間接効用関数は、価格ベクトルと所得のそれぞれの値に対して、予算制約のもとで効用最大化を行う消費者が得られる効用の最大値を値として定める関数です。

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間接効用関数

消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)と予算対応\(B: \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)が与えられたとき、価格ベクトルと所得のそれぞれの値\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して効用最大化問題\(\max\limits_{x\in B\left( p,w\right) }u\left( x\right) \)をそれぞれ構成できますが、\(\left( p,w\right) \)の値に応じてこの効用最大化問題も変化し得るため、効用最大化問題の解\(x^{\ast }\)や、その解のもとで実現する効用の値\(u\left( x^{\ast }\right) \)もまた\(\left( p,w\right) \)に応じて変化します。そこで、最大化問題の解において消費者が得る効用を変数\(\left( p,w\right) \)に関する関数とみなした上で、それぞれの\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、それに対応する効用最大化問題\(\max\limits_{x\in B\left( p,w\right) }u\left( x\right) \)の解が与える効用の値\begin{equation*}
v\left( p,w\right) =\max \left\{ u\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in B\left( p,w\right) \right\}
\end{equation*}を像として定める関数\(v: \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)を定義し、これを間接効用関数(indirect utility function)と呼びます。

需要対応\(X^{\ast }: \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)が非空値をとる場合、\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)を任意に選ぶと、それに対する効用最大化問題には解が存在します。このとき、解\(x^{\ast }\in X^{\ast }\left( p,w\right) \)を任意に選ぶと、\begin{equation*}
v\left( p,w\right) =u\left( x^{\ast }\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、間接効用関数\(v\)が定める値は、効用最大化問題の解に相当する消費ベクトル\(x^{\ast }\)において消費者が得る効用です。逆に、需要対応が定める消費ベクトルにおいて消費者の効用が最大化されるため、\begin{equation*}
X^{\ast }\left( p,w\right) =\left\{ x\in B\left( p,w\right) \ |\ u\left(
x\right) =v\left( p,w\right) \right\}
\end{equation*}という関係もまた成り立ちます。

消費者の効用関数\(u\)はそれぞれの消費ベクトルに対して実数を割り当てることで、消費ベクトルどうしの相対的な望ましさを実数の大小関係として表現します。つまり、効用関数\(u\)が定める効用\(u\left( x\right) \)は消費ベクトル\(x\)に直接依存します。一方、予算制約下での効用最大化を考えたとき、消費者は価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \)のもとでの予算制約を満たす消費ベクトルの中から、効用\(u\left( x\right) \)を最大化する消費ベクトルを選び、その消費ベクトルから得る効用を間接効用関数を用いて\(v\left( p,w\right) \)で表します。つまり、間接効用\(v\)が定める効用\(v\left( p,w\right) \)は、効用最大化というプロセスを間に挟んで\(p\)と\(w\)に間接的に依存する形で決定されます。以上が「間接」という修飾語が使われる理由です。

 

間接効用関数の存在条件

需要対応\(X^{\ast }: \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)が非空値をとる場合、それぞれの\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、そこでの効用最大化問題の解集合\(X^{\ast }\left( p,v\right) \)は非空集合になります。このとき、予算制約条件より、\begin{equation*}
X^{\ast }\left( p,w\right) \subset B\left( p,w\right)
\end{equation*}が成り立つため、解\(x^{\ast }\in X^{\ast }\left( p,w\right) \)を任意に選べば、間接効用関数\(v\)の定義より、\begin{equation*}
v\left( p,w\right) =u\left( x^{\ast }\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、需要対応が非空値をとる場合には、それぞれの\(\left( p,w\right) \)に対して、効用最大化問題の目的関数である\(u\)は予算集合\(B\left( p,w\right) \)に属する点\(x^{\ast }\)において最大値をとることが保証されるため、それぞれの\(\left( p,w\right) \)に対して,\begin{equation*}
v\left( p,w\right) =\max \left\{ u\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in B\left( p,w\right) \right\}
\end{equation*}を定める間接効用関数\(v: \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)の存在が保証されます。したがって、需要対応が非空値をとるための条件は、そのまま間接効用関数が存在するための条件になります。

