集合のそれぞれの要素に対して別の集合の部分集合を1つずつ定める規則を対応と呼びます。

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2019年6月6日:例を追加
2019年4月4日:公開

対応

集合\(X\)のそれぞれの要素に対して集合\(Y\)の部分集合を1つずつ定める規則を\(X\)から\(Y\)への対応(correspondence)と呼び、これを、\begin{equation*}
f:X\twoheadrightarrow Y
\end{equation*}で表します。また、対応\(f\)が\(X\)の要素\(x\)に対して定める\(Y\)の部分集合を\(f\left( x\right) \)で表し、これを\(f\)による\(x\)の(image)と呼びます。さらに、\(X\)を\(f\)の始集合(initial set)と呼び、\(Y\)を\(f\)の終集合(final set)と呼びます。

対応\(f:X\twoheadrightarrow Y\)がそれぞれの要素\(x\in X\)に対して\(Y\)の部分集合\(f\left( x\right) \)を定めることは、\(f\left( x\right) \)に属する\(Y\)の複数の点を定めることと実質的に同じです。それゆえ、対応は多価関数(multivalued function)と呼ばれることもあります。

対応\(f:X\twoheadrightarrow Y\)がそれぞれの要素\(x\in X\)に対して定める像\(f\left( x\right) \)は\(Y\)の要素ではなく\(Y\)の部分集合です。ゆえにこの対応は、終集合が\(Y\)のすべての部分集合からなるベキ集合\(2^{Y}\)であるような写像\(f:X\rightarrow 2^{Y}\)と同一視できます。それゆえ、対応は集合関数(set function)と呼ばれることもあります。

ベキ集合について復習する 写像について復習する
例(対応)
\(\mathbb{R}\)上の区間\(\left[ 0,1\right] \)に対して\(f:\left[ 0,1\right] \twoheadrightarrow \left[ 0,1\right] \)を、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\{0\} & if\ x<1 \\
\left[ 0,1\right] & if\ x=1\end{array}\right.
\end{equation*}と定義するとき、任意の\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して\(f\left( x\right) \)は\(\left[ 0,1\right] \)の部分集合であるため、この\(f\)は対応です。他方で\(g:\left[ 0,1\right] \twoheadrightarrow \left[ 0,1\right] \)を、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & if\ x<1 \\
\left[ 0,1\right] & if\ x=1\end{array}\right.
\end{equation*}と定義するとき、この\(g\)は対応ではありません。なぜなら\(f\left( 0\right) =0\)は\(\left[ 0,1\right] \)の部分集合ではなく\(\left[ 0,1\right] \)の要素だからです。
例(写像から生成される対応)
写像\(f:X\rightarrow Y\)が与えられたとき、\(X\)のそれぞれの要素\(x\)に対して\(f\)による像\(f\left( x\right) \)からなる1点集合\begin{equation*}
g\left( x\right) =\{f\left( x\right) \}\subset Y
\end{equation*}を像として定める対応\(g:X\twoheadrightarrow Y\)を構成できます。1点集合\(\{f\left( x\right) \}\)とそこに属する1つの要素\(f\left( x\right) \)を同一視すれば上の写像\(f\)と対応\(g\)は実質的に等しくなります。

 

要素の像

対応\(f:X\twoheadrightarrow Y\)が始集合に属する異なる要素に対して定める像は一致するとは限りません。逆に、\(f\)による像が同じになるような\(X\)の異なる要素が存在してもかまいません。つまり、\(f\left( x\right) =f\left( x^{\prime }\right) \)を満たすような\(X\)の異なる要素\(x,x^{\prime }\)が存在しても問題はありません。

空集合は任意の集合の部分集合であるため、対応\(f:X\twoheadrightarrow Y\)が\(X\)の要素\(x\)に対して定める像は空集合でもかまいません。つまり、\(f\left( x\right) =\phi \)を満たすような\(X\)の要素\(x\)が存在しても問題はありません。逆に、対応\(f:X\twoheadrightarrow Y\)が\(X\)の要素\(x\)に対して定める像が空集合ではないとき、つまり、\begin{equation*}
f\left( x\right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立つとき、\(f\)は\(x \)において非空値をとる(nonempty-valued at \(x\))と言います。また、\(f\)が\(X\)の任意の点において非空値をとるならば、すなわち、\begin{equation*}
\forall x\in X:f\left( x\right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立つならば、\(f\)は非空値をとる(nonempty-valued)と言います。

 

要素の逆像

対応\(f:X\twoheadrightarrow Y\)が与えられたとき、それぞれの要素\(y\in Y\)に対して、\begin{equation*}
f^{-1}\left( y\right) =\left\{ x\in X\ |\ y\in f\left( x\right) \right\}
\end{equation*}という\(X\)の部分集合を定義します。つまり、\(Y\)の要素\(y\)に対して\(y\in f\left( x\right) \)を満たすような\(X\)の要素\(x\)からなる集合が\(f^{-1}\left( y\right) \)です。これを\(y\)の逆像(inverse image)や原像(preimage)などと呼びます。

対応\(f:X\twoheadrightarrow Y\)が与えられたとき、\(Y\)の要素\(y\)に対して\(y\in f\left( x\right) \)を満たす\(X\)の要素\(x\)は存在するとは限りません。そのような場合には\(f^{-1}\left( y\right) =\phi \)となりますが、空集合\(\phi \)は任意の集合の部分集合ですから、このような状況が発生しても定義上は問題ありません。

例(要素の逆像)
\(\mathbb{R}\)上の区間\(\left[ 0,1\right] \)に対して\(f:\left[ 0,1\right] \twoheadrightarrow \left[ 0,1\right] \)を、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\{0\} & if\ x<1 \\
\left[ 0,1\right] & if\ x=1\end{array}\right.
\end{equation*}と定義するとき、例えば、\begin{eqnarray*}
f^{-1}\left( 0\right) &=&\left[ 0,1\right] \\
f^{-1}\left( \frac{1}{2}\right) &=&\{1\} \\
f^{-1}\left( 1\right) &=&\{1\}
\end{eqnarray*}などとなります。

 

像と逆像の関係

対応\(f:X\twoheadrightarrow Y\)が与えられたとき、要素の逆像の定義より、順序対\(\left( x,y\right) \in X\times Y\)を任意に選ぶと、それについて、\begin{equation*}
x\in f^{-1}\left( y\right) \ \Leftrightarrow \ y\in f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、\(x\)が\(f \)による\(y\)の逆像に属する要素であることは、\(y\)が\(f\)による\(x\)の像に属する要素であるための必要十分条件です。

 

等しい対応

始集合と終集合を共有する2つの対応\(f:X\twoheadrightarrow Y,\ g:X\twoheadrightarrow Y\)が与えられたとき、任意の要素\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =g\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つならば、\(f\)と\(g\)を等しい対応とみなした上で、そのことを\(f=g\)で表します。

次回は対応のグラフについて学びます。
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