エピグラフやハイポグラフを用いた多変数の凸関数・凹関数の判定

エピグラフを用いた多変数の凸関数の判定

凸集合上に定義された多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が凸関数であることは、\begin{equation*}\forall x,y\in X,\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :\lambda f\left(
x\right) +\left( 1-\lambda \right) f\left( y\right) \geq f\left( \lambda
x+\left( 1-\lambda \right) y\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されますが、定義にもとづいて関数が凸であることを示す作業は煩雑になりがちです。ただ、関数\(f\)が\(C^{1}\)級である場合、\begin{equation*}\forall x,y\in X:f\left( y\right) \geq \nabla f\left( x\right) \cdot \left(
y-x\right) +f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つことは\(f\)が凸関数であるための必要十分条件であり、さらに、関数\(f\)が\(C^{2}\)級である場合、任意の点\(x\in X\)における\(F\)のヘッセ行列が半正定値（非負定値）であることは\(f\)が凸関数であるための必要十分条件です。では、関数\(f\)が偏微分可能でない場合、\(f\)が凸関数であることを簡単に判定する方法はあるのでしょうか。

凸集合上に定義された多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)のグラフは、\begin{equation*}G\left( f\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in X\times \mathbb{R} \ |\ y=f\left( x\right) \right\}
\end{equation*}と定義される\(\mathbb{R} ^{n+1}\)の部分集合であるため、空間\(\mathbb{R} ^{n+1}\)は\(G\left( f\right) \)を境に2つの領域に分割されます。特に、\begin{equation*}\mathrm{epi}\left( f\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in X\times \mathbb{R} \ |\ y\geq f\left( x\right) \right\}
\end{equation*}を関数\(f\)のエピグラフ（epigraph）と呼びます。定義より、\begin{equation*}G\left( f\right) \subset \mathrm{epi}\left( f\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

関数のエピグラフが凸集合であることは、その関数が凸関数であるための必要十分条件です。

例（エピグラフと凸関数）

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
x & \left( if\ x\geq 0\right) \\
-x & \left( if\ x<0\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は明らかに微分可能ではありません。\(f\)のエピグラフは、\begin{equation*}\mathrm{epi}\left( f\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x\geq 0\wedge y\geq x\right\} \cup \left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x<0\wedge y\geq -x\right\}
\end{equation*}であり、これは下図のグレーの領域に相当します。これは明らかに凸集合であるため、\(f\)は凸関数です。

ハイポグラフを用いた多変数の凹関数の判定

凸集合上に定義された多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が凹関数であることは、\begin{equation*}\forall x,y\in X,\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :\lambda f\left(
x\right) +\left( 1-\lambda \right) f\left( y\right) \leq f\left( \lambda
x+\left( 1-\lambda \right) y\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されますが、定義にもとづいて関数が凹であることを示す作業は煩雑になりがちです。ただ、関数\(f\)が\(C^{1}\)級である場合、\begin{equation*}\forall x,y\in X:f\left( y\right) \leq \nabla f\left( x\right) \cdot \left(
y-x\right) +f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つことは\(f\)が凹関数であるための必要十分条件であり、さらに、関数\(f\)が\(C^{2}\)級である場合、任意の点\(x\in X\)における\(F\)のヘッセ行列が半負定値（非正定値）であることは\(f\)が凹関数であるための必要十分条件です。では、関数\(f\)が偏微分可能でない場合、\(f\)が凹関数であることを簡単に判定する方法はあるのでしょうか。

凸集合上に定義された多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)のグラフは、\begin{equation*}G\left( f\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in X\times \mathbb{R} \ |\ y=f\left( x\right) \right\}
\end{equation*}と定義される\(\mathbb{R} ^{n+1}\)の部分集合であるため、空間\(\mathbb{R} ^{n+1}\)は\(G\left( f\right) \)を境に2つの領域に分割されます。特に、\begin{equation*}\mathrm{hyp}\left( f\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in X\times \mathbb{R} \ |\ y\leq f\left( x\right) \right\}
\end{equation*}を関数\(f\)のハイポグラフ（hypograph）と呼びます。定義より、\begin{equation*}G\left( f\right) \subset \mathrm{hyp}\left( f\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

関数のハイポグラフが凸集合であることは、その関数が凹関数であるための必要十分条件です。

例（ハイポグラフと凹関数）

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
-x & \left( if\ x\geq 0\right) \\
x & \left( if\ x<0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は明らかに微分可能ではありません。\(f\)のハイポグラフは、\begin{equation*}\mathrm{hyp}\left( f\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x\geq 0\wedge y\leq -x\right\} \cup \left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x<0\wedge y\leq x\right\}
\end{equation*}であり、これは下図のグレーの領域に相当します。これは明らかに凸集合であるため、\(f\)は凹関数です。

演習問題