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CONSUMER THEORY

間接効用関数

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間接効用関数

消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)と予算対応\(B:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)が与えられたとき、価格ベクトルと所得のそれぞれの値\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して効用最大化問題\begin{equation*}
\max\limits_{x\in B\left( p,w\right) }u\left( x\right)
\end{equation*}をそれぞれ構成できますが、\(\left( p,w\right) \)の値に応じてこの効用最大化問題そのものが変化するため、効用最大化問題の解\(x^{\ast }\left( p,w\right) \)や、その解のもとで消費者が得る効用\(u\left( x^{\ast }\left( p,w\right) \right) \)もまた\(\left( p,w\right) \)に応じて変化します。そこで、最大化問題の解において消費者が得る効用を変数\(\left( p,w\right) \)に関する関数とみなした上で、それぞれの\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、そこでの効用最大化問題の解が与える効用の値\begin{equation*}
v\left( p,w\right) =\max \left\{ u\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in B\left( p,w\right) \right\}
\end{equation*}を像として定める関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)を定義し、これを間接効用関数(indirect utility function)と呼びます。

消費者の効用関数\(u\)はそれぞれの消費ベクトルに対して実数を割り当てることにより消費ベクトルどうしの相対的な望ましさを実数の大小関係として表現します。つまり、効用関数\(u\)が定める効用\(u\left( x\right) \)は消費ベクトル\(x\)に直接依存します。一方、効用最大化を考えたとき、消費者は与えられた価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \)のもとでの予算制約を満たす消費ベクトルの中から効用\(u\left( x\right) \)を最大化するものと仮定し、消費者がその消費ベクトルから得る効用を間接効用関数を用いて\(v\left( p,w\right) \)で表記します。つまり、間接効用\(v\)がそれぞれの\(\left( p,w\right) \)に対して定める効用\(v\left( p,w\right) \)は\(\left( p,w\right) \)から直接決まるのではなく「\(\left( p,w\right) \)に直面した消費者による効用最大化」というプロセスを間に挟む形で\(\left( p,w\right) \)から間接的に決定されます。以上が「間接」という表現が使われる理由です。

価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)はそれに対して\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題の解からなる集合\begin{equation*}
X^{\ast }\left( p,w\right) =\left\{ x\in B\left( p,w\right) \ |\ \forall
y\in B\left( p,w\right) :u\left( x\right) \geq u\left( y\right) \right\}
\end{equation*}を定めます。仮に\(X^{\ast }\left( p,w\right) \)が空集合でなければ何らかの要素\(x^{\ast }\left( p,w\right) \in X^{\ast }\left( p,w\right) \)を選ぶことができますが、\(x^{\ast }\left( p,w\right) \)は\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題の解の1つであるため、間接効用関数\(v\)の定義より、\begin{equation*}
v\left( p,w\right) =u\left( x^{\ast }\left( p,w\right) \right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。同様の議論は任意の\(\left( p,w\right) \)と任意の\(x^{\ast }\left( p,w\right) \)に関して成立するため、\(X^{\ast }\)が非空値をとる場合、間接効用関数\(v\)と需要対応\(X^{\ast }\)の間には、\begin{equation*}
\forall \left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++},\ \forall x^{\ast }\left( p,w\right) \in X^{\ast }\left( p,w\right)
:v\left( p,w\right) =u\left( x^{\ast }\left( p,w\right) \right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。特に、需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow X\)が存在する場合、上の関係を、\begin{equation*}
\forall \left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}:v\left( p,w\right) =u\left( x^{\ast }\left( p,w\right) \right)
\end{equation*}と言い換えることができます。

