多変数の狭義凸関数・狭義凹関数

多変数の狭義凸関数

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)もしくはその部分集合を定義域とする多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)について、定義域\(X\)が凸集合であるとともに、\begin{equation*}\forall x\in X,\ \forall y\in X\backslash \left\{ x\right\} ,\ \forall
\lambda \in \left( 0,1\right) :\lambda f\left( x\right) +\left( 1-\lambda
\right) f\left( y\right) >f\left( \lambda x+\left( 1-\lambda \right) y\right)
\end{equation*}が成り立つ場合、\(f\)を狭義凸関数（strictly convexmathrmtion）と呼びます。

狭義凸関数の定義域は凸集合である必要がありますが、その理由は以下の通りです。関数\(f\)が狭義凸関数であることとは、定義域上の異なる点\(x,y\in X\)とスカラー\(\lambda \in \left(0,1\right) \)をそれぞれ任意に選んだとき、不等式\begin{equation*}\lambda f\left( x\right) +\left( 1-\lambda \right) f\left( y\right) >f\left(
\lambda x+\left( 1-\lambda \right) y\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味しますが、そもそも上の不等式が成立することを検討するためには右辺の値\(f\left(\lambda x+\left( 1-\lambda \right) y\right) \)が存在すること、すなわち関数\(f\)が点\(\lambda x+\left( 1-\lambda \right) y\)において定義されている必要があります。関数\(f\)の定義域\(X\)が凸集合であれば\(\lambda x+\left( 1-\lambda\right) y\in X\)であること、すなわち関数\(f\)が点\(\lambda x+\left(1-\lambda \right) y\)において定義されていることが保証されます。逆に、関数\(f\)の定義域\(X\)が凸集合でない場合、ある\(x,y,\lambda \)に対して\(f\left( \lambda x+\left(1-\lambda \right) y\right) \)が存在しない事態が起こり得るため、そもそも上の不等式が意味をなさなくなってしまいます。

狭義凸関数は凸関数と何が違うのでしょうか。凸集合を定義域とする関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が凸関数であることとは、\begin{equation*}\forall x,y\in X,\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :\lambda f\left(
x\right) +\left( 1-\lambda \right) f\left( y\right) \geq f\left( \lambda
x+\left( 1-\lambda \right) y\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味する一方、\(f\)が狭義凸関数であることとは、\begin{equation*}\forall x\in X,\ \forall y\in X\backslash \left\{ x\right\} ,\ \forall
\lambda \in \left( 0,1\right) :\lambda f\left( x\right) +\left( 1-\lambda
\right) f\left( y\right) >f\left( \lambda x+\left( 1-\lambda \right) y\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。最も大きな違いは、凸関数は大小関係\(\geq \)を用いて定義されているのに対し、狭義凸関数は狭義大小関係\(>\)を用いて定義されているという点です。それにあわせて、狭義凸関数の定義中の点\(x,y\)は\(X\)の異なる点であるとともに、スカラー\(\lambda \)が動く範囲は閉区間\(\left[ 0,1\right] \)ではなく開区間\(\left( 0,1\right) \)へと縮小されています。なぜなら、仮に\(x\)と\(y\)が同じ点であるならば、狭義凸関数を定義する不等式は、\begin{equation*}\lambda f\left( x\right) +\left( 1-\lambda \right) f\left( x\right) >f\left(
\lambda x+\left( 1-\lambda \right) x\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
f\left( x\right) >f\left( x\right)
\end{equation*}となり、定義そのものが意味をなさなくなってしまうからです。また、仮に\(\lambda \)が\(0\)や\(1\)を値としてとり得ることを認めてしまうと、狭義凸関数を定義する不等式は、\begin{eqnarray*}0f\left( x\right) +\left( 1-0\right) f\left( y\right) &>&f\left( 0x+\left(
1-0\right) y\right) \\
1f\left( x\right) +\left( 1-1\right) f\left( y\right) &>&f\left( 1x+\left(
1-1\right) y\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{eqnarray*}
f\left( y\right) &>&f\left( y\right) \\
f\left( x\right) &>&f\left( x\right)
\end{eqnarray*}などとなり、この場合にも定義そのものが意味をなさなくなってしまいます。

