独立性を満たす選好関係
何らかの行動を選択した場合、実際に起こり得る結果として複数の候補が存在し、なおかつ、その中のどの結果が実際に起こるかが完全に予測できない状況、すなわちランダムネスが成立している状況を想定した上で、そのような状況において意思決定主体が直面する個々の選択肢がクジとして定式化されているものとします。起こり得るすべての結果からなる集合\(X\)が有限集合や可算集合である場合、クジとは、それぞれの結果\(x\in X\)に対して、その結果が起こる確率\(L\left( x\right) \in \mathbb{R} \)を特定する関数\begin{equation*}L:X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}として表現されます。一方、結果集合\(X\)が数直線\(\mathbb{R} \)上の区間などの非可算集合である場合、クジ\(L\)は確率密度関数\begin{equation*}f_{L}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}として表現されます。主体が直面するすべてのクジからなる集合を\(\mathcal{L}\)で表記します。
クジどうしを比較する主体の評価体系がクジ集合\(\mathcal{L}\)上の選好関係\(\succsim \)として表現されているものとします。つまり、2つのクジ\(L,L^{\prime }\in \mathcal{L}\)を任意に選んだときに、以下の関係\begin{equation*}L\succsim L^{\prime }\Leftrightarrow \text{主体は}L\text{を}L^{\prime }\text{以上に好む}
\end{equation*}を満たす\(\mathcal{L}\)上の二項関係として\(\succsim \)が定義されているということです。
クジ集合\(\mathcal{L}\)上に定義されたクジどうしを比較する選好関係\(\succsim \)が与えられている状況において、2つのクジ\begin{eqnarray*}L &\in &\mathcal{L} \\
L^{\prime } &\in &\mathcal{L}
\end{eqnarray*}を任意に選びます。さらに、第3のクジ\(L^{\prime\prime }\in \mathcal{L}\)および実数\(c\in \left(0,1\right) \)をそれぞれ任意に選んだ上で、以下の2つの複合クジ\begin{eqnarray*}cL+\left( 1-c\right) L^{\prime \prime } &\in &\mathcal{L} \\
cL^{\prime }+\left( 1-c\right) L^{\prime \prime } &\in &\mathcal{L}
\end{eqnarray*}を作ります。つまり、これらの複合クジの違いは同じ確率\(c\)のもとで\(L\)と\(L^{\prime }\)のどちらかを選ぶという点だけであり、それ以外の場合にはどちらの複合クジにおいても同じ確率\(1-c\)で\(L^{\prime \prime }\)を選ばれるということです。このような事情を踏まえると、意思決定主体が先の2つの複合クジどうしを比較する際に、確率\(c\)で選ばれる2つのクジ\(L,L^{\prime }\)への好みだけを重視するというのはもっともらしい仮定です。つまり、主体にとってクジ\(L\)をクジ\(L^{\prime }\)以上に好むことと、複合クジ\(cL+\left( 1-c\right)L^{\prime \prime }\)を複合クジ\(cL^{\prime}+\left( 1-c\right) L^{\prime \prime }\)以上に好むことが必要十分であるものと仮定するということです。選好関係\(\succsim \)が以上の仮定を満たす場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall L,L^{\prime },L^{\prime \prime }\in \mathcal{L},\ \forall c\in
\left( 0,1\right) :\left[ L\succsim L^{\prime }\Leftrightarrow cL+\left(
1-c\right) L^{\prime \prime }\succsim cL^{\prime }+\left( 1-c\right)
L^{\prime \prime }\right]
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(\succsim \)は独立性（independence）を満たすと言います。
X=\left\{ x_{1},\cdots ,x_{N}\right\} \subset \mathbb{R} \end{equation*}であるものとします。クジ\(L\in \mathcal{L}\)のもとでの結果の期待値を、\begin{equation*}E_{L}\left( x\right) =\sum_{n=1}^{N}\left[ x_{n}L\left( x_{n}\right) \right] \end{equation*}で表記します。クジ集合\(\mathcal{L}\)上の選好関係\(\succsim \)が、任意の2つのクジ\(L,L^{\prime }\in \mathcal{L}\)に対して、\begin{equation*}L\succsim L^{\prime }\Leftrightarrow E_{L}\left( x\right) \geq E_{L^{\prime
}}\left( x\right)
