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CONSUMER THEORY

上方位集合・下方位集合・無差別集合

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上方位集合と下方位集合

消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が与えられたとき、消費ベクトル\(x\in X\)に対して、\(x\)以上に望ましい消費ベクトルからなる集合を、\begin{equation*}U\left( x\right) =\left\{ y\in X\ |\ y\succsim x\right\}
\end{equation*}と表記し、これを\(x\)の上方位集合(upper contour set)や優位集合(superlevelset)などと呼びます。選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する場合には、上の定義を、\begin{equation*}U\left( x\right) =\left\{ y\in X\ |\ u\left( y\right) \succsim u\left(
x\right) \right\}
\end{equation*}と言い換え可能です。つまり、消費ベクトル\(x\)の上方位集合とは\(u\left( x\right) \)以上の効用をもたらす消費ベクトルからなる集合です。また、それぞれの消費ベクトル\(x\in X\)に対して、その上方位集合\(U\left( x\right) \subset X\)を像として定める対応\(U:X\twoheadrightarrow X\)を上方位対応(upper contourcorrespondence)や優位対応(superlevel correspondence)などと呼びます。

例(上方位集合)
1財モデルにおいて、消費集合\(\mathbb{R} _{+}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在し、これは任意の\(x,y\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x\right) \geq u\left( y\right) \Leftrightarrow x\geq y
\end{equation*}を満たすものとします。つまり、これは「商品の消費量は多ければ多いほどよい」という選好を表しています。消費ベクトル\(x\in \mathbb{R} _{+}\)を任意に選んだとき、その上方位集合は、\begin{eqnarray*}U\left( x\right) &=&\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ u\left( y\right) \geq u\left( x\right) \right\} \quad \because
U\left( x\right) \text{の定義} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ y\geq x\right\} \quad \because u\text{の定義} \\
&=&[x,+\infty )
\end{eqnarray*}となります。
例(上方位集合)
消費集合が\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)であるものとします。つまり、問題としているのは2種類の商品であり、それぞれの消費ベクトル\(x=\left(x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)について、その成分\(x_{i}\ \left( i=1,2\right) \)は非負の実数です。\(X\)上の選好関係\(\succsim \)を、任意の消費ベクトル\(x,y\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)について、\begin{equation*}\left( x_{1},x_{2}\right) \succsim \left( y_{1},y_{2}\right) \Leftrightarrow
x_{1}>y_{1}\vee \left( x_{1}=y_{1}\wedge x_{2}\geq y_{2}\right)
\end{equation*}を満たすものとして定義します。つまり、上の選好関係\(\succsim \)は「商品\(1\)の消費量がより多い消費ベクトルは無条件でより望ましく、商品\(1\)の消費量が等しい消費ベクトルどうしについては、商品\(2\)の消費量が多い方がより望ましい」という評価体系を反映しています。消費ベクトル\(x\in X\)を任意に選んだとき、その上方位集合\(U\left( x\right) \)は以下のように図示されます。
図:上方位集合
図:上方位集合

消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が与えられたとき、消費ベクトル\(x\in X\)に対して、\(x\)以下に望ましい消費ベクトルからなる集合を、\begin{equation*}L\left( x\right) =\left\{ y\in X\ |\ x\succsim y\right\}
\end{equation*}と表記し、これを\(x\)の下方位集合(lower contour set)や劣位集合(sublevel set)などと呼びます。選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する場合には、上の定義を、\begin{equation*}L\left( x\right) =\left\{ y\in X\ |\ u\left( x\right) \geq u\left( y\right)
\right\}
\end{equation*}と言い換え可能です。つまり、消費ベクトル\(x\)の下方位集合とは\(u\left( x\right) \)以下の効用をもたらす消費ベクトルからなる集合です。また、それぞれの消費ベクトル\(x\in X\)に対して、その下方位集合\(L\left( x\right) \subset X\)を像として定める対応\(L:X\twoheadrightarrow X\)を下方位対応(lower contourcorrespondence)や劣位対応(sublevel correspondence)などと呼びます。

例(下方位集合)
先と同様、消費集合\(\mathbb{R} _{+}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)は任意の\(x,y\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x\right) \geq u\left( y\right) \Leftrightarrow x\geq y
\end{equation*}を満たすものとします。消費ベクトル\(x\in \mathbb{R} _{+}\)を任意に選んだとき、その下方位集合は、\begin{eqnarray*}L\left( x\right) &=&\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ u\left( x\right) \geq u\left( y\right) \right\} \quad \because
U\left( x\right) \text{の定義} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ x\geq y\right\} \quad \because u\text{の定義} \\
&=&\left[ 0,x\right] \end{eqnarray*}となります。
例(下方位集合)
先と同様、消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)が任意の消費ベクトル\(x,y\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)について、\begin{equation*}\left( x_{1},x_{2}\right) \succsim \left( y_{1},y_{2}\right) \Leftrightarrow
x_{1}>y_{1}\vee \left( x_{1}=y_{1}\wedge x_{2}\geq y_{2}\right)
\end{equation*}を満たすものとします。消費ベクトル\(x\in X\)を任意に選んだとき、その下方位集合\(L\left(x\right) \)は以下のように図示されます。
図:下方位集合
図:下方位集合

