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CONSUMER THEORY

間接効用関数

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間接効用関数

消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)と予算対応\(B:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)が与えられたとき、価格ベクトルと所得のそれぞれの値\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して効用最大化問題\begin{equation*}\max\limits_{x\in B\left( p,w\right) }u\left( x\right)
\end{equation*}をそれぞれ構成できますが、\(\left( p,w\right) \)の値に応じて効用最大化問題そのものが変化するため、効用最大化問題の解や、さらには解において消費者が得る効用の水準もまた\(\left( p,w\right) \)に応じて変化します。そこで、効用最大化問題の解において消費者が得る効用を変数\(\left( p,w\right) \)に関する関数とみなした上で、それぞれの\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、そこでの効用最大化問題の解において消費者が得る効用\begin{equation*}v\left( p,w\right) =\max \left\{ u\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in B\left( p,w\right) \right\}
\end{equation*}を値として定める関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)を定義し、これを間接効用関数(indirect utility function)と呼びます。また、間接効用関数\(v\)が価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \)に対して定める値\(v\left( p,w\right) \)を間接効用(indirect utility)と呼びます。間接効用関数\(v\)が定義可能であるためには任意の\(\left( p,w\right) \)に対して\(v\left( p,w\right) \)が常に1つの実数として定まる必要があります。間接効用関数が存在するための条件については後述します。

効用関数\(u\)はそれぞれの消費ベクトル\(x\)に対して効用に相当する実数\(u\left( x\right) \)を割り当てることにより、消費ベクトルどうしの相対的な望ましさを実数の大小関係として表現します。つまり、効用関数\(u\)が定める効用\(u\left( x\right) \)は変数である消費ベクトル\(x\)から直接決まります。価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \)に直面した消費者は、予算制約\(x\in B\left( p,w\right) \)を満たす消費ベクトル\(x\)の中から効用\(u\left( x\right) \)を最大化するものを選択しますが、消費者がそのような消費ベクトルから得る効用こそが間接効用\(v\left( p,w\right) \)に他なりません。つまり、間接効用関数\(v\)が定める効用\(v\left( p,w\right) \)は変数である\(\left(p,w\right) \)から直接決まるのではなく「\(\left( p,w\right) \)に直面した消費者による効用最大化」というプロセスを間に挟む形で\(\left( p,w\right) \)から間接的に決まります。\(v\left( p,w\right) \)を「間接」効用と呼ぶ理由は以上の通りです。

価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)はそれに対して、\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題の解からなる集合\begin{equation*}X^{\ast }\left( p,w\right) =\left\{ x\in B\left( p,w\right) \ |\ \forall
y\in B\left( p,w\right) :u\left( x\right) \geq u\left( y\right) \right\}
\end{equation*}を定めます。仮に\(X^{\ast}\left( p,w\right) \)が空集合でなければ何らかの要素\(x^{\ast}\in X^{\ast }\left( p,w\right) \)を選ぶことができますが、\(x^{\ast }\)は\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題の解の1つであるため、間接効用関数\(v\)の定義より、\begin{equation*}v\left( p,w\right) =u\left( x^{\ast }\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。同様の議論は任意の\(\left( p,w\right) \)と\(X^{\ast }\left(p,w\right) \)の任意の要素\(x^{\ast }\)に関して成立するため、\(X^{\ast }\)が非空値をとる場合、間接効用関数\(v\)と需要対応\(X^{\ast }\)の間には、\begin{equation*}\forall \left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++},\ \forall x^{\ast }\in X^{\ast }\left( p,w\right) :v\left( p,w\right)
=u\left( x^{\ast }\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。特に、需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow X\)が存在する場合、上の関係は、\begin{equation*}\forall \left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}:v\left( p,w\right) =u\left( x^{\ast }\left( p,w\right) \right)
\end{equation*}と表現されます。つまり、間接効用関数\(v\)という概念は、効用関数\(u\)と需要対応\(X^{\ast }\)もしくは需要関数\(x^{\ast }\)から定義可能であるということです。

