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CONSUMER THEORY

間接効用関数

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間接効用関数

消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)と予算対応\(B:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)が与えられたとき、価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して効用最大化問題\begin{equation*}\max\limits_{x\in B\left( p,w\right) }u\left( x\right)
\end{equation*}をそれぞれ構成できますが、\(\left( p,w\right) \)の値に応じて効用最大化問題そのものが変化するため、効用最大化問題の解や、さらには解において消費者が得る効用の水準もまた\(\left( p,w\right) \)に応じて変化します。そこで、効用最大化問題の解において消費者が得る効用を変数\(\left( p,w\right) \)に関する関数とみなした上で、それぞれの\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、そこでの効用最大化問題の解において消費者が得る効用\begin{equation*}v\left( p,w\right) =\max \left\{ u\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in B\left( p,w\right) \right\}
\end{equation*}を値として定める関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)を定義し、これを間接効用関数(indirect utilityfunction)と呼びます。また、間接効用関数\(v\)が価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \)に対して定める値\(v\left( p,w\right) \)を間接効用(indirect utility function)と呼びます。間接効用関数\(v\)が定義可能であるためには任意の\(\left( p,w\right) \)に対して\(v\left( p,w\right) \)が常に1つの実数として定まる必要があります。間接効用関数が存在するための条件については後述します。

効用関数\(u\)はそれぞれの消費ベクトル\(x\)に対して効用に相当する実数\(u\left( x\right) \)を割り当てることにより、消費ベクトルどうしの相対的な望ましさを実数の大小関係として表現します。つまり、効用関数\(u\)が定める効用\(u\left( x\right) \)は変数である消費ベクトル\(x\)から直接決まります。価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \)に直面した消費者は、予算制約\(x\in B\left( p,w\right) \)を満たす消費ベクトル\(x\)の中から効用\(u\left( x\right) \)を最大化するものを選択しますが、消費者がそのような消費ベクトルから得る効用こそが間接効用\(v\left( p,w\right) \)に他なりません。つまり、間接効用関数\(v\)が定める効用\(v\left( p,w\right) \)は変数である\(\left(p,w\right) \)から直接決まるのではなく「\(\left( p,w\right) \)に直面した消費者による効用最大化」というプロセスを間に挟む形で\(\left( p,w\right) \)から間接的に決まります。\(v\left( p,w\right) \)を「間接」効用と呼ぶ理由は以上の通りです。

価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)はそれに対して、\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題の解からなる集合\begin{equation*}X^{\ast }\left( p,w\right) =\left\{ x\in B\left( p,w\right) \ |\ \forall
y\in B\left( p,w\right) :u\left( x\right) \geq u\left( y\right) \right\}
\end{equation*}を定めます。仮に\(X^{\ast}\left( p,w\right) \)が空集合でなければ何らかの要素\(x^{\ast}\in X^{\ast }\left( p,w\right) \)を選ぶことができますが、\(x^{\ast }\)は\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題の解の1つであるため、間接効用関数\(v\)の定義より、\begin{equation*}v\left( p,w\right) =u\left( x^{\ast }\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。同様の議論は任意の\(\left( p,w\right) \)と\(X^{\ast }\left(p,w\right) \)の任意の要素\(x^{\ast }\)に関して成立するため、\(X^{\ast }\)が非空値をとる場合、間接効用関数\(v\)と需要対応\(X^{\ast }\)の間には、\begin{equation*}\forall \left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++},\ \forall x^{\ast }\in X^{\ast }\left( p,w\right) :v\left( p,w\right)
=u\left( x^{\ast }\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。特に、需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow X\)が存在する場合、上の関係は、\begin{equation*}\forall \left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}:v\left( p,w\right) =u\left( x^{\ast }\left( p,w\right) \right)
\end{equation*}と表現されます。つまり、間接効用関数\(v\)という概念は、効用関数\(u\)と需要対応\(X^{\ast }\)もしくは需要関数\(x^{\ast }\)から定義可能であるということです。

