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CONSUMER THEORY

補償需要の価格弾力性

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補償需要の価格弾力性

商品\(i\)の補償需要関数\(h_{i}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が与えられたとき、価格ベクトルと目標効用水準の組\(\left( \overline{p},\overline{v}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)における商品\(i\)の補償需要へ商品\(j\)の価格の代替効果を、\begin{equation*}\frac{h_{i}^{\ast }\left( \overline{p}_{1},\cdots ,\overline{p}_{j}+\Delta
p_{j},\cdots ,\overline{p}_{N},\overline{v}\right) -h_{i}^{\ast }\left(
\overline{p},\overline{v}\right) }{\Delta p_{j}}
\end{equation*}と定義しました。特に、\(h_{i}^{\ast }\)が点\(\left( \overline{p},\overline{v}\right) \)において商品\(j\)の価格\(p_{j}\)に関して偏微分可能である場合には、十分小さい\(\Delta p_{j}\)について、\begin{equation*}\frac{h_{i}^{\ast }\left( \overline{p}_{1},\cdots ,\overline{p}_{j}+\Delta
p_{j},\cdots ,\overline{p}_{N},\overline{v}\right) -h_{i}^{\ast }\left(
\overline{p},\overline{v}\right) }{\Delta p_{j}}\approx \frac{\partial
h_{i}^{\ast }\left( \overline{p},\overline{v}\right) }{\partial p_{j}}
\end{equation*}という近似関係が成立するため、\(\left( \overline{p},\overline{v}\right) \)における商品\(i\)の補償需要へ商品\(j\)の価格の代替効果を、偏微分係数\begin{equation*}\frac{\partial h_{i}^{\ast }\left( \overline{p},\overline{v}\right) }{\partial p_{j}}
\end{equation*}として定義しました。いずれにせよ、\(\left( \overline{p},\overline{v}\right) \)における商品\(i\)の補償需要への商品\(j\)の価格の代替効果とは、消費者による支出最小化を前提としたとき、\(\left( \overline{p},\overline{v}\right) \)を出発点に商品\(j\)の価格だけを変化させたときに発生する商品\(i\)の補償需要の変化を表す指標です。ただ、代替効果の水準は商品や所得の単位に依存してしまうという問題があります。つまり、同一の\(\left( \overline{p},\overline{v}\right) \)を所与とした場合においても、例えば、商品\(i\)の数量の単位として「トン」を採用する場合と「キログラム」を採用する場合とでは、代替効果の絶対的な水準が変わってしまいます。また、数量単位の異なる商品\(i,j\)の補償需要に対してある商品の価格の変化がもたらす影響の大きさ比較する場合、指標として代替効果を採用してしまうと、まともな比較ができません。所得の単位についても同様です。このような問題を解決するためには、商品や所得の単位に依存しない指標が要請されます。

