アロー・プラットの絶対的リスク回避度

絶対的リスク回避度を用いたリスク選好の表現

何らかの行動を選択した場合、実際に起こり得る結果として複数の候補が存在し、なおかつ、その中のどの結果が実際に起こるかが完全に予測できない状況、すなわちランダムネスが成立している状況を想定した上で、そのような状況において意思決定主体が直面する個々の選択肢がクジとして定式化されているものとします。起こり得るすべての結果からなる集合\(X\)が有限集合や可算集合である場合、クジとは、それぞれの結果\(x\in X\)に対して、その結果が起こる確率\(L\left( x\right) \in \mathbb{R} \)を特定する関数\begin{equation*}L:X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}として表現されます。一方、結果集合\(X\)が数直線\(\mathbb{R} \)上の区間などの非可算集合である場合、クジ\(L\)は確率密度関数\begin{equation*}f_{L}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}として表現されます。主体が直面するすべてのクジからなる集合を\(\mathcal{L}\)で表記します。

主体がクジどうしを比較する評価体系が期待効用関数\begin{equation*}
U:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}として表現されている状況を想定します。つまり、クジ\(L\in \mathcal{L}\)の期待効用が、\begin{eqnarray*}U\left( L\right) &=&\sum_{n=1}^{N}\left[ L\left( x_{n}\right) \cdot u\left(
x_{n}\right) \right] \quad \because X\text{が有限集合である場合} \\
&=&\sum_{n=1}^{\infty }\left[ L\left( x_{n}\right) \cdot u\left(
x_{n}\right) \right] \quad \because X\text{が可算集合である場合} \\
&=&\int_{-\infty }^{+\infty }\left[ u\left( x\right) \cdot f_{L}\left(
x\right) \right] dx\quad \because X\text{が}\mathbb{R} \text{上の区間である場合}
\end{eqnarray*}として定まるということです。ただし、\begin{equation*}
u:\mathbb{R} \supset D\left( u\right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}はベルヌーイ効用関数です。\(D\left( u\right) \)は\(u\)の定義域を表す記号です。

主体のベルヌーイ関数\(u:\mathbb{R} \supset D\left( u\right) \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、以下の関係\begin{eqnarray*}\text{リスク回避的} &\Leftrightarrow &u\text{は凹関数} \\
\text{リスク中立的} &\Leftrightarrow &u\text{は線型関数} \\
\text{リスク愛好的} &\Leftrightarrow &u\text{は凸関数}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

ベルヌーイ関数\(u:\mathbb{R} \supset D\left( u\right) \rightarrow \mathbb{R} \)が狭義単調増加かつ2階微分可能であるものとします。この場合には、任意の\(x\in D\left(u\right) \)に対して、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ u^{\prime }\left( x\right) =\frac{du\left( x\right) }{dx}\in \mathbb{R} _{++} \\
&&\left( b\right) \ u^{\prime \prime }\left( x\right) =\frac{d^{2}u\left(
x\right) }{dx}\in \mathbb{R} \end{eqnarray*}が成り立つため、以下の値\begin{equation*}
A\left( x,u\right) =-\frac{u^{\prime \prime }\left( x\right) }{u^{\prime
}\left( x\right) }
\end{equation*}が有限な実数として定まることが保証されます。これを\(x\)におけるアロー・プラットの絶対的リスク回避度（Arrow-Pratt coefficient of absolute risk aversion at \(x\)）と呼びます。

ベルヌーイ関数\(u\)が狭義単調増加である状況を仮定しているため、絶対的リスク回避度の分子\(u^{\prime }\left( x\right) \)は常に正です。したがって、絶対的リスク回避度の符号は分子\(u^{\prime \prime }\left( x\right) \)の符号に依存します。ただし、区間上に定義された2階微分可能な関数\(u\)に関しては以下の関係\begin{eqnarray*}u\text{は凹関数} &\Leftrightarrow &\forall x\in
D\left( u\right) :u^{\prime \prime }\left( x\right) \leq 0 \\
u\text{は線型関数} &\Leftrightarrow &\forall
x\in D\left( u\right) :u^{\prime \prime }\left( x\right) =0 \\
u\text{は凸関数} &\Leftrightarrow &\forall x\in
D\left( u\right) :u^{\prime \prime }\left( x\right) \geq 0
\end{eqnarray*}が成り立つため、結局、絶対的リスク回避度の符号はベルヌーイ関数\(u\)の凹凸に依存します。

主体のリスク選好とベルヌーイ関数\(u\)の凹凸の間に成立する関係と、ベルヌーイ関数\(u\)の凹凸と絶対的リスク回避度の符号の間に成立する関係を踏まえると、主体のリスク選好と絶対的リスク回避度の符号の間に成立する以下の関係が導かれます。

絶対的リスク回避度を用いたリスク回避度の比較

絶対的リスク回避度の符号を観察することにより主体のリスク回避度を特定できることが明らかになりました。続いて、リスク回避的な主体を対象とした場合、絶対的リスク回避度を利用することによりリスク回避の度合いを比較できることを示します。

2人の主体\(1,2\)のベルヌーイ関数を、\begin{eqnarray*}u_{1} &:&\mathbb{R} \supset D\left( u_{1}\right) \rightarrow \mathbb{R} \\
u_{2} &:&\mathbb{R} \supset D\left( u_{2}\right) \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}でそれぞれ表記します。主体\(1\)が主体\(2\)よりもリスク回避的であることを確実同値額を用いて表現すると、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall L\in \mathcal{L}:E\left( L\right) \geq c\left(
L,u_{1}\right) \\
&&\left( b\right) \ \forall L\in \mathcal{L}:E\left( L\right) \geq c\left(
L,u_{2}\right) \\
&&\left( c\right) \ \forall L\in \mathcal{L}:c\left( L,u_{1}\right) \leq
c\left( L,u_{2}\right)
\end{eqnarray*}となります。条件\(\left(a\right) ,\left( b\right) \)は主体\(1,2\)がともにリスク回避的であることを意味し、条件\(\left( c\right) \)は主体\(1\)が主体\(2\)よりもリスク回避の度合いが強いことを意味します。

絶対的リスク回避度を用いてこれらの条件を以下のように表現することもできます。