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微分可能な1変数の凸関数・凹関数

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微分可能な1変数の凸関数・凹関数

区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が凸関数であることは、\begin{equation*}\forall x_{1},x_{2}\in I,\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :\lambda f\left( x_{1}\right) +\left( 1-\lambda \right) f\left( x_{2}\right) \geq f\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right) \end{equation*}が成り立つこととして定義されますが、定義にもとづいて関数が凸であることを示す作業は煩雑になりがちです。関数が微分可能である場合、それが凸関数であることを比較的容易に示すことができます。順番に解説します。

区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)は微分可能であるものとします。つまり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するということです。加えて、\(f\)は凸関数であるものとします。以上の条件を満たす関数のグラフを以下に図示しました。

図:凸関数
図:凸関数

凸関数\(f\)のグラフは下に凸であるような曲線(もしくは直線部分を持つ)であるため、グラフ上の点を任意に選んだとき、そこでの接線の全体が\(f\)のグラフの下方に位置するはずです。つまり、\(f\)の定義域上の点\(x_{1}\in I\)を任意に選んだとき、この点における\(f\)のグラフの接線の方程式は、\begin{equation*}y=f^{\prime }\left( x_{1}\right) \left( x-x_{1}\right) +f\left( x_{1}\right)
\end{equation*}で与えられますが、\(f\)が凸関数である場合には、この接線全体が\(f\)のグラフの下方にあること、すなわち、任意の\(x_{2}\in I\)について、\begin{equation*}f\left( x_{2}\right) \geq f^{\prime }\left( x_{1}\right) \left(
x_{2}-x_{1}\right) +f\left( x_{1}\right)
\end{equation*}が成り立つはずです。これは正しい主張です。

命題(微分可能な1変数の凸関数)
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)は微分可能であるものとする。\(f\)が凸関数であるならば、\begin{equation*}\forall x_{1},x_{2}\in I:f\left( x_{2}\right) \geq f^{\prime }\left(
x_{1}\right) \left( x_{2}-x_{1}\right) +f\left( x_{1}\right)
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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上の命題を用いると、\(f\)の導関数が単調増加関数であることが示されます。つまり、微分可能な凸関数の導関数は単調増加であるということです。

命題(微分可能な1変数の凸関数)
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)は微分可能であるものとする。\(f\)が凸関数であるならば、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)は単調増加関数である。
証明

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上の命題の逆もまた成立します。つまり、微分可能な関数の導関数が単調増加であるならば、その関数は凸関数であるということです。証明ではラグランジュの平均値の定理などを利用します。

命題(微分可能な1変数の凸関数)
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)は微分可能であるものとする。導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が単調増加関数であるならば、\(f\)は凸関数である。
証明

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以上の諸命題より、微分可能な関数が凸関数であることを以下のような形で特徴づけられることが明らかになりました。

命題(微分可能な1変数の凸関数)
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)は微分可能であるものとする。このとき以下の3つの命題\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ f\text{は凸関数である} \\
&&\left( b\right) \ \forall x_{1},x_{2}\in I:f\left( x_{2}\right) \geq
f^{\prime }\left( x_{1}\right) \left( x_{2}-x_{1}\right) +f\left(
x_{1}\right) \\
&&\left( c\right) \ \text{導関数}f^{\prime }:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \text{は単調増加関数である}
\end{eqnarray*}はお互いに必要十分である。

以上の命題を踏まえると、関数\(f\)が2階微分可能である場合には、\(f\)が凸関数であることを以下のように特徴づけられます。

命題(微分可能な1変数の凸関数)
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)は2階微分可能であるものとする。このとき、2階導関数\(f^{\prime \prime }:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が、\begin{equation*}\forall x\in I:f^{\prime \prime }\left( x\right) \geq 0
\end{equation*}を満たすことは、\(f\)が凸関数であるための必要十分条件である。
証明

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区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が凹関数であることは、\begin{equation*}\forall x_{1},x_{2}\in I,\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :\lambda
f\left( x_{1}\right) +\left( 1-\lambda \right) f\left( x_{2}\right) \leq
f\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。凸関数に関する先の議論において不等号の向きを逆にすればそのまま凹関数に関する議論になります。したがって、微分可能な関数が凹関数であることを以下のような形で特徴づけられます。

