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CONSUMER THEORY

予算集合の変化

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所得変化の影響

復習になりますが、消費集合\(X\subset \mathbb{R}^{N}\)、価格ベクトル\(p\in \mathbb{R}_{++}^{N}\)、そして所得\(w\in \mathbb{R}_{++}\)が与えられたとき、予算集合は、\begin{equation*}
B\left( p,w\right) =\{x\in X\ |\ p\cdot x\leq w\}
\end{equation*}と定義されます。これは、消費集合\(X\)に属する消費ベクトルの中でも、消費者による支出が所得を超えないものからなる集合です。今、価格ベクトル\(p\)を固定したまま所得だけを\(w\)から\(w^{\prime }\)へ増やすと新たな予算集合\begin{equation*}
B\left( p,w\right) =\{x\in X\ |\ p\cdot x\leq w^{\prime }\}
\end{equation*}が得られますが、両者の間には明らかに、\begin{equation*}
B\left( p,w\right) \subset B\left( p,w^{\prime }\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、すべての商品の価格を固定した上で所得だけが増えると予算集合は拡大し、逆に、所得だけを減らすと予算集合は縮小します。

復習になりますが、消費者の所得\(w\)と商品\(n\)の価格\(p_{n}\)の比\begin{equation*}
\frac{w}{p_{n}}
\end{equation*}を商品\(n\)で測った実質所得と呼びます。これは所得\(w\)の購買力を商品\(n\)の数量を基準に評価したものです。価格ベクトル\(p\)を固定したまま所得だけを\(w\)から\(w^{\prime }\)へ増やすと、商品\(n\)で測った実質所得は、\begin{equation*}
\frac{w^{\prime }}{p_{n}}
\end{equation*}となりますが、両者の間には明らかに、\begin{equation*}
\frac{w}{p_{n}}<\frac{w^{\prime }}{p_{n}}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。任意の商品\(n\)について同様の議論が成立します。つまり、すべての商品の価格を固定した上で所得だけが増えると、任意の商品\(n\)について、その商品で測った実質所得は増加し、逆に、所得だけを減らすとその商品で測った実質所得は減少します。

復習になりますが、異なる2つの商品\(i,j\)を任意に選んだとき、それらの価格の比\begin{equation*}
\frac{p_{i}}{p_{j}}
\end{equation*}を商品\(i\)の商品\(j\)に対する相対価格と呼びます。これは市場において\(1\)単位の商品\(i\)と交換可能な商品\(j\)の数量、つまり2つの商品\(i,j\)の交換比率に相当する概念です。価格ベクトル\(p\)を固定したまま所得だけを\(w\)から\(w^{\prime }\)へ増やしても、任意の2つの商品の間の相対価格は変化しません。

例(所得変化の影響)
2財モデルにおいて消費集合が\(\mathbb{R}_{+}^{2}\)である場合の予算集合\(B\left( p_{1},p_{2},w\right) \)が下図の薄いグレーの領域として描かれています(境界を含む)。予算線は斜めの線分として描かれていますが、これは2つの切片\(\left( \frac{w}{p_{1}},0\right) ,\left( 0,\frac{w}{p_{2}}\right) \)を通り傾きが\(-\frac{p_{1}}{p_{2}}\)の線分です。切片\(\frac{w}{p_{1}},\frac{w}{p_{2}}\)はそれぞれの商品で測った実質所得に対応します。価格ベクトル\(\left( p_{1},p_{2}\right) \)を固定したまま所得を\(w\)から\(w^{\prime }\)へ増やすとそれぞれの商品で測った実質所得に相当する切片が\(\frac{w^{\prime }}{p_{1}},\frac{w^{\prime }}{p_{2}}\)へそれぞれ増加し、予算集合が\(B\left( p_{1},p_{2},w^{\prime }\right) \)へと拡大します。この新たな予算集合は下図の濃いグレーの領域と薄いグレーの領域を合わせた領域として描かれています(境界を含む)。新たな予算線の傾きは先と同様に\(-\frac{p_{1}}{p_{2}}\)です。つまり、価格ベクトルを固定して所得だけ変化させると予算線は平行移動します。

