商品の価格や所得が変化したとき、消費者が直面する予算集合がどのように変化するかを解説します。関連して、税金や補助金が予算集合に与える影響を説明します。
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所得変化の影響

消費集合が\(X=\mathbb{R} _{+}^{N}\)であるとき、価格ベクトル\(p\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)と所得\(w\in \mathbb{R} _{++}\)が与えられると、予算集合は、\begin{equation*}
B\left( p,w\right) =\{x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\ |\ p\cdot x\leq w\}
\end{equation*}となります。価格ベクトル\(p\)は一定で所得が\(w^{\prime }\ \left( >w\right) \)へ増加すると新たな予算集合\begin{equation*}
B\left( p,w^{\prime }\right) =\{x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\ |\ p\cdot x\leq w^{\prime }\}
\end{equation*}が得られますが、両者の間には明らかに、\begin{equation*}
B\left( p,w\right) \subset B\left( p,w^{\prime }\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、価格ベクトル\(p\)を一定とするとき、所得を増やすと予算集合は拡大し、逆に、所得を減らすと予算集合は縮小します。

予算集合について復習する

商品\(n\)で測った実質所得とは、所得\(w\)と商品\(n\)の価格\(p_{n}\)の比\(\frac{w}{p_{n}}\)であり、これは、所得\(w\)が持つ購買力を商品\(n\)の数量を基準に表現したものです。価格ベクトル\(p\)は一定で所得が\(w^{\prime }\ \left( >w\right) \)へ増加すると、商品\(n\)で測った実質所得は\(\frac{w^{\prime }}{p_{n}}\)へ変化しますが、両者の間には明らかに、\begin{equation*}
\frac{w}{p_{n}}<\frac{w^{\prime }}{p_{n}} \end{equation*}が成り立ちます。つまり、価格ベクトル\(p\)を一定とするとき、所得を増やすと任意の商品で測った実質所得は増加し、逆に、所得を減らすと任意の商品で測った実質所得は減少します。

実質所得について復習する
図:所得の変化
図:所得の変化

2財モデルを用いて以上の事実を図解します。消費集合が\(X=\mathbb{R} _{+}^{2}\)である場合の予算集合\(B\left( p,w\right)\)は上図の薄いグレーの領域として表されます。ただし、境界を含みます。斜めの線分は予算線\(\overline{B}\left( p,w\right) \)に対応しており、これは2つの点\((\frac{w}{p_{1}},0),(0,\frac{w}{p_{2}})\)を通り、傾きが\(-\frac{p_{1}}{p_{2}}\)の線分です。切片\(\frac{w}{p_{1}},\frac{w}{p_{2}}\)はそれぞれ実質所得に対応しています。価格ベクトル\(p\)を一定としたまま所得を\(w^{\prime }\ \left( >w\right) \)に増やすと実質所得に相当する切片が\(\frac{w^{\prime }}{p_{1}},\frac{w^{\prime }}{p_{2}}\)へそれぞれ増加し、予算集合が\(B\left( p,w^{\prime }\right) \)へと拡大します。これは上図の濃いグレーと薄いグレーを合わせた領域です。新たな予算線\(\overline{B}\left( p,w^{\prime }\right) \)の傾きは先と同様に\(-\frac{p_{1}}{p_{2}}\)です。つまり、価格ベクトルを固定して所得だけ変化させると予算線は平行移動します。

 

価格変化の影響

消費集合が\(X=\mathbb{R} _{+}^{N}\)であるとき、価格ベクトル\(\left( p_{n},p_{-n}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\)と所得\(w\in \mathbb{R} _{++}\)が与えられると、予算集合は、\begin{equation*}
B\left( p_{n},p_{-n},w\right) =\{x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\ |\ p_{n}x_{n}+\sum_{i\not=n}p_{i}x_{i}\leq w\}
\end{equation*}となります。商品\(n\)以外のすべての商品の価格と所得は一定で、商品\(p_{n}\)の価格が\(p_{n}^{\prime }\)へ上昇すると新たな予算集合\begin{equation*}
B\left( p_{n}^{\prime },p_{-n},w\right) =\{x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\ |\ p_{n}^{\prime }x_{n}+\sum_{i\not=n}p_{i}x_{i}\leq w\}
\end{equation*}が得られますが、両者の間には明らかに、\begin{equation*}
B\left( p_{n}^{\prime },p_{-n},w\right) \subset B\left(
p_{n},p_{-n},w\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、その他の条件は一定であるとき、ある商品の価格が上昇すると予算集合は縮小し、逆に、その商品の価格が下落すると予算集合は拡大します。

