予算集合の変化（課税・補助金の影響）

所得変化の影響

消費者が選択し得る消費ベクトルからなる集合が消費集合\begin{equation*}
X\subset \mathbb{R} ^{N}
\end{equation*}として定式化されているものとします。特に、消費者が直面する経済的に注目する場合、それは予算対応\begin{equation*}
B:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X
\end{equation*}として表現されます。つまり、プライス・テイカーの仮定のもとでは、消費者にとって価格ベクトルと所得はいずれも外生的に与えられるパラメーターとみなされるため、価格ベクトルと所得\(\left( \boldsymbol{p},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に直面した消費者が選択可能な消費ベクトルからなる集合は予算集合\begin{eqnarray*}B\left( \boldsymbol{p},w\right) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in X\ |\
\boldsymbol{p}\cdot \boldsymbol{x}\leq w\right\} \\
&=&\left\{ \left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) \in X\ |\ p_{1}x_{1}+\cdots
+p_{n}x_{N}\leq w\right\}
\end{eqnarray*}として表現されるということです。これは、消費集合\(X\)に属する消費ベクトルの中でも、消費者による支出が所得を超えないものからなる集合です。

価格ベクトル\(\boldsymbol{p}\)を固定したまま所得だけを\(w\)から\(w^{\prime }\)へ増やすと新たな予算集合\begin{equation*}B\left( \boldsymbol{p},w^{\prime }\right) =\{x\in X\ |\ \boldsymbol{p}\cdot
x\leq w^{\prime }\}
\end{equation*}が得られますが、両者の間には明らかに以下の関係\begin{equation*}
B\left( \boldsymbol{p},w\right) \subset B\left( \boldsymbol{p},w^{\prime
}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、すべての商品の価格を固定した上で所得だけが増えると予算集合は拡大します。逆に、所得だけを減らすと予算集合は縮小します。

消費者の所得\(w\)と商品\(n\)の価格\(p_{n}\)が与えられたとき、商品\(n\)で測った実質所得は、\begin{equation*}\frac{w}{p_{n}}
\end{equation*}と定義されます。これは所得\(w\)の購買力を商品\(n\)の数量を基準に評価したものです。価格ベクトル\(\boldsymbol{p}\)を固定したまま所得だけを\(w\)から\(w^{\prime }\)へ増やすと、商品\(n\)で測った実質所得は、\begin{equation*}\frac{w^{\prime }}{p_{n}}
\end{equation*}となりますが、両者の間には明らかに以下の関係\begin{equation*}
\frac{w}{p_{n}}<\frac{w^{\prime }}{p_{n}}
\end{equation*}が成り立ちます。任意の商品\(n\)について同様の議論が成立します。以上より、すべての商品の価格を固定した上で所得だけが増えると、任意の商品について、その商品で測った実質所得が増加することが明らかになりました。逆に、所得だけを減らすと任意の商品で測った実質所得は減少します。

異なる2つの商品\(i,j\)を任意に選んだとき、商品\(i\)の商品\(j\)に対する相対価格は、\begin{equation*}\frac{p_{i}}{p_{j}}
\end{equation*}と定義されます。これは市場において\(1\)単位の商品\(i\)と交換可能な商品\(j\)の数量、つまり2つの商品\(i,j\)の交換比率に相当する概念です。相対価格\(\frac{p_{i}}{p_{j}}\)は所得\(w\)に依存しない指標であるため、価格ベクトル\(\boldsymbol{p}\)を固定したまま所得だけを\(w\)から\(w^{\prime }\)へ増やしても、任意の2つの商品の間の相対価格は変化しません。

例（所得変化の影響）

2財モデルにおいて消費集合が\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)である場合の予算集合\begin{equation*}B\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}\leq w\right\}
\end{equation*}が下図の薄いグレーの領域として描かれています（境界を含む）。予算線は斜めの線分として描かれていますが、これは2つの切片\(\left( \frac{w}{p_{1}},0\right) ,\left( 0,\frac{w}{p_{2}}\right) \)を通り傾きが\(-\frac{p_{1}}{p_{2}}\)の線分です。切片\(\frac{w}{p_{1}},\frac{w}{p_{2}}\)はそれぞれの商品で測った実質所得に対応します。価格ベクトル\(\left(p_{1},p_{2}\right) \)を固定したまま所得を\(w\)から\(w^{\prime }\)へ増やすとそれぞれの商品で測った実質所得に相当する切片が\(\frac{w^{\prime }}{p_{1}},\frac{w^{\prime }}{p_{2}}\)へそれぞれ増加し、予算集合が\(B\left( p_{1},p_{2},w^{\prime }\right) \)へと拡大します。この新たな予算集合は下図の濃いグレーの領域と薄いグレーの領域を合わせた領域として描かれています（境界を含む）。新たな予算線の傾きは先と同様に\(-\frac{p_{1}}{p_{2}}\)です。つまり、価格ベクトルを固定して所得だけ変化させると予算線は平行移動します。

