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不確実性下の意思決定

不確実性を評価する選好関係の推移性

目次

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推移性を満たす選好関係

クジ集合\(\mathcal{L}\)上の選好関係\(\succsim \)が、\begin{equation*}\forall L,L^{\prime },L^{\prime \prime }\in \mathcal{L}:\left[ \left(
L\succsim L^{\prime }\wedge L^{\prime }\succsim L^{\prime \prime }\right)
\Rightarrow L\succsim L^{\prime \prime }\right] \end{equation*}を満たす場合には、つまり、3つのクジ\(L,L^{\prime },L^{\prime \prime }\)を任意に選んだとき、意思決定主体が\(L\)を\(L^{\prime }\)以上に好み\(L^{\prime }\)を\(L^{\prime \prime }\)以上に好む場合、\(L\)を\(L^{\prime \prime}\)以上に好むことが保証されるのであれば、\(\succsim \)は推移性(transitivity)を満たすと言います。

例(選好関係の推移性)
結果集合が実数を要素として持つ集合\begin{equation*}
X=\left\{ x_{1},\cdots ,x_{N}\right\} \subset \mathbb{R} \end{equation*}であるものとします。クジ\(L\in \mathcal{L}\)のもとでの結果の期待値を、\begin{equation*}E_{L}\left( x\right) =\sum_{n=1}^{N}\left[ x_{n}L\left( x_{n}\right) \right] \end{equation*}で表記します。クジ集合\(\mathcal{L}\)上の選好関係\(\succsim \)が、任意の2つのクジ\(L,L^{\prime }\in \mathcal{L}\)に対して、\begin{equation*}L\succsim L^{\prime }\Leftrightarrow E_{L}\left( x\right) \geq E_{L^{\prime
}}\left( x\right)
\end{equation*}を満たすものとします。つまり、クジ\(L\)のもとでの結果の期待値がクジ\(L^{\prime }\)のもとでの結果の期待値以上であるとき、そしてその場合にのみ\(L\)は\(L^{\prime }\)以上に望ましいということです。期待値は実数であり、実数どうしを比較する大小関係\(\geq \)は推移性を満たすため、上のように定義される\(\succsim \)は明らかに推移性を満たします。
例(選好関係の推移性)
結果集合が\begin{equation*}
X=\left\{ x_{1},\cdots ,x_{N}\right\}
\end{equation*}であるものとします。クジ集合\(\mathcal{L}\)上の選好関係\(\succsim \)が、任意の2つのクジ\(L,L^{\prime }\in \mathcal{L}\)に対して、\begin{equation*}L\succsim L^{\prime }\Leftrightarrow L\left( x_{1}\right) \geq L^{\prime
}\left( x_{1}\right)
\end{equation*}を満たすものとします。つまり、クジ\(L\)のもとで結果\(x_{1}\)が選ばれる確率がクジ\(L^{\prime }\)のもとで結果\(x_{1}\)が選ばれる確率以上であるとき、そしてその場合にのみ\(L\)は\(L^{\prime }\)以上に望ましいということです。クジのもとで結果\(x_{1}\)が選ばれる確率は実数であり、実数どうしを比較する大小関係\(\geq \)は推移性を満たすため、上のように定義される\(\succsim \)は明らかに推移性を満たします。
例(選好関係の推移性)
結果集合が\begin{equation*}
X=\left\{ x_{1},\cdots ,x_{N}\right\}
\end{equation*}であるものとします。クジ集合\(\mathcal{L}\)上の選好関係\(\succsim \)が、任意の2つのクジ\(L,L^{\prime }\in \mathcal{L}\)に対して、\begin{equation*}L\succsim L^{\prime }\Leftrightarrow L\left( x_{1}\right) \geq L^{\prime
}\left( x_{1}\right) \wedge L\left( x_{2}\right) \geq L^{\prime }\left(
x_{2}\right)
\end{equation*}を満たすものとします。上のように定義された\(\succsim \)は推移性を満たします(演習問題)。