例(間接効用関数)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}x_{2}
\end{equation*}を定める場合、需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)が存在して、これはそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2},w\right)\in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \\
x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right)\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\frac{w}{2p_{1}} \\
\frac{w}{2p_{2}}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めます。したがって、間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left(p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{eqnarray*}v\left( p_{1},p_{2},w\right) &=&u\left( x_{1}^{\ast }\left(
p_{1},p_{2},w\right) ,x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \right) \quad
\because v\text{の定義} \\
&=&x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \cdot x_{2}^{\ast }\left(
p_{1},p_{2},w\right) \quad \because u\text{の定義} \\
&=&\frac{w}{2p_{1}}\cdot \frac{w}{2p_{2}}\quad \because x^{\ast }\text{の定義} \\
&=&\frac{w^{2}}{4p_{1}p_{2}}
\end{eqnarray*}を定めます。

 

間接効用関数が存在するための条件

繰り返しになりますが、間接効用関数\(v\)と需要対応\(X^{\ast }\)の間には、\begin{equation*}\forall \left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++},\ \forall x^{\ast }\in X^{\ast }\left( p,w\right) :v\left( p,w\right)
=u\left( x^{\ast }\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。特に、需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow X\)が存在する場合、上と同様の関係は、\begin{equation*}\forall \left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}:v\left( p,w\right) =u\left( x^{\ast }\left( p,w\right) \right)
\end{equation*}と表現されます。効用関数\(u\)が存在するとともに需要対応\(X^{\ast }\)が非空値をとる場合、それぞれの\(\left( p,w\right) \)に対してそこでの効用最大化問題の解\(x^{\ast }\in X^{\ast}\left( p,w\right) \)が存在するため、上の関係より、それを効用関数\(u\)にすれば間接効用\(v\left( p,w\right) \)が得られます。したがって、効用関数\(u\)が存在するとともに需要対応\(X^{\ast }\)が非空値をとるため条件はそのまま間接効用関数\(v\)が存在するための条件になります。

ドブリューの定理より、消費集合が\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)であり、\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と連続性を満たす場合には\(\succsim \)を表す効用関数\(u\)が存在します。さらに、同様の条件のもとで需要対応\(X^{\ast }\)は非空値をとります。したがって以上の条件のもとで間接効用関数が存在することが保証されます。加えて、以上の条件のもとではベルジュの最大値定理が利用可能であるため、同定理を利用することにより、間接効用関数が連続であることも保証できます。

命題(間接効用関数が存在するための条件)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と連続性を満たす場合には連続な間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する。
証明

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例(間接効用関数の連続性)
先に示したように、消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}x_{2}
\end{equation*}を定める場合、間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、これはそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}v\left( p_{1},p_{2},w\right) =\frac{w^{2}}{4p_{1}p_{2}}
\end{equation*}を定めますが、これは多変数の有理関数であるため連続です。

 

間接効用関数は価格ベクトルに関して単調減少

効用最大化問題に直面した消費者の間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するものとします。\(p<p^{\prime }\)を満たす価格ベクトル\(p,p^{\prime }\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)と所得\(w\in \mathbb{R} _{++}\)をそれぞれ任意に選びます。ただし、\(p<p^{\prime }\)が成り立つこととは、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :p_{n}\leq
p_{n}^{\prime } \\
&&\left( b\right) \ \exists n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\}
:p_{n}<p_{n}^{\prime }
\end{eqnarray*}がともに成り立つことを意味します。このとき、\begin{equation*}
v(p^{\prime },w)\leq v(p,w)
\end{equation*}が成り立つことが示されます。つまり、消費者が直面する所得を一定にした上で少なくとも1つの商品の価格を上昇させる場合、効用最大化問題の最適解において消費者が得る効用が増加することはありません。つまり、間接効用関数\(v\)は価格ベクトル\(p\)に関して単調減少(単調非増加)であるということです。

命題(間接効用関数は価格ベクトルに関して単調減少)
間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{equation*}\forall p,p^{\prime }\in \mathbb{R} _{++}^{N},\ \forall w\in \mathbb{R} _{++}:\left[ p<p^{\prime }\Rightarrow v\left( p^{\prime },w\right) \leq
v\left( p,w\right) \right] \end{equation*}を満たす。

