WIIS

凸関数・凹関数

エピグラフやハイポグラフを用いた多変数の凸関数・凹関数の判定

目次

関連知識

Mailで保存
Xで共有

エピグラフを用いた多変数の凸関数の判定

凸集合上に定義された多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が凸関数であることは、\begin{equation*}\forall x,y\in X,\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :\lambda f\left(
x\right) +\left( 1-\lambda \right) f\left( y\right) \geq f\left( \lambda
x+\left( 1-\lambda \right) y\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されますが、定義にもとづいて関数が凸であることを示す作業は煩雑になりがちです。ただ、関数\(f\)が\(C^{1}\)級である場合、\begin{equation*}\forall x,y\in X:f\left( y\right) \geq \nabla f\left( x\right) \cdot \left(
y-x\right) +f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つことは\(f\)が凸関数であるための必要十分条件であり、さらに、関数\(f\)が\(C^{2}\)級である場合、任意の点\(x\in X\)における\(F\)のヘッセ行列が半正定値(非負定値)であることは\(f\)が凸関数であるための必要十分条件です。では、関数\(f\)が偏微分可能でない場合、\(f\)が凸関数であることを簡単に判定する方法はあるのでしょうか。

凸集合上に定義された多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)のグラフは、\begin{equation*}G\left( f\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in X\times \mathbb{R} \ |\ y=f\left( x\right) \right\}
\end{equation*}と定義される\(\mathbb{R} ^{n+1}\)の部分集合であるため、空間\(\mathbb{R} ^{n+1}\)は\(G\left( f\right) \)を境に2つの領域に分割されます。特に、\begin{equation*}\mathrm{epi}\left( f\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in X\times \mathbb{R} \ |\ y\geq f\left( x\right) \right\}
\end{equation*}を関数\(f\)のエピグラフ(epigraph)と呼びます。定義より、\begin{equation*}G\left( f\right) \subset \mathrm{epi}\left( f\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

関数のエピグラフが凸集合であることは、その関数が凸関数であるための必要十分条件です。

命題(エピグラフを用いた凸関数の判定)
凸集合上に定義された関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)のエピグラフ\(\mathrm{epi}\left(f\right) \)が凸集合であることは、\(f\)が凸関数であるための必要十分である。
証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

例(エピグラフと凸関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
x & \left( if\ x\geq 0\right) \\
-x & \left( if\ x<0\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は明らかに微分可能ではありません。\(f\)のエピグラフは、\begin{equation*}\mathrm{epi}\left( f\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x\geq 0\wedge y\geq x\right\} \cup \left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x<0\wedge y\geq -x\right\}
\end{equation*}であり、これは下図のグレーの領域に相当します。これは明らかに凸集合であるため、\(f\)は凸関数です。

図:エピグラフ
図:エピグラフ

 

ハイポグラフを用いた多変数の凹関数の判定

凸集合上に定義された多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が凹関数であることは、\begin{equation*}\forall x,y\in X,\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :\lambda f\left(
x\right) +\left( 1-\lambda \right) f\left( y\right) \leq f\left( \lambda
x+\left( 1-\lambda \right) y\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されますが、定義にもとづいて関数が凹であることを示す作業は煩雑になりがちです。ただ、関数\(f\)が\(C^{1}\)級である場合、\begin{equation*}\forall x,y\in X:f\left( y\right) \leq \nabla f\left( x\right) \cdot \left(
y-x\right) +f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つことは\(f\)が凹関数であるための必要十分条件であり、さらに、関数\(f\)が\(C^{2}\)級である場合、任意の点\(x\in X\)における\(F\)のヘッセ行列が半負定値(非正定値)であることは\(f\)が凹関数であるための必要十分条件です。では、関数\(f\)が偏微分可能でない場合、\(f\)が凹関数であることを簡単に判定する方法はあるのでしょうか。

凸集合上に定義された多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)のグラフは、\begin{equation*}G\left( f\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in X\times \mathbb{R} \ |\ y=f\left( x\right) \right\}
\end{equation*}と定義される\(\mathbb{R} ^{n+1}\)の部分集合であるため、空間\(\mathbb{R} ^{n+1}\)は\(G\left( f\right) \)を境に2つの領域に分割されます。特に、\begin{equation*}\mathrm{hyp}\left( f\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in X\times \mathbb{R} \ |\ y\leq f\left( x\right) \right\}
\end{equation*}を関数\(f\)のハイポグラフ(hypograph)と呼びます。定義より、\begin{equation*}G\left( f\right) \subset \mathrm{hyp}\left( f\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

関数のハイポグラフが凸集合であることは、その関数が凹関数であるための必要十分条件です。

命題(ハイポグラフを用いた凹関数の判定)
凸集合上に定義された関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)のハイポグラフ\(\mathrm{hyp}\left( f\right) \)が凸集合であることは、\(f\)が凹関数であるための必要十分である。
証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

例(ハイポグラフと凹関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
-x & \left( if\ x\geq 0\right) \\
x & \left( if\ x<0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は明らかに微分可能ではありません。\(f\)のハイポグラフは、\begin{equation*}\mathrm{hyp}\left( f\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x\geq 0\wedge y\leq -x\right\} \cup \left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x<0\wedge y\leq x\right\}
\end{equation*}であり、これは下図のグレーの領域に相当します。これは明らかに凸集合であるため、\(f\)は凹関数です。

図:ハイポグラフ
図:ハイポグラフ

 

演習問題

問題(エピグラフと凸関数)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x^{2}+y^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が凸関数であることをエピグラフを用いて示してください。
解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

関連知識

Mailで保存
Xで共有

質問とコメント

プレミアム会員専用コンテンツです

会員登録

有料のプレミアム会員であれば、質問やコメントの投稿と閲覧、プレミアムコンテンツ(命題の証明や演習問題とその解答)へのアクセスなどが可能になります。

ワイズのユーザーは年齢・性別・学歴・社会的立場などとは関係なく「学ぶ人」として対等であり、お互いを人格として尊重することが求められます。ユーザーが快適かつ安心して「学ぶ」ことに集中できる環境を整備するため、広告やスパム投稿、他のユーザーを貶めたり威圧する発言、学んでいる内容とは関係のない不毛な議論などはブロックすることになっています。詳細はガイドラインをご覧ください。

誤字脱字、リンク切れ、内容の誤りを発見した場合にはコメントに投稿するのではなく、以下のフォームからご連絡をお願い致します。

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

凸関数・凹関数