命題(間接効用関数の存在条件)
消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)と予算対応\(B: \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)について、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ X= \mathbb{R} _{+}^{N}\text{である} \\
&&\left( b\right) \ \succsim \text{は合理性と連続性を満たす}
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合には、間接効用関数\(v: \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する。
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間接効用関数の連続性

実は、上の命題中の条件\(\left( a\right) ,\left( b\right) \)のベルジュの最大値定理が要求する条件が満たされるため、同定理を利用することにより、間接効用関数についてもう少し踏み込んだことが言えます。

具体的には、まず、予算集合に関する条件\(\left( a\right) \)のもとでは、予算対応\(B\)は非空値かつコンパクト値をとるとともに、連続対応になることは以前に示した通りです。また、条件\(\left( a\right) ,\left( b\right) \)のもとでは、ドブリューの定理より、効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するとともに、それが連続関数であることが保証されます。したがって、ベルジュの最大値定理より、需要対応\(X^{\ast }: \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)は非空値かつコンパクト値をとるとともに、優半連続対応になり、間接効用関数\(v: \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)は連続関数になります。

命題(間接効用関数の連続性)
消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)と予算対応\(B: \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)について、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ X= \mathbb{R} _{+}^{N}\text{である} \\
&&\left( b\right) \ \succsim \text{は合理性と連続性を満たす}
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合には、間接効用関数\(v: \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それは連続関数になる。
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間接効用関数の単調性

間接効用関数\(v: \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(p\leq p^{\prime }\)を満たす価格ベクトル\(p,p^{\prime }\)と所得\(w\)をそれぞれ任意に選ぶと、予算対応\(B\)の定義より、\begin{equation*}
B\left( p^{\prime },w\right) \subset B\left( p,w\right)
\end{equation*}が成り立つため、効用最大化問題の解集合について、\begin{equation*}
X^{\ast }\left( p^{\prime },w\right) \subset X^{\ast }\left( p,w\right)
\end{equation*}が明らかに成り立ちます。したがって、\(v\)の定義より、\begin{equation*}
v\left( p,w\right) \geq v\left( p^{\prime },w\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、間接効用関数は、\begin{equation*}
\forall p,p^{\prime }\in \mathbb{R} _{++}^{N},\ \forall w\in \mathbb{R} _{++}:\left[ p\leq p^{\prime }\ \Rightarrow \ v(p^{\prime },w)\leq v(p,w)\right] \end{equation*}を満たしますが、これは\(v\)が\(p\)に関して単調非増加であることを意味します。つまり、消費者が与えられた予算制約のもとで効用を最大化する場合、所得を一定にした上で少なくとも1つの商品の価格を上昇させたとき、消費者が得る効用が増加することはありません。

間接効用関数\(v\)が与えられたとき、\(w<w^{\prime }\)を満たす所得\(w,w^{\prime }\)と価格ベクトル\(p\)をそれぞれ任意に選ぶと、予算対応\(B\)の定義より、\begin{equation*}
B\left( p,w\right) \subset B\left( p,w^{\prime }\right)
\end{equation*}が成り立つため、効用最大化問題の解集合について、\begin{equation*}
X^{\ast }\left( p,w\right) \subset X^{\ast }\left( p,w^{\prime }\right)
\end{equation*}が明らかに成り立ちます。したがって、間接効用関数\(v\)は、\begin{equation*}
v\left( p,w\right) \geq v\left( p,w^{\prime }\right)
\end{equation*}を満たします。つまり、間接効用関数は、\begin{equation*}
\forall p\in \mathbb{R} _{++}^{N},\ \forall w,w^{\prime }\in \mathbb{R} _{++}:\left[ w<w^{\prime }\ \Rightarrow \ v(p,w)\leq v(p,w^{\prime })\right] \end{equation*}を満たしますが、これは\(v\)が\(w\)に関して単調非減少であることを意味します。つまり、消費者が与えられた予算制約のもとで効用を最大化する場合、すべての商品の価格を一定にした上で所得を増やした時、消費者が得る効用が減少することはありません。