証明

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例(間接効用関数は価格ベクトルに関して単調減少)
繰り返しになりますが、効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}x_{2}
\end{equation*}を定める場合、間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、これはそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation}v\left( p_{1},p_{2},w\right) =\frac{w^{2}}{4p_{1}p_{2}} \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。\(\left( p_{1},p_{2}\right)<\left( p_{1}^{\prime },p_{2}^{\prime }\right) \)を満たす価格ベクトル\(\left(p_{1},p_{2}\right) ,\left( p_{1}^{\prime },p_{2}^{\prime }\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)と所得\(w\in \mathbb{R} _{++}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}v\left( p_{1}^{\prime },p_{2}^{\prime },w\right) &=&\frac{w^{2}}{4p_{1}^{\prime }p_{2}^{\prime }}\quad \because \left( 1\right) \\
&<&\frac{w^{2}}{4p_{1}p_{2}}\quad \because \left( p_{1},p_{2}\right) <\left(
p_{1}^{\prime },p_{2}^{\prime }\right) \\
&=&v\left( p_{1},p_{2},w\right) \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(v\)は価格ベクトル\(\left( p_{1},p_{2}\right) \)に関して狭義単調減少です。この結果は先の命題の主張と整合的です。

 

間接効用関数は所得に関して単調増加

効用最大化問題に直面した消費者の間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するものとします。\(p\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)と\(w<w^{\prime }\)を満たす所得\(w,w^{\prime }\in \mathbb{R} _{++}\)をそれぞれ任意に選びます。このとき、\begin{equation*}v\left( p,w\right) \leq v\left( p,w^{\prime }\right)
\end{equation*}が成り立つことが示されます。つまり、消費者が直面する商品の価格を一定にした上で所得を増加させる場合、効用最大化問題の最適解において消費者が得る効用が減少することはありません。つまり、間接効用関数\(v\)は所得\(w\)に関して単調増加(単調非減少)であるということです。特に、消費者の選好が局所非飽和性を満たす場合には、間接効用関数\(v\)は所得\(w\)に関して狭義単調増加になります。

命題(間接効用関数は所得に関して単調増加)
間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{equation*}\forall p\in \mathbb{R} _{++}^{N},\ \forall w,w^{\prime }\in \mathbb{R} _{++}:\left[ w<w^{\prime }\Rightarrow v\left( p,w\right) \leq v\left(
p,w^{\prime }\right) \right] \end{equation*}を満たす。特に、消費者の選好が局所非飽和性を満たす場合には、\begin{equation*}
\forall p\in \mathbb{R} _{++}^{N},\ \forall w,w^{\prime }\in \mathbb{R} _{++}:\left[ w<w^{\prime }\Rightarrow v\left( p,w\right) <v\left(
p,w^{\prime }\right) \right] \end{equation*}が成り立つ。

証明

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例(間接効用関数は所得に関して単調増加)
繰り返しになりますが、効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}x_{2}
\end{equation*}を定める場合、間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、これはそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation}v\left( p_{1},p_{2},w\right) =\frac{w^{2}}{4p_{1}p_{2}} \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。価格ベクトル\(\left( p_{1},p_{2}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)と\(w<w^{\prime }\)を満たす所得\(w,w^{\prime }\in \mathbb{R} _{++}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}v\left( p_{1},p_{2},w\right) &=&\frac{w^{2}}{4p_{1}p_{2}}\quad \because
\left( 1\right) \\
&<&\frac{\left( w^{\prime }\right) ^{2}}{4p_{1}p_{2}}\quad \because
w<w^{\prime } \\
&=&v\left( p_{1},p_{2},w^{\prime }\right) \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(v\)は所得\(w\)に関して狭義単調増加です。この結果は先の命題の主張と整合的です。

 

間接効用関数の0次同次性

間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)と需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow X\)の間には、\begin{equation*}\forall \left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++},\ \forall x^{\ast }\in X^{\ast }\left( p,w\right) :v\left( p,w\right)
=u\left( x^{\ast }\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちますが、以上の関係と需要対応\(X^{\ast }\)の0次同次性を利用すると、間接効用関数\(v\)もまた0次同次であること、すなわち、\begin{equation*}\forall \left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++},\ \forall \lambda \in \mathbb{R} _{++}:v\left( \lambda p,\lambda w\right) =v\left( p,w\right)
\end{equation*}が導かれます。つまり、すべての商品の価格と所得を同じ割合\(\lambda \)で増加させる場合、その変化の前後において間接効用の水準は変化しません。

命題(間接効用関数の0次同次性)
消費集合が\(\mathbb{R} _{+}^{n}\)であるならば、間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)は0次同次性を満たす。
証明

