)以上の効用をもたらす消費ベクトルの中でも支出を最小化するような消費ベクトルを特定する問題です。一方、制約対応のもとでの最小化問題\(\left( 2\right) \)は、目標効用\(v\)以上の効用をもたらすとともに、\(v\)をもたらす消費ベクトル\(x_{v}\)を実現するために必要な支出\(p\cdot x_{v}\)以下の支出で実現できるような消費ベクトルを特定する問題です。明らかに\(S\left( p,v\right) \subset S\left( v\right) \)という関係が成り立つため、\(\left( 2\right) \)は\(\left( 1\right) \)よりも制約条件が厳しくなっています。ただし、\(x_{v}\)よりも消費量が多い消費ベクトルが支出最小化問題の解になることはないため、支出最小化問題において消費ベクトル\(x\)が取り得る値の範囲を\(S\left( v\right) \)から\(S\left( p,v\right) \)に縮小しても問題はないはずです(後ほど証明します)。以下では具体例を通じて両者の違いを確認します。

例(制約対応を用いた最小化問題)
先と同様、2財モデルにおいて消費集合が\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)であり、効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの消費ベクトル\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
u\left( x,y\right) =xy
\end{equation*}を定めるものとします。\(u\)は連続関数です。このとき、\begin{equation*}
u\left( 0,0\right) =0
\end{equation*}であるため、支出最小化問題において消費者が目標として設定する効用がとり得る値の範囲を、\begin{equation*}
U=\left\{ v\in u\left(
\mathbb{R} _{+}^{2}\right) \ |\ v\geq 0\right\}
\end{equation*}に限定します。例えば、\(\left( p_{x},p_{y},v\right) =\left( 2,3,10\right) \)のもとでの支出最小化問題は、
$$\begin{equation}
\begin{array}{cl}
\min\limits_{\left( x,y\right) } & 2x+3y \\
s.t. & xy\geq 10 \\
& x\geq 0 \\
& y\geq 0\end{array}
\quad \cdots (1)
\end{equation}$$ですが、この問題において\(\left( x,y\right) \)がとり得る値の範囲は、\begin{equation*}
S\left( 10\right) =\{\left( x,y\right) \in
\mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ xy\geq 10\}
\end{equation*}であり、これはコンパクト集合ではありません。一方、制約対応が\(\left( p_{x},p_{y},v\right) =\left( 2,3,10\right) \)に対して定める像は、例えば、\begin{equation*}
u\left( 2,5\right) =2\cdot 5=10
\end{equation*}であり、この消費ベクトル\(\left( 2,5\right) \)を実現するために必要な支出が、\begin{equation*}
2\cdot 2+3\cdot 5=19
\end{equation*}であることを踏まえると、\begin{equation*}
S\left( 2,3,10\right) =\{\left( x,y\right) \in
\mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ xy\geq 10\wedge 2x+3y\leq 19\}
\end{equation*}となりますが、これはコンパクト集合です。ちなみに、制約対応のもとでの最小化問題は、
$$\begin{equation}
\begin{array}{cl}
\min\limits_{\left( x,y\right) } & 2x+3y \\
s.t. & xy\geq 10 \\
& 2x+3y\leq 19 \\
& x\geq 0 \\
& y\geq 0\end{array}
\quad \cdots (2)
\end{equation}$$となります。したがって、支出最小化問題\(\left( 1\right) \)を、制約対応のもとでの最小化問題\(\left( 2\right) \)に置き換えることにより、ベルジュの最大値定理を適用できるようになる可能性があります。ちなみに、目標効用\(10\)をもたらす消費ベクトル\(\left( 2,5\right) \)よりも消費量が多い消費ベクトルが支出最小化問題の解になることはないため、\(\left( 1\right) \)を\(\left( 2\right) \)に置き換えても問題はないはずです。
例(制約対応を用いた最小化問題)
先と同様に、1財モデルにおいて消費集合が\(\mathbb{R} _{+}\)であり、効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)が下図のグラフで表される連続関数であるような場合について考えます。繰り返しになりますが、\(u\)の値域\(u\left( \mathbb{R} _{+}\right) \)は有界ではないため、目標となる効用\(v\in U\)を任意に選んだとき、それに対して\(S\left( v\right) \)は下図のような無限区間になります。\(\left( p,v\right) \)のもとでの支出最小化問題とは、\(S\left( v\right) \)に属する消費ベクトル\(x\)の中から支出\(p\cdot x\)を最小化するようなものを特定することを意味します。\(S\left( v\right) \)はコンパクト集合ではないため、ベルジュの最大値定理を使うことはできません。
図:支出最小化問題
図:支出最小化問題

一方、制約対応が定める像\(S\left( p,v\right) \)は下図の点\(x_{v}\)を唯一の要素として持つ一点集合\(\left\{ x_{v}\right\} \)であるため、これはコンパクト集合です。したがって、支出最小化問題を、制約対応のもとでの最小化問題に置き換えることにより、ベルジュの最大値定理を適用できるようになる可能性があります。ちなみに、\(x_{v}\)よりも大きい消費ベクトルが支出最小化問題の解になることはないため、\(x\)がとり得る範囲を\(S\left( v\right) \)から\(S\left( p,v\right) \)へ縮小しても問題はないはずです。