例（狭義凸関数）

関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x^{2}+y^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)のグラフは以下の通りです。

\(f\)の定義域\(\mathbb{R} ^{2}\)は凸集合です。定義域上の異なる点\(\left(x_{1},y_{1}\right) ,\left( x_{2},y_{2}\right) \in \mathbb{R} \)とスカラー\(\lambda \in \left( 0,1\right) \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}&&\lambda f\left( x_{1},y_{1}\right) +\left( 1-\lambda \right) f\left(
x_{2},y_{2}\right) -f\left( \lambda \left( x_{1},y_{1}\right) +\left(
1-\lambda \right) \left( x_{2},y_{2}\right) \right) \\
&=&\lambda \left( x_{1}^{2}+y_{1}^{2}\right) +\left( 1-\lambda \right)
\left( x_{2}^{2}+y_{2}^{2}\right) -\left\{ \left[ \lambda x_{1}+\left(
1-\lambda \right) x_{2}\right] ^{2}+\left[ \lambda y_{1}+\left( 1-\lambda
\right) y_{2}\right] ^{2}\right\} \\
&=&\lambda \left( x_{1}^{2}+y_{1}^{2}\right) +\left( 1-\lambda \right)
\left( x_{2}^{2}+y_{2}^{2}\right) -\left[ \lambda ^{2}\left(
x_{1}^{2}+y_{1}^{2}\right) +2\lambda \left( 1-\lambda \right) \left(
x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}\right) +\left( 1-\lambda \right) ^{2}\left(
x_{2}^{2}+y_{2}^{2}\right) \right] \\
&=&\left( \lambda -\lambda ^{2}\right) \left( x_{1}^{2}+y_{1}^{2}\right) +
\left[ \left( 1-\lambda \right) -\left( 1-\lambda \right) ^{2}\right] \left(
x_{2}^{2}+y_{2}^{2}\right) -2\lambda \left( 1-\lambda \right) \left(
x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}\right) \\
&=&\lambda \left( 1-\lambda \right) \left( x_{1}^{2}+y_{1}^{2}\right)
+\lambda \left( 1-\lambda \right) \left( x_{2}^{2}+y_{2}^{2}\right)
-2\lambda \left( 1-\lambda \right) \left( x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}\right) \\
&=&\lambda \left( 1-\lambda \right) \left[ \left( x_{1}^{2}+y_{1}^{2}\right)
+\left( x_{2}^{2}+y_{2}^{2}\right) -2\left( x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}\right) \right] \\
&=&\lambda \left( 1-\lambda \right) \left[ \left( x_{1}-x_{1}\right)
^{2}+\left( y_{1}-y_{2}\right) ^{2}\right] \\
&>&0\quad \because \left( x_{1},y_{1}\right) \not=\left( x_{2},y_{2}\right)
,\ \lambda \in \left( 0,1\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\lambda f\left( x_{1},y_{1}\right) +\left( 1-\lambda \right) f\left(
x_{2},y_{2}\right) >f\left( \lambda \left( x_{1},y_{1}\right) +\left(
1-\lambda \right) \left( x_{2},y_{2}\right) \right)
\end{equation*}が成り立つため\(f\)は狭義凸関数であることが示されました。

上の例が示唆するように、定義にもとづいて関数が狭義凸であることを示す作業は煩雑になりがちです。より扱いやすい狭義凸関数の判定条件が存在するため、多くの場合、それらを利用することになります。詳細は場を改めて解説します。

狭義凸関数は凸関数であることが保証されます。

上の命題の逆は成立するとは限りません。つまり、凸関数は狭義凸関数であるとは限りません。以下の例より明らかです。

例（凸だが狭義凸ではない関数）

関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x+y
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)のグラフは以下の通りです。