 

狭義上方位集合と狭義下方位集合

消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)から狭義選好関係\(\succ \)を定義したとき、消費ベクトル\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}U_{s}\left( x\right) =\{y\in X\ |\ y\succ x\}
\end{equation*}と定義される\(X\)の部分集合を\(x\)の狭義上方位集合(strict upper contour set)や狭義優位集合(strictsuperlevel set)などと呼びます。選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する場合には、上の定義を、\begin{equation*}U_{s}\left( x\right) =\{y\in X\ |\ u\left( y\right) >u\left( x\right) \}
\end{equation*}と言い換え可能です。つまり、\(x\)の狭義上方位集合とは\(u\left( x\right) \)よりも大きい効用をもたらす消費ベクトルからなる集合です。また、それぞれの消費ベクトル\(x\in X\)に対して、その狭義下方位集合\(U_{s}\left( x\right) \subset X\)を像として定める対応\(U_{s}:X\twoheadrightarrow X\)を狭義上方位対応(strict upper contour correspondence)や狭義優位対応(strictsuperlevel correspondence)などと呼びます。

例(狭義上方位集合)
先と同様、消費集合\(\mathbb{R} _{+}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)は任意の\(x,y\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x\right) \geq u\left( y\right) \Leftrightarrow x\geq y
\end{equation*}を満たすものとします。消費ベクトル\(x\in \mathbb{R} _{+}\)を任意に選んだとき、その狭義上方位集合は、\begin{eqnarray*}U_{s}\left( x\right) &=&\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ u\left( y\right) >u\left( x\right) \right\} \quad \because
U_{s}\left( x\right) \text{の定義} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ y>x\right\} \quad \because u\text{の定義} \\
&=&\left( x,+\infty \right)
\end{eqnarray*}となります。
例(狭義上方位集合)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)が、任意の消費ベクトル\(x,y\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)について、\begin{equation*}\left( x_{1},x_{2}\right) \succ \left( y_{1},y_{2}\right) \Leftrightarrow
x_{1}>y_{1}\vee \left( x_{1}=y_{1}\wedge x_{2}>y_{2}\right)
\end{equation*}を満たすものとします。消費ベクトル\(x\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)を任意に選んだとき、その狭義上方位集合が以下のように図示されます。
図:狭義上方位集合
図:狭義上方位集合

消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)から狭義選好関係\(\succ \)を定義したとき、消費ベクトル\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}L_{s}\left( x\right) =\{y\in X\ |\ x\succ y\}
\end{equation*}と定義される\(X\)の部分集合を\(x\)の狭義下方位集合(strict lower contour set)や狭義劣位集合(strictsublevel set)などと呼びます。選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する場合には、上の定義を、\begin{equation*}L_{s}\left( x\right) =\{y\in X\ |\ u\left( x\right) >u\left( y\right) \}
\end{equation*}と言い換え可能です。つまり、\(x\)の狭義下方位集合とは\(u\left( x\right) \)よりも小さい効用をもたらす消費ベクトルからなる集合です。また、それぞれの消費ベクトル\(x\in X\)に対して、その狭義下方位集合\(L_{s}\left( x\right) \subset X\)を像として定める対応\(L_{s}:X\twoheadrightarrow X\)を狭義下方位対応(strict lower contour correspondence)や狭義劣位対応(strictsublevel correspondence)などと呼びます。

例(狭義下方位集合)
先と同様、消費集合\(\mathbb{R} _{+}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)は任意の\(x,y\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x\right) \geq u\left( y\right) \Leftrightarrow x\geq y
\end{equation*}を満たすものとします。消費ベクトル\(x\in \mathbb{R} _{+}\)を任意に選んだとき、その狭義上方位集合は、\begin{eqnarray*}L_{s}\left( x\right) &=&\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ u\left( x\right) >u\left( y\right) \right\} \quad \because
L_{s}\left( x\right) \text{の定義} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ x>y\right\} \quad \because u\text{の定義} \\
&=&[0,x)
\end{eqnarray*}となります。
例(狭義下方位集合)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)が、任意の消費ベクトル\(x,y\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)について、\begin{equation*}\left( x_{1},x_{2}\right) \succ \left( y_{1},y_{2}\right) \Leftrightarrow
x_{1}>y_{1}\vee \left( x_{1}=y_{1}\wedge x_{2}>y_{2}\right)
\end{equation*}を満たすものとします。消費ベクトル\(x\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)を任意に選んだとき、その狭義上方位集合が以下のように図示されます。
図:狭義下方位集合
図:狭義下方位集合