商品\(i\)の補償需要関数\(h_{i}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が与えられたとき、価格ベクトルと目標効用水準の組\(\left( \overline{p},\overline{v}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)を出発点として商品\(j\)の価格だけを\(\Delta p_{j}\)だけ変化させると、それに応じて商品\(i\)の補償需要は\(h_{i}^{\ast }\left( \overline{p}_{1},\cdots ,\overline{p}_{j}+\Delta p_{j},\cdots ,\overline{p}_{N},\overline{v}\right) -h_{i}^{\ast }\left( \overline{p},\overline{v}\right) \)だけ変化します。価格の変化を変化率として表現すると、\begin{equation*}\frac{\Delta p_{j}}{\overline{p}_{j}}
\end{equation*}となり、商品\(i\)の補償需要の変化を変化率として表現すると、\begin{equation*}\frac{h_{i}^{\ast }\left( \overline{p}_{1},\cdots ,\overline{p}_{j}+\Delta
p_{j},\cdots ,\overline{p}_{N},\overline{v}\right) -h_{i}^{\ast }\left(
\overline{p},\overline{v}\right) }{h_{i}^{\ast }\left( \overline{p},\overline{v}\right) }
\end{equation*}となります。したがって、これらの比\begin{equation*}
\frac{\frac{h_{i}^{\ast }\left( \overline{p}_{1},\cdots ,\overline{p}_{j}+\Delta p_{j},\cdots ,\overline{p}_{N},\overline{v}\right) -h_{i}^{\ast
}\left( \overline{p},\overline{v}\right) }{h_{i}^{\ast }\left( \overline{p},\overline{v}\right) }}{\frac{\Delta p_{j}}{\overline{p}_{j}}}=\frac{h_{i}^{\ast }\left( \overline{p}_{1},\cdots ,\overline{p}_{j}+\Delta
p_{j},\cdots ,\overline{p}_{N},\overline{v}\right) -h_{i}^{\ast }\left(
\overline{p},\overline{v}\right) }{\Delta p_{j}}\cdot \frac{\overline{p}_{j}}{h_{i}^{\ast }\left( \overline{p},\overline{v}\right) }
\end{equation*}をとれば、これは、\(\left( \overline{p},\overline{v}\right) \)を出発点として商品\(j\)の価格を1パーセント変化させた場合に商品\(i\)の補償需要が何パーセント変化するかを表す指標になります。これは割合を用いて定義される指標であるため、商品や所得の単位に依存しません。そこで、これを\(\left( \overline{p},\overline{v}\right) \)における商品\(i\)の補償需要への商品\(j\)の価格の価格弾力性(price elasticity of the price of good \(j\) on thecompensated demand for \(i\) th good at \(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \))と呼び、\begin{equation*}\varepsilon _{ij}^{h}\left( \overline{p},\overline{v}\right) =\frac{h_{i}^{\ast }\left( \overline{p}_{1},\cdots ,\overline{p}_{j}+\Delta
p_{j},\cdots ,\overline{p}_{N},\overline{v}\right) -h_{i}^{\ast }\left(
\overline{p},\overline{v}\right) }{\Delta p_{j}}\cdot \frac{\overline{p}_{j}}{h_{i}^{\ast }\left( \overline{p},\overline{v}\right) }
\end{equation*}で表記します。特に、\(i=j\)の場合の価格弾力性を自己価格弾力性(own price elasticity)と呼び、\(i\not=j\)の場合の価格弾力性を交差価格弾力性(cross price elasticity)と呼びます。

多くの場合、商品の価格が上昇するとその商品の補償需要は減少するため、自己価格弾力性の値は負になります。そのような事情を踏まえた上で、\(\left( \overline{p},\overline{v}\right) \)における商品\(i\)の自己価格弾力性を、\begin{equation*}\varepsilon _{ii}^{h}\left( \overline{p},\overline{v}\right) =-\frac{h_{i}^{\ast }\left( \overline{p}_{1},\cdots ,\overline{p}_{j}+\Delta
p_{j},\cdots ,\overline{p}_{N},\overline{v}\right) -h_{i}^{\ast }\left(
\overline{p},\overline{v}\right) }{\Delta p_{i}}\cdot \frac{\overline{p}_{i}}{h_{i}^{\ast }\left( \overline{p},\overline{v}\right) }
\end{equation*}という形で負の記号を伴う形で定義する流儀もあります。