例(間接効用関数)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
u\left( x,y\right) =xy
\end{equation*}を定めるものとします。このとき需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)が存在し、これはそれぞれの\(\left( p_{x},p_{y},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation}
x^{\ast }\left( p_{x},p_{y},w\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{x}^{\ast }\left( p_{x},p_{y},w\right) \\
x_{y}^{\ast }\left( p_{x},p_{y},w\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\frac{w}{2p_{x}} \\
\frac{w}{2p_{y}}\end{array}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます(確認してください)。したがって、間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( p_{x},p_{y},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{eqnarray*}
v\left( p_{x},p_{y},w\right) &=&u\left( x_{x}^{\ast }\left(
p_{x},p_{y},w\right) ,x_{y}^{\ast }\left( p_{x},p_{y},w\right) \right) \quad
\because v\text{の定義} \\
&=&\frac{w}{2p_{x}}\cdot \frac{w}{2p_{y}}\quad \because u\text{の定義と}\left( 1\right) \\
&=&\frac{w^{2}}{4p_{x}p_{y}}
\end{eqnarray*}を定めます。つまり、\(\left( p_{x},p_{y},w\right) \)のもとでの効用最大化問題の解において消費者は効用\(\frac{w^{2}}{4p_{x}p_{y}}\)を得るということです。

 

間接効用関数が存在するための条件

繰り返しになりますが、間接効用関数\(v\)と需要対応\(X^{\ast }\)の間には、\begin{equation*}
\forall \left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++},\ \forall x^{\ast }\left( p,w\right) \in X^{\ast }\left( p,w\right)
:v\left( p,w\right) =u\left( x^{\ast }\left( p,w\right) \right)
\end{equation*}という関係が成り立ちますが、これは間接効用関数\(v\)が効用関数\(u\)と需要対応\(X^{\ast }\)から間接的に定義可能であることを意味します。つまり、効用関数\(u\)が存在するとともに、任意の\(\left( p,w\right) \)に対して\(X^{\ast }\left( p,w\right) \)が非空であることが保証される場合、その要素\(x^{\ast }\left( p,w\right) \in X^{\ast }\left( p,w\right) \)を任意に選んだ上で\(u\)に代入すれば\(v\left( p,w\right) \)が得られるということです。言い換えると、効用関数\(u\)が存在するとともに需要対応\(X^{\ast }\)が非空値をとるため条件はそのまま間接効用関数\(v\)が存在するための条件になるということです。

ドブリューの定理より、消費集合が\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)であり、\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と連続性を満たす場合には\(\succsim \)を表す効用関数\(u\)が存在します。さらに、同様の条件のもとで需要対応\(X^{\ast }\)は非空値をとります。したがって以上の条件のもとで間接効用関数が存在することが明らかになりました。

命題(間接効用関数の存在条件)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と連続性を満たす場合には間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する。
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特に、需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow X\)が存在する場合、先と同様の議論により、間接効用関数\(v\)と需要関数\(x^{\ast }\)の間には、\begin{equation}
\forall \left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}:v\left( p,w\right) =u\left( x^{\ast }\left( p,w\right) \right)
\quad \cdots (2)
\end{equation}という関係が成り立つことが示されます。この関係は、間接効用関数\(v\)は効用関数\(u\)と需要関数\(x^{\ast }\)から間接的に定義可能であることを意味します。つまり、効用関数\(u\)と需要関数\(x^{\ast }\)がともに存在する場合、\(\left( p,w\right) \)に対して\(x^{\ast }\)が定める消費ベクトル\(x^{\ast }\left( p,w\right) \)を\(u\)に代入すれば\(v\left( p,w\right) \)が得られるということです。

例(関節効用関数の存在条件)
先と同様、2財モデルにおいて消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するとともに、これはそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}x_{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(\succsim \)を表す効用関数\(u\)が存在する場合、\(\succsim \)は合理性を満たします。また、この効用関数\(u\)は連続ですが、連続な効用関数によって表される選好関係は連続性の仮定を満たします。したがって先の命題より間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するはずです。実際、先に求めたように\(v\)は存在し、これはそれぞれの\(\left( p_{x},p_{y},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}
v\left( p_{x},p_{y},w\right) =\frac{w^{2}}{4p_{x}p_{y}}
\end{equation*}を定めます。

