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上方位集合・下方位集合・無差別集合

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  • 消費者の選好関係が与えられたとき、消費ベクトルを任意に選ぶと、そこから上方位集合、下方位集合、無差別集合などの消費集合の部分集合が定義されます。

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上方位集合

\(N\)種類の商品が存在する経済を想定した上で、消費者が直面する個々の選択肢を\(N\)次元ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{x}=\left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) \in \mathbb{R} ^{N}
\end{equation*}として表現します。ただし、このベクトル\(\boldsymbol{x}\)の第\(n\)成分\(x_{n}\)は商品\(n\)の消費量を表します。消費者が選択可能なすべてのベクトルからなる集合を消費集合\begin{equation*}X\subset \mathbb{R} ^{N}
\end{equation*}として表現します。

消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が与えられたとき、消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)以上に望ましい消費ベクトルからなる集合を、\begin{equation*}U\left( \boldsymbol{x}\right) =\left\{ y\in X\ |\ y\succsim \boldsymbol{x}\right\}
\end{equation*}と表記し、これを\(\boldsymbol{x}\)の上方位集合（upper contour set）や優位集合（superlevel set）などと呼びます。

選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する場合には、消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)の上方位集合を、\begin{equation*}U\left( \boldsymbol{x}\right) =\left\{ \boldsymbol{y}\in X\ |\ u\left(
\boldsymbol{y}\right) \geq u\left( \boldsymbol{x}\right) \right\}
\end{equation*}と表現することもできます。つまり、消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\)の上方位集合とは\(u\left( \boldsymbol{x}\right) \)以上の効用をもたらす消費ベクトルからなる集合です。

それぞれの消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、その上方位集合\(U\left( \boldsymbol{x}\right) \subset X\)を像として定める対応\begin{equation*}U:X\twoheadrightarrow X
\end{equation*}を上方位対応（upper contour correspondence）や優位対応（superlevel correspondence）などと呼びます。

例（上方位集合）
1財モデルにおいて、消費集合\(\mathbb{R} _{+}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在し、これは任意の\(x,y\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x\right) \geq u\left( y\right) \Leftrightarrow x\geq y
\end{equation*}を満たすものとします。つまり、これは「商品の消費量は多ければ多いほどよい」という選好を表しています。消費ベクトル\(x\in \mathbb{R} _{+}\)を任意に選んだとき、その上方位集合は、\begin{eqnarray*}U\left( x\right) &=&\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ u\left( y\right) \geq u\left( x\right) \right\} \quad \because
U\left( x\right) \text{の定義} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ y\geq x\right\} \quad \because u\text{の定義} \\
&=&[x,+\infty )
\end{eqnarray*}となります。

例（上方位集合）
2財モデルにおいて、消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)が、任意の消費ベクトル\(\left( x_{1},x_{2}\right) ,\left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)について、\begin{equation*}\left( x_{1},x_{2}\right) \succsim \left( y_{1},y_{2}\right) \Leftrightarrow
x_{1}>y_{1}\vee \left( x_{1}=y_{1}\wedge x_{2}\geq y_{2}\right)
\end{equation*}を満たすものとして定義されているものとします。つまり、この選好関係\(\succsim \)は「商品\(1\)の消費量がより多い消費ベクトルは無条件でより望ましく、商品\(1\)の消費量が等しい消費ベクトルどうしについては、商品\(2\)の消費量が多い方がより望ましい」という評価体系を反映しています。消費ベクトル\(\boldsymbol{x}=\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)を任意に選んだとき、その上方位集合\(U\left( \boldsymbol{x}\right) \)は以下のように図示されます。

図：上方位集合
図：上方位集合

 

下方位集合

消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が与えられたとき、消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)以下に望ましい消費ベクトルからなる集合を、\begin{equation*}L\left( \boldsymbol{x}\right) =\left\{ \boldsymbol{y}\in X\ |\ \boldsymbol{x}\succsim \boldsymbol{y}\right\}
\end{equation*}と表記し、これを\(\boldsymbol{x}\)の下方位集合（lower contour set）や劣位集合（sublevel set）などと呼びます。