例(間接効用関数)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}x_{2}
\end{equation*}を定める場合、需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)が存在して、これはそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2},w\right)\in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \\
x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\frac{w}{2p_{1}} \\
\frac{w}{2p_{2}}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めます。したがって、間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left(p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{eqnarray*}v\left( p_{1},p_{2},w\right) &=&u\left( x_{1}^{\ast }\left(
p_{1},p_{2},w\right) ,x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \right) \quad
\because v\text{の定義} \\
&=&x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \cdot x_{2}^{\ast }\left(
p_{1},p_{2},w\right) \quad \because u\text{の定義} \\
&=&\frac{w}{2p_{1}}\cdot \frac{w}{2p_{2}}\quad \because x^{\ast }\text{の定義} \\
&=&\frac{w^{2}}{4p_{1}p_{2}}
\end{eqnarray*}を定めます。
例(間接効用関数)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}^{2}+x_{2}^{2}
\end{equation*}を定める場合、需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)が存在して、これはそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2},w\right)\in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\(p_{1}\geq p_{2}\)の場合には、\begin{equation*}x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \\
x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\frac{w}{p_{2}}\end{array}\right)
\end{equation*}を定め、\(p_{1}<p_{2}\)の場合には、\begin{equation*}x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \\
x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\frac{w}{p_{1}} \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}を定めます。したがって、間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left(p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\(p_{1}\geq p_{2}\)の場合には、\begin{eqnarray*}v\left( p_{1},p_{2},w\right) &=&u\left( x_{1}^{\ast }\left(
p_{1},p_{2},w\right) ,x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \right) \quad
\because v\text{の定義} \\
&=&\left[ x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \right] ^{2}+\left[
x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \right] ^{2}\quad \because u\text{の定義} \\
&=&0^{2}+\left( \frac{w}{p_{2}}\right) ^{2}\quad \because x^{\ast }\text{の定義} \\
&=&\frac{w^{2}}{p_{2}^{2}}
\end{eqnarray*}を定め、\(p_{1}<p_{2}\)の場合には、\begin{eqnarray*}v\left( p_{1},p_{2},w\right) &=&u\left( x_{1}^{\ast }\left(
p_{1},p_{2},w\right) ,x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \right) \quad
\because v\text{の定義} \\
&=&\left[ x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \right] ^{2}+\left[
x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \right] ^{2}\quad \because u\text{の定義} \\
&=&\left( \frac{w}{p_{1}}\right) ^{2}+0^{2}\quad \because x^{\ast }\text{の定義} \\
&=&\frac{w^{2}}{p_{1}^{2}}
\end{eqnarray*}を定めます。

 

間接効用関数が存在するための条件

繰り返しになりますが、間接効用関数\(v\)と需要対応\(X^{\ast }\)の間には、\begin{equation*}\forall \left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++},\ \forall x^{\ast }\in X^{\ast }\left( p,w\right) :v\left( p,w\right)
=u\left( x^{\ast }\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。特に、需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow X\)が存在する場合、上と同様の関係は、\begin{equation*}\forall \left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}:v\left( p,w\right) =u\left( x^{\ast }\left( p,w\right) \right)
\end{equation*}と表現されます。効用関数\(u\)が存在するとともに需要対応\(X^{\ast }\)が非空値をとる場合、それぞれの\(\left( p,w\right) \)に対してそこでの効用最大化問題の解\(x^{\ast }\in X^{\ast}\left( p,w\right) \)が存在するため、上の関係より、それを効用関数\(u\)にすれば間接効用\(v\left( p,w\right) \)が得られます。したがって、効用関数\(u\)が存在するとともに需要対応\(X^{\ast }\)が非空値をとるため条件はそのまま間接効用関数\(v\)が存在するための条件になります。

ドブリューの定理より、消費集合が\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)であり、\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と連続性を満たす場合には\(\succsim \)を表す効用関数\(u\)が存在します。さらに、同様の条件のもとで需要対応\(X^{\ast }\)は非空値をとります。したがって以上の条件のもとで間接効用関数が存在することが保証されます。加えて、以上の条件のもとではベルジュの最大値定理が利用可能であるため、同定理を利用することにより、間接効用関数が連続であることも保証できます。

命題(間接効用関数が存在するための条件)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と連続性を満たす場合には連続な間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する。
証明

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例(間接効用関数の連続性)
先に示したように、消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}x_{2}
\end{equation*}を定める場合、間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、これはそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}v\left( p_{1},p_{2},w\right) =\frac{w^{2}}{4p_{1}p_{2}}
\end{equation*}を定めますが、これは連続関数です(演習問題にします)。
例(間接効用関数の連続性)
先に示したように、消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}^{2}+x_{2}^{2}
\end{equation*}を定める場合、間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、これはそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}v\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\frac{w^{2}}{p_{2}^{2}} & \left( if\ p_{1}\geq p_{2}\right) \\
\frac{w^{2}}{p_{1}^{2}} & \left( if\ p_{1}<p_{2}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めますが、これは連続関数です(演習問題にします)。

 

演習問題

問題(間接効用関数の連続性)
本文中で示したように、消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}x_{2}
\end{equation*}を定める場合、間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、これはそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}v\left( p_{1},p_{2},w\right) =\frac{w^{2}}{4p_{1}p_{2}}
\end{equation*}を定めます。\(v\)が連続関数であることを示してください。
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問題(間接効用関数の連続性)
本文中で示したように、消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}^{2}+x_{2}^{2}
\end{equation*}を定める場合、間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、これはそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}v\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\frac{w^{2}}{p_{2}^{2}} & \left( if\ p_{1}\geq p_{2}\right) \\
\frac{w^{2}}{p_{1}^{2}} & \left( if\ p_{1}<p_{2}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。\(v\)が連続関数であることを示してください。
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次回は間接効用関数が単調関数であることを示します。

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