クジの確率プレミアム

クジの確率プレミアム

何らかの行動を選択した場合、実際に起こり得る結果として複数の候補が存在し、なおかつ、その中のどの結果が実際に起こるかが完全に予測できない状況、すなわちランダムネスが成立している状況を想定した上で、そのような状況において意思決定主体が直面する個々の選択肢がクジとして定式化されているものとします。起こり得るすべての結果からなる集合\(X\)が有限集合や可算集合である場合、クジとは、それぞれの結果\(x\in X\)に対して、その結果が起こる確率\(L\left( x\right) \in \mathbb{R} \)を特定する関数\begin{equation*}L:X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}として表現されます。一方、結果集合\(X\)が数直線\(\mathbb{R} \)上の区間などの非可算集合である場合、クジ\(L\)は確率密度関数\begin{equation*}f_{L}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}として表現されます。主体が直面するすべてのクジからなる集合を\(\mathcal{L}\)で表記します。

結果集合\(X\subset \mathbb{R} \)が与えられており、クジどうしを比較する主体の選好が期待効用関数\(U:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)として表現されている状況を想定します。ベルヌーイ関数を\(u:\mathbb{R} \supset D\left( u\right) \rightarrow \mathbb{R} \)で表記します。主体がクジ\(L\in \mathcal{L}\)を選択した場合に直面する期待効用は、\begin{eqnarray*}U\left( L\right) &=&\sum_{n=1}^{N}\left[ L\left( x_{n}\right) \cdot u\left(
x_{n}\right) \right] \quad \because X\text{が有限集合である場合} \\
&=&\sum_{n=1}^{\infty }\left[ L\left( x_{n}\right) \cdot u\left(
x_{n}\right) \right] \quad \because X\text{が可算集合である場合} \\
&=&\int_{-\infty }^{+\infty }\left[ u\left( x\right) \cdot f_{L}\left(
x\right) \right] dx\quad \because X\text{が}\mathbb{R} \text{上の区間である場合}
\end{eqnarray*}である一方で、クジ\(L\)のもとでの結果の期待値は、\begin{eqnarray*}E\left( L\right) &=&\sum_{n=1}^{N}\left[ L\left( x_{n}\right) \cdot x_{n}\right] \quad \because X\text{が有限集合である場合} \\
&=&\sum_{n=1}^{\infty }\left[ L\left( x_{n}\right) \cdot x_{n}\right] \quad
\because X\text{が可算集合である場合} \\
&=&\int_{-\infty }^{+\infty }xf_{L}\left( x\right) dx\quad \because X\text{が}\mathbb{R} \text{上の区間である場合}
\end{eqnarray*}として定まります。\(D\left( u\right) \)は\(u\)の定義域を表す記号です。

結果\(x\in X\)と正の実数\(\varepsilon>0\)が与えられれば、以下の条件\begin{eqnarray*}L_{x,\varepsilon }\left( x+\varepsilon \right) &=&\frac{1}{2} \\
L_{x,\varepsilon }\left( x-\varepsilon \right) &=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}を満たすクジ\(L_{x,\varepsilon }\in \mathcal{L}\)を定義できます。つまり、このクジ\(L_{x,\varepsilon }\)を選択した場合、確率\(\frac{1}{2}\)で結果\(x+\varepsilon \)が実現し、確率\(\frac{1}{2}\)で結果\(x-\varepsilon \)が実現するということです。