\end{equation*}を満たすものとします。つまり、クジ\(L\)のもとでの結果の期待値がクジ\(L^{\prime }\)のもとでの結果の期待値以上であるとき、そしてその場合にのみ\(L\)は\(L^{\prime }\)以上に望ましいということです。以上のように定義される選好関係\(\succsim \)は独立性を満たします（演習問題）。
X=\left\{ x_{1},\cdots ,x_{N}\right\}
\end{equation*}であるものとします。クジ集合\(\mathcal{L}\)上の選好関係\(\succsim \)が、任意の2つのクジ\(L,L^{\prime }\in \mathcal{L}\)に対して、\begin{equation*}L\succsim L^{\prime }\Leftrightarrow L\left( x_{1}\right) \geq L^{\prime
}\left( x_{1}\right)
\end{equation*}を満たすものとします。つまり、クジ\(L\)のもとで結果\(x_{1}\)が選ばれる確率がクジ\(L^{\prime }\)のもとで結果\(x_{1}\)が選ばれる確率以上であるとき、そしてその場合にのみ\(L\)は\(L^{\prime }\)以上に望ましいということです。以上のように定義される選好関係\(\succsim \)は独立性を満たします（演習問題）。
選好関係は独立性を満たすとは限りません。以下の例より明らかです。
X=\left\{ 0,1,5\right\}
\end{equation*}であるものとします。それぞれのクジ\(L\in \mathcal{L}\)を、\begin{equation*}L=\left( L\left( 0\right) ,L\left( 1\right) ,L\left( 5\right) \right)
\end{equation*}で表記します。クジ集合\(\mathcal{L}\)の要素である以下の4つのクジ\begin{eqnarray*}L_{1} &=&\left( \frac{9}{10},0,\frac{1}{10}\right) \\
L_{2} &=&\left( \frac{89}{100},\frac{11}{100},0\right) \\
L_{3} &=&\left( 0,1,0\right) \\
L_{4} &=&\left( \frac{1}{100},\frac{89}{100},\frac{10}{100}\right)
\end{eqnarray*}に注目します。クジ集合\(\mathcal{L}\)上の選好関係\(\succsim \)のもとで、\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ L_{1} &\succ &L_{2} \\
\left( b\right) \ L_{3} &\succ &L_{4}
\end{eqnarray*}がともに成り立つものとします。結果主義の仮定より、クジ\(L_{1}\)を以下の複合クジ\begin{equation}L_{1}=\frac{11}{100}\left( \frac{1}{11},0,\frac{10}{11}\right) +\frac{89}{100}\left( 1,0,0\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}と同一視できます。同様に、クジ\(L_{2}\)を以下の複合クジ\begin{equation}L_{2}=\frac{11}{100}\left( 0,1,0\right) +\frac{89}{100}\left( 1,0,0\right)
\quad \cdots (2)
\end{equation}と同一視できます。\(\succsim \)が独立性を満たすものと仮定します。後ほど示すように、\(\succsim \)が独立性を満たす場合には\(\succ \)に関する独立性\begin{equation*}\forall L,L^{\prime },L^{\prime \prime }\in \mathcal{L},\ \forall c\in
\left( 0,1\right) :\left[ L\succ L^{\prime }\Leftrightarrow cL+\left(
1-c\right) L^{\prime \prime }\succ cL^{\prime }+\left( 1-c\right) L^{\prime
\prime }\right] \end{equation*}もまた成立するため、\(\left( a\right) ,\left( 1\right) ,\left( 2\right) \)より、\begin{equation*}\left( \frac{1}{11},0,\frac{10}{11}\right) \succ \left( 0,1,0\right)
\end{equation*}を得ます。このとき、再び\(\succ \)に関する独立性より、\begin{equation*}\frac{11}{100}\left( \frac{1}{11},0,\frac{10}{11}\right) +\frac{89}{100}\left( 0,1,0\right) \succ \frac{11}{100}\left( 0,1,0\right) +\frac{89}{100}\left( 0,1,0\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( \frac{1}{100},\frac{89}{100},\frac{10}{100}\right) \succ \left(
0,1,0\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
L_{4}\succ L_{3}
\end{equation*}が成り立ちますが、これは\(\left( b\right) \)と矛盾です。したがって、背理法より\(\succsim \)は独立性を満たさないことが明らかになりました。
