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消費者理論

上方位集合・下方位集合・無差別集合

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限界効用

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上方位集合と下方位集合

消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が与えられたとき、消費ベクトル\(x\in X\)以上に望ましい消費ベクトルからなる集合を、\begin{equation*}U\left( x\right) =\left\{ y\in X\ |\ y\succsim x\right\}
\end{equation*}と表記し、これを\(x\)の上方位集合(upper contour set)や優位集合(superlevel set)などと呼びます。

選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する場合には、消費ベクトル\(x\in X\)の上方位集合を、\begin{equation*}U\left( x\right) =\left\{ y\in X\ |\ u\left( y\right) \geq u\left( x\right)
\right\}
\end{equation*}と表現することもできます。つまり、消費ベクトル\(x\)の上方位集合とは\(u\left( x\right) \)以上の効用をもたらす消費ベクトルからなる集合です。

それぞれの消費ベクトル\(x\in X\)に対して、その上方位集合\(U\left( x\right) \subset X\)を像として定める対応\begin{equation*}U:X\twoheadrightarrow X
\end{equation*}を上方位対応(upper contour correspondence)や優位対応(superlevel correspondence)などと呼びます。

例(上方位集合)
1財モデルにおいて、消費集合\(\mathbb{R} _{+}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在し、これは任意の\(x,y\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x\right) \geq u\left( y\right) \Leftrightarrow x\geq y
\end{equation*}を満たすものとします。つまり、これは「商品の消費量は多ければ多いほどよい」という選好を表しています。消費ベクトル\(x\in \mathbb{R} _{+}\)を任意に選んだとき、その上方位集合は、\begin{eqnarray*}U\left( x\right) &=&\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ u\left( y\right) \geq u\left( x\right) \right\} \quad \because
U\left( x\right) \text{の定義} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ y\geq x\right\} \quad \because u\text{の定義} \\
&=&[x,+\infty )
\end{eqnarray*}となります。

例(上方位集合)
2財モデルにおいて、消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)が、任意の消費ベクトル\(\left( x_{1},x_{2}\right) ,\left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)について、\begin{equation*}\left( x_{1},x_{2}\right) \succsim \left( y_{1},y_{2}\right) \Leftrightarrow
x_{1}>y_{1}\vee \left( x_{1}=y_{1}\wedge x_{2}\geq y_{2}\right)
\end{equation*}を満たすものとして定義されているものとします。つまり、この選好関係\(\succsim \)は「商品\(1\)の消費量がより多い消費ベクトルは無条件でより望ましく、商品\(1\)の消費量が等しい消費ベクトルどうしについては、商品\(2\)の消費量が多い方がより望ましい」という評価体系を反映しています。消費ベクトル\(x=\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)を任意に選んだとき、その上方位集合\(U\left( x\right) \)は以下のように図示されます。

図:上方位集合
図:上方位集合

消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が与えられたとき、消費ベクトル\(x\in X\)以下に望ましい消費ベクトルからなる集合を、\begin{equation*}L\left( x\right) =\left\{ y\in X\ |\ x\succsim y\right\}
\end{equation*}と表記し、これを\(x\)の下方位集合(lower contour set)や劣位集合(sublevel set)などと呼びます。

選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する場合には、消費ベクトル\(x\in X\)の下方位集合を、\begin{equation*}L\left( x\right) =\left\{ y\in X\ |\ u\left( x\right) \geq u\left( y\right)
\right\}
\end{equation*}と表現することもできます。つまり、消費ベクトル\(x\)の下方位集合とは\(u\left( x\right) \)以下の効用をもたらす消費ベクトルからなる集合です。

それぞれの消費ベクトル\(x\in X\)に対して、その下方位集合\(L\left( x\right) \subset X\)を像として定める対応\begin{equation*}L:X\twoheadrightarrow X
\end{equation*}を下方位対応(lower contour correspondence)や劣位対応(sublevel correspondence)などと呼びます。

例(下方位集合)
1財モデルにおいて、消費集合\(\mathbb{R} _{+}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在し、これは任意の\(x,y\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x\right) \geq u\left( y\right) \Leftrightarrow x\geq y
\end{equation*}を満たすものとします。消費ベクトル\(x\in \mathbb{R} _{+}\)を任意に選んだとき、その下方位集合は、\begin{eqnarray*}L\left( x\right) &=&\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ u\left( x\right) \geq u\left( y\right) \right\} \quad \because
L\left( x\right) \text{の定義} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ x\geq y\right\} \quad \because u\text{の定義} \\
&=&\left[ 0,x\right] \end{eqnarray*}となります。