\(f\)の定義域\(\mathbb{R} ^{2}\)は凸集合です。この関数\(f\)は凸関数である一方で狭義凸関数ではありません（演習問題）。

多変数の狭義凹関数

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)もしくはその部分集合を定義域とする多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)について、定義域\(X\)が凸集合であるとともに、\begin{equation*}\forall x_{1}\in X,\ \forall x_{2}\in X\backslash \left\{ x_{1}\right\} ,\
\forall \lambda \in \left( 0,1\right) :\lambda f\left( x_{1}\right) +\left(
1-\lambda \right) f\left( x_{2}\right) <f\left( \lambda x_{1}+\left(
1-\lambda \right) x_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つ場合、\(f\)を狭義凹関数（strictly concavemathrmtion）と呼びます。

狭義凹関数は凹関数と何が違うのでしょうか。凸集合を定義域とする関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が凹関数であることとは、\begin{equation*}\forall x_{1},x_{2}\in X,\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :\lambda
f\left( x_{1}\right) +\left( 1-\lambda \right) f\left( x_{2}\right) \leq
f\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味する一方、\(f\)が狭義凹関数であることとは、\begin{equation*}\forall x_{1}\in X,\ \forall x_{2}\in X\backslash \left\{ x_{1}\right\} ,\
\forall \lambda \in \left( 0,1\right) :\lambda f\left( x_{1}\right) +\left(
1-\lambda \right) f\left( x_{2}\right) <f\left( \lambda x_{1}+\left(
1-\lambda \right) x_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。最も大きな違いは、凹関数は大小関係\(\geq \)を用いて定義されているのに対し、狭義凹関数は狭義大小関係\(>\)を用いて定義されているという点です。それにあわせて、狭義凹関数の定義中の点\(x_{1},x_{2}\)は\(X\)の異なる点であるとともに、スカラー\(\lambda \)が動く範囲は閉区間\(\left[ 0,1\right] \)ではなく開区間\(\left( 0,1\right) \)と指定されています。なぜなら、仮に\(x_{1}\)と\(x_{2}\)が同じ点であるならば、狭義凹関数を定義する不等式は、\begin{equation*}\lambda f\left( x_{1}\right) +\left( 1-\lambda \right) f\left( x_{1}\right)
<f\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{1}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
f\left( x_{1}\right) <f\left( x_{1}\right)
\end{equation*}となり、定義そのものが意味をなさなくなってしまうからです。また、仮に\(\lambda \)が\(0\)や\(1\)を値としてとり得ることを認めてしまうと、狭義凹関数を定義する不等式は、\begin{eqnarray*}0f\left( x_{1}\right) +\left( 1-0\right) f\left( x_{2}\right) &<&f\left(
0x_{1}+\left( 1-0\right) x_{2}\right) \\
1f\left( x_{1}\right) +\left( 1-1\right) f\left( x_{2}\right) &<&f\left(
1x_{1}+\left( 1-1\right) x_{2}\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{eqnarray*}
f\left( x_{2}\right) &<&f\left( x_{2}\right) \\
f\left( x_{1}\right) &<&f\left( x_{1}\right)
\end{eqnarray*}などとなり、この場合にも定義そのものが意味をなさなくなってしまいます。

凹関数と同様、狭義凹関数の定義域もまた区間である必要があります。つまり、関数\(f\)が狭義凹関数であることとは、定義域の異なる点\(x_{1},x_{2}\in X\)とスカラー\(\lambda \in \left( 0,1\right) \)をそれぞれ任意に選んだとき、不等式\begin{equation*}\lambda f\left( x_{1}\right) +\left( 1-\lambda \right) f\left( x_{2}\right)
<f\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味しますが、そもそも上の不等式が成立するか否かを検討するためには右辺の値\(f\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right) \)が存在すること、すなわち\(f\)が点\(\lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\)において定義されている必要があります。\(f\)の定義域\(X\)が凸集合であれば\(\lambda x_{1}+\left( 1-\lambda\right) x_{2}\in X\)であること、すなわち\(f\)が点\(\lambda x_{1}+\left( 1-\lambda\right) x_{2}\)において定義されていることが保証されます。逆に、\(f\)の定義域\(I\)が凸集合でない場合、ある\(x_{1},x_{2},\lambda \)に対して\(f\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda\right) x_{2}\right) \)が存在しない事態が起こり得るため、そもそも上の不等式が意味を持たなくなってしまいます。