図:制約対応のもとでの最小化問題
図:制約対応のもとでの最小化問題
例(制約対応を用いた最小化問題)
先と同様に、1財モデルにおいて消費集合が\(\mathbb{R} _{+}\)であり、効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)が下図のグラフで表される連続関数であるような場合について考えます。繰り返しになりますが、\(u\)の値域\(u\left( \mathbb{R} _{+}\right) \)は上に有界であるため、目標となる効用\(v\in U\)を任意に選んだとき、それに対して\(S\left( v\right) \)は下図のような有界閉区間、すなわちコンパクト集合になります。\(\left( p,v\right) \)のもとでの支出最小化問題とは、\(S\left( v\right) \)に属する消費ベクトル\(x\)の中から支出\(p\cdot x\)を最小化するようなものを特定することを意味します。
図:支出最小化問題
図:支出最小化問題

一方、制約対応が定める像\(S\left( p,v\right) \)はどうなるでしょうか。下図から確認できますが、\(u\left( x_{v}\right) =v\)を満たす消費ベクトル\(x_{v}\)は2つ存在するため、\(S\left( p,v\right) \)としては 2 通りが存在します。大きい方の\(x_{v}\)に関しては\(S\left( p,v\right) =S\left( v\right) \)が成り立つため、これはコンパクト集合です。小さいほうの\(x_{v}\)に関しては、\(S\left( p,v\right) \)は\(x_{v}\)を唯一の要素をして持つ一点集合\(\left\{ x_{v}\right\} \)であるため、やはりコンパクト集合です。\(x_{v}\)よりも大きい消費ベクトルが支出最小化問題の解になることはないため、\(x\)がとり得る範囲を\(S\left( v\right) \)から\(S\left( p,v\right) \)へ縮小しても問題はないはずです。

図:制約対応のもとでの最小化問題
図:制約対応のもとでの最小化問題

上の例が示唆するように、支出最小化問題の制約条件を制約対応を用いたものに置き換えた場合、その前後において、支出最小化問題の解集合は変化しません(証明は演習問題にします)。

命題(支出最小化問題の変換)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す連続な効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}
U=\left\{ v\in u\left(
\mathbb{R} _{+}^{N}\right) \ |\ v\geq u\left( 0\right) \right\}
\end{equation*}と定める。さらに、それぞれの\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)に対して定める像が、\begin{equation*}
u\left( x_{v}\right) =v
\end{equation*}を満たす\(x_{v}\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)を用いて、\begin{equation*}
S\left( p,v\right) =\left\{ x\in
\mathbb{R} _{+}^{N}\ |\ u\left( x\right) \geq v,\ p\cdot x\leq p\cdot x_{v}\right\}
\end{equation*}として表されるような対応\(S:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)を定義する。\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)を任意に選んだとき、\(x^{\ast }\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)が\(\left( p,v\right) \)のもとでの最適化問題\begin{equation*}
\min_{x\in
\mathbb{R} _{+}^{N}}p\cdot x\quad s.t.\quad x\in S\left( p,v\right)
\end{equation*}の解であることは、\(x^{\ast }\)が\(\left( p,v\right) \)のもとでの支出最小化問題の解であるための必要十分条件である。
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制約対応の性質

以上の命題より、それぞれの\(\left( p,v\right) \)について、もとの支出最小化問題について考える代わりに、制約条件を用いた最小化問題\begin{equation*}
\min_{x\in
\mathbb{R} _{+}^{N}}p\cdot x\quad s.t.\quad x\in S\left( p,v\right)
\end{equation*}について考えても一般性は失われないことが保証されました。この問題の目的関数\(p\cdot x\)は連続関数であるため、制約対応\(S\)が非空値かつコンパクト値をとる連続対応であることを示すことができれば、ベルジュの最大値定理を利用できます。実際、制約対応\(S\)はそれらの性質を満たします(証明は演習問題にします)。

命題(制約対応の性質)

消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す連続な効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}
U=\left\{ v\in u\left(
\mathbb{R} _{+}^{N}\right) \ |\ v\geq u\left( 0\right) \right\}
\end{equation*}と定める。さらに、それぞれの\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)に対して定める像が、\begin{equation*}
u\left( x_{v}\right) =v
\end{equation*}を満たす\(x_{v}\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)を用いて、\begin{equation*}
S\left( p,v\right) =\left\{ x\in
\mathbb{R} _{+}^{N}\ |\ u\left( x\right) \geq v,\ p\cdot x\leq p\cdot x_{v}\right\}
\end{equation*}として表されるような対応\(S:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)を定義する。この\(S\)は非空値かつコンパクト値をとる連続対応である。

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次回は補償需要対応(関数)について解説します。

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