予算超平面（予算線）と限界交換率

予算超平面

消費者が選択し得る消費ベクトルからなる集合が消費集合\begin{equation*}
X\subset \mathbb{R} ^{N}
\end{equation*}として定式化されているものとします。特に、消費者が直面する経済的に注目する場合、それは予算対応\begin{equation*}
B:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X
\end{equation*}として表現されます。つまり、プライス・テイカーの仮定のもとでは、消費者にとって価格ベクトルと所得はいずれも外生的に与えられるパラメーターとみなされるため、価格ベクトルと所得\(\left( \boldsymbol{p},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に直面した消費者が選択可能な消費ベクトルからなる集合は予算集合\begin{eqnarray*}B\left( \boldsymbol{p},w\right) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in X\ |\
\boldsymbol{p}\cdot \boldsymbol{x}\leq w\right\} \\
&=&\left\{ \left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) \in X\ |\ p_{1}x_{1}+\cdots
+p_{n}x_{N}\leq w\right\}
\end{eqnarray*}として表現されるということです。これは、消費集合\(X\)に属する消費ベクトルの中でも、消費者による支出が所得を超えないものからなる集合です。

予算集合\(B\left( \boldsymbol{p},w\right) \)に属する消費ベクトルの中でも消費者による支出が所得と一致するようなものからなる集合を、\begin{eqnarray*}\overline{B}\left( \boldsymbol{p},w\right) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in X\
|\ \boldsymbol{p}\cdot \boldsymbol{x}=w\right\} \\
&=&\left\{ \left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) \in X\ |\ p_{1}x_{1}+\cdots
+p_{N}x_{N}=w\right\}
\end{eqnarray*}で表記し、これを予算超平面（budget hyperplane）と呼びます。予算超平面が予算集合の部分集合であること、すなわち、\begin{equation*}
B\left( \boldsymbol{p},w\right) \subset \overline{B}\left( \boldsymbol{p},w\right)
\end{equation*}が成り立つことは明らかです。予算超平面上に存在する任意の消費ベクトルにおいて消費者は所得をすべて使い切ります。

例（予算線）

2財モデルにおいて消費集合が\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)であるものとします。価格ベクトルを\(\left( p_{1},p_{2}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)と所得\(w>0\)がそれぞれ与えられたとき、予算集合は、\begin{equation*}B\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}\leq w\right\}
\end{equation*}となります。また、予算超平面は、\begin{equation*}
\overline{B}\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right)
\in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}=w\right\}
\end{equation*}となりますが、これは下図の線分として図示されることから予算線（budget line）と呼びます。

予算線を定義する予算制約式\begin{equation*}
p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}=w
\end{equation*}を変形すると、\begin{equation*}
x_{2}=-\frac{p_{1}}{p_{2}}x_{1}+\frac{w}{p_{2}}
\end{equation*}を得ます。以上の事実は、予算線\(\overline{B}\left(p_{1},p_{2},w\right) \)は2つの切片\(\left( 0,\frac{w}{p_{2}}\right) ,\left( \frac{w}{p_{1}},0\right) \)を通り、傾きが\(-\frac{p_{1}}{p_{2}}\)の線分であることを意味します（上図）。価格ベクトル\(\left( p_{1},p_{2}\right) \)と所得\(w\)が与えられれば2つの切片\(\left( 0,\frac{w}{p_{2}}\right),\left( \frac{w}{p_{1}},0\right) \)が定まるため、切片どうしを結ぶことにより予算線が得られます。

実質所得と名目所得

消費者の所得\(w\)と商品\(n \)の価格\(p_{n}\)の比\begin{equation*}\frac{w}{p_{n}}
\end{equation*}を商品\(n\)で測った実質所得（real income）と呼びます。これは消費者が自身の所得\(w\)のすべてを商品\(n\)の購入に費やした場合に入手可能な商品\(n\)の数量を表しています。言い換えると、所得\(w\)の購買力を商品\(n\)の数量を基準に評価したものが商品\(n\)で測った実質所得です。

実質所得との対比で、所得\(w\)そのものを名目所得（nominal income）と呼びます。貨幣\(1\)単位の価格は\(1\)であるため、貨幣で測った実質所得は、\begin{equation*}\frac{w}{1}
\end{equation*}となりますが、これは名目所得\(w\)と一致します。名目所得とは貨幣で測った実質所得です。つまり、消費者が自身の所得\(w\)のすべてを貨幣の購入に費やした場合に入手可能な貨幣の数量は名目所得と一致します。所得\(w\)の購買力を貨幣の数量を基準に評価したものが名目所得であるということです。

