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凸関数・凹関数

凸関数族の最大値・凹関数族の最小値

目次

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1変数の凸関数族の最大値・凹関数族の最小値

区間上に定義された2つの1変数関数\(f,g:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}h\left( x\right) =\max \left\{ f\left( x\right) ,g\left( x\right) \right\}
\end{equation*}を定める関数\(h:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(\left\{ f\left(x\right) ,g\left( x\right) \right\} \)は有限な\(\mathbb{R} \)の部分集合であるため、その最大値\(\max \left\{f\left( x\right) ,g\left( x\right) \right\} \)が1つの有限な実数として定まることが保証されます。したがって上のような関数\(h\)は定義可能です。\(f,g\)がともに凸関数である場合には\(h\)もまた凸関数になります。また、\(f,g\)がともに狭義凸関数である場合には\(h\)もまた狭義凸関数になります。

命題(凸関数族の最大値)
区間上に定義された関数\(f,g:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられれたとき、それぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}h\left( x\right) =\max \left\{ f\left( x\right) ,g\left( x\right) \right\}
\end{equation*}を定める関数\(h:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。このとき以下が成り立つ。

  1. \(f,g\)がともに凸関数であるならば、\(h\)もまた凸関数である。
  2. \(f,g\)がともに狭義凸関数であるならば、\(h\)もまた狭義凸関数である。
証明

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上の命題は\(2\)個の関数に関するものですが、\(3\)個以上の関数に関しても同様の主張が成り立ちます。つまり、\(m\)個の関数\(f_{1},\cdots ,f_{m}\)がいずれも凸関数であるならば関数\(\max \left\{f_{1},\cdots ,f_{m}\right\} \)もまた凸関数であり、関数\(f_{1},\cdots ,f_{m}\)がいずれも狭義凸関数であるならば関数\(\max\left\{ f_{1},\cdots ,f_{m}\right\} \)もまた狭義凸関数になります(演習問題)。

凹関数に関しても同様の主張が成り立ちます。ただし、凹関数の場合には関数\(h\)として最小値関数を採用します。

命題(凹関数族の最小値)
区間上に定義された関数\(f,g:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられれたとき、それぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}h\left( x\right) =\min \left\{ f\left( x\right) ,g\left( x\right) \right\}
\end{equation*}を定める関数\(h:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。このとき以下が成り立つ。

  1. \(f,g\)がともに凹関数であるならば、\(h\)もまた凹関数である。
  2. \(f,g\)がともに狭義凹関数であるならば、\(h\)もまた狭義凹関数である。
証明

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上の命題は\(2\)個の関数に関するものですが、\(3\)個以上の関数に関しても同様の主張が成り立ちます。つまり、\(m\)個の関数\(f_{1},\cdots ,f_{m}\)がいずれも凹関数であるならば関数\(\min \left\{f_{1},\cdots ,f_{m}\right\} \)もまた凹関数であり、関数\(f_{1},\cdots ,f_{m}\)がいずれも狭義凹関数であるならば関数\(\min\left\{ f_{1},\cdots ,f_{m}\right\} \)もまた狭義凹関数になります(演習問題)。

 

多変数の凸関数族の最大値・凹関数族の最小値

多変数関数に関しても同様の主張が成り立ちます。具体的には以下の通りです。

凸集合上に定義された2つの多変数関数\(f,g:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}h\left( x\right) =\max \left\{ f\left( x\right) ,g\left( x\right) \right\}
\end{equation*}を定める関数\(h:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。\(f,g\)がともに凸関数である場合には\(h\)もまた凸関数になります。また、\(f,g\)がともに狭義凸関数である場合には\(h\)もまた狭義凸関数になります。

命題(凸関数族の最大値)
凸集合上に定義された関数\(f,g:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられれたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}h\left( x\right) =\max \left\{ f\left( x\right) ,g\left( x\right) \right\}
\end{equation*}を定める関数\(h:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。このとき以下が成り立つ。

