凸関数のスカラー倍
凸集合上に定義された多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して以下の値\begin{equation*}\left( cf\right) \left( \boldsymbol{x}\right) =cf\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}を定める新たな多変数関数\begin{equation*}
cf:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。
\(f\)が凸関数もしくは狭義凸関数である場合、\(cf\)の凹凸は以下のように定まります。ちなみに、\(c=0\)の場合に\(cf\)はゼロだけを値としてとり得る定数関数であるため、これは狭義凸関数と狭義凹関数のどちらでもありません。
- \(f\)が凸関数であるとともに\(c\geq 0\)であるならば、\(cf\)は凸関数である。
- \(f\)が凸関数であるとともに\(c\leq 0\)であるならば、\(cf\)は凹関数である。
- \(f\)が狭義凸関数であるとともに\(c>0\)であるならば、\(cf\)は狭義凸関数である。
- \(f\)が狭義凸関数であるとともに\(c<0\)であるならば、\(cf\)は狭義凹関数である。
- \(f\)が凸関数であるとともに\(c\geq 0\)であるならば、\(cf\)は凸関数である。
- \(f\)が凸関数であるとともに\(c\leq 0\)であるならば、\(cf\)は凹関数である。
- \(f\)が狭義凸関数であるとともに\(c>0\)であるならば、\(cf\)は狭義凸関数である。
- \(f\)が狭義凸関数であるとともに\(c<0\)であるならば、\(cf\)は狭義凹関数である。
拡大実数値をとる凸関数についても同様の主張が成り立ちます。つまり、拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)と非ゼロのスカラー\(c\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられたとき、それぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して以下の値\begin{equation*}\left( cf\right) \left( \boldsymbol{x}\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
cf\left( \boldsymbol{x}\right) & \left( if\ f\left( \boldsymbol{x}\right)
\in \mathbb{R} \right) \\
+\infty & \left( if\ c>0\wedge f\left( \boldsymbol{x}\right) =+\infty
\right) \\
-\infty & \left( if\ c<0\wedge f\left( \boldsymbol{x}\right) =+\infty
\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める拡大実数値関数\begin{equation*}
cf:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が定義可能です。
\(f\)が凸関数もしくは狭義凸関数である場合、\(cf\)の凹凸は以下のように定まります。証明は先の命題と同様です。
- \(f\)が凸関数であるとともに\(c\geq 0\)であるならば、\(cf\)は凸関数である。
- \(f\)が凸関数であるとともに\(c\leq 0\)であるならば、\(cf\)は凹関数である。
- \(f\)が狭義凸関数であるとともに\(c>0\)であるならば、\(cf\)は狭義凸関数である。
- \(f\)が狭義凸関数であるとともに\(c<0\)であるならば、\(cf\)は狭義凹関数である。
凹関数のスカラー倍
凸集合上に定義された多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して以下の値\begin{equation*}\left( cf\right) \left( \boldsymbol{x}\right) =cf\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}を定める新たな多変数関数\begin{equation*}
cf:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。
\(f\)が凹関数もしくは狭義凹関数である場合、\(cf\)の凹凸は以下のように定まります。ちなみに、\(c=0\)の場合に\(cf\)はゼロだけを値としてとり得る定数関数であるため、これは狭義凸関数と狭義凹関数のどちらでもありません。
- \(f\)が凹関数であるとともに\(c\geq 0\)であるならば、\(cf\)は凹関数である。
- \(f\)が凹関数であるとともに\(c\leq 0\)であるならば、\(cf\)は凸関数である。
- \(f\)が狭義凹関数であるとともに\(c>0\)であるならば、\(cf\)は狭義凹関数である。
- \(f\)が狭義凹関数であるとともに\(c<0\)であるならば、\(cf\)は狭義凸関数である。
- \(f\)が凹関数であるとともに\(c\geq 0\)であるならば、\(cf\)は凹関数である。
- \(f\)が凹関数であるとともに\(c\leq 0\)であるならば、\(cf\)は凸関数である。
- \(f\)が狭義凹関数であるとともに\(c>0\)であるならば、\(cf\)は狭義凹関数である。
- \(f\)が狭義凹関数であるとともに\(c<0\)であるならば、\(cf\)は狭義凸関数である。
拡大実数値をとる凹関数についても同様の主張が成り立ちます。つまり、拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty \right\} \)と非ゼロのスカラー\(c\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられたとき、それぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して以下の値\begin{equation*}\left( cf\right) \left( \boldsymbol{x}\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
cf\left( \boldsymbol{x}\right) & \left( if\ f\left( \boldsymbol{x}\right)
\in \mathbb{R} \right) \\
-\infty & \left( if\ c>0\wedge f\left( \boldsymbol{x}\right) =-\infty
\right) \\
+\infty & \left( if\ c<0\wedge f\left( \boldsymbol{x}\right) =-\infty
\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める拡大実数値関数\begin{equation*}
cf:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が定義可能です。
\(f\)が凹関数もしくは狭義凹関数である場合、\(cf\)の凹凸は以下のように定まります。証明は先の命題と同様です。
- \(f\)が凹関数であるとともに\(c\geq 0\)であるならば、\(cf\)は凹関数である。
- \(f\)が凹関数であるとともに\(c\leq 0\)であるならば、\(cf\)は凸関数である。
- \(f\)が狭義凹関数であるとともに\(c>0\)であるならば、\(cf\)は狭義凹関数である。
- \(f\)が狭義凹関数であるとともに\(c<0\)であるならば、\(cf\)は狭義凸関数である。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の凹凸を判定してください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の凹凸を判定してください。
&&\left( b\right) \ -2f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}の凹凸を判定してください。
&&\left( b\right) \ -f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}の凹凸を判定してください。