商品\(n\)で測った実質所得とは、所得\(w\)と商品\(n\)の価格\(p_{n}\)の比\(\frac{w}{p_{n}}\)であり、これは、所得\(w\)が持つ購買力を商品\(n\)の数量を基準に表現したものです。その他の条件は一定であるとき、商品\(n\)の価格が\(p_{n}^{\prime }\ \left( >p_{n}\right) \)へ上昇すると、商品\(n\)で測った実質所得は\(\frac{w}{p_{n}^{\prime }}\)へ変化しますが、両者の間には明らかに、\begin{equation*}
\frac{w}{p_{n}^{\prime }}<\frac{w}{p_{n}} \end{equation*}が成り立ちます。つまり、その他の条件は一定であるとき、ある商品の価格が上昇するとその商品で測った実質所得は減少し、逆に、その商品の価格が下落すると、その商品で測った実質所得は増加します。

異なる2つの商品\(i,j\)を任意に選んだとき、商品\(i\)の商品\(j\)に対する相対価格とは、両者の価格の比\(\frac{p_{i}}{p_{j}}\)であり、これは、市場において\(1\)単位の商品\(i\)と交換可能な商品\(j\)の数量を表します。言い換えると、相対価格\(\frac{p_{i}}{p_{j}}\)とは2つの商品\(i,j\)の交換比率です。その他の条件は一定であるとき、商品\(i\)の価格が\(p_{i}^{\prime }\ \left( >p_{i}\right) \)へ上昇すると、商品\(i\)の商品\(j\)に対する相対価格は\(\frac{p_{i}^{\prime }}{p_{j}}\)へ変化しますが、両者の間には明らかに、\begin{equation*}
\frac{p_{i}}{p_{j}}<\frac{p_{i}^{\prime }}{p_{j}} \end{equation*}が成り立ちます。つまり、その他の条件は一定であるとき、ある商品の価格が上昇すると、その商品の他の任意の商品に対する相対価格は上昇し、逆に、その商品の価格が下落すると、その商品の他の任意の商品に対する相対価格は下落します。

相対価格について復習する
図:価格の変化
図:価格の変化

2財モデルを用いて以上の事実を図解します。消費集合が\(X=\mathbb{R} _{+}^{2}\)である場合の予算集合\(B\left( p_{1},p_{2},w\right) \)は上図の濃いグレーと薄いグレーをあわせた領域として表されます。ただし、境界を含みます。斜めの線分は予算線\(\overline{B}\left( p_{1},p_{2},w\right) \)に対応しており、これは2つの点\((\frac{w}{p_{1}},0),(0,\frac{w}{p_{2}})\)を通り、傾きが\(-\frac{p_{1}}{p_{2}}\)の線分です。切片\(\frac{w}{p_{1}},\frac{w}{p_{2}}\)はそれぞれ実質所得に対応しており、傾きの絶対値\(\frac{p_{1}}{p_{2}}\)は商品\(1\)の商品\(2\)に対する相対価格に対応します。その他の条件を一定としたまま商品\(1\)の価格を\(p_{1}^{\prime }\ \left( >p_{1}\right) \)に上昇させると、横軸の切片は\(\frac{w}{p_{1}^{\prime }}\)へ減少する一方、縦軸の切片は\(\frac{w}{p_{2}}\)のままです。その結果、予算集合が\(B\left( p_{1}^{\prime },p_{2},w\right) \)へと縮小します。これは上図の濃いグレーの領域です。新たな予算線\(\overline{B}\left( p_{1}^{\prime },p_{2},w\right) \)の傾きは\(-\frac{p_{1}^{\prime }}{p_{2}}\)へと減少します。つまり、その他の条件を一定としたまま特定の商品の価格だけを変化させると予算線は回転します。

 