例(下方位集合)
2財モデルにおいて、消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)が、任意の消費ベクトル\(\left( x_{1},x_{2}\right) ,\left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)について、\begin{equation*}\left( x_{1},x_{2}\right) \succsim \left( y_{1},y_{2}\right) \Leftrightarrow
x_{1}>y_{1}\vee \left( x_{1}=y_{1}\wedge x_{2}\geq y_{2}\right)
\end{equation*}を満たすものとして定義されているものとします。消費ベクトル\(x=\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)を任意に選んだとき、その下方位集合\(L\left( x\right) \)は以下のように図示されます。

図:下方位集合
図:下方位集合

 

狭義上方位集合と狭義下方位集合

消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が与えられたとき、消費ベクトル\(x\in X\)よりも望ましい消費ベクトルからなる集合を、\begin{equation*}U_{s}\left( x\right) =\{y\in X\ |\ y\succ x\}
\end{equation*}と表記し、これを\(x\)の狭義上方位集合(strict upper contour set)や狭義優位集合(strict superlevel set)などと呼びます。

選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する場合には、消費ベクトル\(x\in X\)の狭義上方位集合を、\begin{equation*}U_{s}\left( x\right) =\left\{ y\in X\ |\ u\left( y\right) >u\left( x\right)
\right\}
\end{equation*}と表現することもできます。つまり、消費ベクトル\(x\)の狭義上方位集合とは\(u\left( x\right) \)よりも大きい効用をもたらす消費ベクトルからなる集合です。

それぞれの消費ベクトル\(x\in X\)に対して、その狭義上方位集合\(U_{s}\left(x\right) \subset X\)を像として定める対応\begin{equation*}U_{s}:X\twoheadrightarrow X
\end{equation*}を狭義上方位対応(strict upper contour correspondence)や狭義優位対応(strict superlevel correspondence)などと呼びます。

例(狭義上方位集合)
1財モデルにおいて、消費集合\(\mathbb{R} _{+}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在し、これは任意の\(x,y\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x\right) \geq u\left( y\right) \Leftrightarrow x\geq y
\end{equation*}を満たすものとします。消費ベクトル\(x\in \mathbb{R} _{+}\)を任意に選んだとき、その狭義上方位集合は、\begin{eqnarray*}U_{s}\left( x\right) &=&\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ u\left( y\right) >u\left( x\right) \right\} \quad \because
U_{s}\left( x\right) \text{の定義} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ y>x\right\} \quad \because u\text{の定義} \\
&=&\left( x,+\infty \right)
\end{eqnarray*}となります。

例(狭義上方位集合)
2財モデルにおいて、消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)が、任意の消費ベクトル\(\left( x_{1},x_{2}\right) ,\left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)について、\begin{equation*}\left( x_{1},x_{2}\right) \succsim \left( y_{1},y_{2}\right) \Leftrightarrow
x_{1}>y_{1}\vee \left( x_{1}=y_{1}\wedge x_{2}\geq y_{2}\right)
\end{equation*}を満たすものとして定義されているものとします。消費ベクトル\(x=\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)を任意に選んだとき、その狭義上方位集合\(U_{s}\left( x\right) \)は以下のように図示されます。

図:狭義上方位集合
図:狭義上方位集合

消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が与えられたとき、消費ベクトル\(x\in X\)よりも望ましくない消費ベクトルからなる集合を、\begin{equation*}L_{s}\left( x\right) =\{y\in X\ |\ x\succ y\}
\end{equation*}と表記し、これを\(x\)の狭義下方位集合(strict lower contour set)や狭義劣位集合(strict sublevel set)などと呼びます。

選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する場合には、消費ベクトル\(x\in X\)の狭義下方位集合を、\begin{equation*}L_{s}\left( x\right) =\{y\in X\ |\ u\left( x\right) >u\left( y\right) \}
\end{equation*}と表現することもできます。つまり、消費ベクトル\(x\)の狭義下方位集合とは\(u\left( x\right) \)よりも小さい効用をもたらす消費ベクトルからなる集合です。

それぞれの消費ベクトル\(x\in X\)に対して、その狭義下方位集合\(L_{s}\left(x\right) \subset X\)を像として定める対応\begin{equation*}L_{s}:X\twoheadrightarrow X
\end{equation*}を狭義下方位対応(strict lower contour correspondence)や狭義劣位対応(strict sublevel correspondence)などと呼びます。

例(狭義下方位集合)
1財モデルにおいて、消費集合\(\mathbb{R} _{+}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在し、これは任意の\(x,y\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x\right) \geq u\left( y\right) \Leftrightarrow x\geq y
\end{equation*}を満たすものとします。消費ベクトル\(x\in \mathbb{R} _{+}\)を任意に選んだとき、その狭義下方位集合は、\begin{eqnarray*}L_{s}\left( x\right) &=&\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ u\left( x\right) >u\left( y\right) \right\} \quad \because
L_{s}\left( x\right) \text{の定義} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ x>y\right\} \quad \because u\text{の定義} \\
&=&[0,x)
\end{eqnarray*}となります。

