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不確実性下の意思決定

期待効用定理(期待効用関数の存在条件)

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選好関係を表す効用関数が存在するための条件

ある行動を選択した場合、実際に起こり得る結果として複数の候補が存在し、なおかつ、その中のどの結果が実際に起こるかが完全に予測できない状況、すなわちランダムネスが成立している状況を想定します。結果集合\(X\)が有限集合である場合、その要素を明示的に表現する形で、\begin{equation*}X=\left\{ x_{1},\cdots ,x_{N}\right\}
\end{equation*}と表記します。クジ\(L:X\rightarrow \mathbb{R} \)とは、それぞれの結果\(x_{n}\in X\)に対して、その結果が選ばれる確率\begin{equation*}L\left( x_{n}\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}を特定する確率関数です。これを以下のようなベクトル\begin{equation*}
L=\left( L\left( x_{1}\right) ,\cdots ,L\left( x_{N}\right) \right) \in \mathbb{R} ^{N}
\end{equation*}と同一視できます。主体が直面するすべてのクジからなる集合を\(\mathcal{L}\)で表記します。

クジ集合\(\mathcal{L}\)に直面した主体は、\(\mathcal{L}\)の要素であるクジどうしを比較しながら、自身にとって最も望ましい何らかのクジを選択します。そこで、主体が持つ好みの体系を\(\mathcal{L}\)上の二項関係\(\succsim \)として定式化し、これを選好関係と呼びます。具体的には、2つのクジ\(L,L^{\prime }\in \mathcal{L}\)を任意に選んだときに、\begin{equation*}L\succsim L^{\prime }\Leftrightarrow \text{主体は}L\text{を}L^{\prime }\text{以上に好む}
\end{equation*}を満たすものとして\(\succsim \)を定義します。つまり、比較対象として2つのクジ\(L,L^{\prime }\)が提示されたとき、主体が\(L\)を\(L^{\prime }\)以上に好むとき、そしてその場合にのみ、\(L\succsim L^{\prime }\)が成り立つものとして\(\succsim \)を定義するということです。

クジ集合\(\mathcal{L}\)上の選好関係\(\succsim \)が与えられたとき、ある関数\(U:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、任意のクジ\(L,L^{\prime }\in \mathcal{L}\)に対して、\begin{equation*}U\left( L\right) \geq U\left( L^{\prime }\right) \Leftrightarrow L\succsim
L^{\prime }
\end{equation*}という関係が成り立つ場合には、この関数\(U\)を選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数と呼びます。また、効用関数\(U\)がクジ\(L\)に対して定める値\(U\left( L\right) \)を\(L\)の効用と呼びます。効用関数を用いれば、クジの間の相対的な望ましさを、クジがもたらす効用の大小関係として表現できるということです。

一般に、選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数\(U\)は存在するとは限りませんが、以下の条件が成り立つ場合には効用関数の存在を保証できます。

1つ目の条件は選好関係\(\succsim \)が完備性を満たすこと、すなわち、\begin{equation*}\forall L,L^{\prime }\in \mathcal{L}:(L\succsim L^{\prime }\vee L^{\prime
}\succsim L)
\end{equation*}が成り立つということです。

2つ目の条件は選好関係\(\succsim \)が推移性を満たすこと、すなわち、\begin{equation*}\forall L,L^{\prime },L^{\prime \prime }\in \mathcal{L}:\left[ \left(
L\succsim L^{\prime }\wedge L^{\prime }\succsim L^{\prime \prime }\right)
\Rightarrow L\succsim L^{\prime \prime }\right] \end{equation*}が成り立つということです。

3つ目の条件は選好関係\(\succsim \)が連続性を満たすこと、すなわち、任意のクジ\(L,L^{\prime },L^{\prime \prime }\in \mathcal{L}\)に対して、以下の2つの集合\begin{eqnarray*}U\left( L\right) &=&\left\{ c\in \left[ 0,1\right] \ |\ cL^{\prime }+\left(
1-c\right) L^{\prime \prime }\succsim L\right\} \\
L\left( L\right) &=&\left\{ c\in \left[ 0,1\right] \ |\ L\succsim
cL^{\prime }+\left( 1-c\right) L^{\prime \prime }\right\}
\end{eqnarray*}がともに\(\mathbb{R} \)上の閉集合であるということです。

4つ目の条件は選好関係\(\succsim \)が独立性を満たすこと、すなわち、\begin{equation*}\forall L,L^{\prime },L^{\prime \prime }\in \mathcal{L},\ \forall c\in
\left( 0,1\right) :\left[ L\succsim L^{\prime }\Leftrightarrow cL+\left(
1-c\right) L^{\prime \prime }\succsim cL^{\prime }+\left( 1-c\right)
L^{\prime \prime }\right] \end{equation*}が成り立つということです。

命題(選好関係を表す効用関数が存在するための条件)
結果集合\(X\)が有限集合であるとともに、クジ集合\(\mathcal{L}\)上の選好関係\(\succsim \)が完備性、推移性、連続性、独立性を満たすならば、\(\succsim \)を表す効用関数\(U:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する。
証明

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期待効用定理

クジ集合\(\mathcal{L}\)上の選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数\(U:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれのクジ\(L\in \mathcal{L}\)に対して定める値が、ある関数\begin{equation*}u:X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を用いて、\begin{eqnarray*}
U\left( L\right) &=&L\left( x_{1}\right) \cdot u\left( x_{1}\right) +\cdots
+L\left( x_{N}\right) \cdot u\left( x_{N}\right) \\
&=&\sum_{n=1}^{N}\left[ L\left( x_{n}\right) \cdot u\left( x_{n}\right) \right] \end{eqnarray*}という形で表される場合、このような効用関数\(U\)を期待効用関数と呼びます。

先ほど、選好関係を表す効用関数が存在するための条件を明らかになりましたが、そこで提示した効用関数は期待効用関数でもあります。したがって以下を得ます。これを期待効用定理(expected utility theorem)と呼びます。

命題(期待効用定理)
結果集合\(X\)が有限集合であるとともに、クジ集合\(\mathcal{L}\)上の選好関係\(\succsim \)が完備性、推移性、連続性、独立性を満たすならば、\(\succsim \)を表す期待効用関数\(U:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する。
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関連知識

期待効用関数の定義とその性質

リスクが存在する状況において、意思決定主体がクジどうしを比較する選好を表現する効用関数が線型性と呼ばれる性質を満たす場合、そのような効用関数を期待効用関数と呼びます。通常の効用関数とは異なり、期待効用関数は一定の基数性を満たします。