例(補償需要の価格弾力性)
2財モデルにおける補償需要関数\(h^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times U\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)はそれぞれの\(\left(p_{1},p_{2},v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times U\)に対して、\begin{equation*}h^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) =\left(
\begin{array}{c}
h_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) \\
h_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\left( \frac{p_{2}}{p_{1}}v\right) ^{\frac{1}{2}} \\
\left( \frac{p_{1}}{p_{2}}v\right) ^{\frac{1}{2}}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left( \overline{p}_{1},\overline{p}_{2},\overline{v}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times U\)を任意に選んだとき、商品1の補償需要の自己価格弾力性は、\begin{eqnarray*}\varepsilon _{11}^{h}\left( \overline{p}_{1},\overline{p}_{2},\overline{v}\right) &=&\frac{h_{1}^{\ast }\left( \overline{p}_{1}+\Delta p_{1},\overline{p}_{2},\overline{v}\right) -h_{1}^{\ast }\left( \overline{p}_{1},\overline{p}_{2},\overline{v}\right) }{\Delta p_{1}}\cdot \frac{\overline{p}_{1}}{h_{1}^{\ast }\left( \overline{p}_{1},\overline{p}_{2},\overline{v}\right) }\quad \because \text{弾力性の定義} \\
&=&\frac{1}{\Delta p_{1}}\left[ \left( \frac{\overline{p}_{2}}{\overline{p}_{1}+\Delta p_{1}}\overline{v}\right) ^{\frac{1}{2}}-\left( \frac{\overline{p}_{2}}{\overline{p}_{1}}\overline{v}\right) ^{\frac{1}{2}}\right] \cdot
\frac{\overline{p}_{1}}{\left( \frac{\overline{p}_{2}}{\overline{p}_{1}}\overline{v}\right) ^{\frac{1}{2}}}\quad \because h_{1}^{\ast }\text{の定義}
\end{eqnarray*}であり、商品1の補償需要の交差価格弾力性は、\begin{eqnarray*}
\varepsilon _{12}^{h}\left( \overline{p}_{1},\overline{p}_{2},\overline{v}\right) &=&\frac{h_{1}^{\ast }\left( \overline{p}_{1},\overline{p}_{2}+\Delta p_{2},\overline{v}\right) -h_{1}^{\ast }\left( \overline{p}_{1},\overline{p}_{2},\overline{v}\right) }{\Delta p_{2}}\cdot \frac{\overline{p}_{2}}{h_{1}^{\ast }\left( \overline{p}_{1},\overline{p}_{2},\overline{v}\right) }\quad \because \text{弾力性の定義} \\
&=&\frac{1}{\Delta p_{1}}\left[ \left( \frac{\overline{p}_{2}+\Delta p_{2}}{\overline{p}_{1}}\overline{v}\right) ^{\frac{1}{2}}-\left( \frac{\overline{p}_{2}}{\overline{p}_{1}}\overline{v}\right) ^{\frac{1}{2}}\right] \cdot \frac{\overline{p}_{1}}{\left( \frac{\overline{p}_{2}}{\overline{p}_{1}}\overline{v}\right) ^{\frac{1}{2}}}\quad \because h_{1}^{\ast }\text{の定義}
\end{eqnarray*}です。商品2の補償需要に関する弾力性についても同様に考えます。

 

微分による補償需要の価格弾力性の定義

繰り返しになりますが、商品\(i\)の補償需要関数\(h_{i}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が与えられたとき、価格ベクトルと目標効用水準の組\(\left( \overline{p},\overline{v}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)を任意に選ぶと、そこでの商品\(i\)の補償需要の商品\(j\)の価格の価格弾力性は、\begin{equation*}\varepsilon _{ij}^{h}\left( \overline{p},\overline{v}\right) =\frac{h_{i}^{\ast }\left( \overline{p}_{1},\cdots ,\overline{p}_{j}+\Delta
p_{j},\cdots ,\overline{p}_{N},\overline{v}\right) -h_{i}^{\ast }\left(
\overline{p},\overline{v}\right) }{\Delta p_{j}}\cdot \frac{\overline{p}_{j}}{h_{i}^{\ast }\left( \overline{p},\overline{v}\right) }
\end{equation*}と定義されますが、先に例を通じて確認したように、この値は商品\(j\)の価格\(p_{j}\)の変化量\(\Delta p_{j}\)に依存するため一意的に定まるとは限りません。このような問題を解決するために微分を用いて補償需要の価格弾力性を定義します。

商品\(i\)の補償需要関数\(h_{i}^{\ast }\)が点\(\left( \overline{p},\overline{v}\right) \)において商品\(j\)の価格\(p_{j}\)に関して偏微分可能である場合には十分小さい\(\Delta p_{j}\)について、\begin{equation*}h_{i}^{\ast }\left( \overline{p}_{1},\cdots ,\overline{p}_{j}+\Delta
p_{j},\cdots ,\overline{p}_{N},\overline{v}\right) \approx h_{i}^{\ast
}\left( \overline{p},\overline{v}\right) +\frac{\partial h_{i}^{\ast }\left(
\overline{p},\overline{v}\right) }{\partial p_{j}}\Delta p_{j}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{h_{i}^{\ast }\left( \overline{p}_{1},\cdots ,\overline{p}_{j}+\Delta
p_{j},\cdots ,\overline{p}_{N},\overline{v}\right) -h_{i}^{\ast }\left(
\overline{p},\overline{v}\right) }{\Delta p_{j}}\cdot \frac{\overline{p}_{j}}{h_{i}^{\ast }\left( \overline{p},\overline{v}\right) }\approx \frac{\partial h_{i}^{\ast }\left( \overline{p},\overline{v}\right) }{\partial
p_{j}}\cdot \frac{\overline{p}_{j}}{h_{i}^{\ast }\left( \overline{p},\overline{v}\right) }
\end{equation*}という近似関係が成立します。一般に、偏微分係数が存在する場合には1つの実数として定まるため、上の近似式の右辺の値が存在する場合には一意的に定まります。以上を踏まえた上で、以降では、\(\left( \overline{p},\overline{v}\right) \)における商品\(i\)の補償需要の商品\(j\)の価格の価格弾力性を、\begin{equation*}\varepsilon _{ij}^{h}\left( \overline{p},\overline{v}\right) =\frac{\partial
h_{i}^{\ast }\left( \overline{p},\overline{v}\right) }{\partial p_{j}}\cdot
\frac{\overline{p}_{j}}{h_{i}^{\ast }\left( \overline{p},\overline{v}\right)
}
\end{equation*}と定義します。