課税の影響

商品の購入量に対して課される税を従量税(quantity tax)と呼びます。政府が重量税を課すとき、消費者は商品を\(1\)単位購入するごとに、一定額を追加的に支払う必要があります。例えば、商品\(i\)を\(1\)単位購入するごとに\(t\)円の重量税が課されることは、商品\(i\)の価格が\(p_{i}\)から\(p_{i}+t\)へ上昇することを意味します。したがって、その他の条件を一定とするとき、商品\(i\)に重量税が課されると、消費者の予算集合は縮小し、商品\(i\)で測った実質所得\(\frac{w}{p_{i}}\)は減少し、商品\(i\)の他の商品\(j\)に対する相対価格\(\frac{p_{i}}{p_{j}}\)は上昇し、また、予算線は回転します。

商品の価格に対して課される税を従価税(value tax)と呼びます。政府が従価税を課すとき、消費者は商品を\(1\)単位購入するごとに、価格の一定割合に相当する金額を追加的に支払う必要があります。例えば、商品\(i\)の価格に対して税率\(t\)の従価税が課されることは、商品\(i\)の価格が\(p_{i}\)から\(\left( 1+t\right) p_{i}\)へ上昇することを意味します。したがって、その他の条件を一定とするとき、商品\(i\)に従価税が課されると、消費者の予算集合は縮小し、商品\(i\)で測った実質所得\(\frac{w}{p_{i}}\)は減少し、商品\(i\)の他の商品\(j\)に対する相対価格\(\frac{p_{i}}{p_{j}}\)は上昇し、また、予算線は回転します。

消費者による消費行動とは関係なく、一定額を課される税を定額税(lump sum tax)と呼びます。政府が定額税を課すとき、消費者は税額に相当する金額を追加的に支払う必要があります。例えば、\(t\)円の定額税が課されることは、消費者の所得が\(w\)から\(w-t\)へ減少することを意味します。したがって、その他の条件を一定とするとき、定額税が課されると、消費者の予算集合は縮小し、任意の商品\(i\)で測った実質所得\(\frac{w}{p_{i}}\)は減少し、また、予算線は内側へ平行移動します。

 

補助金の影響

商品の購入量に対して交付される補助金を従量補助金(quantity subsidy)と呼びます。政府が従量補助金を交付するとき、消費者は商品を\(1\)単位購入するごとに一定額を受け取ります。例えば、商品\(i\)を\(1\)単位購入するごとに\(s\)円の従量補助金が交付されることは、商品\(i\)の価格が\(p_{i}\)から\(p_{i}-s\)へ下落することを意味します。したがって、その他の条件を一定とするとき、商品\(i\)に従量補助金が交付されると、消費者の予算集合は拡大し、商品\(i\)で測った実質所得\(\frac{w}{p_{i}}\)は増加し、商品\(i\)の他の商品\(j\)に対する相対価格\(\frac{p_{i}}{p_{j}}\)は下落し、また、予算線は回転します。

商品の価格に対して交付される補助金を従価補助金(value subsidy)と呼びます。政府が従価補助金を交付するとき、消費者は商品を\(1\)単位購入するごとに、価格の一定割合に相当する金額を受け取ります。例えば、商品\(i\)の価格に対して税率\(s\)の従価補助金が交付されることは、商品\(i\)の価格が\(p_{i}\)から\(\left( 1-s\right) p_{i}\)へ下落することを意味します。したがって、その他の条件を一定とするとき、商品\(i\)に従価補助金が交付されると、消費者の予算集合は拡大し、商品\(i\)で測った実質所得\(\frac{w}{p_{i}}\)は増加し、商品\(i\)の他の商品\(j\)に対する相対価格\(\frac{p_{i}}{p_{j}}\)は下落し、また、予算線は回転します。

消費者による消費行動とは関係なく、一定額を交付される補助金を定額補助金(lump sum subsidy)と呼びます。政府が定額補助金を交付するとき、消費者は交付金額を受け取ります。例えば、\(s\)円の定額補助金が交付されることは、消費者の所得が\(w\)から\(w+s\)へ増加することを意味します。したがって、その他の条件を一定とするとき、定額補助金が交付されると、消費者の予算集合は拡大し、任意の商品\(i\)で測った実質所得\(\frac{w}{p_{i}}\)は増加し、また、予算線は外側へ平行移動します。

次回は予算集合が非空集合であることの意味を解説します。

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