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上方位集合・下方位集合・無差別集合

〈　効用関数の定義と具体例
限界効用　〉
消費者の選好関係が与えられたとき、消費ベクトルを任意に選ぶと、そこから上方位集合、下方位集合、無差別集合などの消費集合の部分集合が定義されます。
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上方位集合

選好関係を用いると、2つの消費ベクトルのどちらがより望ましいかを比較できます。しかし、消費者理論では、ある1つの消費ベクトルを基準として、それよりも望ましいすべての消費ベクトルや、それよりも望ましくないすべての消費ベクトルをまとめて扱うことも重要です。そこで以下では、ある消費ベクトルを基準として消費集合を分類するために、上方位集合、下方位集合、狭義上方位集合、狭義下方位集合、無差別集合などの概念を導入します。これらの集合を用いることで、選好関係を集合として幾何学的に表現できるようになります。

\(N\)種類の商品が存在する経済を想定した上で、消費者が直面する個々の選択肢を\(N\)次元ベクトル\begin{equation*} \boldsymbol{x}=\left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) \in \mathbb{R} ^{N}
\end{equation*}として表現します。ただし、このベクトル\(\boldsymbol{x}\)の第\(n\)成分\(x_{n}\)は商品\(n\)の消費量を表します。消費者が選択可能なすべてのベクトルからなる集合を消費集合\begin{equation*} X\subset \mathbb{R} ^{N}
\end{equation*}として表現します。

消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が与えられたとき、消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)以上に望ましい消費ベクトルからなる集合を、\begin{equation*} U\left( \boldsymbol{x}\right) =\left\{ \boldsymbol{y}\in X\ |\ \boldsymbol{y}\succsim \boldsymbol{x}\right\}
\end{equation*}と表記し、これを\(\boldsymbol{x}\)の上方位集合（upper contour set）と呼びます。

選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する場合には、消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)の上方位集合は、\begin{equation*} U\left( \boldsymbol{x}\right) =\left\{ \boldsymbol{y}\in X\ |\ u\left(
\boldsymbol{y}\right) \geq u\left( \boldsymbol{x}\right) \right\}
\end{equation*}と一致します。これを\(\boldsymbol{x}\)の優位集合（superlevel set）と呼びます。以降では上方位集合と優位集合を同一視します。
それぞれの消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、その上方位集合\(U\left( \boldsymbol{x}\right) \subset X\)を像として定める対応\begin{equation*} U:X\twoheadrightarrow X
\end{equation*}を上方位対応（upper contour correspondence）や優位対応（superlevel correspondence）などと呼びます。

例（上方位集合）
1財モデルにおいて、消費集合\(\mathbb{R} _{+}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在し、これは任意の\(x,y\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*} u\left( x\right) \geq u\left( y\right) \Leftrightarrow x\geq y
\end{equation*}を満たすものとします。つまり、これは「商品の消費量は多ければ多いほどよい」という選好を表しています。消費ベクトル\(x\in \mathbb{R} _{+}\)を任意に選んだとき、その上方位集合は、\begin{eqnarray*} U\left( x\right) &=&\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ u\left( y\right) \geq u\left( x\right) \right\} \quad \because
U\left( x\right) \text{の定義} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ y\geq x\right\} \quad \because u\text{の定義} \\
&=&[x,+\infty )
\end{eqnarray*}となります。

例（上方位集合）
2財モデルにおいて、消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)が、任意の消費ベクトル\(\left( x_{1},x_{2}\right) ,\left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)について、\begin{equation*} \left( x_{1},x_{2}\right) \succsim \left( y_{1},y_{2}\right) \Leftrightarrow
x_{1}>y_{1}\vee \left( x_{1}=y_{1}\wedge x_{2}\geq y_{2}\right)
\end{equation*}を満たすものとして定義されているものとします。つまり、この選好関係\(\succsim \)は「商品\(1\)の消費量がより多い消費ベクトルは無条件でより望ましく、商品\(1\)の消費量が等しい消費ベクトルどうしについては、商品\(2\)の消費量が多い方がより望ましい」という評価体系を反映しています。消費ベクトル\(\boldsymbol{x}=\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)を任意に選んだとき、その上方位集合\(U\left( \boldsymbol{x}\right) \)は以下のように図示されます。