商品\(i\)の補償需要関数\(h_{i}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が定義域上において変数\(p_{j}\)に関して偏微分可能であるならば、それぞれの\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)に対して、そこでの商品\(i\)の補償需要への商品\(j\)の価格の価格弾力性\begin{equation*}\varepsilon _{ij}^{h}\left( p,v\right) =\frac{\partial h_{i}^{\ast }\left(
p,v\right) }{\partial p_{j}}\cdot \frac{p_{j}}{h_{i}^{\ast }\left(
p,v\right) }\in \mathbb{R} \end{equation*}を値として定める関数\(\varepsilon _{ij}^{h}:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\rightarrow \mathbb{R} \)が存在します。

例(補償需要の価格弾力性)
2財モデルにおける補償需要関数\(h^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times U\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)はそれぞれの\(\left(p_{1},p_{2},v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times U\)に対して、\begin{equation*}h^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) =\left(
\begin{array}{c}
h_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) \\
h_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\left( \frac{p_{2}}{p_{1}}v\right) ^{\frac{1}{2}} \\
\left( \frac{p_{1}}{p_{2}}v\right) ^{\frac{1}{2}}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。商品1の補償需要\(h_{1}^{\ast }\)は\(p_{1}\)に関して偏微分可能であるため、それぞれの\(\left( p_{1},p_{2},v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times U\)に対して、そこでの商品1の補償需要の自己価格弾力性\begin{eqnarray*}\varepsilon _{11}^{h}\left( p_{1},p_{2},v\right) &=&\frac{\partial
h_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) }{\partial p_{1}}\cdot \frac{p_{1}}{h_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) }\quad \because \text{弾力性の定義} \\
&=&-\frac{1}{2p_{1}}\left( \frac{p_{2}}{p_{1}}v\right) ^{\frac{1}{2}}\cdot
\frac{p_{1}}{\left( \frac{p_{2}}{p_{1}}v\right) ^{\frac{1}{2}}}\quad
\because x_{1}^{\ast }\text{の定義} \\
&=&-\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}を定める関数\(\varepsilon _{11}^{h}:\mathbb{R} _{++}^{2}\times U\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。また、\(h_{1}^{\ast }\)は\(p_{2}\)に関しても偏微分可能であるため、それぞれの\(\left( p_{1},p_{2},v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times U\)に対して、そこでの商品1の補償需要の交差価格弾力性\begin{eqnarray*}\varepsilon _{12}^{h}\left( p_{1},p_{2},v\right) &=&\frac{\partial
h_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) }{\partial p_{2}}\cdot \frac{p_{2}}{h_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) }\quad \because \text{弾力性の定義} \\
&=&\frac{1}{2}\left( \frac{p_{2}}{p_{1}}v\right) ^{-\frac{1}{2}}\left( \frac{v}{p_{1}}\right) \cdot \frac{p_{2}}{\left( \frac{p_{2}}{p_{1}}v\right) ^{\frac{1}{2}}}\quad \because x_{1}^{\ast }\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}を定める関数\(\varepsilon _{12}^{h}:\mathbb{R} _{++}^{2}\times U\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。商品\(2\)の補償需要の価格弾力性についても同様に考えます。

 

演習問題

問題(補償需要の価格弾力性)
2財モデルにおける補償需要関数\(h^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times U\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)はそれぞれの\(\left(p_{1},p_{2},v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times U\)に対して、\begin{equation*}h^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) =\left(
\begin{array}{c}
h_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) \\
h_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\left( \frac{p_{2}}{p_{1}}\right) ^{\frac{1}{2}}v \\
\left( \frac{p_{1}}{p_{2}}\right) ^{\frac{1}{2}}v\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
U=\left\{ v\in u\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \ |\ v\geq u\left( 0\right) \right\}
\end{equation*}です。補償需要の価格弾力性を求めてください。

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