 

無差別集合

消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)から無差別関係\(\sim \)を定義したとき、消費ベクトル\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}I\left( x\right) =\{y\in X\ |\ y\sim x\}
\end{equation*}と定義される\(X\)の部分集合を\(x\)の無差別集合(indifference set)や等位集合(level set)などと呼びます。選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する場合には、上の定義を、\begin{equation*}I\left( x\right) =\{y\in X\ |\ u\left( y\right) =u\left( x\right) \}
\end{equation*}と表現することもできます。つまり、消費ベクトル\(x\)の無差別集合とは\(u\left( x\right) \)と等しい効用をもたらす消費ベクトルからなる集合です。また、それぞれの消費ベクトル\(x\in X\)に対して、その無差別集合\(I\left( x\right) \subset X\)を像として定める対応\(I:X\twoheadrightarrow X\)を無差別対応(indifference correspondence)や等位対応(level correspondence)などと呼びます。

例(無差別集合)
先と同様、消費集合\(\mathbb{R} _{+}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)は任意の\(x,y\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x\right) \geq u\left( y\right) \Leftrightarrow x\geq y
\end{equation*}を満たすものとします。消費ベクトル\(x\in \mathbb{R} _{+}\)を任意に選んだとき、その無差別集合は、\begin{eqnarray*}I\left( x\right) &=&\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ u\left( x\right) =u\left( y\right) \right\} \quad \because I\left(
x\right) \text{の定義} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ x=y\right\} \quad \because u\text{の定義} \\
&=&\left\{ x\right\}
\end{eqnarray*}となります。
例(無差別集合)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)が、任意の消費ベクトル\(x,y\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)について、\begin{equation*}\left( x_{1},x_{2}\right) \succsim \left( y_{1},y_{2}\right) \Leftrightarrow
x_{1}>y_{1}\vee \left( x_{1}=y_{1}\wedge x_{2}\geq y_{2}\right)
\end{equation*}を満たすものとします。消費ベクトル\(x\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)を任意に選んだとき、その無差別集合が以下のように図示されます。
図:無差別集合
図:無差別集合

 

上方位集合・下方位集合・無差別集合の関係

消費ベクトル\(x\)を任意に選んだとき、その無差別集合\(I\left( x\right) \)は上方位集合\(U\left( x\right) \)と下方位集合\(L\left( x\right) \)の共通部分と一致します。

命題(無差別集合の特徴づけ)
消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が与えられたとき、任意の消費ベクトル\(x\in X\)について、\begin{equation*}I\left( x\right) =U\left( x\right) \cap L\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ。
証明

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消費ベクトル\(x\)を任意に選んだとき、その狭義上方位集合\(U_{s}\left(x\right) \)は上方位集合\(U\left( x\right) \)と無差別集合\(I\left( x\right) \)の差集合と一致します。

命題(狭義上方位集合の特徴づけ)
消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が与えられたとき、任意の消費ベクトル\(x\in X\)について、\begin{equation*}U_{s}\left( x\right) =U\left( x\right) \backslash I\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ。
証明

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消費ベクトル\(x\)を任意に選んだとき、その狭義下方位集合\(L_{s}\left(x\right) \)は下方位集合\(L\left( x\right) \)と無差別集合\(I\left( x\right) \)の差集合と一致します。

命題(狭義下方位集合の特徴づけ)
消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が与えられたとき、任意の消費ベクトル\(x\in X\)について、\begin{equation*}L_{s}\left( x\right) =L\left( x\right) \backslash I\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ。
証明

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演習問題

問題(消費集合の分割)
消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する場合、消費集合\(x\in X\)を任意に選ぶと、\(X\)は\(U_{s}\left( x\right) ,L_{s}\left(x\right) ,I\left( x\right) \)の3つの集合に分割されることを示してください。
証明

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問題(消費集合の分割)
消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する場合、以下の集合族\begin{equation*}\left\{ I\left( x\right) \ |\ x\in X\right\}
\end{equation*}は\(X\)の分割であることを示してください。
証明

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次回は選好関係に関する完備性という仮定について解説します。

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関連知識

上方位集合

選好の連続性

ある選好関係のもとで任意の消費ベクトルに関する狭義の上方位集合と狭義の下方位集合がともに消費集合上で開集合である場合、その選好関係は連続性を満たすと言います。連続性の仮定のもとでは消費者の選好が連続的に変化することが保証されます。また、連続な効用関数によって表現される選好は連続性を満たします。

DISCUSSION

質問とコメント

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消費者理論