推移性の意味を深く理解するために、完備性を満たす一方で推移性を満たさない選好関係\(\succsim \)のもとでどのような問題が生じ得るかを考えます。\(\succsim \)が推移性を満たさない場合、推移性の定義の否定に相当する以下の命題\begin{equation*}\exists L,L^{\prime },L^{\prime \prime }\in \mathcal{L}:\left[ L\succsim
L^{\prime }\wedge L^{\prime }\succsim L^{\prime \prime }\wedge \lnot \left(
L\succsim L^{\prime \prime }\right) \right] \end{equation*}が成り立ちます。\(\succsim \)が完備性を満たす場合には任意のクジ\(L,L^{\prime\prime }\in \mathcal{L}\)の間に、\begin{equation*}\lnot (L\succsim L^{\prime \prime })\Leftrightarrow L^{\prime \prime }\succ L
\end{equation*}という関係が成り立つため(排除性)、これを用いて先の命題を言い換えると、\begin{equation*}
\exists L,L^{\prime },L^{\prime \prime }\in \mathcal{L}:\left[ L\succsim
L^{\prime }\wedge L^{\prime }\succsim L^{\prime \prime }\wedge L^{\prime
\prime }\succ L\right] \end{equation*}を得ます。つまり、この消費者にとって\(L^{\prime \prime }\)は\(L\)よりも望ましく(\(L^{\prime \prime }\succ L\))、\(L^{\prime }\)は\(L^{\prime \prime }\)以上に望ましい(\(L^{\prime }\succsim L^{\prime \prime }\))という形で\(L\)を出発点にそれよりも厳密に望ましいか同等以上のクジへ移行することで\(L^{\prime }\)へ至ったにも関わらず、この\(L^{\prime }\)は最初の\(L\)以上に望ましい(\(L\succsim L^{\prime }\))という奇妙な状況が発生しています。つまり、\begin{equation*}\cdots \succ L\succsim L^{\prime }\succsim L^{\prime \prime }\succ L\succsim
L^{\prime }\succsim L^{\prime \prime }\succ L\succsim L^{\prime }\succsim
L^{\prime \prime }\succ \cdots
\end{equation*}という形で主体の選好が循環しているということです。選好関係に対して推移性の仮定を設けることにより、こうした状況が発生する可能性を排除できます。

 

推移性の含意

選好関係\(\succsim \)の推移性からは選好関係に関する様々な性質を導くことができます。選好関係\(\succsim \)の推移性からは、無差別関係\(\sim \)に関する推移性\begin{equation*}\forall L,L^{\prime },L^{\prime \prime }\in \mathcal{L}:\left[ \left( L\sim
L^{\prime }\wedge L^{\prime }\sim L^{\prime \prime }\right) \Rightarrow
L\sim L^{\prime \prime }\right] \end{equation*}を導くこともできます。つまり、3つのクジ\(L,L^{\prime },L^{\prime \prime }\)を任意に選んだとき、主体にとって\(L\)と\(L^{\prime }\)が同じ程度望ましく、\(L^{\prime }\)が\(L^{\prime \prime }\)と同じ程度望ましい場合には、\(L\)と\(L^{\prime \prime }\)が同じ程度望ましいことが保証されるということです。

命題(無差別関係の推移性)
クジ集合\(\mathcal{L}\)上の選好関係\(\succsim \)が推移性を満たす場合には、クジ\(L,L^{\prime },L^{\prime \prime }\in \mathcal{L}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\forall L,L^{\prime },L^{\prime \prime }\in \mathcal{L}:\left[ \left( L\sim
L^{\prime }\wedge L^{\prime }\sim L^{\prime \prime }\right) \Rightarrow
L\sim L^{\prime \prime }\right] \end{equation*}が成り立つ。

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選好関係\(\succsim \)の推移性からは、狭義選好関係\(\succ \)に関する推移性\begin{equation*}\forall L,L^{\prime },L^{\prime \prime }\in \mathcal{L}:\left[ \left( L\succ
L^{\prime }\wedge L^{\prime }\succ L^{\prime \prime }\right) \Rightarrow
L\succ L^{\prime \prime }\right] \end{equation*}を導くこともできます。つまり、3つのクジ\(L,L^{\prime },L^{\prime \prime }\)を任意に選んだとき、主体にとって\(L\)は\(L^{\prime }\)よりも望ましく、\(L^{\prime }\)が\(L^{\prime\prime }\)よりも望ましい場合には、\(L\)は\(L^{\prime \prime }\)よりも望ましいことが保証されるということです。