主体のベルヌーイ関数が\(u:\mathbb{R} \supset D\left( u\right) \rightarrow \mathbb{R} \)である場合、先のクジ\(L_{x,\varepsilon }\)を選択した場合に直面する期待効用は、\begin{eqnarray*}U\left( L_{x,\varepsilon }\right) &=&L_{x,\varepsilon }\left( x+\varepsilon
\right) \cdot u\left( x+\varepsilon \right) +L_{x,\varepsilon }\left(
x-\varepsilon \right) \cdot u\left( x-\varepsilon \right) \quad \because
\text{期待効用および}L_{x,\varepsilon }\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{2}u\left( x+\varepsilon \right) +\frac{1}{2}u\left(
x-\varepsilon \right) \quad \because L_{x,\varepsilon }\text{の定義}
\end{eqnarray*}です。ただし、\(x+\varepsilon \)と\(x-\varepsilon \)のどちらの結果が実際に起こるかはランダムネスによって支配されているため、主体は期待効用\(U\left( L_{x,\varepsilon }\right) \)を確実に得られるわけではありません。期待効用\(U\left( L_{x,\varepsilon }\right) \)はあくまでも結果の効用\(u\left( x\right) \)の期待値です。一方、結果\(x\)を確実に得られる場合に主体が得る効用は、\begin{equation*}u\left( x\right)
\end{equation*}です。ただし、\begin{eqnarray*}
E\left( L_{x,\varepsilon }\right) &=&L_{x,\varepsilon }\left( x+\varepsilon
\right) \cdot \left( x+\varepsilon \right) +L_{x,\varepsilon }\left(
x-\varepsilon \right) \cdot \left( x-\varepsilon \right) \quad \because
\text{結果の期待値および}L_{x,\varepsilon }\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{2}\left( x+\varepsilon \right) +\frac{1}{2}\left( x-\varepsilon
\right) \quad \because L_{x,\varepsilon }\text{の定義} \\
&=&x
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
u\left( E\left( L_{x,\varepsilon }\right) \right) =u\left( x\right)
\end{equation*}を得ます。つまり、結果\(x\)を確実に得ることとクジ\(L_{x,\varepsilon }\)の期待値を確実に得ることは必要十分です。

多くの場合、先のようなクジ\(L_{x,\varepsilon }\)を選択して不確実な状況に直面することと、結果\(x\)を確実に得ることは無差別ではないため、以下の関係\begin{equation*}U\left( L_{x,\varepsilon }\right) =u\left( x\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{1}{2}u\left( x+\varepsilon \right) +\frac{1}{2}u\left( x-\varepsilon
\right) =u\left( x\right)
\end{equation*}は成り立つとは限りません。そこで、2つの結果\(x+\varepsilon ,x-\varepsilon \)が起こる確率それぞれ\(\pi \in \mathbb{R} \)だけ調節して、結果\(x+\varepsilon \)が起こる確率を\(\frac{1}{2}\)から\(\frac{1}{2}+\pi \)へ変更し、結果\(x-\varepsilon \)が起こる確率を\(\frac{1}{2}\)から\(\frac{1}{2}-\pi \)へ変更することにより、クジに挑戦して不確実な状況に直面することと\(x\)を確実に得ることが無差別になるならば、すなわち、以下の関係\begin{equation*}\left( \frac{1}{2}+\pi \right) u\left( x+\varepsilon \right) +\left( \frac{1}{2}-\pi \right) u\left( x-\varepsilon \right) =u\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(\pi \)をクジ\(L_{x,\varepsilon }\)の確率プレミアム（probability premium）と呼び、これを、\begin{equation*}
\pi \left( x,\varepsilon ,u\right)
\end{equation*}で表記します。

改めて整理すると、結果\(x\in X\)と正の実数\(\varepsilon>0\)から以下の条件\begin{eqnarray*}L_{x,\varepsilon }\left( x+\varepsilon \right) &=&\frac{1}{2} \\
L_{x,\varepsilon }\left( x-\varepsilon \right) &=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}を満たすクジ\(L_{x,\varepsilon }\in \mathcal{L}\)を定義したとき、ベルヌーイ関数\(u:\mathbb{R} \supset D\left( u\right) \rightarrow \mathbb{R} \)を持つ主体にとってのクジ\(L_{x,\varepsilon }\)の確率プレミアムは、以下の条件\begin{equation*}\left[ \frac{1}{2}+\pi \left( x,\varepsilon ,u\right) \right] u\left(
x+\varepsilon \right) +\left[ \frac{1}{2}-\pi \left( x,\varepsilon ,u\right) \right] u\left( x-\varepsilon \right) =u\left( x\right)
\end{equation*}を満たす値\(\pi \left( x,\varepsilon ,u\right)\in \mathbb{R} \)として定義されます。さらに、これを\(\pi \left(x,\varepsilon ,u\right) \)について解くと、\begin{equation*}\frac{1}{2}\left[ u\left( x+\varepsilon \right) +u\left( x-\varepsilon
\right) \right] +\pi \left( x,\varepsilon ,u\right) \left[ u\left(
x+\varepsilon \right) -u\left( x-\varepsilon \right) \right] =u\left(
x\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\pi \left( x,\varepsilon ,u\right) =\frac{u\left( x\right) -\frac{1}{2}\left[
u\left( x+\varepsilon \right) +u\left( x-\varepsilon \right) \right] }{u\left( x+\varepsilon \right) -u\left( x-\varepsilon \right) }
\end{equation*}を得ます。

