間接効用関数

間接効用関数

消費者の選好が消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)として表現されているとともに、\(\succsim \)は合理性と連続性の仮定を満たすものとします。この場合、\(\succsim \)を表現する連続な効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在します。加えて、消費者が直面する経済的制約が予算対応\(B:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)として表現されているものとします。つまり、価格ベクトルと所得\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)のもとで消費者が直面する予算集合は、\begin{equation*}B(p,w)=\{x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\ |\ p\cdot x\leq w\}
\end{equation*}です。このとき、価格ベクトルと所得\(\left(p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題は、\begin{equation*}\max_{x\in \mathbb{R} _{+}^{N}}u\left( x\right) \quad \text{s.t.}\quad x\in B\left( p,w\right)
\end{equation*}と表現されますが、\(\left( p,w\right) \)が変化すれば効用最大化問題の制約条件が変化するため、それに応じて効用最大化問題の解も変化し、したがって解において消費者が得る効用、すなわち\(u\left(x\right) \)の最大値も変化します。以上を踏まえた上で、それぞれの\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題の解において消費者が得る効用\begin{equation*}v\left( p,w\right) =\max \left\{ u\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in B\left( p,w\right) \right\}
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
v:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義し、これを間接効用関数（indirect utility function）と呼びます。また、間接効用関数\(v\)が\(\left( p,w\right) \)に対して定める値\(v\left( p,w\right) \)を間接効用（indirect utility function）と呼びます。間接効用関数が存在するための条件については後述します。

効用関数\(u\)はそれぞれの消費ベクトル\(x\)に対して効用に相当する実数\(u\left( x\right) \)を1つずつ割り当てることにより、消費ベクトルどうしの相対的な望ましさを実数の大小関係として表現します。つまり、効用関数\(u\)が定める効用\(u\left( x\right) \)は変数である消費ベクトル\(x\)から直接決まります。価格ベクトルと所得\(\left( p,w\right) \)に直面した消費者は、予算制約\(x\in B\left( p,w\right) \)を満たす消費ベクトル\(x\)の中から効用\(u\left( x\right) \)を最大化するものを選択しますが、消費者がそのような消費ベクトルから得る効用こそが間接効用\(v\left( p,w\right) \)に他なりません。つまり、間接効用関数\(v\)が定める間接効用\(v\left( p,w\right) \)は変数である\(\left( p,w\right) \)から直接決まるのではなく「\(\left(p,w\right) \)に直面した消費者による効用最大化」というプロセスを間に挟む形で\(\left( p,w\right) \)から間接的に決まります。\(v\left( p,w\right) \)を「間接」効用と呼ぶ理由は以上の通りです。

間接効用関数が存在するための条件

効用最大化を目指す消費者の意思決定がワルラスの需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)として表現されているものとします。つまり、価格ベクトルと所得\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)のもとでの効用最大化問題の解からなる集合は、\begin{equation*}X^{\ast }\left( p,w\right) =\left\{ x\in B\left( p,w\right) \ |\ \forall
y\in B\left( p,w\right) :u\left( x\right) \geq u\left( y\right) \right\}
\end{equation*}です。仮に\(X^{\ast }\left( p,w\right) \)が空集合でなければ何らかの要素\(x^{\ast }\in X^{\ast }\left(p,w\right) \)を選ぶことができますが、\(x^{\ast }\)は\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題の解の1つであるため、間接効用関数\(v\)の定義より、\begin{equation*}v\left( p,w\right) =u\left( x^{\ast }\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。同様の議論は任意の\(\left( p,w\right) \)と\(X^{\ast }\left(p,w\right) \)の任意の要素\(x^{\ast }\)に関して成立するため、需要対応\(X^{\ast }\)が非空値をとる場合、間接効用関数\(v\)と需要対応\(X^{\ast }\)の間には、\begin{equation*}\forall \left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++},\ \forall x^{\ast }\in X^{\ast }\left( p,w\right) :v\left( p,w\right)
=u\left( x^{\ast }\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。したがって、効用関数\(u\)が存在するとともに需要対応\(X^{\ast }\)が非空値をとる場合には間接効用関数\(v\)が存在することが保証されます。

需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)が存在する場合にも同様の議論が成立します。つまり、価格ベクトルと所得\(\left(p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して需要関数\(x^{\ast }\)が定める値\(x^{\ast }\left(p,w\right) \)は\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題の唯一の解であるため、間接効用関数\(v\)の定義より、\begin{equation*}v\left( p,w\right) =u\left( x^{\ast }\left( p,w\right) \right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。同様の議論は任意の\(\left( p,w\right) \)に関して成立するため、需要関数\(x^{\ast }\)が存在する場合、間接効用関数\(v\)と需要関数\(x^{\ast }\)の間には、\begin{equation*}\forall \left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}:v\left( p,w\right) =u\left( x^{\ast }\left( p,w\right) \right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。したがって、効用関数\(u\)と需要関数\(x^{\ast }\)がともに存在する場合には間接効用関数\(v\)が存在することが保証されます。

