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CORRESPONDENCE

対応

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対応

集合\(A\)のそれぞれの要素に対して集合\(B\)の部分集合を1つずつ定める規則を\(A\)から\(B\)への対応(correspondence)と呼び、これを、\begin{equation*}
f:A\twoheadrightarrow B
\end{equation*}で表します。また、\(A\)を\(f\)の始集合(initial set)と呼び、\(B\)を\(f\)の終集合(final set)と呼びます。

対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)が与えられたとき、始集合\(A\)の要素\(a\)を任意に選ぶと、\(f\)はそれに対して終集合\(B\)の部分集合を1つだけ定めます。これを\(f\)による\(a\)の(image)と呼び、\(f\left( a\right) \)と表記します。

対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)がそれぞれの要素\(a\in A\)に対して\(B\)の部分集合\(f\left( a\right) \)を定めることは、\(f\left( a\right) \)に属する\(B\)の複数の要素を定めることと実質的に同じです。そのような事情もあり、対応を多価関数(multivalued function)と呼ぶこともあります。

対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)がそれぞれの要素\(a\in A\)に対して定める像\(f\left( a\right) \)は\(B\)の要素ではなく\(B\)の部分集合であることから、これは終集合が\(B\)のすべての部分集合からなるベキ集合\(2^{B}\)であるような写像\(f:A\rightarrow 2^{B} \)と同一視できます。このような事情もあり、対応を集合関数(set function)と呼ぶこともあります。

例(対応)
集合\(A=\left\{ 1,2,3\right\} \)と集合\(B=\left\{ a,b,c\right\} \)に対して、対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)を以下の図で定義します。図では\(1\)から\(b\)へ矢印が伸びていますが、これは\(f\)による\(1\)の像が\(\left\{ b\right\} \)であること、すなわち\(f\left( 1\right) =\left\{ b\right\} \)であることを意味します。また、\(2\)から\(a\)と\(c\)へそれぞれ矢印が伸びていますが、これは\(f\)による\(2 \)の像が\(\left\{ a,c\right\} \)であること、すなわち\(f\left( 2\right) =\left\{ a,c\right\} \)であることを意味します。また、\(f\left( 3\right) =\left\{ b\right\} \)であることも図から読み取れます。
図:対応
図:対応
例(対応)
\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \twoheadrightarrow \left[ 0,1\right] \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\left\{ 0\right\} & if\ x<1 \\
\left[ 0,1\right] & if\ x=1\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。始集合\(\left[ 0,1\right] \)の任意の点\(x\)の像\(f\left( x\right) \)は終集合\(\left[ 0,1\right] \)の部分集合であるため、この\(f\)は対応です。一方、\(g:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \twoheadrightarrow \left[ 0,1\right] \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}
g\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & if\ x<1 \\
\left[ 0,1\right] & if\ x=1\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。例えば、始集合\(\left[ 0,1\right] \)の点\(0\)に関して\(g\left( 0\right) =0\)となりますが、これは終集合\(\left[ 0,1\right] \)の部分集合ではなく要素であるため、この\(f\)は対応ではありません。
例(写像から生成される対応)
写像\(f:A\rightarrow B\)は始集合\(A\)のそれぞれの要素\(a\)に対して終集合\(B\)の要素\(f\left( a\right) \)を1つずつ定めるため、それぞれの\(a\in A\)に対して、\begin{equation*}
g\left( a\right) =\left\{ f\left( a\right) \right\} \subset B
\end{equation*}を像として定める対応\(g:A\twoheadrightarrow B\)が定義可能です。1点集合\(\left\{ f\left( a\right) \right\} \)とそこに属する1つの要素\(f\left( a\right) \)を同一視すれば上の写像\(f\)と対応\(g\)は実質的に等しくなります。

対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)は\(A\)のそれぞれの要素に対して\(b\)の部分集合を1つずつ定める規則です。ただし、空集合は任意の集合の部分集合であるため、\(A\)のある要素\(a\)に対して\(f\left( a\right) =\phi \)が成り立つ場合においても\(f\)は\(A\)から\(B\)への対応です。ちなみに、対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)が要素\(a\in X\)に対して、\begin{equation*}
f\left( a\right) \not=\phi
\end{equation*}を満たすとき、\(f\)は\(a\)において非空値をとる(nonempty-valued at \(a\))と言います。また、\begin{equation*}
\forall a\in A:f\left( a\right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立つとき、\(f\)は非空値をとる(nonempty-valued)と言います。

例(対応)
集合\(A=\left\{ 1,2,3\right\} \)と集合\(B=\left\{ a,b,c\right\} \)に対して、対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)を以下の図で定義します。図では\(1\)から\(c\)へ矢印が伸びていますが、これは\(f\)による\(1\)の像が\(\left\{ c\right\} \)であること、すなわち\(f\left( 1\right) =\left\{ c\right\} \)であることを意味します。また、\(2\)から伸びる矢印は存在しませんが、これは\(f\left( 2\right) =\phi \)であることを意味します。ただし、空集合は任意の集合の部分集合であることから\(\phi \subset B\)が成り立つため、\(f\left( 2\right) \)もまた対応による像としての要件を満たします。また、\(f\left( 3\right) =\left\{ b\right\} \)であることも図から読み取れます。
図:対応
図:対応