例(狭義下方位集合)
2財モデルにおいて、消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)が、任意の消費ベクトル\(\left( x_{1},x_{2}\right) ,\left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)について、\begin{equation*}\left( x_{1},x_{2}\right) \succsim \left( y_{1},y_{2}\right) \Leftrightarrow
x_{1}>y_{1}\vee \left( x_{1}=y_{1}\wedge x_{2}\geq y_{2}\right)
\end{equation*}を満たすものとして定義されているものとします。消費ベクトル\(x=\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)を任意に選んだとき、その狭義下方位集合\(L_{s}\left( x\right) \)は以下のように図示されます。

図:狭義下方位集合
図:狭義下方位集合

 

無差別集合

費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が与えられたとき、消費ベクトル\(x\in X\)と無差別な消費ベクトルからなる集合を、\begin{equation*}I\left( x\right) =\{y\in X\ |\ y\sim x\}
\end{equation*}と表記し、これを\(x\)の無差別集合(indifference set)や等位集合(level set)などと呼びます。

選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する場合には、消費ベクトル\(x\in X\)の無差別集合を、\begin{equation*}I\left( x\right) =\{y\in X\ |\ u\left( y\right) =u\left( x\right) \}
\end{equation*}と表現することもできます。つまり、消費ベクトル\(x\)の無差別集合とは\(u\left( x\right) \)と等しい効用をもたらす消費ベクトルからなる集合です。

それぞれの消費ベクトル\(x\in X\)に対して、その無差別集合\(I\left( x\right) \subset X\)を像として定める対応\begin{equation*}I:X\twoheadrightarrow X
\end{equation*}を無差別対応(indifference correspondence)や等位対応(level correspondence)などと呼びます。

例(無差別集合)
1財モデルにおいて、消費集合\(\mathbb{R} _{+}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在し、これは任意の\(x,y\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x\right) \geq u\left( y\right) \Leftrightarrow x\geq y
\end{equation*}を満たすものとします。消費ベクトル\(x\in \mathbb{R} _{+}\)を任意に選んだとき、その無差別集合は、\begin{eqnarray*}I\left( x\right) &=&\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ u\left( x\right) =u\left( y\right) \right\} \quad \because I\left(
x\right) \text{の定義} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ x=y\right\} \quad \because u\text{の定義} \\
&=&\left\{ x\right\}
\end{eqnarray*}となります。

例(無差別集合)
2財モデルにおいて、消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)が、任意の消費ベクトル\(\left( x_{1},x_{2}\right) ,\left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)について、\begin{equation*}\left( x_{1},x_{2}\right) \succsim \left( y_{1},y_{2}\right) \Leftrightarrow
x_{1}>y_{1}\vee \left( x_{1}=y_{1}\wedge x_{2}\geq y_{2}\right)
\end{equation*}を満たすものとして定義されているものとします。消費ベクトル\(x=\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)を任意に選んだとき、その無差別集合\(I\left( x\right) \)は以下のように図示されます。

図:無差別集合
図:無差別集合

 

上方位集合・下方位集合・無差別集合の関係

消費ベクトル\(x\)を任意に選んだとき、その無差別集合\(I\left( x\right) \)は上方位集合\(U\left( x\right) \)と下方位集合\(L\left( x\right) \)の共通部分と一致します。

命題(無差別集合の特徴づけ)
消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が与えられたとき、任意の消費ベクトル\(x\in X\)について、\begin{equation*}I\left( x\right) =U\left( x\right) \cap L\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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消費ベクトル\(x\)を任意に選んだとき、その狭義上方位集合\(U_{s}\left(x\right) \)は上方位集合\(U\left( x\right) \)と無差別集合\(I\left( x\right) \)の差集合と一致します。また、狭義下方位集合\(L_{s}\left( x\right) \)は下方位集合\(L\left( x\right) \)と無差別集合\(I\left( x\right) \)の差集合と一致します。

命題(狭義方位集合の特徴づけ)
消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が与えられたとき、任意の消費ベクトル\(x\in X\)について、\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ U_{s}\left( x\right) &=&U\left( x\right) \backslash
I\left( x\right) \\
\left( b\right) \ L_{s}\left( x\right) &=&L\left( x\right) \backslash
I\left( x\right)
\end{eqnarray*}などが成り立つ。

証明

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演習問題

問題(消費集合の分割)
消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する場合、消費集合\(x\in X\)を任意に選ぶと、\(X\)は\(U_{s}\left( x\right) ,L_{s}\left(x\right) ,I\left( x\right) \)の3つの集合に分割されることを示してください。
証明

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問題(消費集合の分割)
消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する場合、以下の集合族\begin{equation*}\left\{ I\left( x\right) \ |\ x\in X\right\}
\end{equation*}は\(X\)の分割であることを示してください。
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