命題(狭義選好関係の推移性)
クジ集合\(\mathcal{L}\)上の選好関係\(\succsim \)が推移性を満たす場合には、クジ\(L,L^{\prime },L^{\prime \prime }\in \mathcal{L}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\forall L,L^{\prime },L^{\prime \prime }\in \mathcal{L}:\left[ \left( L\succ
L^{\prime }\wedge L^{\prime }\succ L^{\prime \prime }\right) \Rightarrow
L\succ L^{\prime \prime }\right] \end{equation*}が成り立つ。

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クジ\(L,L^{\prime },L^{\prime \prime }\in \mathcal{L}\)を任意に選んだとき、\(L\succsim L^{\prime }\)と\(L^{\prime }\succ L^{\prime \prime }\)がともに成り立つものとします。選好関係\(\succsim \)が推移性を満たす場合、ここから\(L\succsim L^{\prime\prime }\)と\(\lnot \left( L^{\prime \prime }\succsim L\right) \)をそれぞれ導くことができるため(演習問題)、\(\succ \)の定義より\(L\succ L^{\prime \prime }\)を得ます。すなわち、\begin{equation*}\left( L\succsim L^{\prime }\wedge L^{\prime }\succ L^{\prime \prime
}\right) \Rightarrow L\succ L^{\prime \prime }
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、3つのクジ\(L,L^{\prime},L^{\prime \prime }\)を任意に選んだとき、主体にとって\(L\)が\(L^{\prime }\)以上に望ましく、\(L^{\prime }\)が\(L^{\prime \prime }\)よりも望ましい場合には、\(L\)が\(L^{\prime \prime }\)よりも望ましいことが保証されるということです。さらに以上の関係を利用すると、\begin{equation*}\left( L\sim L^{\prime }\wedge L^{\prime }\succ L^{\prime \prime }\right)
\Rightarrow L\succ L^{\prime \prime }
\end{equation*}を示すこともできます(演習問題)。つまり、3つのクジ\(L,L^{\prime},L^{\prime \prime }\)を任意に選んだとき、主体にとって\(L\)と\(L^{\prime }\)が同じ程度望ましく、\(L^{\prime }\)が\(L^{\prime \prime }\)よりも望ましい場合には、\(L\)が\(L^{\prime \prime }\)よりも望ましいことが保証されるということです。これをIP推移性(IP-transitivity)と呼ぶことがあります。

同様にして、任意のクジ\(L,L^{\prime },L^{\prime \prime }\in \mathcal{L}\)に対して、\begin{equation*}\left( L\succ L^{\prime }\wedge L^{\prime }\succsim L^{\prime \prime
}\right) \Rightarrow L\succ L^{\prime \prime }
\end{equation*}が成り立つことを\(\succsim \)の推移性から導くことができ、さらにそこから、\begin{equation*}\left( L\succ L^{\prime }\wedge L^{\prime }\sim L^{\prime \prime }\right)
\Rightarrow L\succ L^{\prime \prime }
\end{equation*}を導くことができます(演習問題にします)。これをPI推移性(PI-transitivity)と呼ぶことがあります。

命題(IP推移性・PI推移性)
クジ集合\(\mathcal{L}\)上の選好関係\(\succsim \)が推移性を満たす場合には、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall L,L^{\prime },L^{\prime \prime }\in \mathcal{L}:\left[ \left( L\succsim L^{\prime }\wedge L^{\prime }\succ L^{\prime \prime
}\right) \Rightarrow L\succ L^{\prime \prime }\right] \\
&&\left( b\right) \ \forall L,L^{\prime },L^{\prime \prime }\in \mathcal{L}:\left[ \left( L\sim L^{\prime }\wedge L^{\prime }\succ L^{\prime \prime
}\right) \Rightarrow L\succ L^{\prime \prime }\right] \\
&&\left( c\right) \ \forall L,L^{\prime },L^{\prime \prime }\in \mathcal{L}:\left[ \left( L\succ L^{\prime }\wedge L^{\prime }\succsim L^{\prime \prime
}\right) \Rightarrow L\succ L^{\prime \prime }\right] \\
&&\left( d\right) \ \forall L,L^{\prime },L^{\prime \prime }\in \mathcal{L}:\left[ \left( L\succ L^{\prime }\wedge L^{\prime }\sim L^{\prime \prime
}\right) \Rightarrow L\succ L^{\prime \prime }\right] \end{eqnarray*}がいずれも成り立つ。