確率プレミアムを用いたリスク回避的であることの表現

結果集合\(X\subset \mathbb{R} \)が与えられており、クジどうしを比較する主体の選好が期待効用関数\(U:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)として表現されている状況を想定します。ベルヌーイ関数を\(u:\mathbb{R} \supset D\left( u\right) \rightarrow \mathbb{R} \)で表記します。主体がクジ\(L\in \mathcal{L}\)を選択した場合に直面する期待効用は\(U\left( L\right) \)である一方で、クジ\(L\)のもとでの結果の期待値は\(E\left( L\right) \)として定まります。

以上を踏まえた上で、主体がリスク回避的であることとは、任意のクジ\(L\in \mathcal{L}\)に対して、主体がそのクジ\(L\)のもとでの結果の期待値\(E\left( L\right) \)を確実に得ることを、そのクジ\(L\)を選択して期待効用\(U\left( L\right) \)に直面すること以上に好むこととして、すなわち、\begin{equation*}\forall L\in \mathcal{L}:u\left( E\left( L\right) \right) \geq U\left(
L\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。

主体がリスク回避的であることと、その主体のベルヌーイ関数\(u:\mathbb{R} \supset D\left( u\right) \rightarrow \mathbb{R} \)が凹関数であることは必要十分です。以上の事実は、リスク回避的な主体にとって、失うことの恐れは、得ることの喜びよりも大きいことを示唆します。言い換えると、確実に得られる結果が増加するにつれて、追加的な増量がもたらす効用の増分は逓減していくということです。結果が金銭であるならば、以上の事実は、確実に得られる金額が大きくなるほど、追加的な金銭がもたらす満足度が逓減していくことを意味します。

ベルヌーイ関数\(u\)が狭義単調増加な連続関数である場合、主体がリスク回避的であることを確率プレミアムを用いて以下のように表現できます。

以上の命題より、リスク回避的な主体にとって、任意の結果\(x\)および正の実数\(\varepsilon \)に関する確率プレミアム\(\pi \left( x,\varepsilon ,u\right) \)は非負であることが明らかになりました。確率プレミアムの定義より、以上の事実は、いかなる結果\(x\)および正の実数\(\varepsilon \)についても、リスク回避的な主体にとって結果\(x\)を確実に得ることと2つの結果\(x+\varepsilon ,x-\varepsilon \)が等確率で実現するクジを無差別にするためには、望ましい\(x+\varepsilon \)が実現する確率を\(\frac{1}{2}\)よりも\(\pi \left( x,\varepsilon,u\right) \)だけ増やすとともに、望ましくない結果\(x-\varepsilon \)が実現する確率を\(\frac{1}{2}\)よりも\(\pi \left(x,\varepsilon ,u\right) \)だけ減らす必要があることを意味します。つまり、リスク回避的な主体を不確実なクジに挑戦させるためには、望ましい結果\(x+\varepsilon \)が起こる確率を望ましくない結果\(x-\varepsilon \)が起こる確率よりも大きくなるように、主体にとって有利な形でクジを調節する必要があるということです。

確率プレミアムを用いたリスク中立的であることの表現

結果集合\(X\subset \mathbb{R} \)が与えられており、クジどうしを比較する主体の選好が期待効用関数\(U:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)として表現されている状況を想定します。ベルヌーイ関数を\(u:\mathbb{R} \supset D\left( u\right) \rightarrow \mathbb{R} \)で表記します。主体がクジ\(L\in \mathcal{L}\)を選択した場合に直面する期待効用は\(U\left( L\right) \)である一方で、クジ\(L\)のもとでの結果の期待値は\(E\left( L\right) \)として定まります。

以上を踏まえた上で、主体がリスク中立的であることとは、任意のクジ\(L\in \mathcal{L}\)に対して、主体がそのクジ\(L\)のもとでの結果の期待値\(E\left( L\right) \)を確実に得ることと、そのクジ\(L\)を選択して期待効用\(U\left( L\right) \)に直面することが無差別であることとして、すなわち、\begin{equation*}\forall L\in \mathcal{L}:u\left( E\left( L\right) \right) =U\left( L\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。