命題(微分可能な1変数の凹関数)
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)は微分可能であるものとする。このとき以下の3つの命題\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ f\text{は凹関数である} \\
&&\left( b\right) \ \forall x_{1},x_{2}\in I:f\left( x_{2}\right) \leq
f^{\prime }\left( x_{1}\right) \left( x_{2}-x_{1}\right) +f\left(
x_{1}\right) \\
&&\left( c\right) \ \text{導関数}f^{\prime }:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \text{は単調減少関数である}
\end{eqnarray*}はお互いに必要十分である。

また、関数\(f\)が2階微分可能である場合には、\(f\)が凹関数であることを以下のように特徴づけられます。

命題(微分可能な1変数の凹関数)
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)は2階微分可能であるものとする。このとき、2階導関数\(f^{\prime \prime }:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が、\begin{equation*}\forall x\in I:f^{\prime \prime }\left( x\right) \leq 0
\end{equation*}を満たすことは、\(f\)が凹関数であるための必要十分条件である。
例(微分可能な凸関数・凹関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-x^{2}+10
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)は区間です。\(f\)は多項式関数であるため微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =-2x
\end{equation*}を定めます。\(f^{\prime }\)は微分可能であり、2階導関数\(f^{\prime \prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime \prime }\left( x\right) =-2
\end{equation*}を定めます。したがって、先の命題より\(f\)は凹関数です。
例(微分可能な凸関数・凹関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =1
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)は区間です。\(f\)は定数関数であるため微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =0
\end{equation*}を定めます。\(f^{\prime }\)は微分可能であり、2階導関数\(f^{\prime \prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime \prime }\left( x\right) =0
\end{equation*}を定めます。したがって、先の命題より\(f\)は凸関数かつ凹関数です。
例(微分可能な凸関数・凹関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{3}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)は区間です。\(f\)は多項式関数であるため微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =3x^{2}
\end{equation*}を定めます。\(f^{\prime }\)は微分可能であり、2階導関数\(f^{\prime \prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime \prime }\left( x\right) =6x
\end{equation*}を定めます。\(f^{\prime \prime }\)は正の実数と負の実数をともにとり得るため、\(f\)は凸関数と凹関数のどちらでもありません。

 

微分可能な1変数の狭義凸関数・狭義凹関数

区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が狭義凸関数であることは、\begin{equation*}\forall x_{1}\in I,\ \forall x_{2}\in I\backslash \left\{ x_{1}\right\} ,\ \forall \lambda \in \left( 0,1\right) :\lambda f\left( x_{1}\right) +\left( 1-\lambda \right) f\left( x_{2}\right) >f\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right) \end{equation*}が成り立つこととして定義されますが、定義にもとづいて関数が凸であることを示す作業は煩雑になりがちです。凸関数に関する先の議論と同様の議論により、微分可能な関数が狭義凸関数であることを以下のような形で特徴づけられることが明らかになります。

命題(微分可能な1変数の狭義凸関数)
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)は微分可能であるものとする。このとき以下の3つの命題\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ f\text{は狭義凸関数である} \\
&&\left( b\right) \ \forall x_{1}\in I,\forall x_{2}\in I\backslash \left\{
x_{1}\right\} :f\left( x_{2}\right) >f^{\prime }\left( x_{1}\right) \left(
x_{2}-x_{1}\right) +f\left( x_{1}\right) \\
&&\left( c\right) \ \text{導関数}f^{\prime }:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \text{は狭義の単調増加関数である}
\end{eqnarray*}はお互いに必要十分である。

また、関数\(f\)が2階微分可能である場合には、\(f\)が狭義凸関数であるための十分条件が以下のようになります。

命題(2階微分可能な1変数の狭義凸関数)
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)は2階微分可能であるものとする。このとき、2階導関数\(f^{\prime \prime }:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が、\begin{equation*}\forall x\in I:f^{\prime \prime }\left( x\right) >0
\end{equation*}を満たすならば、\(f\)は狭義凸関数である。
証明

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凸関数の場合とは異なり、上の命題の逆は成り立つとは限りません。つまり、狭義凸関数の2階導関数は正の実数のみを値としてとるとは限らないということです。以下の例より明らかです。

例(2階微分可能な1変数の狭義凸関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{4}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)は区間です。\(f\)は多項式関数であるため微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =4x^{3}
\end{equation*}を定めます。\(f^{\prime }\)は狭義単調増加関数であるため\(f\)は狭義凸関数です。\(f^{\prime }\)は微分可能であり、2階導関数\(f^{\prime\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime \prime }\left( x\right) =12x^{2}
\end{equation*}を定めます。一方、\begin{equation*}
f^{\prime \prime }\left( 0\right) =0
\end{equation*}であるため、狭義凸関数の2階導関数の値は正の実数であるとは限らないことが明らかになりました。