例（狭義凹関数）

関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =-x^{2}-y^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)のグラフは以下の通りです。

\(f\)の定義域\(\mathbb{R} ^{2}\)は凸集合です。定義域上の異なる点\(\left(x_{1},y_{1}\right) ,\left( x_{2},y_{2}\right) \in \mathbb{R} \)とスカラー\(\lambda \in \left( 0,1\right) \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}&&\lambda f\left( x_{1},y_{1}\right) +\left( 1-\lambda \right) f\left(
x_{2},y_{2}\right) -\left[ f\left( \lambda \left( x_{1},y_{1}\right) +\left(
1-\lambda \right) \left( x_{2},y_{2}\right) \right) \right] \\
&=&-\left[ \lambda \left( x_{1}^{2}+y_{1}^{2}\right) +\left( 1-\lambda
\right) \left( x_{2}^{2}+y_{2}^{2}\right) \right] -\left\{ -\left[ \lambda
x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right] ^{2}+-\left[ \lambda
y_{1}+\left( 1-\lambda \right) y_{2}\right] ^{2}\right\} \\
&=&-\lambda \left( x_{1}^{2}+y_{1}^{2}\right) -\left( 1-\lambda \right)
\left( x_{2}^{2}+y_{2}^{2}\right) +\left[ \lambda ^{2}\left(
x_{1}^{2}+y_{1}^{2}\right) +2\lambda \left( 1-\lambda \right) \left(
x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}\right) +\left( 1-\lambda \right) ^{2}\left(
x_{2}^{2}+y_{2}^{2}\right) \right] \\
&=&-\left( \lambda -\lambda ^{2}\right) \left( x_{1}^{2}+y_{1}^{2}\right) –
\left[ \left( 1-\lambda \right) -\left( 1-\lambda \right) ^{2}\right] \left(
x_{2}^{2}+y_{2}^{2}\right) +2\lambda \left( 1-\lambda \right) \left(
x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}\right) \\
&=&-\lambda \left( 1-\lambda \right) \left( x_{1}^{2}+y_{1}^{2}\right)
-\lambda \left( 1-\lambda \right) \left( x_{2}^{2}+y_{2}^{2}\right)
+2\lambda \left( 1-\lambda \right) \left( x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}\right) \\
&=&-\lambda \left( 1-\lambda \right) \left[ \left(
x_{1}^{2}+y_{1}^{2}\right) +\left( x_{2}^{2}+y_{2}^{2}\right) -2\left(
x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}\right) \right] \\
&=&-\lambda \left( 1-\lambda \right) \left[ \left( x_{1}-x_{1}\right)
^{2}+\left( y_{1}-y_{2}\right) ^{2}\right] \\
&<&0\quad \because \left( x_{1},y_{1}\right) \not=\left( x_{2},y_{2}\right)
,\ \lambda \in \left( 0,1\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\lambda f\left( x_{1},y_{1}\right) +\left( 1-\lambda \right) f\left(
x_{2},y_{2}\right) <f\left( \lambda \left( x_{1},y_{1}\right) +\left(
1-\lambda \right) \left( x_{2},y_{2}\right) \right)
\end{equation*}が成り立つため\(f\)は狭義凹関数であることが示されました。

上の例が示唆するように、定義にもとづいて関数が狭義凹であることを示す作業は煩雑になりがちです。より扱いやすい狭義凹関数の判定条件が存在するため、多くの場合、それらを利用することになります。詳細は場を改めて解説します。

上の命題の逆は成立するとは限りません。つまり、凹関数は狭義凹関数であるとは限りません。以下の例より明らかです。

例（凹関数）

関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x+y
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)のグラフは以下の通りです。

この関数\(f\)は凹関数である一方で狭義凹関数ではありません（演習問題）。

狭義凸関数と狭義凹関数の関係

凸集合上に定義された関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( -f\right) \left( x\right) =-f\left( x\right)
\end{equation*}を定める関数\(-f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。\(f\)が狭義凸関数であることは\(-f\)が狭義凹関数であることと必要十分であり、また、\(f\)が狭義凹関数であることは\(-f\)が狭義凸関数であることと必要十分です。

演習問題