消費集合が\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)であり、\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と連続性を満たす場合には\(\succsim \)を表す効用関数\(u\)が存在するとともに、需要対応\(X^{\ast }\)は非空値をとることが保証されます。したがって、以上の条件のもとでは間接効用関数が存在します。加えて、以上の条件のもとではベルジュの最大値定理が利用可能であるため、同定理を利用することにより、間接効用関数が連続であることも保証されます。

消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u\)が存在する場合、\(\succsim \)が合理性の仮定を満たすことが保証されます。また、\(u\)が連続関数である場合には\(\succsim \)が連続性の仮定を満たすことが保証されます。したがって、選好関係\(\succsim \)を表す連続な効用関数\(u\)が存在する場合には上の命題が要求する条件がすべて満たされるため、連続な間接効用関数が存在することが保証されます。以下が具体例です。

間接効用関数は価格ベクトルに関して単調減少

効用最大化問題に直面した消費者の間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するものとします。\(p<p^{\prime }\)を満たす価格ベクトル\(p,p^{\prime }\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)と所得\(w\in \mathbb{R} _{++}\)をそれぞれ任意に選びます。ただし、\(p<p^{\prime }\)が成り立つこととは、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :p_{n}\leq
p_{n}^{\prime } \\
&&\left( b\right) \ \exists n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\}
:p_{n}<p_{n}^{\prime }
\end{eqnarray*}がともに成り立つことを意味します。このとき、\begin{equation*}
v(p^{\prime },w)\leq v(p,w)
\end{equation*}が成り立つことが示されます。つまり、消費者が直面する所得を一定にした上で少なくとも1つの商品の価格を上昇させる場合、効用最大化問題の解において消費者が得る効用が増加することはありません。つまり、間接効用関数\(v\)は価格ベクトル\(p\)に関して単調減少（単調非増加）であるということです。

間接効用関数は所得に関して単調増加

効用最大化問題に直面した消費者の間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するものとします。\(p\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)と\(w<w^{\prime }\)を満たす所得\(w,w^{\prime }\in \mathbb{R} _{++}\)をそれぞれ任意に選びます。このとき、\begin{equation*}v\left( p,w\right) \leq v\left( p,w^{\prime }\right)
\end{equation*}が成り立つことが示されます。つまり、消費者が直面する商品の価格を一定にした上で所得を増加させる場合、効用最大化問題の解において消費者が得る効用が減少することはありません。つまり、間接効用関数\(v\)は所得\(w\)に関して単調増加（単調非減少）であるということです。

特に、消費者の選好が局所非飽和性を満たす場合には、間接効用関数\(v\)は所得\(w\)に関して狭義単調増加になります。

間接効用関数の0次同次性

間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)と需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)の間には、\begin{equation*}\forall \left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++},\ \forall x^{\ast }\in X^{\ast }\left( p,w\right) :v\left( p,w\right)
=u\left( x^{\ast }\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちますが、以上の関係と需要対応\(X^{\ast }\)の0次同次性を利用すると、間接効用関数\(v\)もまた0次同次であること、すなわち、\begin{equation*}\forall \left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++},\ \forall \lambda \in \mathbb{R} _{++}:v\left( \lambda p,\lambda w\right) =v\left( p,w\right)
\end{equation*}が導かれます。つまり、すべての商品の価格と所得を同じ割合\(\lambda \)で変化させる場合、その変化の前後において間接効用の水準は変化しません。

間接効用関数の準凸性

間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)は準凸関数です。つまり、\(\left( p,w\right) ,\left( p^{\prime },w^{\prime}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)と\(\alpha \in \left[ 0,1\right] \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}v\left( \alpha \left( p,w\right) +\left( 1-\alpha \right) \left( p^{\prime
},w^{\prime }\right) \right) \leq \max \{v\left( p,w\right) ,v\left(
p^{\prime },w^{\prime }\right) \}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、価格ベクトルと所得の組である\(\left( p,w\right) \)と\(\left(p^{\prime },w^{\prime }\right) \)が任意に与えられたとき、それらを任意の割合\(\alpha \)で混ぜて得られる価格ベクトルと所得の組のもとで消費者が得る間接効用は、\(\left( p,w\right) \)のもとでの間接効用や\(\left( p^{\prime },w^{\prime }\right) \)のもとでの間接効用を超えません。

演習問題