対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)が与えられたとき、始集合\(A\)に属する異なる要素\(a,a^{\prime }\)を任意に選びそれらの像\(f\left( a\right) ,f\left( a^{\prime }\right) \)をとると、それらは一致するとは限りませんし、逆に、一致しても構いません。どちらの場合でも対応の定義には抵触しないため、何も問題ありません。

繰り返しになりますが、対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)は始集合\(A\)のそれぞれの要素\(a\)に対して終集合\(B\)の部分集合である\(f\left( a\right) \)を1つずつ定める規則です。一方、\(B\)の要素\(b\)を任意に選ぶと、それに対して\(b\in f\left( a\right) \)を満たす\(A\)の要素\(a\)は存在するとは限りませんが、その場合にも対応の定義には抵触しないため問題ありません。

例(対応)
集合\(A=\left\{ 1,2,3\right\} \)と集合\(B=\left\{ a,b,c\right\} \)に対して、\(f:A\twoheadrightarrow B\)を以下の図で定義します。図より\(b\)へ伸びる矢印が2本存在します。つまり、\(f\left( 1\right) \cap f\left( 3\right) \not=\phi \)ですが、対応として何も問題ありません。また、\(c\)へ伸びる矢印が存在しませんが、これは\(c\in f\left( a\right) \)を満たす\(A\)の要素\(a\)が存在しないことを意味します。これも問題ありません。この\(f\)は\(A\)から\(B\)への対応です。
図:対応
図:対応

対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)の始集合\(A\)と終集合\(B\)は一致するとは限りませんし、逆に、一致しても構いません。どちらの場合でも対応の定義には抵触しないため、何も問題ありません。

 

等しい対応

2つの対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)と\(g:C\twoheadrightarrow D\)が与えられたとき、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ A=C \\
&&\left( b\right) \ B=C \\
&&\left( c\right) \ \forall a\in A:f\left( a\right) =g\left( a\right)
\end{eqnarray*}がすべて成り立つ場合には、\(f\)と\(g\)は等しい(equal)といい、そのことを、\begin{equation*}
f=g
\end{equation*}と表記します。つまり、2つの対応\(f,g\)が等しいとは、それらの始集合どうし、終集合どうしがそれぞれ一致するとともに、始集合のそれぞれの要素に対して\(f\)が定める像と\(g\)が定める像が常に一致することを意味します。

例(等しい対応)
対応\(f,g:\mathbb{R} _{+}\twoheadrightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{eqnarray*}
f\left( x\right) &=&\left\{ y\in
\mathbb{R} \ |\ y\leq x\right\} \\
g\left( x\right) &=&\left\{ y\in
\mathbb{R} \ |\ y\leq \left\vert x\right\vert \right\}
\end{eqnarray*}を定めるものとします。これらの対応の始集合はすべての実数からなる集合\(\mathbb{R} \)ではなく、すべての非負の実数からなる集合\(\mathbb{R} _{+}\)であることに注意してください。任意の非負の実数\(x\)に対して\(x=\left\vert x\right\vert \)が成り立つことから\(f\left( x\right) =g\left( x\right) \)であるため、\(f\)と\(g\)は等しい対応です。

逆に、2つの対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)と\(g:C\twoheadrightarrow D\)に対して先の\(\left( a\right) ,\left( b\right) ,\left( c\right) \)の中の少なくとも1つの条件が成り立たない場合、\(f\)と\(g\)は異なる(not equal)といい、そのことを、\begin{equation*}
f\not=g
\end{equation*}と表記します。

例(異なる対応)
対応\(f,g:\mathbb{R} \twoheadrightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}
f\left( x\right) &=&\left\{ y\in
\mathbb{R} \ |\ y\leq x\right\} \\
g\left( x\right) &=&\left\{ y\in
\mathbb{R} \ |\ y\leq \left\vert x\right\vert \right\}
\end{eqnarray*}を定めるものとします。\(f\)と\(g\)は始集合と終集合を共有しますが、始集合の要素である\(-1\)に注目すると、\begin{eqnarray*}
f\left( -1\right) &=&\left\{ y\in
\mathbb{R} \ |\ y\leq -1\right\} =(-\infty ,-1] \\
g\left( -1\right) &=&\left\{ y\in
\mathbb{R} \ |\ y\leq \left\vert -1\right\vert \right\} =(-\infty ,1] \end{eqnarray*}となり両者は異なるため、\(f\)と\(g\)は異なる対応です。

 

演習問題

問題(問題)
それぞれの非負の実数に対して、その平方根からなる集合を像として定める対応を定式化してください。
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問題(問題)
\(f:\mathbb{R}\supset \left[ 0,1\right] \twoheadrightarrow \left[ 0,1\right] \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\left( 0,1\right) & if\ x<1 \\
\phi & if\ x=1\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この\(f\)は対応でしょうか?理由とともに答えてください。
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問題(対応)
それぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R}_{++}^{n}\times \mathbb{R}_{++}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\left\{ z\in \mathbb{R}_{+}^{n}\ |\ x\cdot z\leq y\right\}
\end{equation*}を定める対応\(f:\mathbb{R}_{++}^{n}\times \mathbb{R}_{++}\twoheadrightarrow \mathbb{R}_{+}^{n}\)は非空値をとることを証明してください。
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次回は対応のグラフについて学びます。

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