図:所得の変化
図:所得変化の影響

 

価格変化の影響

繰り返しになりますが、消費集合\(X\subset \mathbb{R}^{N}\)、価格ベクトル\(\left( p_{n},p_{-n}\right) \in \mathbb{R}_{++}^{N}\)、そして所得\(w\in \mathbb{R}_{++}\)が与えられたとき、予算集合は、\begin{equation*}
B\left( p_{n},p_{-n},w\right) =\{x\in X\ |\
p_{n}x_{n}+\sum_{i\not=n}p_{i}x_{i}\leq w\}
\end{equation*}となります。ただし、\(p_{-n}\)は商品\(n\)以外の\(N-1\)種類の商品の価格を成分とするベクトルです。今、商品\(n\)以外の価格\(p_{-n}\)と所得\(w\)を固定したまま商品\(n\)の価格だけを\(p_{n}\)から\(p_{n}^{\prime }\)へ上昇させると新たな予算集合\begin{equation*}
B\left( p_{n}^{\prime },p_{-n},w\right) =\{x\in X\ |\ p_{n}^{\prime
}x_{n}+\sum_{i\not=n}p_{i}x_{i}\leq w\}
\end{equation*}が得られますが、両者の間には明らかに、\begin{equation*}
B\left( p_{n}^{\prime },p_{-n},w\right) \subset B\left(
p_{n},p_{-n},w\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、ある商品の価格以外のすべての商品の価格と所得を固定した上でその商品の価格だけが上昇すると予算集合は縮小し、逆に、その商品の価格だけが下落すると予算集合は拡大します。

価格ベクトルが\(\left( p_{n},p_{-n}\right) \)で所得が\(w\)であるとき、商品\(n\)で測った実質所得は、\begin{equation*}
\frac{w}{p_{n}}
\end{equation*}です。今、商品\(n\)以外のすべての商品の価格\(p_{-n}\)と所得\(w\)を固定したまま商品\(n\)の価格だけを\(p_{n}\)から\(p_{n}^{\prime }\)へ上昇させると商品\(n\)で測った実質所得は\begin{equation*}
\frac{w}{p_{n}^{\prime }}
\end{equation*}となりますが、両者の間には、\begin{equation*}
\frac{w}{p_{n}}>\frac{w}{p_{n}^{\prime }}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。任意の商品\(n\)について同様の議論が成立します。つまり、ある商品の価格以外のすべての商品の価格と所得を固定した上でその商品の価格だけが上昇するとその商品で測った実質所得は減少し、逆に、その商品の価格だけが下落するとその商品で測った実質所得は増加します。

価格ベクトルが\(p\)で所得が\(w\)であるとき、商品\(i\)の商品\(j\)に対する相対価格は、\begin{equation*}
\frac{p_{i}}{p_{j}}
\end{equation*}です。今、商品\(i\)以外のすべての商品の価格\(p_{-i}\)と所得\(w\)を固定したまま商品\(i\)の価格だけを\(p_{i}\)から\(p_{i}^{\prime }\)へ上昇させると商品\(i\)の商品\(j\)に対する相対価格は、\begin{equation*}
\frac{p_{i}^{\prime }}{p_{j}}
\end{equation*}となりますが、両者の間には、\begin{equation*}
\frac{p_{i}}{p_{j}}<\frac{p_{i}^{\prime }}{p_{j}}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。任意の異なる2つの商品\(i,j\)について同様の議論が成立します。つまり、ある商品\(i\)の価格以外のすべての商品の価格と所得を固定した上でその商品の価格だけが上昇すると、その商品の他の任意の商品に対する相対価格は上昇し、逆に、その商品の価格だけが下落すると、その商品の他の任意の商品に対する相対価格は下落します。