選好関係\(\succsim \)が局所非飽和性を満たす場合、間接効用関数\(v\)が\(w\)に関して単調増加になるとまで言えます。つまり、\begin{equation*}
\forall p\in \mathbb{R} _{++}^{N},\ \forall w,w^{\prime }\in \mathbb{R} _{++}:\left[ w<w^{\prime }\ \Rightarrow \ v(p,w)<v(p,w^{\prime })\right] \end{equation*}が成り立つということです。これは、消費者が与えられた予算制約のもとで効用を最大化する場合、すべての商品の価格を一定にした上で所得を増やした時、消費者が得る効用が増加することを意味します。

命題(間接効用関数の単調性)
消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)と予算対応\(B: \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)について、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ X= \mathbb{R} _{+}^{N}\text{である} \\
&&\left( b\right) \ \succsim \text{は合理性と連続性を満たす}
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合には、間接効用関数\(v: \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それは連続関数になる。さらに、\(v\)は\(w\)に関して単調非増加になり、\(w\)に関して単調非減少になる。さらに、\begin{equation*}
\left( c\right) \ \succsim \text{は局所非飽和性を満たす}
\end{equation*}もまた成り立つ場合には、\(v\)は\(w\)に関して単調増加になる。
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間接効用関数の準凸性

間接効用関数\(v: \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する場合、それは準凸関数になります。ただし、\(v\)が準凸関数であるとは、\(\left( p,w\right) ,\left( p^{\prime },w^{\prime }\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)と\(\alpha \in \left[ 0,1\right] \)をそれぞれ任意に選んだときに、\begin{equation*}
v\left( \alpha \left( p,w\right) +\left( 1-\alpha \right) \left( p^{\prime
},w^{\prime }\right) \right) \leq \max \{v\left( p,w\right) ,v\left(
p^{\prime },w^{\prime }\right) \}
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、価格ベクトルと所得の任意の2つの組\(\left( p,w\right) ,\left( p^{\prime },w^{\prime }\right) \)について、それらを任意の割合\(\alpha \)で混ぜて得られる価格ベクトルと所得の組のもとで消費者が達成可能な効用の最大値は、\(\left( p,w\right) \)のもとで達成可能な効用の最大値や、\(\left( p^{\prime },w^{\prime }\right) \)のもとで達成可能な効用の最大値を超えないということです。

命題(間接効用関数の準凸性)
消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)と予算対応\(B: \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)について、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ X= \mathbb{R} _{+}^{N}\text{である} \\
&&\left( b\right) \ \succsim \text{は合理性と連続性を満たす}
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合には、間接効用関数\(v: \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それは準凸関数になる。
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間接効用関数の0次同次性

繰り返しになりますが、間接効用関数\(v: \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)と需要対応\(X^{\ast }: \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow X\)の間には、\begin{equation*}
\forall \left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++},\ \forall x^{\ast }\in X^{\ast }\left( p,w\right) :v\left( p,w\right)
=u\left( x^{\ast }\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。以上の関係と需要対応\(X^{\ast }\)の0次同次性を利用すると、間接効用関数\(v\)もまた0次同次であること、すなわち、\begin{equation*}
\forall \left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++},\ \forall \alpha \in \mathbb{R} _{++}:v\left( \alpha p,\alpha w\right) =v\left( p,w\right)
\end{equation*}が成り立つことが示されます。

命題(間接効用関数の0次同次性)
消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)と予算対応\(B: \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)について、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ X= \mathbb{R} _{+}^{N}\text{である} \\
&&\left( b\right) \ \succsim \text{は合理性と連続性を満たす}
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合には、間接効用関数\(v: \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それは\(\left( p,w\right) \)に関する0次同次関数になる。
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これは、消費者が予算制約のもとで効用を最大化するとき、すべての商品の価格と所得が同じ割合で変化する場合には、その変化において、消費者が得られる効用の最大値が変化しないことを意味します。

次回はロイの恒等式について学びます。

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