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凸関数・凹関数

凸関数・凹関数の定数倍

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1変数の凸関数・凹関数の定数倍

区間上に定義された1変数関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}\left( c\cdot f\right) \left( x\right) =c\cdot f\left( x\right)
\end{equation*}を定める新たな1変数関数\(c\cdot f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。\(f\)が凸関数であるとともに\(c\geq 0\)であるならば\(c\cdot f\)もまた凸関数です。また、\(f\)が狭義凸関数であるとともに\(c>0\)であるならば\(c\cdot f\)もまた狭義凸関数です。

命題(凸関数の定数倍)

区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(c\cdot f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。このとき以下が成り立つ。

  1. \(f\)が凸関数であるとともに\(c\geq 0\)であるならば、\(c\cdot f\)もまた凸関数である。
  2. \(f\)が狭義凸関数であるとともに\(c>0\)であるならば、\(c\cdot f\)もまた狭義凸関数である。
証明

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狭義凸関数に関する主張は\(c=0\)の場合に成立しません。なぜなら、\(c=0\)の場合に\(c\cdot f\)は定数関数となり、定数関数は狭義凸関数ではないからです。ちなみに、\(c<0\)の場合には\(f\)と\(c\cdot f\)の凹凸が逆になります(演習問題)。

凹関数と狭義凹関数に関しても同様の主張が成り立ちます。

命題(凹関数の定数倍)

区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(c\cdot f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。このとき以下が成り立つ。

  1. \(f\)が凹関数であるとともに\(c\geq 0\)であるならば、\(c\cdot f\)もまた凹関数である。
  2. \(f\)が狭義凹関数であるとともに\(c>0\)であるならば、\(c\cdot f\)もまた狭義凹関数である。
証明

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狭義凹関数に関する主張は\(c=0\)の場合に成立しません。なぜなら、\(c=0\)の場合に\(c\cdot f\)は定数関数となり、定数関数は狭義凹関数ではないからです。ちなみに、\(c<0\)の場合には\(f\)と\(c\cdot f\)の凹凸が逆になります。

例(凸関数・凹関数の定数倍)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{2}\left( x+1\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(x+1\)は凸関数かつ凹関数であるため、その正の実数倍である\(f\)もまた凸関数かつ凹関数です。
例(凸関数・凹関数の定数倍)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =2x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(x^{2}\)は狭義凸関数であるため、その正の実数倍である\(f\)もまた狭義凸関数です。

 

多変数の凸関数・凹関数のスカラー倍

多変数の凸関数と凹関数についても同様の主張が成り立ちます。具体的には以下の通りです。

凸集合上に定義された多変数関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( c\cdot f\right) \left( x\right) =c\cdot f\left( x\right)
\end{equation*}を定める新たな多変数関数\(c\cdot f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。\(f\)が凸関数であるとともに\(c\geq 0\)であるならば\(c\cdot f\)もまた凸関数です。また、\(f\)が狭義凸関数であるとともに\(c>0\)であるならば\(c\cdot f\)もまた狭義凸関数です。

命題(凸関数の定数倍)

凸集合上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(c\cdot f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。このとき以下が成り立つ。

  1. \(f\)が凸関数であるとともに\(c\geq 0\)であるならば、\(c\cdot f\)もまた凸関数である。
  2. \(f\)が狭義凸関数であるとともに\(c>0\)であるならば、\(c\cdot f\)もまた狭義凸関数である。
証明

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狭義凸関数に関する主張は\(c=0\)の場合に成立しません。なぜなら、\(c=0\)の場合に\(c\cdot f\)は定数関数となり、定数関数は狭義凸関数ではないからです。ちなみに、\(c<0\)の場合には\(f\)と\(c\cdot f\)の凹凸が逆になります。

凹関数と狭義凹関数に関しても同様の主張が成り立ちます。

命題(凸関数の定数倍)

凸集合上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(c\cdot f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。このとき以下が成り立つ。

  1. \(f\)が凹関数であるとともに\(c\geq 0\)であるならば、\(c\cdot f\)もまた凹関数である。
  2. \(f\)が狭義凹関数であるとともに\(c>0\)であるならば、\(c\cdot f\)もまた狭義凹関数である。
証明

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狭義凹関数に関する主張は\(c=0\)の場合に成立しません。なぜなら、\(c=0\)の場合に\(c\cdot f\)は定数関数となり、定数関数は狭義凹関数ではないからです。ちなみに、\(c<0\)の場合には\(f\)と\(c\cdot f\)の凹凸が逆になります。

例(凸関数・凹関数の定数倍)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\frac{1}{2}\left( x+y+1\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(x+y+1\)は凸関数かつ凹関数であるため、その正の実数倍である\(f\)もまた凸関数かつ凹関数です。
例(凸関数・凹関数の定数倍)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =2\left( x^{2}+y^{2}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(x^{2}+y^{2}\)は狭義凸関数であるため、その正の実数倍である\(f\)もまた狭義凸関数です。

 

演習問題

問題(凸関数の負の定数倍)
凸集合上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(c\cdot f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。このとき以下が成り立つことを示してください。

  1. \(f\)が凸関数であるとともに\(c\leq 0\)であるならば、\(c\cdot f\)は凹関数である。
  2. \(f\)が狭義凸関数であるとともに\(c<0\)であるならば、\(c\cdot f\)は狭義凹関数である。
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