例(価格変化の影響)
2財モデルにおいて消費集合が\(\mathbb{R}_{+}^{2}\)である場合の予算集合\(B\left( p_{1},p_{2},w\right) \)が下図の薄いグレーの領域として描かれています(境界を含む)。予算線は斜めの線分として描かれていますが、これは2つの切片\(\left( \frac{w}{p_{1}},0\right) ,\left( 0,\frac{w}{p_{2}}\right) \)を通り傾きが\(-\frac{p_{1}}{p_{2}}\)の線分です。切片\(\frac{w}{p_{1}},\frac{w}{p_{2}}\)はそれぞれの商品で測った実質所得に対応します。商品\(2\)の価格\(p_{2}\)と所得\(w\)を固定したまま商品\(1\)の価格だけを\(p_{1}\)から\(p_{1}^{\prime }\)へ上昇させると商品\(1\)で測った実質所得に対応する切片が\(\frac{w}{p_{1}^{\prime }}\)へ減少する一方で、商品\(2\)で測った実質所得に対応する切片は\(\frac{w}{p_{2}}\)のままであるため、予算集合が\(B\left( p_{1}^{\prime },p_{2},w\right) \)へと縮小します。この新たな予算集合は下図の濃いグレーの領域として描かれています(境界を含む)。新たな予算線の傾きは\(-\frac{p_{1}^{\prime }}{p_{2}}\)へと減少します。つまり、特定の商品の価格だけを変化させると予算線は回転します。

図:価格の変化
図:価格変化の影響

 

課税の影響

商品の購入量に対して課される税を従量税(quantity tax)と呼びます。政府がある商品に対して従量税を課すとき、消費者はその商品を\(1\)単位購入するごとに一定額を追加的に支払う必要があります。例えば、商品\(i\)を\(1\)単位購入するごとに\(t\)円の重量税が課されることは、商品\(i\)の価格が\(p_{i}\)から\(p_{i}+t\)へ上昇することを意味します。したがって、その他の条件を一定とするとき、商品\(i\)に重量税が課されると消費者の予算集合は縮小し、商品\(i\)で測った実質所得\(\frac{w}{p_{i}}\)は減少し、商品\(i\)の他の商品\(j\)に対する相対価格\(\frac{p_{i}}{p_{j}}\)は上昇し、また、予算線は回転します。

商品の価格に対して課される税を従価税(value tax)と呼びます。政府がある商品に対して従価税を課すとき、消費者はその商品を\(1\)単位購入するごとに価格の一定割合に相当する金額を追加的に支払う必要があります。例えば、商品\(i\)の価格に対して税率\(t\)の従価税が課されることは、商品\(i\)の価格が\(p_{i}\)から\(\left( 1+t\right) p_{i}\)へ上昇することを意味します。したがって、その他の条件を一定とするとき、商品\(i\)に従価税が課されると消費者の予算集合は縮小し、商品\(i\)で測った実質所得\(\frac{w}{p_{i}}\)は減少し、商品\(i\)の他の商品\(j\)に対する相対価格\(\frac{p_{i}}{p_{j}}\)は上昇し、また、予算線は回転します。

消費者による消費行動とは関係なく一定額を課される税を定額税(lump sum tax)と呼びます。政府が定額税を課すとき、消費者は税額に相当する金額を追加的に支払う必要があります。例えば、\(t\)円の定額税が課されることは、消費者の所得が\(w\)から\(w-t\)へ減少することを意味します。したがって、その他の条件を一定とするとき、定額税が課されると消費者の予算集合は縮小し、任意の商品\(i\)で測った実質所得\(\frac{w}{p_{i}}\)は減少し、また、予算線は内側へ平行移動します。

 

