期待効用定理（期待効用関数の存在条件）

選好関係を表す効用関数が存在するための条件

何らかの行動を選択した場合、実際に起こり得る結果として複数の候補が存在し、なおかつ、その中のどの結果が実際に起こるかが完全に予測できない状況、すなわちランダムネスが成立している状況を想定した上で、そのような状況において意思決定主体が直面する個々の選択肢がクジとして定式化されているものとします。起こり得るすべての結果からなる集合\(X\)が有限集合や可算集合である場合、クジとは、それぞれの結果\(x\in X\)に対して、その結果が起こる確率\(L\left( x\right) \in \mathbb{R} \)を特定する関数\begin{equation*}L:X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}として表現されます。一方、結果集合\(X\)が数直線\(\mathbb{R} \)上の区間などの非可算集合である場合、クジ\(L\)は確率密度関数\begin{equation*}f_{L}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}として表現されます。主体が直面するすべてのクジからなる集合を\(\mathcal{L}\)で表記します。

クジどうしを比較する主体の評価体系がクジ集合\(\mathcal{L}\)上の選好関係\(\succsim \)として表現されているものとします。つまり、2つのクジ\(L,L^{\prime }\in \mathcal{L}\)を任意に選んだときに、以下の関係\begin{equation*}L\succsim L^{\prime }\Leftrightarrow \text{主体は}L\text{を}L^{\prime }\text{以上に好む}
\end{equation*}を満たす\(\mathcal{L}\)上の二項関係として\(\succsim \)が定義されているということです。

クジ集合\(\mathcal{L}\)上の選好関係\(\succsim \)が与えられたとき、ある関数\(U:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、任意のクジ\(L,L^{\prime }\in \mathcal{L}\)に対して、\begin{equation*}U\left( L\right) \geq U\left( L^{\prime }\right) \Leftrightarrow L\succsim
L^{\prime }
\end{equation*}という関係が成り立つ場合には、この関数\(U\)を選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数と呼びます。また、効用関数\(U\)がクジ\(L\)に対して定める値\(U\left( L\right) \)を\(L\)の効用と呼びます。効用関数を用いれば、クジの間の相対的な望ましさを、クジがもたらす効用の大小関係として表現できます。

一般に、選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数\(U\)は存在するとは限りませんが、以下の条件が成り立つ場合には効用関数の存在を保証できます。

1つ目の条件は結果集合が有限集合\begin{equation*}
X=\left\{ x_{1},\cdots ,x_{N}\right\}
\end{equation*}であるということです。

2つ目の条件は選好関係\(\succsim \)が完備性を満たすこと、すなわち、\begin{equation*}\forall L,L^{\prime }\in \mathcal{L}:(L\succsim L^{\prime }\vee L^{\prime
}\succsim L)
\end{equation*}が成り立つということです。

3つ目の条件は選好関係\(\succsim \)が推移性を満たすこと、すなわち、\begin{equation*}\forall L,L^{\prime },L^{\prime \prime }\in \mathcal{L}:\left[ \left(
L\succsim L^{\prime }\wedge L^{\prime }\succsim L^{\prime \prime }\right)
\Rightarrow L\succsim L^{\prime \prime }\right] \end{equation*}が成り立つということです。

4つ目の条件は選好関係\(\succsim \)が連続性を満たすこと、すなわち、任意のクジ\(L,L^{\prime },L^{\prime \prime }\in \mathcal{L}\)に対して、以下の2つの集合\begin{eqnarray*}U\left( L\right) &=&\left\{ c\in \left[ 0,1\right] \ |\ cL^{\prime }+\left(
1-c\right) L^{\prime \prime }\succsim L\right\} \\
L\left( L\right) &=&\left\{ c\in \left[ 0,1\right] \ |\ L\succsim
cL^{\prime }+\left( 1-c\right) L^{\prime \prime }\right\}
\end{eqnarray*}がともに\(\mathbb{R} \)上の閉集合であるということです。

5つ目の条件は選好関係\(\succsim \)が独立性を満たすこと、すなわち、\begin{equation*}\forall L,L^{\prime },L^{\prime \prime }\in \mathcal{L},\ \forall c\in
\left( 0,1\right) :\left[ L\succsim L^{\prime }\Leftrightarrow cL+\left(
1-c\right) L^{\prime \prime }\succsim cL^{\prime }+\left( 1-c\right)
L^{\prime \prime }\right] \end{equation*}が成り立つということです。

期待効用定理

クジ集合\(\mathcal{L}\)上の選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数\(U:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれのクジ\(L\in \mathcal{L}\)に対して定める値が、ある関数\begin{equation*}u:X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を用いて、\begin{eqnarray*}
U\left( L\right) &=&L\left( x_{1}\right) \cdot u\left( x_{1}\right) +\cdots
+L\left( x_{N}\right) \cdot u\left( x_{N}\right) \\
&=&\sum_{n=1}^{N}\left[ L\left( x_{n}\right) \cdot u\left( x_{n}\right) \right] \end{eqnarray*}という形で表される場合、このような効用関数\(U\)を期待効用関数と呼びます。

先ほど、選好関係を表す効用関数が存在するための条件を明らかになりましたが、そこで提示した効用関数は期待効用関数でもあります。したがって以下を得ます。これを期待効用定理（expected utility theorem）と呼びます。