図：上方位集合
図：上方位集合

 

下方位集合

消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が与えられたとき、消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)以下に望ましい消費ベクトルからなる集合を、\begin{equation*} L\left( \boldsymbol{x}\right) =\left\{ \boldsymbol{y}\in X\ |\ \boldsymbol{x}\succsim \boldsymbol{y}\right\}
\end{equation*}と表記し、これを\(\boldsymbol{x}\)の下方位集合（lower contour set）と呼びます。

選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する場合には、消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)の下方位集合は、\begin{equation*} L\left( \boldsymbol{x}\right) =\left\{ \boldsymbol{y}\in X\ |\ u\left(
\boldsymbol{x}\right) \geq u\left( \boldsymbol{y}\right) \right\}
\end{equation*}と一致します。これを\(\boldsymbol{x}\)の劣位集合（sublevel set）と呼びます。以降では下方位集合と劣位集合を同一視します。
それぞれの消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、その下方位集合\(L\left( \boldsymbol{x}\right) \subset X\)を像として定める対応\begin{equation*} L:X\twoheadrightarrow X
\end{equation*}を下方位対応（lower contour correspondence）や劣位対応（sublevel correspondence）などと呼びます。

例（下方位集合）
1財モデルにおいて、消費集合\(\mathbb{R} _{+}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在し、これは任意の\(x,y\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*} u\left( x\right) \geq u\left( y\right) \Leftrightarrow x\geq y
\end{equation*}を満たすものとします。消費ベクトル\(x\in \mathbb{R} _{+}\)を任意に選んだとき、その下方位集合は、\begin{eqnarray*} L\left( x\right) &=&\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ u\left( x\right) \geq u\left( y\right) \right\} \quad \because
L\left( x\right) \text{の定義} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ x\geq y\right\} \quad \because u\text{の定義} \\
&=&\left[ 0,x\right] \end{eqnarray*}となります。

例（下方位集合）
2財モデルにおいて、消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)が、任意の消費ベクトル\(\left( x_{1},x_{2}\right) ,\left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)について、\begin{equation*} \left( x_{1},x_{2}\right) \succsim \left( y_{1},y_{2}\right) \Leftrightarrow
x_{1}>y_{1}\vee \left( x_{1}=y_{1}\wedge x_{2}\geq y_{2}\right)
\end{equation*}を満たすものとして定義されているものとします。消費ベクトル\(\boldsymbol{x}=\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)を任意に選んだとき、その下方位集合\(L\left( \boldsymbol{x}\right) \)は以下のように図示されます。

図：下方位集合
図：下方位集合

 

狭義上方位集合

消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が与えられたとき、消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)よりも望ましい消費ベクトルからなる集合を、\begin{equation*} U_{s}\left( \boldsymbol{x}\right) =\{\boldsymbol{y}\in X\ |\ \boldsymbol{y}\succ \boldsymbol{x}\}
\end{equation*}と表記し、これを\(\boldsymbol{x}\)の狭義上方位集合（strict upper contour set）と呼びます。
選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する場合には、消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)の狭義上方位集合は、\begin{equation*} U_{s}\left( \boldsymbol{x}\right) =\left\{ \boldsymbol{y}\in X\ |\ u\left(
\boldsymbol{y}\right) >u\left( \boldsymbol{x}\right) \right\}
\end{equation*}と一致します。これを\(\boldsymbol{x}\)の狭義優位集合（strict superlevel set）と呼びます。以降では狭義上方位集合と狭義優位集合を同一視します。
それぞれの消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、その狭義上方位集合\(U_{s}\left( \boldsymbol{x}\right) \subset X\)を像として定める対応\begin{equation*} U_{s}:X\twoheadrightarrow X
\end{equation*}を狭義上方位対応（strict upper contour correspondence）や狭義優位対応（strict superlevel
correspondence）などと呼びます。