補助金の影響

商品の購入量に対して交付される補助金を従量補助金(quantity subsidy)と呼びます。政府がある商品に対して従量補助金を交付するとき、消費者はその商品を\(1\)単位購入するごとに一定額を受け取ります。例えば、商品\(i\)を\(1\)単位購入するごとに\(s\)円の従量補助金が交付されることは、商品\(i\)の価格が\(p_{i}\)から\(p_{i}-s\)へ下落することを意味します。したがって、その他の条件を一定とするとき、商品\(i\)に従量補助金が交付されると消費者の予算集合は拡大し、商品\(i\)で測った実質所得\(\frac{w}{p_{i}}\)は増加し、商品\(i\)の他の商品\(j\)に対する相対価格\(\frac{p_{i}}{p_{j}}\)は下落し、また、予算線は回転します。

商品の価格に対して交付される補助金を従価補助金(value subsidy)と呼びます。政府がある商品に対して従価補助金を交付するとき、消費者はその商品を\(1\)単位購入するごとに、価格の一定割合に相当する金額を受け取ります。例えば、商品\(i\)の価格に対して税率\(s\)の従価補助金が交付されることは、商品\(i\)の価格が\(p_{i}\)から\(\left( 1-s\right) p_{i}\)へ下落することを意味します。したがって、その他の条件を一定とするとき、商品\(i\)に従価補助金が交付されると消費者の予算集合は拡大し、商品\(i\)で測った実質所得\(\frac{w}{p_{i}}\)は増加し、商品\(i\)の他の商品\(j\)に対する相対価格\(\frac{p_{i}}{p_{j}}\)は下落し、また、予算線は回転します。

消費者による消費行動とは関係なく一定額を交付される補助金を定額補助金(lump sum subsidy)と呼びます。政府が定額補助金を交付するとき、消費者は交付金額を受け取ります。例えば、\(s\)円の定額補助金が交付されることは、消費者の所得が\(w\)から\(w+s\)へ増加することを意味します。したがって、その他の条件を一定とするとき、定額補助金が交付されると消費者の予算集合は拡大し、任意の商品\(i\)で測った実質所得\(\frac{w}{p_{i}}\)は増加し、また、予算線は外側へ平行移動します。

 

演習問題

問題
2つの商品\(1,2\)を消費する消費者にとっての当初の予算集合が、\begin{equation*}
\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R}_{+}^{2}\ |\ x_{1}+2x_{2}=20\right\}
\end{equation*}でしたが、後に、\begin{equation*}
\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R}_{+}^{2}\ |\ x_{1}+x_{2}=10\right\}
\end{equation*}に変化しました。この変化をもたらした要因として考えられるものを挙げてください。
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次回は予算集合が非空集合であることの意味を解説します。

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関連知識

プライステイカー
予算集合

市場経済において消費者が商品を手に入れるためには、商品と引き換えに、商品の価格に相当する対価を支払わなければなりません。消費者の支出額は所得の範囲内に収まっていなければならないという経済的制約を明示的に考慮して得られる消費集合を予算集合と呼びます。

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予算集合の非空性

消費者は予算集合に属する消費ベクトルを選ぶため、仮に予算集合が空集合であるならば、消費者がどのような選択を行うかという問題を検討する余地がなくなってしまいます。

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消費者理論では予算集合が凸集合であることを仮定することがあります。この場合、非分割財の消費などは分析対象から除外されることになります。

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消費者理論では予算集合がコンパクト集合であることを仮定することがあります。この仮定には、消費者が直面する最適化問題に解が存在することを保証する役割があります。

予算対応の連続性
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予算対応が上半連続かつ下半連続である場合、すなわち連続対応である場合には、消費者が直面する最適化問題を解く際にベルジュの最大値定理を利用できるため、様々な望ましい性質を導くことができます。

予算対応の0次同次性
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すべての商品の価格と所得が同じ割合で増加する場合には、その変化の前後において、予算制約を満たす消費ベクトルからなる集合、すなわち予算集合は変化しません。予算対応が満たす以上の性質を0次同次性と呼びます。関連してニュメレール(価値尺度財)についても解説します。

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