区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が狭義凹関数であることは、\begin{equation*}\forall x_{1}\in I,\ \forall x_{2}\in I\backslash \left\{ x_{1}\right\} ,\
\forall \lambda \in \left( 0,1\right) :\lambda f\left( x_{1}\right) +\left(
1-\lambda \right) f\left( x_{2}\right) <f\left( \lambda x_{1}+\left(
1-\lambda \right) x_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。狭義凸関数に関する議論において不等号の向きを逆にすればそのまま狭義凹関数に関する議論になります。したがって、微分可能な関数が狭義凹関数であることを以下のような形で特徴づけられます。

命題(微分可能な1変数の狭義凹関数)
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)は微分可能であるものとする。このとき以下の3つの命題\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ f\text{は狭義凹関数である} \\
&&\left( b\right) \ \forall x_{1}\in I,\forall x_{2}\in I\backslash \left\{
x_{1}\right\} :f\left( x_{2}\right) <f^{\prime }\left( x_{1}\right) \left(
x_{2}-x_{1}\right) +f\left( x_{1}\right) \\
&&\left( c\right) \ \text{導関数}f^{\prime }:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \text{は狭義の単調減少関数である}
\end{eqnarray*}はお互いに必要十分である。

また、関数\(f\)が2階微分可能である場合には、\(f\)が狭義凹関数であることを以下のように特徴づけられます。

命題(2階微分可能な1変数の狭義凹関数)
開区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)は2階微分可能であるものとする。このとき、2階導関数\(f^{\prime \prime }:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が、\begin{equation*}\forall x\in I:f^{\prime \prime }\left( x\right) <0
\end{equation*}を満たすならば、\(f\)は狭義凸関数である。

狭義凸関数の場合と同様、上の命題の逆は成り立つとは限りません。つまり、狭義凹関数の2階導関数は負の実数のみを値としてとるとは限らないということです。以下の例より明らかです。

例(2階微分可能な1変数の狭義凹関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-x^{4}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)は区間です。\(f\)は多項式関数であるため微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =-4x^{3}
\end{equation*}を定めます。\(f^{\prime }\)は狭義単調減少関数であるため\(f\)は狭義凹関数です。\(f^{\prime }\)は微分可能であり、2階導関数\(f^{\prime\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime \prime }\left( x\right) =-12x^{2}
\end{equation*}を定めます。一方、\begin{equation*}
f^{\prime \prime }\left( 0\right) =0
\end{equation*}であるため、狭義凹関数の2階導関数の値は負の実数であるとは限らないことが明らかになりました。

例(微分可能な狭義凸関数・狭義凹関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-x^{2}+10
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)は区間です。\(f\)は多項式関数であるため微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =-2x
\end{equation*}を定めます。\(f^{\prime }\)は微分可能であり、2階導関数\(f^{\prime \prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =-2<0
\end{equation*}を定めるため、先の命題より\(f\)は狭義凹関数です。
例(微分可能な狭義凸関数・狭義凹関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =e^{x}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)は区間です。\(f\)は指数関数であるため微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =e^{x}
\end{equation*}を定めます。\(f^{\prime }\)は微分可能であり、2階導関数\(f^{\prime \prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime \prime }\left( x\right) =e^{x}>0
\end{equation*}を定めるため、先の命題より\(f\)は狭義凸関数です。
例(微分可能な狭義凸関数・狭義凹関数)
関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\ln \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} _{++}\)は区間です。\(f\)は対数関数であるため微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めます。\(f^{\prime }\)は微分可能であり、2階導関数\(f^{\prime \prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime \prime }\left( x\right) =-\frac{1}{x^{2}}<0
\end{equation*}を定めるため、先の命題より\(f\)は狭義凹関数です。

 

演習問題

問題(凸関数・凹関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =2x^{3}-3x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は(狭義)凸関数、(狭義)凹関数、そのどちらでもない、のどれでしょうか。議論してください。
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問題(凸関数・凹関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{4}+x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は(狭義)凸関数、(狭義)凹関数、そのどちらでもない、のどれでしょうか。議論してください。
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問題(凸関数・凹関数)
関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x\ln \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は(狭義)凸関数、(狭義)凹関数、そのどちらでもない、のどれでしょうか。議論してください。
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