主体がリスク中立的であることと、その主体のベルヌーイ関数\(u:\mathbb{R} \supset D\left( u\right) \rightarrow \mathbb{R} \)が線型関数であることは必要十分です。以上の事実は、リスク回避的な主体にとって、失うことの恐れは、得ることの喜びと同程度であることを示唆します。言い換えると、確実に得られる結果が増加しても、追加的な増量がもたらす効用の増分は一定であるということです。結果が金銭であるならば、以上の事実は、確実に得られる金額が大きくなっても、追加的な金銭がもたらす満足度が変化しないことを意味します。

ベルヌーイ関数\(u\)が狭義単調増加な連続関数である場合、主体がリスク中立的であることを確率プレミアムを用いて以下のように表現できます。

以上の命題より、リスク中立的な主体にとって、任意の結果\(x\)および正の実数\(\varepsilon \)に関する確率プレミアム\(\pi \left( x,\varepsilon ,u\right) \)はゼロであることが明らかになりました。確率プレミアムの定義より、以上の事実は、いかなる結果\(x\)および正の実数\(\varepsilon \)についても、リスク中立的な主体にとって結果\(x\)を確実に得ることと2つの結果\(x+\varepsilon ,x-\varepsilon \)が等確率で実現するクジは無差別であることを意味します。

確率プレミアムを用いたリスク愛好的であることの表現

結果集合\(X\subset \mathbb{R} \)が与えられており、クジどうしを比較する主体の選好が期待効用関数\(U:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)として表現されている状況を想定します。ベルヌーイ関数を\(u:\mathbb{R} \supset D\left( u\right) \rightarrow \mathbb{R} \)で表記します。主体がクジ\(L\in \mathcal{L}\)を選択した場合に直面する期待効用は\(U\left( L\right) \)である一方で、クジ\(L\)のもとでの結果の期待値は\(E\left( L\right) \)として定まります。

以上を踏まえた上で、主体がリスク愛好的であることとは、任意のクジ\(L\in \mathcal{L}\)に対して、主体がそのクジ\(L\)を選択して期待効用\(U\left( L\right) \)に直面することを、そのクジ\(L\)のもとでの結果の期待値\(E\left( L\right) \)を確実に得ること以上に好むこととして、すなわち、\begin{equation*}\forall L\in \mathcal{L}:U\left( L\right) \geq u\left( E\left( L\right)
\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。

主体がリスク愛好的であることと、その主体のベルヌーイ関数\(u:\mathbb{R} \supset D\left( u\right) \rightarrow \mathbb{R} \)が凸関数であることは必要十分です。以上の事実は、リスク回避的な主体にとって、得ることの喜びは、失うことの恐れよりも大きいことを示唆します。言い換えると、確実に得られる結果が増加するにつれて、追加的な増量がもたらす効用の増分は逓増していくということです。結果が金銭であるならば、以上の事実は、確実に得られる金額が大きくなるほど、追加的な金銭がもたらす満足度が逓増していくことを意味します。

ベルヌーイ関数\(u\)が狭義単調増加な連続関数である場合、主体がリスク愛好的であることを確率プレミアムを用いて以下のように表現できます。

以上の命題より、リスク愛好的な主体にとって、任意の結果\(x\)および正の実数\(\varepsilon \)に関する確率プレミアム\(\pi \left( x,\varepsilon ,u\right) \)は非正であることが明らかになりました。確率プレミアムの定義より、以上の事実は、いかなる結果\(x\)および正の実数\(\varepsilon \)についても、リスク愛好的な主体にとって結果\(x\)を確実に得ることと2つの結果\(x+\varepsilon ,x-\varepsilon \)が等確率で実現するクジを無差別にするためには、望ましい\(x+\varepsilon \)が実現する確率を\(\frac{1}{2}\)よりも\(\pi \left( x,\varepsilon,u\right) \)だけ減らすとともに、望ましくない結果\(x-\varepsilon \)が実現する確率を\(\frac{1}{2}\)よりも\(\pi \left(x,\varepsilon ,u\right) \)だけ増やす必要があることを意味します。つまり、望ましくない結果\(x-\varepsilon \)が起こる確率を望ましい結果\(x+\varepsilon \)が起こる確率よりも大きくなるように、主体にとって不利な形でクジを調整してもなお、主体はクジに挑戦することを好むということです。