価格変化の影響

消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)と価格ベクトル\(\left( p_{n},\boldsymbol{p}_{-n}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\)および所得\(w\in \mathbb{R} _{++}\)が与えられたとき、予算集合は、\begin{equation*}B\left( p_{n},\boldsymbol{p}_{-n},w\right) =\{x\in X\ |\
p_{n}x_{n}+\sum_{i\not=n}p_{i}x_{i}\leq w\}
\end{equation*}と定まります。ただし、\(p_{n}\)は商品\(n\)の価格であり、\(\boldsymbol{p}_{-n}\)は商品\(n\)以外の\(N-1\)種類の商品の価格を成分とするベクトルです。今、商品\(n\)以外の価格\(\boldsymbol{p}_{-n}\)と所得\(w\)を固定したまま商品\(n\)の価格だけを\(p_{n}\)から\(p_{n}^{\prime }\)へ上昇させると新たな予算集合\begin{equation*}B\left( p_{n}^{\prime },\boldsymbol{p}_{-n},w\right) =\{x\in X\ |\
p_{n}^{\prime }x_{n}+\sum_{i\not=n}p_{i}x_{i}\leq w\}
\end{equation*}が得られますが、両者の間には明らかに以下の関係\begin{equation*}
B\left( p_{n}^{\prime },\boldsymbol{p}_{-n},w\right) \subset B\left( p_{n},\boldsymbol{p}_{-n},w\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、ある商品以外のすべての商品の価格と所得を固定した上でその商品の価格だけが上昇すると予算集合は縮小し、逆に、その商品の価格だけが下落すると予算集合は拡大します。

価格ベクトルが\(\left( p_{n},\boldsymbol{p}_{-n}\right) \)で所得が\(w\)であるとき、商品\(n\)で測った実質所得は、\begin{equation*}\frac{w}{p_{n}}
\end{equation*}と定まります。商品\(n\)以外のすべての商品の価格\(\boldsymbol{p}_{-n}\)と所得\(w\)を固定したまま商品\(n\)の価格だけを\(p_{n}\)から\(p_{n}^{\prime }\)へ上昇させると、商品\(n\)で測った実質所得は、\begin{equation*}\frac{w}{p_{n}^{\prime }}
\end{equation*}となりますが、両者の間には以下の関係\begin{equation*}
\frac{w}{p_{n}}>\frac{w}{p_{n}^{\prime }}
\end{equation*}が成り立ちます。任意の商品\(n\)について同様の議論が成立します。つまり、ある商品の価格以外のすべての商品の価格と所得を固定した上でその商品の価格だけが上昇するとその商品で測った実質所得は減少し、逆に、その商品の価格だけが下落するとその商品で測った実質所得は増加します。

価格ベクトルが\(\boldsymbol{p}\)で所得が\(w\)であるとき、商品\(i\)の商品\(j\)に対する相対価格は、\begin{equation*}\frac{p_{i}}{p_{j}}
\end{equation*}と定まります。商品\(i\)以外のすべての商品の価格\(\boldsymbol{p}_{-i}\)と所得\(w\)を固定したまま商品\(i\)の価格だけを\(p_{i}\)から\(p_{i}^{\prime }\)へ上昇させると商品\(i\)の商品\(j\)に対する相対価格は、\begin{equation*}\frac{p_{i}^{\prime }}{p_{j}}
\end{equation*}となりますが、両者の間には以下の関係\begin{equation*}
\frac{p_{i}}{p_{j}}<\frac{p_{i}^{\prime }}{p_{j}}
\end{equation*}が成り立ちます。任意の異なる2つの商品\(i,j\)について同様の議論が成立します。つまり、ある商品\(i\)の価格以外のすべての商品の価格と所得を固定した上で商品\(i\)の価格だけが上昇すると、商品\(i\)の他の任意の商品に対する相対価格は上昇し、逆に、商品\(i\)の価格だけが下落すると、商品\(i\)の他の任意の商品に対する相対価格は下落します。

例（価格変化の影響）

2財モデルにおいて消費集合が\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)である場合の予算集合\begin{equation*}B\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}\leq w\right\}
\end{equation*}が下図の薄いグレーの領域として描かれています（境界を含む）。予算線は斜めの線分として描かれていますが、これは2つの切片\(\left( \frac{w}{p_{1}},0\right) ,\left( 0,\frac{w}{p_{2}}\right) \)を通り傾きが\(-\frac{p_{1}}{p_{2}}\)の線分です。切片\(\frac{w}{p_{1}},\frac{w}{p_{2}}\)はそれぞれの商品で測った実質所得に対応します。商品\(2\)の価格\(p_{2}\)と所得\(w\)を固定したまま商品\(1\)の価格だけを\(p_{1}\)から\(p_{1}^{\prime }\)へ上昇させると商品\(1\)で測った実質所得に対応する切片が\(\frac{w}{p_{1}^{\prime }}\)へ減少する一方で、商品\(2\)で測った実質所得に対応する切片は\(\frac{w}{p_{2}}\)のままであるため、予算集合が\(B\left( p_{1}^{\prime },p_{2},w\right) \)へと縮小します。この新たな予算集合は下図の濃いグレーの領域として描かれています（境界を含む）。新たな予算線の傾きは\(-\frac{p_{1}^{\prime }}{p_{2}}\)へと減少します。つまり、特定の商品の価格だけを変化させると予算線は回転します。