狭義選好関係や無差別関係に関する独立性
クジ集合上の選好関係\(\succsim \)が独立性を満たす場合には、狭義選好関係\(\succ \)や無差別関係\(\sim \)もまた同様の性質を満たすことが保証されます。
cL+\left( 1-c\right) L^{\prime \prime }\succ cL^{\prime }+\left( 1-c\right)
L^{\prime \prime }\right] \\
&&\left( b\right) \ \forall L,L^{\prime },L^{\prime \prime }\in \mathcal{L},\ \forall c\in \left( 0,1\right) :\left[ L\sim L^{\prime }\Leftrightarrow
cL+\left( 1-c\right) L^{\prime \prime }\sim cL^{\prime }+\left( 1-c\right)
L^{\prime \prime }\right] \end{eqnarray*}がともに成り立つ。
中間性を満たす選好関係
クジ集合上の選好関係\(\succsim \)が独立性に加えて推移性を満たす場合には以下が成り立ちます。これを中間性（betweenness）と呼びます。
cL+\left( 1-c\right) L^{\prime }\succsim L^{\prime }\right] \\
&&\left( b\right) \ \forall L,L^{\prime }\in \mathcal{L},\ \forall c\in
\left( 0,1\right) :\left[ L\succ L^{\prime }\Rightarrow L\succ cL+\left(
1-c\right) L^{\prime }\succ L^{\prime }\right] \\
&&\left( c\right) \ \forall L,L^{\prime }\in \mathcal{L},\ \forall c\in \left[ 0,1\right] :\left[ L\sim L^{\prime }\Rightarrow L\sim cL+\left(
1-c\right) L^{\prime }\sim L^{\prime }\right] \end{eqnarray*}が成り立つ。
2つのクジ\(L,L^{\prime }\)が与えられたとき、複合クジ\(cL+\left( 1-c\right) L^{\prime }\)は「確率\(c\)でクジ\(L\)を選び確率\(1-c\)でクジ\(L^{\prime }\)を選ぶ」という選択肢に相当しますが、中間性の仮定のもとでは、意思決定主体が\(L\)を\(L^{\prime }\)以上に好む場合には、確実に\(L\)を選ぶことは任意の複合クジ\(cL+\left(1-c\right) L^{\prime }\)以上に望ましく、任意の複合クジ\(cL+\left( 1-c\right) L^{\prime }\)は確実に\(L^{\prime }\)を選ぶこと以上に望ましいことが保証されます。以上が\(\left( a\right) \)の解釈です。\(\left( b\right) ,\left(c\right) \)についても同様です。
ちなみに、上の命題の逆は成り立つとは限りません。つまり、中間性を満たす選好関係は独立性を満たすとは限りません（演習問題）。
上の命題をもう少し一般化できます。
&&\left( b\right) \ \sum_{m=1}^{M}c_{m}=1
\end{eqnarray*}を満たす\(M\)個の実数\(c_{1},\cdots ,c_{M}\in \mathbb{R} \)を任意に選ぶ。このとき、\begin{eqnarray*}&&\left( A\right) \ L_{1}\succsim \cdots \succsim L_{M}\Rightarrow
L_{1}\succsim \sum_{m=1}^{M}c_{m}L_{m}\succsim L_{M} \\
&&\left( B\right) \ L_{1}\succ \cdots \succ L_{M}\Rightarrow L_{1}\succ
\sum_{m=1}^{M}c_{m}L_{m}\succ L_{M} \\
&&\left( B\right) \ L_{1}\sim \cdots \sim L_{M}\Rightarrow L_{1}\sim
\sum_{m=1}^{M}c_{m}L_{m}\sim L_{M}
\end{eqnarray*}が成り立つ。
単調性を満たす選好関係
独立性から中間性が導かれることが明らかになりましたが、中間性を用いるとさらに以下を導くことができます。これを単調性（monotonicity）と呼びます。
\end{equation*}を満たすクジ\(L,L^{\prime }\in \mathcal{L}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\forall c,c^{\prime }\in \left[ 0,1\right] :\left[ cL+\left( 1-c\right)
L^{\prime }\succ c^{\prime }L+\left( 1-c^{\prime }\right) L^{\prime
}\Leftrightarrow c>c^{\prime }\right] \end{equation*}が成り立つ。
最良のクジと最悪のクジの存在
クジ集合上の選好関係\(\succsim \)が独立性に加えて完備性と推移性を満たす場合には以下が成り立ちます。
\end{equation*}が成り立つ。
効用関数を用いた独立性の特徴づけ