例（狭義上方位集合）
1財モデルにおいて、消費集合\(\mathbb{R} _{+}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在し、これは任意の\(x,y\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*} u\left( x\right) \geq u\left( y\right) \Leftrightarrow x\geq y
\end{equation*}を満たすものとします。消費ベクトル\(x\in \mathbb{R} _{+}\)を任意に選んだとき、その狭義上方位集合は、\begin{eqnarray*} U_{s}\left( x\right) &=&\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ u\left( y\right) >u\left( x\right) \right\} \quad \because
U_{s}\left( x\right) \text{の定義} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ y>x\right\} \quad \because u\text{の定義} \\
&=&\left( x,+\infty \right)
\end{eqnarray*}となります。

例（狭義上方位集合）
2財モデルにおいて、消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)が、任意の消費ベクトル\(\left( x_{1},x_{2}\right) ,\left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)について、\begin{equation*} \left( x_{1},x_{2}\right) \succsim \left( y_{1},y_{2}\right) \Leftrightarrow
x_{1}>y_{1}\vee \left( x_{1}=y_{1}\wedge x_{2}\geq y_{2}\right)
\end{equation*}を満たすものとして定義されているものとします。消費ベクトル\(\boldsymbol{x}=\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)を任意に選んだとき、その狭義上方位集合\(U_{s}\left( \boldsymbol{x}\right) \)は以下のように図示されます。

図：狭義上方位集合
図：狭義上方位集合

 

狭義下方位集合

消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が与えられたとき、消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)よりも望ましくない消費ベクトルからなる集合を、\begin{equation*} L_{s}\left( \boldsymbol{x}\right) =\{\boldsymbol{y}\in X\ |\ \boldsymbol{x}\succ \boldsymbol{y}\}
\end{equation*}と表記し、これを\(\boldsymbol{x}\)の狭義下方位集合（strict lower contour set）と呼びます。
選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する場合には、消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)の狭義下方位集合は、\begin{equation*} L_{s}\left( \boldsymbol{x}\right) =\{\boldsymbol{y}\in X\ |\ u\left(
\boldsymbol{x}\right) >u\left( \boldsymbol{y}\right) \}
\end{equation*}と一致します。これを\(\boldsymbol{x}\)の狭義劣位集合（strict sublevel set）と呼びます。以降では狭義下方位集合と狭義劣位集合を同一視します。
それぞれの消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、その狭義下方位集合\(L_{s}\left( \boldsymbol{x}\right) \subset X\)を像として定める対応\begin{equation*} L_{s}:X\twoheadrightarrow X
\end{equation*}を狭義下方位対応（strict lower contour correspondence）や狭義劣位対応（strict sublevel correspondence）などと呼びます。

例（狭義下方位集合）
1財モデルにおいて、消費集合\(\mathbb{R} _{+}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在し、これは任意の\(x,y\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*} u\left( x\right) \geq u\left( y\right) \Leftrightarrow x\geq y
\end{equation*}を満たすものとします。消費ベクトル\(x\in \mathbb{R} _{+}\)を任意に選んだとき、その狭義下方位集合は、\begin{eqnarray*} L_{s}\left( x\right) &=&\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ u\left( x\right) >u\left( y\right) \right\} \quad \because
L_{s}\left( x\right) \text{の定義} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ x>y\right\} \quad \because u\text{の定義} \\
&=&[0,x)
\end{eqnarray*}となります。

例（狭義下方位集合）
2財モデルにおいて、消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)が、任意の消費ベクトル\(\left( x_{1},x_{2}\right) ,\left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)について、\begin{equation*} \left( x_{1},x_{2}\right) \succsim \left( y_{1},y_{2}\right) \Leftrightarrow
x_{1}>y_{1}\vee \left( x_{1}=y_{1}\wedge x_{2}\geq y_{2}\right)
\end{equation*}を満たすものとして定義されているものとします。消費ベクトル\(\boldsymbol{x}=\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)を任意に選んだとき、その狭義下方位集合\(L_{s}\left( \boldsymbol{x}\right) \)は以下のように図示されます。