 

間接効用関数の連続性

消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と連続性を満たす場合には間接効用関数\(v\)が存在することが明らかになりました。ただ、この条件のもとではベルジュの最大値定理が要求する条件もまた同時に満たされるため、同定理を利用することにより間接効用関数についてもう少し踏み込んだことが言えます。

具体的には、消費集合が\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)である場合、予算対応\(B\)は非空値かつコンパクト値をとるとともに連続対応になります。また、\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と連続性を満たす場合、ドブリューの定理より、\(\succsim \)を表現する連続な効用関数\(u\)が存在します。するとベルジュの最大値定理より、需要対応\(X^{\ast }\)は非空値かつコンパクト値をとる上半連続対応になるとともに、間接効用関数\(v\)が連続関数になります(証明は演習問題にします)。

命題(間接効用関数の連続性)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と連続性を満たす場合には連続な間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する。
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例(関節効用関数の連続性)
先と同様、2財モデルにおいて消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するとともに、これはそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}x_{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(\succsim \)を表す効用関数\(u\)が存在する場合、\(\succsim \)は合理性を満たします。また、この効用関数\(u\)は連続ですが、連続な効用関数によって表される選好関係は連続性の仮定を満たします。したがって上の命題より連続な間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するはずです。先に求めたように\(v\)は存在し、これはそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}
v\left( p_{1},p_{2},w\right) =\frac{w^{2}}{4p_{1}p_{2}}
\end{equation*}を定めますが、これは連続な関数です(演習問題にします)。

 

間接効用関数の単調性

間接効用関数\(v\)が与えられたとき、\(p<p^{\prime }\)を満たす価格ベクトル\(p,p^{\prime }\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)と所得\(w\in \mathbb{R} _{++}\)をそれぞれ任意に選びます。ただし、\(p<p^{\prime }\)が成り立つこととは、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :p_{n}\leq
p_{n}^{\prime } \\
&&\left( b\right) \ \exists n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\}
:p_{n}<p_{n}^{\prime }
\end{eqnarray*}がともに成り立つことを意味します。このとき、予算対応\(B\)の定義より、\begin{equation*}
B\left( p^{\prime },w\right) \subset B\left( p,w\right)
\end{equation*}が成り立つため、効用最大化問題の解集合について、\begin{equation*}
X^{\ast }\left( p^{\prime },w\right) \subset X^{\ast }\left( p,w\right)
\end{equation*}という関係が明らかに成り立ちます。したがって、\(v\)の定義より、\begin{equation*}
v\left( p,w\right) \geq v\left( p^{\prime },w\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、間接効用関数は、\begin{equation*}
\forall p,p^{\prime }\in \mathbb{R} _{++}^{N},\ \forall w\in \mathbb{R} _{++}:\left[ p<p^{\prime }\Rightarrow v(p^{\prime },w)\leq v(p,w)\right] \end{equation*}を満たしますが、これは\(v\)が\(p\)に関して単調非増加であることを意味します。つまり、消費者が与えられた予算制約のもとで効用を最大化する場合、所得を一定にした上で少なくとも1つの商品の価格を上昇させたとき、消費者が得る効用が増加することはありません。