  1. \(f,g\)がともに凸関数であるならば、\(h\)もまた凸関数である。
  2. \(f,g\)がともに狭義凸関数であるならば、\(h\)もまた狭義凸関数である。
証明

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上の命題は\(2\)個の関数に関するものですが、\(3\)個以上の関数に関しても同様の主張が成り立ちます。つまり、\(m\)個の関数\(f_{1},\cdots ,f_{m}\)がいずれも凸関数であるならば関数\(\max \left\{f_{1},\cdots ,f_{m}\right\} \)もまた凸関数であり、関数\(f_{1},\cdots ,f_{m}\)がいずれも狭義凸関数であるならば関数\(\max\left\{ f_{1},\cdots ,f_{m}\right\} \)もまた狭義凸関数になります(演習問題)。

凹関数に関しても同様の主張が成り立ちます。ただし、凹関数の場合には関数\(h\)として最小値関数を採用します。

命題(凹関数族の最小値)
凸集合上に定義された関数\(f,g:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられれたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}h\left( x\right) =\min \left\{ f\left( x\right) ,g\left( x\right) \right\}
\end{equation*}を定める関数\(h:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。このとき以下が成り立つ。

  1. \(f,g\)がともに凹関数であるならば、\(h\)もまた凹関数である。
  2. \(f,g\)がともに狭義凹関数であるならば、\(h\)もまた狭義凹関数である。
証明

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上の命題は\(2\)個の関数に関するものですが、\(3\)個以上の関数に関しても同様の主張が成り立ちます。つまり、\(m\)個の関数\(f_{1},\cdots ,f_{m}\)がいずれも凹関数であるならば関数\(\min \left\{f_{1},\cdots ,f_{m}\right\} \)もまた凹関数であり、関数\(f_{1},\cdots ,f_{m}\)がいずれも狭義凹関数であるならば関数\(\min\left\{ f_{1},\cdots ,f_{m}\right\} \)もまた狭義凹関数になります(演習問題)。

 

演習問題

問題(凸関数族の最大値)
凸集合上に定義された\(m\)個の関数\(f_{1},\cdots ,f_{m}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられれたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\max \left\{ f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,f_{m}\left(
x\right) \right\}
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。ただし、\(m\geq 2\)です。このとき以下が成り立つことを示してください。

  1. \(f_{1},\cdots ,f_{m}\)がいずれも凸関数であるならば、\(f\)もまた凸関数である。
  2. \(f_{1},\cdots ,f_{m}\)がともに狭義凸関数であるならば、\(f\)もまた狭義凸関数である。
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問題(凹関数族の最小値)
凸集合上に定義された\(m\)個の関数\(f_{1},\cdots ,f_{m}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられれたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\min \left\{ f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,f_{m}\left(
x\right) \right\}
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。ただし、\(m\geq 2\)です。このとき以下が成り立つことを示してください。

  1. \(f_{1},\cdots ,f_{m}\)がいずれも凹関数であるならば、\(f\)もまた凹関数である。
  2. \(f_{1},\cdots ,f_{m}\)がともに狭義凹関数であるならば、\(f\)もまた狭義凹関数である。
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問題(2つの凸関数の最小値)
区間上に定義された凸関数\(f,g:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、以下の関数\begin{equation*}\max \left\{ f\left( x\right) ,g\left( x\right) \right\} :\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}もまた凸関数になることは本文中で示した通りです。では、やはり\(f,g\)がともに凸関数である場合、以下の関数\begin{equation*}\min \left\{ f\left( x\right) ,g\left( x\right) \right\} :\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が凸関数になること、もしくは凹関数になることを保証できるでしょうか。議論してください。

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関連知識

1変数の凸関数・凹関数

定義域が区間であるとともに、そのグラフが直線もしくは谷型の曲線になるような関数を凸関数と呼び、グラフが直線もしくは山型の曲線になるような関数を凹関数と呼びます。