図：狭義下方位集合
図：狭義下方位集合

 

無差別集合

費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が与えられたとき、消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)と無差別な消費ベクトルからなる集合を、\begin{equation*} I\left( \boldsymbol{x}\right) =\{\boldsymbol{y}\in X\ |\ \boldsymbol{y}\sim
\boldsymbol{x}\}
\end{equation*}と表記し、これを\(\boldsymbol{x}\)の無差別集合（indifference set）と呼びます。
選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する場合には、消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)の無差別集合は、\begin{equation*} I\left( \boldsymbol{x}\right) =\{\boldsymbol{y}\in X\ |\ u\left( \boldsymbol{y}\right) =u\left( \boldsymbol{x}\right) \}
\end{equation*}と一致します。これを\(\boldsymbol{x}\)の等位集合（level set）などと呼びます。以降では無差別集合と等位集合を同一視します。
それぞれの消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、その無差別集合\(I\left( \boldsymbol{x}\right) \subset X\)を像として定める対応\begin{equation*} I:X\twoheadrightarrow X
\end{equation*}を無差別対応（indifference correspondence）や等位対応（level correspondence）などと呼びます。

例（無差別集合）
1財モデルにおいて、消費集合\(\mathbb{R} _{+}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在し、これは任意の\(x,y\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*} u\left( x\right) \geq u\left( y\right) \Leftrightarrow x\geq y
\end{equation*}を満たすものとします。消費ベクトル\(x\in \mathbb{R} _{+}\)を任意に選んだとき、その無差別集合は、\begin{eqnarray*} I\left( x\right) &=&\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ u\left( x\right) =u\left( y\right) \right\} \quad \because I\left(
x\right) \text{の定義} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ x=y\right\} \quad \because u\text{の定義} \\
&=&\left\{ x\right\}
\end{eqnarray*}となります。

例（無差別集合）
2財モデルにおいて、消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)が、任意の消費ベクトル\(\left( x_{1},x_{2}\right) ,\left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)について、\begin{equation*} \left( x_{1},x_{2}\right) \succsim \left( y_{1},y_{2}\right) \Leftrightarrow
x_{1}>y_{1}\vee \left( x_{1}=y_{1}\wedge x_{2}\geq y_{2}\right)
\end{equation*}を満たすものとして定義されているものとします。消費ベクトル\(\boldsymbol{x}=\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)を任意に選んだとき、その無差別集合\(I\left( \boldsymbol{x}\right) \)は以下のように図示されます。

図：無差別集合
図：無差別集合

 

上方位集合・下方位集合・無差別集合の関係

消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\)を任意に選んだとき、その無差別集合\(I\left( \boldsymbol{x}\right) \)は上方位集合\(U\left( \boldsymbol{x}\right) \)と下方位集合\(L\left( \boldsymbol{x}\right) \)の共通部分と一致します。

命題（無差別集合の特徴づけ）
消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が与えられたとき、任意の消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)について、\begin{equation*} I\left( \boldsymbol{x}\right) =U\left( \boldsymbol{x}\right) \cap L\left(
\boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\)を任意に選んだとき、その狭義上方位集合\(U_{s}\left( \boldsymbol{x}\right) \)は上方位集合\(U\left( \boldsymbol{x}\right) \)と無差別集合\(I\left( \boldsymbol{x}\right) \)の差集合と一致します。また、狭義下方位集合\(L_{s}\left( \boldsymbol{x}\right) \)は下方位集合\(L\left( \boldsymbol{x}\right) \)と無差別集合\(I\left( \boldsymbol{x}\right) \)の差集合と一致します。

