凸関数・凹関数の逆関数

凸関数の逆関数

加えて、この関数\(f\)が凸関数であるものとします。この場合、\(f\)が狭義単調増加であるならば逆関数\(f^{-1}\)は凹関数になり、\(f\)が狭義単調減少であるならば逆関数\(f^{-1}\)は凸関数になります。

命題（凸関数の逆関数）

区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が連続な狭義単調関数であるものとする。このとき、逆関数\(f^{-1}:\mathbb{R} \supset f\left( I\right) \rightarrow \mathbb{R} \)が存在し、これもまた区間上に定義された連続な狭義単調関数となる。このとき以下が成り立つ。

\(f\)が狭義単調増加な凸関数ならば、\(f^{-1}\)は凹関数である。
\(f\)が狭義単調増加な狭義凸関数ならば、\(f^{-1}\)は狭義凹関数である。
\(f\)が狭義単調減少な凸関数ならば、\(f^{-1}\)は凸関数である。
\(f\)が狭義単調減少な狭義凸関数ならば、\(f^{-1}\)は狭義凸関数である。

証明

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つまり、\(f\)が狭義単調増加である場合、\(f\)と\(f^{-1}\)の凹凸は逆転する一方、\(f\)が狭義単調減少である場合、\(f\)と\(f^{-1}\)の凹凸は一致するということです。

例（1次関数の逆関数）

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =2x+1
\end{equation*}を定めるものとします。1次関数\(2x+1\)は連続かつ狭義単調増加な凸関数であるため、先の命題より、その逆関数は凹関数です。実際、逆関数\(f^{-1}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{-1}\left( x\right) =\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}
\end{equation*}を定めますが、これは1次関数であるため凹関数です。

例（自然指数関数の逆関数）

関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =e^{x}
\end{equation*}を定めるものとします。自然指数関数\(e^{x}\)は連続かつ狭義単調減少な狭義凸関数であるため、先の命題より、その逆関数は狭義凹関数です。実際、逆関数\(f^{-1}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} _{++}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{-1}\left( x\right) =\ln \left( x\right)
\end{equation*}を定めますが、これは自然対数関数であるため狭義凹関数です。

凹関数の逆関数

凹関数に関しても同様の主張が成り立ちます。

命題（凹関数の逆関数）

\(f\)が狭義単調増加な凹関数ならば、\(f^{-1}\)は凸関数である。
\(f\)が狭義単調増加な狭義凹関数ならば、\(f^{-1}\)は狭義凸関数である。
\(f\)が狭義単調減少な凹関数ならば、\(f^{-1}\)は凹関数である。
\(f\)が狭義単調減少な狭義凹関数ならば、\(f^{-1}\)は狭義凹関数である。

証明

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例（1次関数の逆関数）

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =2x+1
\end{equation*}を定めるものとします。1次関数\(2x+1\)は連続かつ狭義単調増加な凹関数であるため、先の命題より、その逆関数は凸関数です。実際、逆関数\(f^{-1}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{-1}\left( x\right) =\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}
\end{equation*}を定めますが、これは1次関数であるため凸関数です。

例（自然対数関数の逆関数）

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\ln \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。自然対数関数\(\ln \left(x\right) \)は連続かつ狭義単調増加な狭義凹関数であるため、先の命題より、その逆関数は狭義凸関数です。実際、\(f\)の値域を\(\mathbb{R} _{++}\)に制限すれば全単射になるため逆関数\(f^{-1}:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在し、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f^{-1}\left( x\right) =e^{x}
\end{equation*}を定めます。これは自然指数関数であるため狭義凸関数です。

1変数の凸関数・凹関数

定義域が区間であるとともに、そのグラフが直線もしくは谷型の曲線になるような関数を凸関数と呼び、グラフが直線もしくは山型の曲線になるような関数を凹関数と呼びます。

微分を用いた1変数の凸関数・凹関数の判定

微分可能な関数が凸関数であることは、導関数が単調増加関数であることと必要十分です。また、微分可能な関数が凹関数であることは、導関数が単調減少関数であることと必要十分です。

エピグラフ・ハイポグラフを用いた1変数の凸関数・凹関数の判定

1変数関数が凸関数であることとその関数のエピグラフが凸集合であることは必要十分であり、1変数関数が凹関数であることとその関数のハイポグラフが凸集合であることは必要十分です。

1変数の狭義凸関数・狭義凹関数

定義域が区間であるとともに、そのグラフが谷型の曲線になるような関数を狭義凸関数と呼び、グラフが山型の曲線になるような関数を狭義凹関数と呼びます。

微分を用いた1変数の狭義凸関数・狭義凹関数の判定

微分可能な関数が狭義凸関数であることは、導関数が狭義単調増加関数であることと必要十分です。また、微分可能な関数が狭義凹関数であることは、導関数が狭義単調減少関数であることと必要十分です。

二項関係の逆関係

集合Aから集合Bへの二項関係Rが与えられたとき、Rの要素である順序対(a,b)の成分を入れ替えることにより得られる順序対(b,a)からなるBからAへの二項関係をもとの二項関係Rの逆関係と呼びます。

エピグラフ・ハイポグラフを用いた1変数の狭義凸関数・狭義凹関数の判定

1変数関数が狭義凸であることとそのエピグラフが狭義凸集合であることは必要十分であり、狭義凹であることとそのハイポグラフが狭義凸集合であることは必要十分です。

逆関数の定義と求め方

関数が全単射である場合には、終集合のそれぞれの要素に対して、その逆像に含まれる唯一の要素を値として定める関数が定義可能であるため、これを逆関数と呼びます。

狭義単調関数の逆関数

狭義単調関数は全単射であるため、終集合を値域に制限すれば全単射になります。したがって、その逆関数が必ず存在します。特に、狭義単調増加関数の逆関数は狭義単調増加であり、狭義単調減少関数の逆関数は狭義単調減少です。

逆写像

写像 f:A→B が終集合のそれぞれの要素 b∈B に対して定める逆像 f⁻¹(b) が 1点集合である場合には、f⁻¹(b)とそこに含まれる 1 つの要素を同一視した上で、B のそれぞれの要素 b に対して X の要素 f⁻¹(b) を 1 つずつ定める写像 f⁻¹:B→A を作ることができます。この写像 f⁻¹ を f の逆写像と呼びます。