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対応のグラフ

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対応のグラフ

対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)が与えられたとき、\(b\in f\left( a\right) \)が真になるような順序対\(\left( a,b\right) \in A\times B\)からなる集合\begin{equation*}
G\left( f\right) =\left\{ \left( a,b\right) \in A\times B\ |\ b\in f\left(
a\right) \right\}
\end{equation*}を\(f\)のグラフ(graph)と呼びます。\(G\left( f\right) \)は\(A\times B\)の部分集合です。

対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)が与えられたとき、順序対\(\left( a,b\right) \in A\times B\)を任意に選ぶと、グラフ\(G\left( f\right) \)の定義より、\begin{equation*}
\left( a,b\right) \in A\times B\Leftrightarrow b\in f\left( a\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、順序対\(\left( a,b\right) \)が対応\(f\)のグラフの要素であることは、\(b\)が\(f\)による\(a\)の像の要素であるための必要十分条件です。

例(対応のグラフ)
対応\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \twoheadrightarrow \left[ 0,1\right] \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\left\{ 0\right\} & if\ x<1 \\
\left[ 0,1\right] & if\ x=1\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この対応のグラフ\(G\left( f\right) \)は下図の太線で表されます。

図:対応のグラフ
図:対応のグラフ
例(対応のグラフ)
対応\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \twoheadrightarrow \left[ 0,1\right] \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left[ 0,x\right] \end{equation*}を定めるものとします。この対応のグラフ\(G\left( f\right) \)は下図のグレーの領域で表されます。ただし境界を含みます。

図:対応のグラフ
図:対応のグラフ

 

対応のグラフの特徴づけ

繰り返しになりますが、対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)のグラフは、\begin{equation*}
G\left( f\right) =\left\{ \left( a,b\right) \in A\times B\ |\ b\in f\left(
a\right) \right\}
\end{equation*}と定義されるため、これは直積\(A\times B\)の部分集合です。逆に、直積\(A\times B\)の部分集合\(G\)が与えられたとき、それぞれの\(a\in A\)に対して\(\left( a,b\right) \in G\)を満たすような\(b\)からなる集合を\(f\left( a\right) \)として定める規則\(f:A\twoheadrightarrow B\)を定めれば、\(f\left( a\right) \)は\(B\)の部分集合であるため、このように定義された\(f\)は\(A\)から\(B\)への対応になります。

命題(対応のグラフ)
集合\(A,B\)に対して、その直積の部分集合\(G\subset A\times B\)が与えられたとき、\begin{equation*}
G\left( f\right) =G
\end{equation*}を満たす対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)が存在する。
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議論をまとめましょう。集合\(A\)から集合\(B\)への対応\(f\)が与えられると、直積\(A\times B\)の部分集合である\(f\)のグラフ\(G\left( f\right) \)が一意的に定まり、任意の順序対\(\left( a,b\right) \in A\times B\)に対して、\begin{equation*}
\left( a,b\right) \in G\left( f\right) \Leftrightarrow b\in f\left( a\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます(下図)。

図:対応のグラフ
図:対応のグラフ

逆に、直積\(A\times B\)の部分集合\(G\)が与えられると、\(G\)をグラフとして持つ\(A\)から\(B\)への対応が定まります。つまり、\(A\)から\(B\)への対応と直積\(A\times B\)の部分集合は1対1で対応しているため、対応を直積\(A\times B\)の部分集合と同一視することができます。

次回は対応が始集合の要素に対して定める像や、始集合の部分集合に対して定める像、また、対応の値域などについて学びます。

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