命題(間接効用関数は価格ベクトルに関して単調非増加)
間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{equation*}
\forall p,p^{\prime }\in \mathbb{R} _{++}^{N},\ \forall w\in \mathbb{R} _{++}:\left[ p<p^{\prime }\Rightarrow v(p^{\prime },w)\leq v(p,w)\right] \end{equation*}を満たす。
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間接効用関数\(v\)が与えられたとき、\(w<w^{\prime }\)を満たす所得\(w,w^{\prime }\in \mathbb{R} _{++}\)と価格ベクトル\(p\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)をそれぞれ任意に選ぶと、予算対応\(B\)の定義より、\begin{equation*}
B\left( p,w\right) \subset B\left( p,w^{\prime }\right)
\end{equation*}が成り立つため、効用最大化問題の解集合について、\begin{equation*}
X^{\ast }\left( p,w\right) \subset X^{\ast }\left( p,w^{\prime }\right)
\end{equation*}という関係が明らかに成り立ちます。したがって、\(v\)の定義より、\begin{equation*}
v\left( p,w\right) \geq v\left( p,w^{\prime }\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、間接効用関数は、\begin{equation*}
\forall p\in \mathbb{R} _{++}^{N},\ \forall w,w^{\prime }\in \mathbb{R} _{++}:\left[ w<w^{\prime }\Rightarrow v(p,w)\leq v(p,w^{\prime })\right] \end{equation*}を満たしますが、これは\(v\)が\(w\)に関して単調非減少であることを意味します。つまり、消費者が与えられた予算制約のもとで効用を最大化する場合、すべての商品の価格を一定にした上で所得を増やしたとき、消費者が得る効用が減少することはありません。

命題(間接効用関数は所得に関して単調非減少)
間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{equation*}
\forall p\in \mathbb{R} _{++}^{N},\ \forall w,w^{\prime }\in \mathbb{R} _{++}:\left[ w<w^{\prime }\Rightarrow v(p,w)\leq v(p,w^{\prime })\right] \end{equation*}を満たす。
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間接効用関数\(v\)は所得\(w\)に関して単調非減少であることが明らかになりましたが、選好関係\(\succsim \)が局所非飽和性を満たす場合には、\(v\)は\(w\)に関して単調増加になります(演習問題にします)。つまり、消費者が与えられた予算制約のもとで効用を最大化する場合、すべての商品の価格を一定にした上で所得を増やしたとき、消費者が得る効用が必ず増加します。

命題(間接効用関数は所得に関して単調非減少)
選好関係\(\succsim \)が局所非飽和性を満たす場合、間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{equation*}
\forall p\in \mathbb{R} _{++}^{N},\ \forall w,w^{\prime }\in \mathbb{R} _{++}:\left[ w<w^{\prime }\Rightarrow v(p,w)<v(p,w^{\prime })\right] \end{equation*}を満たす。
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例(間接効用関数の単調性)
先と同様、2財モデルにおいて消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するとともに、これはそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}x_{2}
\end{equation*}を定めるものとします。この場合、連続な間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在し、これはそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}
v\left( p_{1},p_{2},w\right) =\frac{w^{2}}{4p_{1}p_{2}}
\end{equation*}を定めます。このとき、\begin{eqnarray*}
\frac{\partial v\left( p_{1},p_{2},w\right) }{\partial p_{1}} &=&-\frac{w^{2}}{4p_{1}^{2}p_{2}}<0 \\
\frac{\partial v\left( p_{1},p_{2},w\right) }{\partial p_{1}} &=&-\frac{w^{2}}{4p_{1}p_{2}^{2}}<0
\end{eqnarray*}となるため、\(v\)は\(p_{1}\)や\(p_{2}\)に関して狭義単調減少です。また、\begin{equation*}
\frac{\partial v\left( p_{1},p_{2},w\right) }{\partial w}=\frac{w}{2p_{1}p_{2}}>0
\end{equation*}となるため、\(v\)は\(w\)に関して単調増加です。これらの結果は先の諸命題の主張と整合的です。

 