選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する場合には、消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)の下方位集合を、\begin{equation*}L\left( \boldsymbol{x}\right) =\left\{ \boldsymbol{y}\in X\ |\ u\left(
\boldsymbol{x}\right) \geq u\left( \boldsymbol{y}\right) \right\}
\end{equation*}と表現することもできます。つまり、消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\)の下方位集合とは\(u\left( \boldsymbol{x}\right) \)以下の効用をもたらす消費ベクトルからなる集合です。

それぞれの消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、その下方位集合\(L\left( \boldsymbol{x}\right) \subset X\)を像として定める対応\begin{equation*}L:X\twoheadrightarrow X
\end{equation*}を下方位対応（lower contour correspondence）や劣位対応（sublevel correspondence）などと呼びます。

例（下方位集合）
1財モデルにおいて、消費集合\(\mathbb{R} _{+}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在し、これは任意の\(x,y\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x\right) \geq u\left( y\right) \Leftrightarrow x\geq y
\end{equation*}を満たすものとします。消費ベクトル\(x\in \mathbb{R} _{+}\)を任意に選んだとき、その下方位集合は、\begin{eqnarray*}L\left( x\right) &=&\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ u\left( x\right) \geq u\left( y\right) \right\} \quad \because
L\left( x\right) \text{の定義} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ x\geq y\right\} \quad \because u\text{の定義} \\
&=&\left[ 0,x\right] \end{eqnarray*}となります。

例（下方位集合）
2財モデルにおいて、消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)が、任意の消費ベクトル\(\left( x_{1},x_{2}\right) ,\left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)について、\begin{equation*}\left( x_{1},x_{2}\right) \succsim \left( y_{1},y_{2}\right) \Leftrightarrow
x_{1}>y_{1}\vee \left( x_{1}=y_{1}\wedge x_{2}\geq y_{2}\right)
\end{equation*}を満たすものとして定義されているものとします。消費ベクトル\(\boldsymbol{x}=\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)を任意に選んだとき、その下方位集合\(L\left( \boldsymbol{x}\right) \)は以下のように図示されます。

図：下方位集合
図：下方位集合

 

狭義上方位集合

消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が与えられたとき、消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)よりも望ましい消費ベクトルからなる集合を、\begin{equation*}U_{s}\left( \boldsymbol{x}\right) =\{\boldsymbol{y}\in X\ |\ \boldsymbol{y}\succ \boldsymbol{x}\}
\end{equation*}と表記し、これを\(\boldsymbol{x}\)の狭義上方位集合（strict upper contour set）や狭義優位集合（strict superlevel set）などと呼びます。

選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する場合には、消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)の狭義上方位集合を、\begin{equation*}U_{s}\left( \boldsymbol{x}\right) =\left\{ \boldsymbol{y}\in X\ |\ u\left(
\boldsymbol{y}\right) >u\left( \boldsymbol{x}\right) \right\}
\end{equation*}と表現することもできます。つまり、消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\)の狭義上方位集合とは\(u\left( \boldsymbol{x}\right) \)よりも大きい効用をもたらす消費ベクトルからなる集合です。

それぞれの消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、その狭義上方位集合\(U_{s}\left( \boldsymbol{x}\right) \subset X\)を像として定める対応\begin{equation*}U_{s}:X\twoheadrightarrow X
\end{equation*}を狭義上方位対応（strict upper contour correspondence）や狭義優位対応（strict superlevel correspondence）などと呼びます。