課税の影響

商品の購入量に対して課される税を従量税（quantity tax）と呼びます。政府がある商品に対して従量税を課す場合、消費者はその商品を\(1\)単位購入するごとに一定額を追加的に支払う必要があります。商品\(i\)を\(1\)単位購入するごとに\(t\)円の従量税が課されることは、商品\(i\)の価格が\(p_{i}\)から\(p_{i}+t\)へ上昇することを意味します。したがって、その他の条件を一定とする場合、商品\(i\)に従量税が課されると消費者の予算集合は縮小し、商品\(i\)で測った実質所得\(\frac{w}{p_{i}}\)は減少し、商品\(i\)の他の商品\(j\)に対する相対価格\(\frac{p_{i}}{p_{j}}\)は上昇し、予算線は回転します。

商品の価格に対して課される税を従価税（value tax）と呼びます。政府がある商品に対して従価税を課す場合、消費者はその商品を\(1\)単位購入するごとに価格の一定割合に相当する金額を追加的に支払う必要があります。例えば、商品\(i\)の価格に対して税率\(t\)の従価税が課されることは、商品\(i\)の価格が\(p_{i}\)から\(\left( 1+t\right)p_{i}\)へ上昇することを意味します。したがって、その他の条件を一定とする場合、商品\(i\)に従価税が課されると消費者の予算集合は縮小し、商品\(i\)で測った実質所得\(\frac{w}{p_{i}}\)は減少し、商品\(i\)の他の商品\(j\)に対する相対価格\(\frac{p_{i}}{p_{j}}\)は上昇し、予算線は回転します。

消費者による消費行動とは関係なく一定額を課される税を定額税（lump sum tax）と呼びます。政府が定額税を課す場合、消費者は税額に相当する金額を追加的に支払う必要があります。例えば、\(t\)円の定額税が課されることは、消費者の所得が\(w\)から\(w-t\)へ減少することを意味します。したがって、その他の条件を一定とする場合、定額税が課されると消費者の予算集合は縮小し、任意の商品\(i\)で測った実質所得\(\frac{w}{p_{i}}\)は減少し、予算線は内側へ平行移動します。

補助金の影響

商品の購入量に対して交付される補助金を従量補助金（quantity subsidy）と呼びます。政府がある商品に対して従量補助金を支給する場合、消費者はその商品を\(1\)単位購入するごとに一定額を受け取ります。例えば、商品\(i\)を\(1\)単位購入するごとに\(s\)円の従量補助金が支給されることは、商品\(i\)の価格が\(p_{i}\)から\(p_{i}-s\)へ下落することを意味します。したがって、その他の条件を一定とする場合、商品\(i\)に従量補助金が支給されると消費者の予算集合は拡大し、商品\(i\)で測った実質所得\(\frac{w}{p_{i}}\)は増加し、商品\(i\)の他の商品\(j\)に対する相対価格\(\frac{p_{i}}{p_{j}}\)は下落し、また、予算線は回転します。

商品の価格に対して交付される補助金を従価補助金（value subsidy）と呼びます。政府がある商品に対して従価補助金を支給する場合、消費者はその商品を\(1\)単位購入するごとに、価格の一定割合に相当する金額を受け取ります。例えば、商品\(i\)の価格に対して税率\(s\)の従価補助金が支給されることは、商品\(i\)の価格が\(p_{i}\)から\(\left( 1-s\right) p_{i}\)へ下落することを意味します。したがって、その他の条件を一定とする場合、商品\(i\)に従価補助金が支給されると消費者の予算集合は拡大し、商品\(i\)で測った実質所得\(\frac{w}{p_{i}}\)は増加し、商品\(i\)の他の商品\(j\)に対する相対価格\(\frac{p_{i}}{p_{j}}\)は下落し、また、予算線は回転します。

消費者による消費行動とは関係なく一定額を支給される補助金を定額補助金（lump sum subsidy）と呼びます。政府が定額補助金を支給する場合、消費者はその金額を受け取ります。例えば、\(s\)円の定額補助金が支給されることは、消費者の所得が\(w\)から\(w+s\)へ増加することを意味します。したがって、その他の条件を一定とする場合、定額補助金が支給されると消費者の予算集合は拡大し、任意の商品\(i\)で測った実質所得\(\frac{w}{p_{i}}\)は増加し、また、予算線は外側へ平行移動します。

演習問題