間接効用関数の準凸性

間接効用関数\(v\)は準凸関数です。ただし、\(v\)が準凹関数であることとは、任意の\(\left( p,w\right) ,\left( p^{\prime },w^{\prime }\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)と任意の\(\alpha \in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}
v\left( \alpha \left( p,w\right) +\left( 1-\alpha \right) \left( p^{\prime
},w^{\prime }\right) \right) \leq \max \{v\left( p,w\right) ,v\left(
p^{\prime },w^{\prime }\right) \}
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、価格ベクトルと所得の任意の組である\(\left( p,w\right) \)と\(\left( p^{\prime },w^{\prime }\right) \)が与えられたとき、それらを任意の割合\(\alpha \)で混ぜて得られる価格ベクトルと所得の組のもとで消費者が達成可能な効用(上の不等式の左辺)は、\(\left( p,w\right) \)のもとで達成可能な効用や、\(\left( p^{\prime },w^{\prime }\right) \)のもとで達成可能な効用を超えないということです。

命題(間接効用関数の準凸性)
間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)は、任意の\(\left( p,w\right) ,\left( p^{\prime },w^{\prime }\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)と\(\alpha \in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}
v\left( \alpha \left( p,w\right) +\left( 1-\alpha \right) \left( p^{\prime
},w^{\prime }\right) \right) \leq \max \{v\left( p,w\right) ,v\left(
p^{\prime },w^{\prime }\right) \}
\end{equation*}を満たす。
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ちなみに、間接効用関数\(v\)が準凹関数であることは、効用水準\(v\in \mathbb{R} \)を任意に選んだときに、それに対する下方位集合\begin{equation*}
\left\{ \left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\ |\ v\left( p,w\right) \leq v\right\}
\end{equation*}が凸集合であることと必要十分です(演習問題にします)。

例(間接効用関数の準凸性)
先と同様、2財モデルにおいて消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するとともに、これはそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}x_{2}
\end{equation*}を定めるものとします。この場合、連続な間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在し、これはそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}
v\left( p_{1},p_{2},w\right) =\frac{w^{2}}{4p_{1}p_{2}}
\end{equation*}を定めますが、これは準凸関数です(演習問題にします)。

 

間接効用関数の0次同次性

繰り返しになりますが、間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)と需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow X\)の間には、\begin{equation*}
\forall \left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++},\ \forall x^{\ast }\in X^{\ast }\left( p,w\right) :v\left( p,w\right)
=u\left( x^{\ast }\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。以上の関係と需要対応\(X^{\ast }\)の0次同次性を利用すると、間接効用関数\(v\)もまた0次同次であること、すなわち、\begin{equation*}
\forall \left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++},\ \forall \alpha \in \mathbb{R} _{++}:v\left( \alpha p,\alpha w\right) =v\left( p,w\right)
\end{equation*}が成り立つことが示されます(演習問題にします)。これは、消費者が予算制約のもとで効用を最大化するとき、すべての商品の価格と所得が同じ割合で変化する場合には、その変化において、消費者が得られる効用の最大値が変化しないことを意味します。

命題(間接効用関数の0次同次性)
間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{equation*}
\forall \left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++},\ \forall \alpha \in \mathbb{R} _{++}:v\left( \alpha p,\alpha w\right) =v\left( p,w\right)
\end{equation*}を満たす。
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例(間接効用関数の0次同次性)
先と同様、2財モデルにおいて消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するとともに、これはそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}x_{2}
\end{equation*}を定めるものとします。この場合、連続な間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在し、これはそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation}
v\left( p_{1},p_{2},w\right) =\frac{w^{2}}{4p_{1}p_{2}} \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)と\(\alpha \in \mathbb{R} _{++}\)をそれぞれ任意に選ぶと、\begin{eqnarray*}
v\left( \alpha p_{1},\alpha p_{2},\alpha w\right) &=&\frac{\left( \alpha
w\right) ^{2}}{4\left( \alpha p_{1}\right) \left( \alpha p_{2}\right) }\quad
\because \left( 1\right) \\
&=&\frac{w^{2}}{4p_{1}p_{2}} \\
&=&v\left( p_{1},p_{2},w\right) \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となるため\(v\)は0次同次性を満たします。この結果は上の命題の主張と整合的です。

次回はロイの恒等式について学びます。

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