例（狭義上方位集合）
1財モデルにおいて、消費集合\(\mathbb{R} _{+}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在し、これは任意の\(x,y\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x\right) \geq u\left( y\right) \Leftrightarrow x\geq y
\end{equation*}を満たすものとします。消費ベクトル\(x\in \mathbb{R} _{+}\)を任意に選んだとき、その狭義上方位集合は、\begin{eqnarray*}U_{s}\left( x\right) &=&\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ u\left( y\right) >u\left( x\right) \right\} \quad \because
U_{s}\left( x\right) \text{の定義} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ y>x\right\} \quad \because u\text{の定義} \\
&=&\left( x,+\infty \right)
\end{eqnarray*}となります。

例（狭義上方位集合）
2財モデルにおいて、消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)が、任意の消費ベクトル\(\left( x_{1},x_{2}\right) ,\left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)について、\begin{equation*}\left( x_{1},x_{2}\right) \succsim \left( y_{1},y_{2}\right) \Leftrightarrow
x_{1}>y_{1}\vee \left( x_{1}=y_{1}\wedge x_{2}\geq y_{2}\right)
\end{equation*}を満たすものとして定義されているものとします。消費ベクトル\(\boldsymbol{x}=\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)を任意に選んだとき、その狭義上方位集合\(U_{s}\left( \boldsymbol{x}\right) \)は以下のように図示されます。

図：狭義上方位集合
図：狭義上方位集合

 

狭義下方位集合

消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が与えられたとき、消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)よりも望ましくない消費ベクトルからなる集合を、\begin{equation*}L_{s}\left( \boldsymbol{x}\right) =\{\boldsymbol{y}\in X\ |\ \boldsymbol{x}\succ \boldsymbol{y}\}
\end{equation*}と表記し、これを\(\boldsymbol{x}\)の狭義下方位集合（strict lower contour set）や狭義劣位集合（strict sublevel set）などと呼びます。

選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する場合には、消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)の狭義下方位集合を、\begin{equation*}L_{s}\left( \boldsymbol{x}\right) =\{\boldsymbol{y}\in X\ |\ u\left(
\boldsymbol{x}\right) >u\left( \boldsymbol{y}\right) \}
\end{equation*}と表現することもできます。つまり、消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\)の狭義下方位集合とは\(u\left( \boldsymbol{x}\right) \)よりも小さい効用をもたらす消費ベクトルからなる集合です。

それぞれの消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、その狭義下方位集合\(L_{s}\left( \boldsymbol{x}\right) \subset X\)を像として定める対応\begin{equation*}L_{s}:X\twoheadrightarrow X
\end{equation*}を狭義下方位対応（strict lower contour correspondence）や狭義劣位対応（strict sublevel correspondence）などと呼びます。

例（狭義下方位集合）
1財モデルにおいて、消費集合\(\mathbb{R} _{+}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在し、これは任意の\(x,y\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x\right) \geq u\left( y\right) \Leftrightarrow x\geq y
\end{equation*}を満たすものとします。消費ベクトル\(x\in \mathbb{R} _{+}\)を任意に選んだとき、その狭義下方位集合は、\begin{eqnarray*}L_{s}\left( x\right) &=&\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ u\left( x\right) >u\left( y\right) \right\} \quad \because
L_{s}\left( x\right) \text{の定義} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ x>y\right\} \quad \because u\text{の定義} \\
&=&[0,x)
\end{eqnarray*}となります。

例（狭義下方位集合）
2財モデルにおいて、消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)が、任意の消費ベクトル\(\left( x_{1},x_{2}\right) ,\left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)について、\begin{equation*}\left( x_{1},x_{2}\right) \succsim \left( y_{1},y_{2}\right) \Leftrightarrow
x_{1}>y_{1}\vee \left( x_{1}=y_{1}\wedge x_{2}\geq y_{2}\right)
\end{equation*}を満たすものとして定義されているものとします。消費ベクトル\(\boldsymbol{x}=\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)を任意に選んだとき、その狭義下方位集合\(L_{s}\left( \boldsymbol{x}\right) \)は以下のように図示されます。

図：狭義下方位集合
図：狭義下方位集合

 

