対応 f:X↠Y が与えられたとき、y∈f(x) が真になるような順序対 (x, y)∈X×Y からなる集合を f のグラフと呼びます。対応(のグラフ)は関係とみなすことができます。

2019年6月6日:例を追加
2019年4月6日:公開

対応のグラフ

対応\(f:X\twoheadrightarrow Y\)が与えられたとき、\(y\in f\left( x\right) \)が真になるような順序対\(\left( x,y\right) \in X\times Y\)からなる集合\begin{equation*}
G(f)=\{(x,y)\in X\times Y\ |\ y\in f(x)\}
\end{equation*}を\(f\)のグラフ(graph)と呼びます。

対応について復習する 順序対について復習する

定義より、任意の順序対\(\left( x,y\right) \in X\times Y\)に対して、\begin{equation*}
\left( x,y\right) \in G\left( f\right) \ \Leftrightarrow \ y\in f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、順序対\(\left( x,y\right) \)が対応\(f\)のグラフの要素であることは、\(y\)が\(f\)による\(x\)の像に含まれるための必要十分条件です。

例(対応のグラフ)
\(\mathbb{R}\)上の区間\(\left[ 0,1\right] \)に対して対応\(f:\left[ 0,1\right] \twoheadrightarrow \left[ 0,1\right] \)を、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\{0\} & if\ x<1 \\
\left[ 0,1\right] & if\ x=1\end{array}\right.
\end{equation*}と定義するとき、そのグラフ\(G\left( f\right) \)は下図の太線で表されます。

図:対応のグラフ
図:対応のグラフ
例(対応のグラフ)
\(\mathbb{R}\)上の区間\(\left[ 0,1\right] \)に対して対応\(f:\left[ 0,1\right] \twoheadrightarrow \left[ 0,1\right] \)を、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left[ 0,x\right] \end{equation*}と定義するとき、そのグラフ\(G\left( f\right) \)は下図で表されます。

図:対応のグラフ
図:対応のグラフ

 

対応は関係

対応\(f:X\twoheadrightarrow Y\)のグラフ\(G\left( f\right) \)は直積\(X\times Y\)の部分集合ですから、これは\(X\)から\(Y\)への関係です。つまり、\(X\)から\(Y\)への対応を任意に選ぶと、それに対応する\(X\)から\(Y\)への関係\(G\left( f\right)\)が定まります。

関係について復習する

では逆に、\(X\)から\(Y\)への関係を任意に選んだときに、それに対応する\(X\)から\(Y\)への対応が一意的に定まるでしょうか。言い換えると、直積\(X\times Y\)の部分集合\(G\)を任意に選んだときに、\(G=G\left( f\right) \)を満たす\(X\)から\(Y\)への関係\(f\)は一意的に定まるでしょうか。この問いに対する答えはイエスです。

命題(関係は対応)
集合\(X\)から集合\(Y\)への関係\(G\)が与えられたとき、\begin{equation*}
G\left( f\right) =G
\end{equation*}を満たす対応\(f:X\twoheadrightarrow Y\)が一意的に定まる。
証明を見る(プレミアム会員限定)

議論をまとめましょう。集合\(X\)から集合\(Y\)への対応\(f\)が与えられると、\(X\)から\(Y\)への関係である\(f\)のグラフ\(G\left( f\right)\)が一意的に定まります。逆に、\(X\)から\(Y\)への関係\(G\)が与えられると、\(G\)をグラフとしても持つ\(X\)から\(Y\)への対応が一意的に定まります。つまり、\(X\)から\(Y\)への対応と\(X\)から\(Y\)への関係は1対1で対応しているため、関係と対応を同一視することができます。

 

要素の像と逆像の視覚的理解

対応\(f:X\twoheadrightarrow Y\)のグラフ\(G\left( f\right) \)が与えられたとき、任意の順序対\(\left( x,y\right) \in X\times Y\)に対して、\begin{equation*}
\left( x,y\right) \in G\left( f\right) \ \Leftrightarrow \ y\in f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。したがって、\(X\)の要素\(x\)を任意にとると、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left\{ y\in Y\ |\ \left( x,y\right) \in G\left( f\right) \right\}
\end{equation*}と表すことができます。つまり、\(X\)の要素\(x\)の像\(f\left( x\right) \)とは\(\left( x,y\right) \in G\left( f\right) \)を満たすような\(Y\)の要素からなる集合ですので、これは下図のように視覚化できます。

図:始集合の要素の像

対応\(f:X\twoheadrightarrow Y\)のグラフ\(G\left( f\right) \)が与えられたとき、任意の順序対\(\left( x,y\right) \in X\times Y\)に対して、\begin{equation*}
\left( x,y\right) \in G\left( f\right) \ \Leftrightarrow \ y\in f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。また、\(Y\)の要素\(y\)の逆像\(f^{-1}\left( y\right) \)の定義より、任意の\(\left( x,y\right) \in X\times Y\)に対して、\begin{equation*}
x\in f^{-1}\left( y\right) \ \Leftrightarrow \ y\in f\left( x\right)
\end{equation*}という関係もまた成立します。

以上を総合すると、任意の\(\left( x,y\right) \in X\times Y\)に対して、\begin{equation*}
x\in f^{-1}\left( y\right) \ \Leftrightarrow \ \left( x,y\right) \in G\left( f\right)
\end{equation*}という関係が成り立つため、\(Y\)の要素\(y\)を任意にとると、\begin{equation*}
f^{-1}\left( y\right) =\left\{ x\in X\ |\ \left( x,y\right) \in G\left( f\right) \right\}
\end{equation*}と表すことができます。つまり、\(Y\)の要素\(y\)の逆像\(f^{-1}\left( y\right) \)とは\(\left( x,y\right) \in G\left( f\right) \)を満たすような\(X\)の要素からなる集合ですので、これは下図のように視覚化できます。

図:終集合の要素の逆像

繰り返しになりますが、対応\(f:X\twoheadrightarrow Y\)が与えられたとき、順序対\(\left( x,y\right) \in X\times Y\)を任意に選ぶと、\begin{equation*}
x\in f^{-1}\left( y\right) \ \Leftrightarrow \ y\in f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。この関係を以下に図示しました。図中の\(\left( x,y\right) \)において\(x\in f^{-1}\left( y\right) \)と\(y\in f\left( x\right) \)がともに成立しています。

図:要素の像と逆像の関係

次回は対応の定義域と値域について学びます。
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