例（実質所得と名目所得）

2財モデルにおいて消費集合が\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)である場合の予算線は、\begin{equation*}\overline{B}\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right)
\in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}=w\right\}
\end{equation*}と定式化されますが、これは2つの切片\(\left( 0,\frac{w}{p_{2}}\right) ,\left( \frac{w}{p_{1}},0\right) \)を通り、傾きが\(-\frac{p_{1}}{p_{2}}\)の線分として表されます（下図）。

特に、\(x_{1}\)軸上の切片\begin{equation*}\left( \frac{w}{p_{1}},0\right)
\end{equation*}の\(x_{1}\)座標の値\(\frac{w}{p_{1}}\)は商品\(1\)で測った実質所得に相当し、\(x_{2}\)軸上の切片\begin{equation*}\left( 0,\frac{w}{p_{2}}\right)
\end{equation*}の\(x_{2}\)座標の値\(\frac{w}{p_{2}}\)は所品\(2\)で測った実質所得に相当します。つまり、予算線の端点はそれぞれの商品の実質所得を表しています。

相対価格と絶対価格

異なる2つの商品\(i,j\)を任意に選んだとき、それらの価格の比\begin{equation*}\frac{p_{i}}{p_{j}}
\end{equation*}を商品\(i\)の商品\(j\)に対する相対価格（relative price）と呼びます。これは商品\(i\)の価格が商品\(j\)の価格の何倍であるかを表す指標です。消費者が商品\(i\)の消費量\(x_{i}\)を\(1\)単位だけ減らすと所得が\(p_{i}\)だけ余りますが、余った所得を使えば商品\(j\)を\(\frac{p_{i}}{p_{j}}\)単位だけ購入できます（商品が分割可能な場合）。したがって、相対価格\(\frac{p_{i}}{p_{j}}\)は市場において\(1\)単位の商品\(i\)と交換可能な商品\(j\)の数量を表します。相対価格は2つの商品の交換比率（rate of exchange）を表す概念であるということです。

相対価格との対比で、商品\(n\)の価格\(p_{n}\)そのものを商品\(n\)の絶対価格（absolute price）と呼びます。貨幣\(1\)単位の価格は\(1\)であるため、商品\(n\)の貨幣に対する相対価格は、\begin{equation*}\frac{p_{n}}{1}
\end{equation*}となりますが、これは商品\(n\)の絶対価格\(p_{n}\)と一致します。つまり、商品\(n\)の絶対価格\(p_{n}\)は商品\(n\)の貨幣に対する相対価格であり、市場において\(1\)単位の商品\(n\)と交換可能な貨幣の数量を表します。商品\(n\)の絶対価格\(p_{n}\)は商品\(n\)と貨幣の交換比率であるということです。

例（絶対価格と相対価格）

2財モデルにおいて消費集合が\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)である場合の予算線は、\begin{equation*}\overline{B}\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right)
\in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}=w\right\}
\end{equation*}と定式化されますが、これは2つの切片\(\left( 0,\frac{w}{p_{2}}\right) ,\left( \frac{w}{p_{1}},0\right) \)を通り、傾きが\(-\frac{p_{1}}{p_{2}}\)の線分として表されます（下図）。

特に、予算線の傾きの絶対値\begin{equation*}
\frac{p_{1}}{p_{2}}
\end{equation*}は商品\(1\)の商品\(2\)で測った相対価格に相当します。つまり、予算線の傾きの大きさは2つの商品の相対価格を表しています。