無差別集合

費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が与えられたとき、消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)と無差別な消費ベクトルからなる集合を、\begin{equation*}I\left( \boldsymbol{x}\right) =\{\boldsymbol{y}\in X\ |\ \boldsymbol{y}\sim
\boldsymbol{x}\}
\end{equation*}と表記し、これを\(\boldsymbol{x}\)の無差別集合（indifference set）や等位集合（level set）などと呼びます。

選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する場合には、消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)の無差別集合を、\begin{equation*}I\left( \boldsymbol{x}\right) =\{\boldsymbol{y}\in X\ |\ u\left( \boldsymbol{y}\right) =u\left( \boldsymbol{x}\right) \}
\end{equation*}と表現することもできます。つまり、消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\)の無差別集合とは\(u\left( \boldsymbol{x}\right) \)と等しい効用をもたらす消費ベクトルからなる集合です。

それぞれの消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、その無差別集合\(I\left( \boldsymbol{x}\right) \subset X\)を像として定める対応\begin{equation*}I:X\twoheadrightarrow X
\end{equation*}を無差別対応（indifference correspondence）や等位対応（level correspondence）などと呼びます。

例（無差別集合）
1財モデルにおいて、消費集合\(\mathbb{R} _{+}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在し、これは任意の\(x,y\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x\right) \geq u\left( y\right) \Leftrightarrow x\geq y
\end{equation*}を満たすものとします。消費ベクトル\(x\in \mathbb{R} _{+}\)を任意に選んだとき、その無差別集合は、\begin{eqnarray*}I\left( x\right) &=&\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ u\left( x\right) =u\left( y\right) \right\} \quad \because I\left(
x\right) \text{の定義} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ x=y\right\} \quad \because u\text{の定義} \\
&=&\left\{ x\right\}
\end{eqnarray*}となります。

例（無差別集合）
2財モデルにおいて、消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)が、任意の消費ベクトル\(\left( x_{1},x_{2}\right) ,\left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)について、\begin{equation*}\left( x_{1},x_{2}\right) \succsim \left( y_{1},y_{2}\right) \Leftrightarrow
x_{1}>y_{1}\vee \left( x_{1}=y_{1}\wedge x_{2}\geq y_{2}\right)
\end{equation*}を満たすものとして定義されているものとします。消費ベクトル\(\boldsymbol{x}=\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)を任意に選んだとき、その無差別集合\(I\left( \boldsymbol{x}\right) \)は以下のように図示されます。

図：無差別集合
図：無差別集合

 

上方位集合・下方位集合・無差別集合の関係

消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\)を任意に選んだとき、その無差別集合\(I\left( \boldsymbol{x}\right) \)は上方位集合\(U\left( \boldsymbol{x}\right) \)と下方位集合\(L\left( \boldsymbol{x}\right) \)の共通部分と一致します。

命題（無差別集合の特徴づけ）
消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が与えられたとき、任意の消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)について、\begin{equation*}I\left( \boldsymbol{x}\right) =U\left( \boldsymbol{x}\right) \cap L\left(
\boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\)を任意に選んだとき、その狭義上方位集合\(U_{s}\left( \boldsymbol{x}\right) \)は上方位集合\(U\left( \boldsymbol{x}\right) \)と無差別集合\(I\left( \boldsymbol{x}\right) \)の差集合と一致します。また、狭義下方位集合\(L_{s}\left( \boldsymbol{x}\right) \)は下方位集合\(L\left( \boldsymbol{x}\right) \)と無差別集合\(I\left( \boldsymbol{x}\right) \)の差集合と一致します。

命題（狭義方位集合の特徴づけ）
消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が与えられたとき、任意の消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)について、\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ U_{s}\left( \boldsymbol{x}\right) &=&U\left( \boldsymbol{x}\right) \backslash I\left( \boldsymbol{x}\right) \\
\left( b\right) \ L_{s}\left( \boldsymbol{x}\right) &=&L\left( \boldsymbol{x}\right) \backslash I\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{eqnarray*}などが成り立つ。