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例(間接効用関数の0次同次性)
繰り返しになりますが、効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}x_{2}
\end{equation*}を定める場合、間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、これはそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation}v\left( p_{1},p_{2},w\right) =\frac{w^{2}}{4p_{1}p_{2}} \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。価格ベクトル\(\left( p_{1},p_{2}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)と所得\(w>0\)および\(\lambda >0\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}v\left( \lambda p_{1},\lambda p_{2},\lambda w\right) &=&\frac{\left(
\lambda w\right) ^{2}}{4\lambda p_{1}\lambda p_{2}} \\
&=&\frac{w^{2}}{4p_{1}p_{2}}\quad \because \lambda >0 \\
&=&v\left( p_{1},p_{2},w\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(v\)は0次同次です。この結果は先の命題の主張と整合的です。

 

間接効用関数の準凸性

間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)は準凸関数です。つまり、\(\left( p,w\right) ,\left( p^{\prime },w^{\prime}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)と\(\alpha \in \left[ 0,1\right] \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}v\left( \alpha \left( p,w\right) +\left( 1-\alpha \right) \left( p^{\prime
},w^{\prime }\right) \right) \leq \max \{v\left( p,w\right) ,v\left(
p^{\prime },w^{\prime }\right) \}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、価格ベクトルと所得の組である\(\left( p,w\right) \)と\(\left(p^{\prime },w^{\prime }\right) \)が任意に与えられたとき、それらを任意の割合\(\alpha \)で混ぜて得られる価格ベクトルと所得の組のもとで消費者が得る間接効用は、\(\left( p,w\right) \)のもとでの間接効用や\(\left( p^{\prime },w^{\prime }\right) \)のもとでの間接効用を超えません。

命題(間接効用関数の準凸性)
間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)は準凸関数である。
証明

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例(間接効用関数の準凸性)
繰り返しになりますが、効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}x_{2}
\end{equation*}を定める場合、間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、これはそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}v\left( p_{1},p_{2},w\right) =\frac{w^{2}}{4p_{1}p_{2}}
\end{equation*}を定めます。\(v\)は多変数の有理数関数であるため\(C^{2}\)級であるとともに、\begin{eqnarray*}\det
\begin{pmatrix}
0 & v_{p_{1}}^{\prime } \\
v_{p_{1}}^{\prime } & v_{p_{1}p_{1}}^{\prime \prime }\end{pmatrix}
&=&\det
\begin{pmatrix}
0 & -\frac{1}{4}\frac{w^{2}}{p_{1}^{2}p_{2}} \\
-\frac{1}{4}\frac{w^{2}}{p_{1}^{2}p_{2}} & \frac{1}{2}\frac{w^{2}}{p_{1}^{3}p_{2}}\end{pmatrix}=-\frac{1}{16}\frac{w^{4}}{p_{1}^{4}p_{2}^{2}}<0 \\
\det
\begin{pmatrix}
0 & v_{p_{1}}^{\prime } & v_{p_{2}}^{\prime } \\
v_{p_{1}}^{\prime } & v_{p_{1}p_{1}}^{\prime \prime } & v_{p_{1}p_{2}}^{\prime \prime } \\
v_{p_{2}}^{\prime } & v_{p_{2}p_{1}}^{\prime \prime } & v_{p_{2}p_{2}}^{\prime \prime }\end{pmatrix}
&=&\det
\begin{pmatrix}
0 & -\frac{1}{4}\frac{w^{2}}{p_{1}^{2}p_{2}} & -\frac{1}{4}\frac{w^{2}}{p_{1}p_{2}^{2}} \\
-\frac{1}{4}\frac{w^{2}}{p_{1}^{2}p_{2}} & \frac{1}{2}\frac{w^{2}}{p_{1}^{3}p_{2}} & \frac{w^{2}}{4p_{1}^{2}p_{2}^{2}} \\
-\frac{1}{4}\frac{w^{2}}{p_{1}p_{2}^{2}} & \frac{w^{2}}{4p_{1}^{2}p_{2}^{2}}
& \frac{w^{2}}{2p_{1}p_{2}^{3}}\end{pmatrix}=-\frac{1}{32}\frac{w^{6}}{p_{1}^{5}p_{2}^{5}}<0 \\
\det
\begin{pmatrix}
0 & v_{p_{1}}^{\prime } & v_{p_{2}}^{\prime } & v_{w}^{\prime } \\
v_{p_{1}}^{\prime } & v_{p_{1}p_{1}}^{\prime \prime } & v_{p_{1}p_{2}}^{\prime \prime } & v_{p_{1}w}^{\prime \prime } \\
v_{p_{2}}^{\prime } & v_{p_{2}p_{1}}^{\prime \prime } & v_{p_{2}p_{2}}^{\prime \prime } & v_{p_{2}w}^{\prime \prime } \\
v_{w}^{\prime } & v_{wp_{1}}^{\prime \prime } & v_{wp_{2}}^{\prime \prime }
& v_{ww}^{\prime \prime }\end{pmatrix}
&=&\det
\begin{pmatrix}
0 & -\frac{1}{4}\frac{w^{2}}{p_{1}^{2}p_{2}} & -\frac{1}{4}\frac{w^{2}}{p_{1}p_{2}^{2}} & \frac{w}{2p_{1}p_{2}} \\
-\frac{1}{4}\frac{w^{2}}{p_{1}^{2}p_{2}} & \frac{1}{2}\frac{w^{2}}{p_{1}^{3}p_{2}} & \frac{w^{2}}{4p_{1}^{2}p_{2}^{2}} & -\frac{w}{2p_{1}^{2}p_{2}} \\
-\frac{1}{4}\frac{w^{2}}{p_{1}p_{2}^{2}} & \frac{w^{2}}{4p_{1}^{2}p_{2}^{2}}
& \frac{w^{2}}{2p_{1}p_{2}^{3}} & -\frac{w}{2p_{1}p_{2}^{2}} \\
\frac{w}{2p_{1}p_{2}} & -\frac{w}{2p_{1}^{2}p_{2}} & -\frac{w}{2p_{1}p_{2}^{2}} & \frac{1}{2p_{1}p_{2}}\end{pmatrix}=0
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)は準凸関数です。

