予算超平面(予算線)

予算集合に属する消費ベクトルの中でも、所得をすべて使い切るようなものからなる集合を予算超平面と呼びます。特に、2財モデルにおける予算超平面を予算線と呼びます。関連して、実質所得と名目所得、相対価格と絶対価格を定義します。
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予算超平面

復習になりますが、消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)、価格ベクトル\(p\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)、そして所得\(w\in \mathbb{R} _{++}\)が与えられたとき、予算集合は、\begin{equation*}
B\left( p,w\right) =\{x\in X\ |\ p\cdot x\leq w\}
\end{equation*}と定義されます。これは、消費集合\(X\)に属する消費ベクトルの中でも、消費者による支出が所得を超えないものからなる集合です。そのような消費ベクトルの中でも、特に、消費者による支出が所得と一致するようなものからなる集合を、\begin{equation*}
\overline{B}(p,w)=\{x\in X\ |\ p\cdot x=w\}
\end{equation*}で表し、これを予算超平面(budget hyperplane)と呼びます。予算超平面が予算集合の部分集合であることは明らかです。予算超平面上の任意の点において、消費者は所得をすべて使い切ります。

例(予算線)
2財モデルにおける消費ベクトルは、2次元ベクトル\(x=\left( x_{1},x_{2}\right) \in X\subset \mathbb{R} ^{2}\)として表されます。価格ベクトルを\(p=\left( p_{1},p_{2}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)で、所得を\(w>0\)でそれぞれ表すならば、予算集合は、\begin{equation*}
B\left( p,w\right) =\{(x_{1},x_{2})\in X\ |\ p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}\leq w\}
\end{equation*}となります。したがって、予算超平面は、\begin{equation*}
\overline{B}\left( p,w\right) =\{(x_{1},x_{2})\in X\ |\
p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}=w\}
\end{equation*}です。消費集合が\(X=\mathbb{R} _{+}^{2}\)である場合の予算超平面\(\overline{B}\left( p,w\right) \)は下図の線分として図示されることから、これを特に予算線(budget line)と呼びます。これは、2つの切片\((0,\frac{w}{p_{2}}),(\frac{w}{p_{1}},0)\)を通り、傾きが\(-\frac{p_{1}}{p_{2}}\)の線分です。価格ベクトル\(p\)と所得\(w\)が与えられれば2つの切片が定まるため、切片どうしを結ぶことで予算線が得られます。
表:2財モデルにおける予算線
表:2財モデルにおける予算線

 

実質所得と名目所得

消費者の所得\(w\)と商品\(n\)の価格\(p_{n}\)の比\begin{equation*}
\frac{w}{p_{n}}
\end{equation*}は、消費者が自身の所得\(w\)のすべてを商品\(n\)の購入に費やした場合に入手可能な商品\(n\)の数量を表しています。言い換えると、これは、消費者の所得\(w\)が持つ購買力を、商品\(n\)の数量を基準に表現したものです。そこでこれを、商品\(n\)で測った実質所得(real income)と呼びます。

実質所得との対比で、所得\(w\)そのものを名目所得(nominal income)と呼びます。貨幣\(1\)単位の価格は\(1\)です。したがって、名目所得\(w\)は、消費者が自身の所得\(w\)のすべてを貨幣の購入に費やした場合に入手可能な貨幣の数量と解釈できます。つまり、名目所得\(w\)とは、その購買力を貨幣の数量を基準に表現したものです。

繰り返しになりますが、2財モデルにおいて、消費集合が\(X=\mathbb{R} _{+}^{2}\)である場合の予算線\(\overline{B}\left( p,w\right) \)は下図の線分として表されます。これは、2つの切片\((0,\frac{w}{p_{2}}),(\frac{w}{p_{1}},0)\)を通り、傾きが\(-\frac{p_{1}}{p_{2}}\)の線分です。特に、\(x_{1}\)軸上の切片\(\frac{w}{p_{1}}\)は商品\(1\)で測った実質所得であり、\(x_{2}\)軸上の切片\(\frac{w}{p_{2}}\)は商品\(2\)で測った実質所得です。つまり、予算線の端点は実質所得に対応します。

表:2財モデルにおける予算線
表:2財モデルにおける予算線

 

相対価格と絶対価格

異なる2つの商品\(i,j\)を任意に選んだとき、それらの価格の比\begin{equation*}
\frac{p_{i}}{p_{j}}
\end{equation*}は、商品\(i\)の価格が商品\(j\)の価格の何倍であるかを表す指標であり、これを、商品\(i\)の商品\(j\)に対する相対価格(relative price)と呼びます。消費者が商品\(i\)の消費量\(x_{i}\)を\(1\)単位だけ減少させると所得が\(p_{i}\)だけ浮くため、浮いた所得を使って商品\(j\)を\(\frac{p_{i}}{p_{j}}\)単位だけ購入できます。したがって、相対価格\(\frac{p_{i}}{p_{j}}\)は、市場において\(1\)単位の商品\(i\)と交換可能な商品\(j\)の数量を表します。相対価格は2つの商品の交換比率(rate of exchange)を表す概念であるということです。

相対価格との対比で、それぞれの商品\(n\)の価格\(p_{n}\)を絶対価格(absolute price)と呼びます。貨幣\(1\)単位の価格は\(1\)です。消費者が商品\(n\)の消費量\(x_{n}\)を\(1\)単位だけ減少させると所得が\(p_{n}\)だけ浮くため、浮いた所得を使って貨幣を\(p_{n}\)単位だけ購入できます。したがって、絶対価格\(p_{n}\)は、市場において\(1\)単位の商品\(n\)と交換可能な貨幣の数量と解釈できます。

繰り返しになりますが、2財モデルにおいて、消費集合が\(X=\mathbb{R} _{+}^{2}\)である場合の予算線\(\overline{B}\left( p,w\right) \)は下図の線分として表されます。これは、2つの切片\((0,\frac{w}{p_{2}}),(\frac{w}{p_{1}},0)\)を通り、傾きが\(-\frac{p_{1}}{p_{2}}\)の線分です。これは、2つの切片\((0,\frac{w}{p_{2}}),(\frac{w}{p_{1}},0)\)を両端とする線分です。特に、予算線の傾きの絶対値\(\frac{p_{1}}{p_{2}}\)は商品\(1\)の商品\(2\)で測った相対価格です。つまり、予算線の傾きは2つの商品の相対価格に対応します。

表:2財モデルにおける予算線
表:2財モデルにおける予算線

 

予算超平面と価格ベクトルの関係

予算超平面と価格ベクトルの間には以下の関係が成り立ちます。

命題(予算超平面と価格ベクトルの関係)
価格ベクトル\(p\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)と所得\(w\in \mathbb{R} _{++}\)をそれぞれ任意に選んだとき、予算超平面\(\overline{B}(p,w)\)と\(p\)は直交する。
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2財モデルを用いて上の命題を図示します。消費集合が\(X=\mathbb{R} _{+}^{2}\)である場合の予算線\(\overline{B}\left( p,w\right) \)が以下に記されています。予算超平面上の消費ベクトル\(x,x^{\prime }\)と価格ベクトル\(p\)をそれぞれ任意に選ぶと、上の命題より、\(x-x^{\prime }\)と\(p\)は直交します。

図:予算線と価格ベクトルの関係
図:予算線と価格ベクトルの関係

予算線と価格ベクトルが直交するということは、価格ベクトルが変われば予算線の傾きも変わることを意味します。先述のように、予算線の傾きは2つの商品の相対価格に対応するため、これはもっともな結論です。

次回は予算集合の変化について解説します。

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