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演習問題

問題（上方位集合・下方位集合・無差別集合）
2財モデルにおいて消費集合が\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)であるものとします。その上で、選好関係\(\succsim \)は任意の消費ベクトル\(\left( x_{1},x_{2}\right) ,\left(y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、以下の条件\begin{equation*}\left( x_{1},x_{2}\right) \succsim \left( y_{1},y_{2}\right) \Leftrightarrow
x_{1}\geq y_{1}-1
\end{equation*}を満たすものとして定義されています。以下の問いに答えてください。

  1. この選好関係\(\succsim \)は消費者のどのような選好を表しているでしょうか。説明してください。
  2. 消費ベクトル\(\left( 2,1\right) \)の上方位集合\(U\left( 2,1\right) \)を特定してください。
  3. 消費ベクトル\(\left( 2,1\right) \)の下方位集合\(L\left( 2,1\right) \)を特定してください。
  4. 消費ベクトル\(\left( 2,1\right) \)の無差別集合\(I\left( 2,1\right) \)を特定してください。
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問題（上方位集合・下方位集合・無差別集合）
2財モデルにおいて消費集合が\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)であるものとします。その上で、選好関係\(\succsim \)は任意の消費ベクトル\(\left( x_{1},x_{2}\right) ,\left(y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、以下の条件\begin{equation*}\left( x_{1},x_{2}\right) \succsim \left( y_{1},y_{2}\right) \Leftrightarrow
x_{1}\geq y_{1}-1\wedge x_{2}\leq y_{2}+1
\end{equation*}を満たすものとして定義されています。以下の問いに答えてください。

  1. この選好関係\(\succsim \)は消費者のどのような選好を表しているでしょうか。説明してください。
  2. 消費ベクトル\(\left( 2,1\right) \)の上方位集合\(U\left( 2,1\right) \)を特定してください。
  3. 消費ベクトル\(\left( 2,1\right) \)の下方位集合\(L\left( 2,1\right) \)を特定してください。
  4. 消費ベクトル\(\left( 2,1\right) \)の無差別集合\(I\left( 2,1\right) \)を特定してください。
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問題（上方位集合・下方位集合・無差別集合）
2財モデルにおいて消費集合が\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)であるものとします。その上で、選好関係\(\succsim \)は任意の消費ベクトル\(\left( x_{1},x_{2}\right) ,\left(y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、以下の条件\begin{equation*}\left( x_{1},x_{2}\right) \succsim \left( y_{1},y_{2}\right) \Leftrightarrow
\max \left\{ x_{1},x_{2}\right\} \geq \max \left\{ y_{1},y_{2}\right\}
\end{equation*}を満たすものとして定義されています。以下の問いに答えてください。

  1. この選好関係\(\succsim \)は消費者のどのような選好を表しているでしょうか。説明してください。
  2. 消費ベクトル\(\left( 2,1\right) \)の上方位集合\(U\left( 2,1\right) \)を特定してください。
  3. 消費ベクトル\(\left( 2,1\right) \)の下方位集合\(L\left( 2,1\right) \)を特定してください。
  4. 消費ベクトル\(\left( 2,1\right) \)の無差別集合\(I\left( 2,1\right) \)を特定してください。
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問題（消費集合の分割）
消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する場合、消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)を任意に選ぶと、\(X\)は\(U_{s}\left( \boldsymbol{x}\right) ,L_{s}\left( \boldsymbol{x}\right) ,I\left( \boldsymbol{x}\right) \)の3つの集合に分割されることを示してください。
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問題（消費集合の分割）
消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する場合、以下の集合族\begin{equation*}\left\{ I\left( \boldsymbol{x}\right) \ |\ \boldsymbol{x}\in X\right\}
\end{equation*}は\(X\)の分割であることを示してください。
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