繰り返しになりますが、クジ集合\(\mathcal{L}\)上の選好関係\(\succsim \)が独立性を満たすこととは、\begin{equation}\forall L,L^{\prime },L^{\prime \prime }\in \mathcal{L},\ \forall c\in
\left( 0,1\right) :\left[ L\succsim L^{\prime }\Leftrightarrow cL+\left(
1-c\right) L^{\prime \prime }\succsim cL^{\prime }+\left( 1-c\right)
L^{\prime \prime }\right] \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことを意味します。この選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(U:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する場合、効用関数の定義より、効用関数を用いて上の性質を言い換えると、\begin{equation}\forall L,L^{\prime },L^{\prime \prime }\in \mathcal{L},\ \forall c\in
\left( 0,1\right) :\left[ U\left( L\right) \geq U\left( L^{\prime }\right)
\Leftrightarrow U\left( cL+\left( 1-c\right) L^{\prime \prime }\right) \geq
U\left( cL^{\prime }+\left( 1-c\right) L^{\prime \prime }\right) \right]
\quad \cdots (2)
\end{equation}となります。つまり、選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(U\)が存在する場合、\(\left( 1\right) \)と\(\left( 2\right) \)は必要十分条件になります。
\left( 0,1\right) :\left[ U\left( L\right) \geq U\left( L^{\prime }\right)
\Leftrightarrow U\left( cL+\left( 1-c\right) L^{\prime \prime }\right) \geq
U\left( cL^{\prime }+\left( 1-c\right) L^{\prime \prime }\right) \right] \end{equation*}が成り立つことは\(\succsim \)が独立性を満たすための必要十分条件である。
選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(U\)が期待効用関数である場合には上の条件が成り立つため、選好関係が独立性を満たすことが保証されます。
以上の命題は効用関数や期待効用関数が存在することを前提とした上での主張であることに注意してください。効用関数や期待効用関数が存在するための条件については場を改めて詳しく解説します。
演習問題
X=\left\{ x_{1},\cdots ,x_{N}\right\} \subset \mathbb{R} \end{equation*}であるものとします。クジ\(L\in \mathcal{L}\)のもとでの結果の期待値を、\begin{equation*}E_{L}\left( x\right) =\sum_{n=1}^{N}\left[ x_{n}L\left( x_{n}\right) \right] \end{equation*}で表記します。クジ集合\(\mathcal{L}\)上の選好関係\(\succsim \)が、任意の2つのクジ\(L,L^{\prime }\in \mathcal{L}\)に対して、\begin{equation*}L\succsim L^{\prime }\Leftrightarrow E_{L}\left( x\right) \geq E_{L^{\prime
}}\left( x\right)
\end{equation*}を満たすものとします。以上のように定義される選好関係\(\succsim \)が独立性を満たすことを示してください。
X=\left\{ x_{1},\cdots ,x_{N}\right\}
\end{equation*}であるものとします。クジ集合\(\mathcal{L}\)上の選好関係\(\succsim \)が、任意の2つのクジ\(L,L^{\prime }\in \mathcal{L}\)に対して、\begin{equation*}L\succsim L^{\prime }\Leftrightarrow L\left( x_{1}\right) \geq L^{\prime
}\left( x_{1}\right)
\end{equation*}を満たすものとします。以上のように定義される選好関係\(\succsim \)が独立性を満たすことを示してください。
L^{\prime }\Rightarrow \left[ \exists c\in \left( 0,1\right) :cL+\left(
1-c\right) L^{\prime \prime }\sim cL^{\prime }+\left( 1-c\right) L^{\prime
\prime }\right] \right\}
\end{equation*}が成り立つことを示してください。これを広義の独立性（weak independence）と呼びます。
\end{equation*}が成り立つことを示してください。これを広義の中間性（weak betweenness）と呼びます。
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