多変数の準凸関数・準凹関数

多変数の準凸関数

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)もしくはその部分集合を定義域とする多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)について、定義域\(X\)が凸集合であるとともに、\begin{equation*}\forall x,y\in X,\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :f\left( \lambda
x+\left( 1-\lambda \right) y\right) \leq \max \left\{ f\left( x\right)
,f\left( y\right) \right\}
\end{equation*}が成り立つ場合、\(f\)を準凸関数（quasi-convex function）と呼びます。

準凸関数の定義域は凸集合である必要がありますが、その理由は以下の通りです。関数\(f\)が準凸関数であることとは、定義域の点\(x,y\in X\)とスカラー\(\lambda \in \left[ 0,1\right] \)をそれぞれ任意に選んだとき、不等式\begin{equation*}\forall x,y\in X,\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :f\left( \lambda
x+\left( 1-\lambda \right) y\right) \leq \max \left\{ f\left( x\right)
,f\left( y\right) \right\}
\end{equation*}が成り立つことを意味しますが、そもそも上の不等式が成立することを検討するためには左辺の値\(f\left(\lambda x+\left( 1-\lambda \right) y\right) \)が存在すること、すなわち\(f\)が点\(\lambda x+\left( 1-\lambda \right) y\)において定義されている必要があります。\(f\)の定義域\(X\)が凸集合であれば\(\lambda x+\left( 1-\lambda \right) y\in X\)であること、すなわち関数\(f\)が点\(\lambda x+\left( 1-\lambda \right) y\)において定義されていることが保証されます。逆に、関数\(f\)の定義域\(X\)が凸集合でない場合、ある点\(x,y\in X\)とスカラー\(\lambda \in \left[ 0,1\right] \)に対し\(f\left( \lambda x+\left( 1-\lambda \right) y\right) \)が存在しない事態が起こり得るため、そもそも上の不等式が意味をなさなくなってしまいます。

これまで提示した例から明らかであるように、定義にもとづいて関数が準凸であることを示す作業は煩雑になりがちです。より扱いやすい準凸関数の判定条件が存在するため、多くの場合、それらを利用することになります。詳細は場を改めて解説します。

準凸関数と凸関数の関係

凸関数は準凸関数であることが保証されます。

多変数の準凹関数

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)もしくはその部分集合を定義域とする多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)について、定義域\(X\)が凸集合であるとともに、\begin{equation*}\forall x,y\in X,\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :\min \left\{
f\left( x\right) ,f\left( y\right) \right\} \leq f\left( \lambda x+\left(
1-\lambda \right) y\right)
\end{equation*}が成り立つ場合、\(f\)を準凹関数（quasi-concave function）と呼びます。

準凹関数\(f\)の定義域\(X\)は凸集合である必要がありますが、その理由は準凸関数の定義域が凸集合でなければならない理由と同様です。つまり、\(f\)の定義域\(X\)が凸集合であれば任意の点\(x,y\in X\)およびスカラー\(\lambda \in \left[ 0,1\right] \)に対して\(f\)が点\(\lambda x+\left( 1-\lambda \right) y\)において定義されることが保証されるため、準凹関数の定義を構成する不等式が成立するか検討できます。

これまで提示した例から明らかであるように、定義にもとづいて関数が準凹であることを示す作業は煩雑になりがちです。より扱いやすい準凹関数の判定条件が存在するため、多くの場合、それらを利用することになります。詳細は場を改めて解説します。

準凹関数と凹関数の関係

凹関数は準凹関数であることが保証されます。

準凸関数と準凹関数の関係

凸集合上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( -f\right) \left( x\right) =-f\left( x\right)
\end{equation*}を定める関数\begin{equation*}
-f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。\(f\)が準凸関数であることは\(-f\)が準凹関数であることと必要十分であり、また、\(f\)が準凹関数であることは\(-f\)が準凸関数であることと必要十分になります。

多変数の準線型関数

凸集合上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が準凸かつ準凹である場合、このような関数\(f\)を準線型関数（quasi linear function）と呼びます。定義より、\(f\)が準線型関数であることとは、\begin{equation*}\forall x,y\in X,\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :\min \left\{
f\left( x\right) ,f\left( y\right) \right\} \leq f\left( \lambda x+\left(
1-\lambda \right) y\right) \leq \max \left\{ f\left( x,\right) ,f\left(
y\right) \right\}
\end{equation*}が成り立つことを意味します。

演習問題