次回はロイの恒等式について解説します。

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コブ・ダグラス型効用関数のもとでの効用最大化
ワルラスの需要関数

価格ベクトルと所得のそれぞれの組に対して、そこでの効用最大化問題の解に相当する消費ベクトルを1つずつ定める関数をワルラスの需要関数と呼びます。ここでは需要関数が存在するための条件を紹介します。

ワルラスの法則
ワルラスの法則

消費者の選好が局所非飽和性を満たすとき、効用最大化問題の解において消費者は所得をすべて使い切ります。これをワルラスの法則と呼びます。

クーン・タッカーの定理
効用最大化問題の解法

クーン・タッカーの定理を用いて、効用最大化問題の解が満たす条件を明らかにします。さらに、ラグランジュの未定乗数法を使って効用最大化問題の解を求める方法を解説します。

効用最大化
効用最大化問題の内点解

効用最大化問題の解において消費者は所得をすべて使い切るとともに、すべての商品の消費量が正の実数であるとき、そのような解を内点解と呼びます。内点解において、任意の2つの商品の限界代替率と相対価格は一致します。

効用最大化
効用最大化問題の端点解

効用最大化問題に解において消費者が所得をすべて使い切るとともに、少なくとも1つの商品の需要がゼロである場合、そのような解を端点解と呼びます。端点解において限界代替率と相対価格は一致するとは限りません。

間接効用関数
ロイの恒等式

需要関数と間接効用関数の間にはロイの恒等式と呼ばれる関係が成立するため、間接効用関数が与えられれば、そこから需要関数を再現することができます。

効用最大化
所得の限界効用

効用最大化問題の解が与えられたとき、そこから所得を限界的に増やして何らかの商品の支出に振り分けたときに得られる効用の増分を所得の限界効用と呼びます。所得の限界効用は間接効用関数を所得について偏微分することによっても得られます。

効用最大化
所得効果

消費者が効用を最大化するという前提のもと、すべての商品の価格を一定にしたまま所得だけを変化させたときに生じる需要の変化を所得効果と呼びます。

効用最大化
需要の所得弾力性

消費者が効用を最大化するという前提のもと、すべての商品の価格を一定にしたまま所得を1パーセント変化させた場合に、ある商品の需要が何パーセント変化するかを表す指標を需要の所得弾力性と呼びます。

線型効用関数
線型効用関数のもとでの効用最大化

消費者の選好が線型効用関数によって表現されるとき、効用最大化問題には解が存在することが保証されるため、非空な需要対応や間接効用関数もまた存在します。

消費者理論