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効用関数を用いた推移性の特徴づけ

繰り返しになりますが、クジ集合\(\mathcal{L}\)上の選好関係\(\succsim \)が推移性を満たすこととは、\begin{equation}\forall L,L^{\prime },L^{\prime \prime }\in \mathcal{L}:\left[ (L\succsim
L^{\prime }\wedge L^{\prime }\succsim L^{\prime \prime })\Rightarrow
L\succsim L^{\prime \prime }\right] \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことを意味します。この選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(U:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する場合、効用関数の定義より、効用関数を用いて上の性質を言い換えると、\begin{equation}\forall L,L^{\prime },L^{\prime \prime }\in \mathcal{L}:\left\{ \left[
U\left( L\right) \geq U\left( L^{\prime }\right) \wedge U\left( L^{\prime
}\right) \geq U\left( L^{\prime \prime }\right) \right] \Rightarrow U\left(
L\right) \geq U\left( L^{\prime \prime }\right) \right\} \quad \cdots (2)
\end{equation}となります。つまり、選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(U\)が存在する場合、\(\left( 1\right) \)と\(\left( 2\right) \)は必要十分条件になります。

命題(効用関数を用いた推移性の特徴づけ)
クジ集合\(\mathcal{L}\)上の選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数\(U:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する場合、\begin{equation*}\forall L,L^{\prime },L^{\prime \prime }\in \mathcal{L}:\left\{ \left[
U\left( L\right) \geq U\left( L^{\prime }\right) \wedge U\left( L^{\prime
}\right) \geq U\left( L^{\prime \prime }\right) \right] \Rightarrow U\left(
L\right) \geq U\left( L^{\prime \prime }\right) \right\}
\end{equation*}が成り立つことは\(\succsim \)が推移性を満たすための必要十分条件である。

ただ、実数空間\(\mathbb{R} \)上の大小関係\(\leq \)は推移性\begin{equation*}\forall a,b,c\in \mathbb{R} :\left[ \left( a\geq b\wedge b\geq c\right) \Rightarrow a\geq c\right] \end{equation*}を満たすため、選好関係\(\succsim \)が推移性を満たすかどうかに関わらず、それを表現する任意の効用関数\(U\)は上の命題中の性質\begin{equation*}\forall L,L^{\prime },L^{\prime \prime }\in \mathcal{L}:\left\{ \left[
U\left( L\right) \geq U\left( L^{\prime }\right) \wedge U\left( L^{\prime
}\right) \geq U\left( L^{\prime \prime }\right) \right] \Rightarrow U\left(
L\right) \geq U\left( L^{\prime \prime }\right) \right\}
\end{equation*}を満たします。したがって、仮に選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(U\)が存在する場合、その\(U\)もまた上の性質を満たすため、先の命題より、\(\succsim \)は推移性を満たします。つまり、一般には選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数\(U\)は存在するとは限りませんが、仮に\(\succsim \)を表現する効用関数が存在する場合には、その選好\(\succsim \)が推移性を満たすことが保証されるというわけです。

命題(効用関数によって表現される選好関係の推移性)
クジ集合\(\mathcal{L}\)上の選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数\(U:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する場合には、\(\succsim \)は推移性を満たす。

期待効用関数は効用関数であるため、上の命題より以下を得ます。

命題(期待効用関数によって表現される選好関係の推移性)
クジ集合\(\mathcal{L}\)上の選好関係\(\succsim \)を表現する期待効用関数\(U:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する場合には、\(\succsim \)は推移性を満たす。