命題（狭義方位集合の特徴づけ）
消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が与えられたとき、任意の消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)について、\begin{eqnarray*} \left( a\right) \ U_{s}\left( \boldsymbol{x}\right) &=&U\left( \boldsymbol{x}\right) \backslash I\left( \boldsymbol{x}\right) \\
\left( b\right) \ L_{s}\left( \boldsymbol{x}\right) &=&L\left( \boldsymbol{x}\right) \backslash I\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{eqnarray*}などが成り立つ。

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演習問題

問題（上方位集合・下方位集合・無差別集合）
2財モデルにおいて消費集合が\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)であるものとします。その上で、選好関係\(\succsim \)は任意の消費ベクトル\(\left( x_{1},x_{2}\right) ,\left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、以下の条件\begin{equation*} \left( x_{1},x_{2}\right) \succsim \left( y_{1},y_{2}\right) \Leftrightarrow
x_{1}\geq y_{1}-1
\end{equation*}を満たすものとして定義されています。以下の問いに答えてください。

  1. この選好関係\(\succsim \)は消費者のどのような選好を表しているでしょうか。説明してください。
  2. 消費ベクトル\(\left( 2,1\right) \)の上方位集合\(U\left( 2,1\right) \)を特定してください。
  3. 消費ベクトル\(\left( 2,1\right) \)の下方位集合\(L\left( 2,1\right) \)を特定してください。
  4. 消費ベクトル\(\left( 2,1\right) \)の無差別集合\(I\left( 2,1\right) \)を特定してください。
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問題（上方位集合・下方位集合・無差別集合）
2財モデルにおいて消費集合が\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)であるものとします。その上で、選好関係\(\succsim \)は任意の消費ベクトル\(\left( x_{1},x_{2}\right) ,\left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、以下の条件\begin{equation*} \left( x_{1},x_{2}\right) \succsim \left( y_{1},y_{2}\right) \Leftrightarrow
x_{1}\geq y_{1}-1\wedge x_{2}\leq y_{2}+1
\end{equation*}を満たすものとして定義されています。以下の問いに答えてください。

  1. この選好関係\(\succsim \)は消費者のどのような選好を表しているでしょうか。説明してください。
  2. 消費ベクトル\(\left( 2,1\right) \)の上方位集合\(U\left( 2,1\right) \)を特定してください。
  3. 消費ベクトル\(\left( 2,1\right) \)の下方位集合\(L\left( 2,1\right) \)を特定してください。
  4. 消費ベクトル\(\left( 2,1\right) \)の無差別集合\(I\left( 2,1\right) \)を特定してください。
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問題（上方位集合・下方位集合・無差別集合）
2財モデルにおいて消費集合が\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)であるものとします。その上で、選好関係\(\succsim \)は任意の消費ベクトル\(\left( x_{1},x_{2}\right) ,\left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、以下の条件\begin{equation*} \left( x_{1},x_{2}\right) \succsim \left( y_{1},y_{2}\right) \Leftrightarrow
\max \left\{ x_{1},x_{2}\right\} \geq \max \left\{ y_{1},y_{2}\right\}
\end{equation*}を満たすものとして定義されています。以下の問いに答えてください。

  1. この選好関係\(\succsim \)は消費者のどのような選好を表しているでしょうか。説明してください。
  2. 消費ベクトル\(\left( 2,1\right) \)の上方位集合\(U\left( 2,1\right) \)を特定してください。
  3. 消費ベクトル\(\left( 2,1\right) \)の下方位集合\(L\left( 2,1\right) \)を特定してください。
  4. 消費ベクトル\(\left( 2,1\right) \)の無差別集合\(I\left( 2,1\right) \)を特定してください。
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問題（消費集合の分割）
消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する場合、消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)を任意に選ぶと、\(X\)は\(U_{s}\left( \boldsymbol{x}\right) ,L_{s}\left( \boldsymbol{x}\right) ,I\left( \boldsymbol{x}\right) \)の3つの集合に分割されることを示してください。
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問題（消費集合の分割）
消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する場合、以下の集合族\begin{equation*} \left\{ I\left( \boldsymbol{x}\right) \ |\ \boldsymbol{x}\in X\right\}
\end{equation*}は\(X\)の分割であることを示してください。
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