限界交換率

価格ベクトルと所得\(\left( \boldsymbol{p},w\right) \)のもとでの予算超平面\(\overline{B}\left( \boldsymbol{p},w\right) \)上に存在する消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\)を任意に選ぶと、予算超平面の定義より、\begin{equation*}\boldsymbol{p}\cdot \boldsymbol{x}=w
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
p_{1}x_{1}+\cdots +p_{N}x_{N}=w
\end{equation*}を得ます。つまり、消費者はこの消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\)を価格ベクトル\(\boldsymbol{p}\)のもとで実現するために所得\(w\)をすべて使い切っています。総支出を\(w\)で一定に保ったまま、この消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\)を出発点として商品\(i\)の消費量を\(\Delta x_{i}\)だけ変化させた場合に、商品\(j\)の消費量を\(\Delta x_{j}\)だけ変化させる必要があるのであれば、以下の関係\begin{equation}p_{1}x_{1}+\cdots +p_{i}\left( x_{i}+\Delta x_{i}\right) +\cdots
+p_{j}\left( x_{j}+\Delta x_{j}\right) +\cdots +p_{N}x_{N}=w \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。\(\left(1\right) \)を満たす\(\Delta x_{j}\)と\(\Delta x_{i}\)の比率\(\frac{\Delta x_{j}}{\Delta x_{i}}\)に負の記号を付けた値を、\begin{equation*}MRE_{ij}\left( \boldsymbol{x}\right) =-\frac{\Delta x_{j}}{\Delta x_{i}}
\end{equation*}で表記し、これを\(\boldsymbol{x}\)における商品\(i\)の商品\(j\)で測った限界交換率（marginal rate of substitution ofgood \(i\) for good \(j\) at \(\boldsymbol{x}\)）と呼びます。

限界交換率\(MRE_{ij}\left( \boldsymbol{x}\right) \)は何を表す指標なのでしょうか。限界交換率を構成する\(\Delta x_{j}\)と\(\Delta x_{i}\)は\(\left( 1\right) \)を満たすものとして定義されていますが、これは、消費者が自身の所得\(w\)をすべて使い切ることを前提とした場合に、\(\boldsymbol{x}\)を出発点として商品\(i\)の消費量を\(\Delta x_{i}\)だけ変化させるためには商品\(j\)の消費量を\(\Delta x_{j}\)だけ変化させる必要があることを意味します。比例関係よりこれは、\(\boldsymbol{x}\)を出発点として商品\(i\)の消費量を\(1\)だけ変化させるためには商品\(j\)の消費量を\(\frac{\Delta x_{j}}{\Delta x_{i}}\)だけ変化させる必要があることを意味します。つまり、自身の所得\(w\)をすべて使い切る消費者が消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\)に直面している状況において、そこから商品\(i\)の消費量を\(1\)単位だけ変化させるためには、対価として商品\(j\)の消費量を\(MRE_{ij}\left( \boldsymbol{x}\right) \)単位だけ変化させる必要があるということです。言い換えると、商品\(i\)の消費量を\(1\)単位だけ変化させるための機会費用（opportunity cost）が\(MRE_{ij}\left( \boldsymbol{x}\right) \)単位の商品\(j\)と等しいということです。限界代替率は機会費用に相当する概念です。

商品\(i\)の消費量を増やす場合には\(\Delta x_{i}>0\)となりますが、商品の価格は正であるため、この場合、別の商品\(j\)の消費量を減らす必要があるため\(\Delta x_{j}<0\)となります。したがって\(\frac{\Delta x_{j}}{\Delta x_{i}}<0\)となるため、限界交換率を正の実数として定義するために負の記号をつけて、\begin{equation*}MRE_{ij}\left( \boldsymbol{x}\right) =-\frac{\Delta x_{j}}{\Delta x_{i}}
\end{equation*}と定義します。

限界交換率は相対価格と一致します。

繰り返しになりますが、限界交換率\(MRE_{ij}\left( \boldsymbol{x}\right) \)は商品\(i\)の消費量を\(1\)単位増やすために諦める必要のある商品\(j\)の数量、すなわち商品\(i\)の消費量を\(1\)単位増やすことにともなう機会費用を商品\(j\)の数量を用いて表現する指標です。一方、相対価格\(\frac{p_{i}}{p_{j}}\)は市場において\(1\)単位の商品\(i\)と交換可能な商品\(j\)の数量、すなわち\(1\)単位の商品\(i\)の市場価値を商品\(j\)の数量を用いて表現する指標です。上の命題より、両者は一致します。

上の命題は、価格ベクトルと所得\(\left( \boldsymbol{p},w\right) \)および商品\(i,j\)が与えられたとき、超平面\(\overline{B}\left( \boldsymbol{p},w\right) \)上に存在するすべての消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\)において、商品\(i\)の商品\(j\)で測った限界交換率は常に一定であり、その値が\(\frac{p_{i}}{p_{j}}\)と一致することも主張しています。

演習問題