対応の定義

対応

集合\(A\)のそれぞれの要素に対して集合\(B\)の部分集合を1つずつ定める規則を\(A\)から\(B\)への対応（correspondence）と呼び、これを、\begin{equation*}f:A\twoheadrightarrow B
\end{equation*}で表します。また、\(A\)を\(f\)の始集合（initial set）と呼び、\(B\)を\(f\)の終集合（final set）と呼びます。

対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)が与えられたとき、始集合\(A\)の要素\(a\)を任意に選ぶと、\(f\)はそれに対して終集合\(B\)の部分集合を1つだけ定めます。これを\(f\)による\(a\)の像（image）と呼び、\(f\left( a\right) \)と表記します。

対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)がそれぞれの要素\(a\in A\)に対して\(B\)の部分集合\(f\left( a\right) \)を定めることは、\(f\left( a\right) \)に属する\(B\)の複数の要素を定めることと実質的に同じです。そのような事情もあり、対応を多価関数（multivalued function）と呼ぶこともあります。

対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)がそれぞれの要素\(a\in A\)に対して定める像\(f\left( a\right) \)は\(B\)の要素ではなく\(B\)の部分集合であることから、これは終集合が\(B\)のすべての部分集合からなるベキ集合\(2^{B}\)であるような写像\(f:A\rightarrow2^{B} \)と同一視できます。このような事情もあり、対応を集合関数（set function）と呼ぶこともあります。

例（対応）

集合\(A=\left\{ 1,2,3\right\} \)と集合\(B=\left\{a,b,c\right\} \)に対して、対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)を以下の図で定義します。図では\(1\)から\(b\)へ矢印が伸びていますが、これは\(f\)による\(1\)の像が\(\left\{ b\right\} \)であること、すなわち\(f\left( 1\right) =\left\{ b\right\} \)であることを意味します。また、\(2\)から\(a\)と\(c\)へそれぞれ矢印が伸びていますが、これは\(f\)による\(2 \)の像が\(\left\{ a,c\right\} \)であること、すなわち\(f\left( 2\right)=\left\{ a,c\right\} \)であることを意味します。また、\(f\left( 3\right) =\left\{ b\right\} \)であることも図から読み取れます。

対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)は\(A\)のそれぞれの要素に対して\(b\)の部分集合を1つずつ定める規則です。ただし、空集合は任意の集合の部分集合であるため、\(A\)のある要素\(a\)に対して\(f\left( a\right) =\phi \)が成り立つ場合にも\(f\)は\(A\)から\(B\)への対応です。ちなみに、対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)が要素\(a\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( a\right) \not=\phi
\end{equation*}を満たすとき、\(f\)は点\(a\)において非空値をとる（nonempty-valued at \(a\)）と言います。また、\begin{equation*}\forall a\in A:f\left( a\right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立つとき、\(f\)は非空値をとる（nonempty-valued）と言います。

例（対応）

集合\(A=\left\{ 1,2,3\right\} \)と集合\(B=\left\{a,b,c\right\} \)に対して、対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)を以下の図で定義します。図では\(1\)から\(c\)へ矢印が伸びていますが、これは\(f\)による\(1\)の像が\(\left\{ c\right\} \)であること、すなわち\(f\left( 1\right) =\left\{ c\right\} \)であることを意味します。また、\(2\)から伸びる矢印は存在しませんが、これは\(f\left( 2\right) =\phi \)であることを意味します。ただし、空集合は任意の集合の部分集合であることから\(\phi \subset B\)が成り立つため、\(f\left( 2\right) \)もまた対応による像としての要件を満たします。また、\(f\left( 3\right)=\left\{ b\right\} \)であることも図から読み取れます。

対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)が与えられたとき、始集合\(A\)に属する「異なる」要素\(a,a^{\prime }\)を任意に選びそれらの像\(f\left( a\right) ,f\left( a^{\prime}\right) \)をとると、それらは一致するとは限りませんし、逆に、一致しても構いません。どちらの場合でも対応の定義には抵触しないため、何も問題ありません。

繰り返しになりますが、対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)は始集合\(A\)のそれぞれの要素\(a\)に対して終集合\(B\)の部分集合である\(f\left(a\right) \)を1つずつ定めるものでなければなりません。一方、\(B\)の要素\(b\)を任意に選ぶと、それに対して\(b\in f\left( a\right) \)を満たす\(A\)の要素\(a\)は存在するとは限りませんが、その場合にも対応の定義には抵触しないため問題ありません。

例（対応）

集合\(A=\left\{ 1,2,3\right\} \)と集合\(B=\left\{a,b,c\right\} \)に対して、\(f:A\twoheadrightarrow B\)を以下の図で定義します。図より\(b\)へ伸びる矢印が2本存在します。つまり、\(f\left(1\right) \cap f\left( 3\right) \not=\phi \)ですが、対応として何も問題ありません。また、\(c\)へ伸びる矢印が存在しませんが、これは\(c\in f\left( a\right) \)を満たす\(A\)の要素\(a\)が存在しないことを意味します。これも問題ありません。この\(f\)は\(A\)から\(B\)への対応です。

対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)の始集合\(A\)と終集合\(B\)は一致するとは限りませんし、逆に、一致しても構いません。どちらの場合でも対応の定義には抵触しないため、何も問題ありません。

等しい対応

2つの対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)と\(g:C\twoheadrightarrow D\)が与えられたとき、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ A=C \\
&&\left( b\right) \ B=D \\
&&\left( c\right) \ \forall a\in A:f\left( a\right) =g\left( a\right)
\end{eqnarray*}がすべて成り立つ場合には、\(f\)と\(g\)は等しい（equal）といい、そのことを、\begin{equation*}f=g
\end{equation*}と表記します。つまり、2つの対応\(f,g\)が等しいとは、それらの始集合どうし、終集合どうしがそれぞれ一致するとともに、始集合のそれぞれの要素に対して\(f\)が定める像と\(g\)が定める像が常に一致することを意味します。

逆に、2つの対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)と\(g:C\twoheadrightarrow D\)に対して先の\(\left( a\right) ,\left( b\right) ,\left(c\right) \)の中の少なくとも1つの条件が成り立たない場合、\(f\)と\(g\)は異なる（not equal）といい、そのことを、\begin{equation*}f\not=g
\end{equation*}と表記します。

演習問題