ちなみに、これらの命題の逆は成立するとは限りません。つまり、たとえ選好関係\(\succsim \)が推移性を満たす場合においても、その\(\succsim \)を表現する効用関数や期待効用関数は存在するとは限りません。効用関数や期待効用関数が存在するための条件については場を改めて詳しく解説します。

 

演習問題

問題(選好関係の推移性)
クジ集合\(\mathcal{L}\)上に定義された選好関係\(\succsim \)が推移性を満たさない場合には、\(\succsim \)を表す効用関数\(U:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在しないことを証明してください。
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問題(選好関係の推移性)
結果集合が\begin{equation*}
X=\left\{ x_{1},\cdots ,x_{N}\right\}
\end{equation*}であるものとします。クジ集合\(\mathcal{L}\)上の選好関係\(\succsim \)が、任意の2つのクジ\(L,L^{\prime }\in \mathcal{L}\)に対して、\begin{equation*}L\succsim L^{\prime }\Leftrightarrow L\left( x_{1}\right) \geq L^{\prime
}\left( x_{1}\right) \wedge L\left( x_{2}\right) \geq L^{\prime }\left(
x_{2}\right)
\end{equation*}を満たすものとします。上のように定義された\(\succsim \)が推移性を満たすことを示してください。
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問題(選好関係の推移性)
結果集合が、\begin{equation*}
X=\left\{ x_{1},x_{2}\right\}
\end{equation*}であるとともに、クジ集合\(\mathcal{L}\)上に定義された選好関係\(\succsim \)は任意のクジ\(L,L^{\prime }\in \mathcal{L}\)に対して、\begin{equation*}L\succsim L^{\prime }\Leftrightarrow L\left( x_{1}\right) +\frac{L\left(
x_{2}\right) }{2}\geq L^{\prime }\left( x_{1}\right) +\frac{L^{\prime
}\left( x_{2}\right) }{2}
\end{equation*}を満たすものとします。この選好\(\succsim \)は推移性を満たすでしょうか。推移性を満たす場合にはそのことを証明し、満たさない場合には反例を挙げてください。
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問題(選好の推移性)
クジ集合\(\mathcal{L}\)上に定義された主体\(1\)の選好関係\(\succsim _{1}\)と主体\(2\)の選好関係\(\succsim _{2}\)はともに推移性を満たすものとします。このとき、この2人の集団にとっての選好\(\succsim \)を、任意の\(L,L^{\prime }\in \mathcal{L}\)に対して、\begin{equation*}L\succsim L^{\prime }\Leftrightarrow \left( L\succsim _{1}L^{\prime }\vee
L\succsim _{2}L^{\prime }\right)
\end{equation*}を満たすものとして定義します。つまり、2人のうちの少なくとも一方が\(L\)を\(L^{\prime }\)以上に好む場合、そしてその場合にのみ、集団として\(L\)を\(L^{\prime }\)以上に好むものと定めるということです。この選好\(\succsim \)は推移性を満たすでしょうか。推移性を満たす場合にはそのことを証明し、満たさない場合には反例を挙げてください。
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問題(選好の推移性)
クジ集合\(\mathcal{L}\)上に定義された主体\(1\)の選好関係\(\succsim _{1}\)と主体\(2\)の選好関係\(\succsim _{2}\)はともに完備性を満たすものとします。このとき、この2人の集団にとっての選好\(\succsim \)を、任意の\(L,L^{\prime }\in \mathcal{L}\)に対して、\begin{equation*}L\succsim L^{\prime }\Leftrightarrow \left( L\succsim _{1}L^{\prime }\wedge
L\succsim _{2}L^{\prime }\right)
\end{equation*}を満たすものとして定義します。つまり、2人がともに\(L\)を\(L^{\prime }\)以上に好む場合、そしてその場合にのみ、集団として\(L\)を\(L^{\prime }\)以上に好むものと定めるということです。この選好\(\succsim \)は推移性を満たすでしょうか。推移性を満たす場合にはそのことを証明し、満たさない場合には反例を挙げてください。
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