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不確実性下の意思決定

不確実性を評価する効用関数

目次

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効用関数

クジ集合\(\mathcal{L}\)上の選好関係\(\succsim \)が与えられたとき、ある関数\(U:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、任意のクジ\(L,L^{\prime }\in \mathcal{L}\)に対して、\begin{equation*}U\left( L\right) \geq U\left( L^{\prime }\right) \Leftrightarrow L\succsim
L^{\prime }
\end{equation*}という関係が成り立つ場合には、この関数\(U\)を選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数(utility function)と呼びます。また、効用関数\(U\)がクジ\(L\)に対して定める値\(U\left( L\right) \)を\(L\)の効用(utility)と呼びます。つまり、選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(U\)が存在する場合、クジ\(L,L^{\prime}\)について\(L\)が\(L^{\prime }\)以上に望ましいことと、\(L\)の効用が\(L^{\prime }\)の効用以上であることが必要十分になります。言い換えると、効用関数を用いれば、クジの間の相対的な望ましさを、クジがもたらす効用の大小関係として表現できるということです。

例(効用関数)
ある人が「\(1000\)万円の資産をどのように運用すべきか」を検討している状況を想定します。以下の3つの行動\begin{eqnarray*}a_{1} &=&\text{国債を購入する} \\
a_{2} &=&\text{株に投資する} \\
a_{3} &=&\text{仮想通貨を購入する}
\end{eqnarray*}が選択肢として与えられているものとします。行動\(a_{1}\)を選択した場合には以下の1通りの結果\begin{equation*}1010\text{万円(利子として}10\text{万円を得る)}
\end{equation*}が起こり得るものとします。つまり、\begin{equation*}
X_{1}=\left\{ 1010\right\}
\end{equation*}です。行動\(a_{2}\)を選択した場合には以下の3通りの結果\begin{eqnarray*}&&1200\text{万円(株価が上昇し}200\text{万円を得る)} \\
&&1000\text{万円(株価はそのまま)} \\
&&800\text{万円(株価が下落し}200\text{万円を失う)}
\end{eqnarray*}が起こり得るものとします。つまり、\begin{equation*}
X_{2}=\left\{ 1200,1000,800\right\}
\end{equation*}です。行動\(a_{3}\)を選択した場合には以下の3通りの結果\begin{eqnarray*}&&2000\text{万円(暗号通貨が暴騰し}1000\text{万円を得る)} \\
&&1000\text{万円(暗号通貨の価格はそのまま)} \\
&&0\text{万円(暗号通貨が暴落し}1000\text{万円を失う)}
\end{eqnarray*}が起こり得るものとします。つまり、\begin{equation*}
X_{3}=\left\{ 2000,1000,0\right\}
\end{equation*}です。結果集合は、\begin{eqnarray*}
X &=&X_{1}\cup X_{2}\cup X_{3} \\
&=&\left\{ 2000,1200,1010,1000,800,0\right\}
\end{eqnarray*}となります。国債からは確実に利子を得られる場合、行動\(a_{1}\)にともなうクジは\(L_{1}:X\rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{equation*}L_{1}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ x=1010\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}です。株を購入した場合に株価の値上がり・そのまま・値下がりが等確率で起こるならば、行動\(a_{2}\)にともなうクジは\(L_{2}:X\rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{equation*}L_{2}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{3} & \left( if\ x=1200,1000,800\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}です。暗号通貨を購入した場合に暗号通貨の値上がり・そのまま・値下がりが等確率で起こるならば、行動\(a_{3}\)にともなうクジは\(L_{3}:X\rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{equation*}L_{3}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{3} & \left( if\ x=2000,1000,0\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}です。クジ集合が、\begin{equation*}
\mathcal{L}=\left\{ L_{1},L_{2},L_{3}\right\}
\end{equation*}であるものとします。ローリスク・ローリターンを好む人の選好関係\(\succsim \)のもとでは、\begin{equation*}L_{1}\succsim L_{2}\succsim L_{3}
\end{equation*}が成り立ちます。この場合、\begin{equation*}
U\left( L_{1}\right) \geq U\left( L_{2}\right) \geq U\left( L_{3}\right)
\end{equation*}を満たす任意の関数\(U:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)は\(\succsim \)を表す効用関数です。逆に、ハイリスク・ハイリターンを好む人の選好関係\(\succsim \)のもとでは、\begin{equation*}L_{3}\succsim L_{2}\succsim L_{1}
\end{equation*}が成り立ちます。この場合、\begin{equation*}
U\left( L_{3}\right) \geq U\left( L_{2}\right) \geq U\left( L_{1}\right)
\end{equation*}を満たす任意の関数\(U:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)は\(\succsim \)を表す効用関数です。
例(効用関数)
結果集合が、\begin{equation*}
X=\left\{ 1,2,3\right\}
\end{equation*}であるとともに、クジ集合\(\mathcal{L}\)には以下の3つのクジ\begin{eqnarray*}L_{1} &=&\left( \frac{5}{10},\frac{4}{10},\frac{1}{10}\right) \\
L_{2} &=&\left( \frac{4}{10},\frac{4}{10},\frac{2}{10}\right) \\
L_{3} &=&\left( \frac{8}{10},0,\frac{2}{10}\right)
\end{eqnarray*}が含まれているものとします。ある人は期待値をもとにクジどうしを比較するものとします。それぞれのクジがもたらす期待値は、\begin{eqnarray*}
E_{1}\left( x\right) &=&1\cdot \frac{5}{10}+2\cdot \frac{4}{10}+3\cdot
\frac{1}{10}=\frac{8}{5} \\
E_{2}\left( x\right) &=&1\cdot \frac{4}{10}+2\cdot \frac{4}{10}+3\cdot
\frac{2}{10}=\frac{9}{5} \\
E_{3}\left( x\right) &=&1\cdot \frac{8}{10}+2\cdot 0+3\cdot \frac{2}{10}=\frac{7}{5}
\end{eqnarray*}であるため、この人の選好関係\(\succsim \)のもとでは、\begin{equation*}L_{2}\succsim L_{1}\succsim L_{3}
\end{equation*}が成り立ちます。それぞれのクジ\(L_{n}\in \mathcal{L}\)に対して、その期待値\begin{equation*}U\left( L_{n}\right) =E_{n}\left( x\right)
\end{equation*}を定める関数\(U:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)を定義すれば、\begin{equation*}U\left( L_{2}\right) \geq U\left( L_{1}\right) \geq U\left( L_{3}\right)
\end{equation*}が成り立つため、この\(U\)は\(\succsim \)を表す効用関数です。

一般に、選好関係を表現する効用関数は存在するとは限りません。選好関係を表現する効用関数が存在することを保証する上で必要な条件については場を改めて詳しく解説します。

 

効用関数の特徴づけ

クジ集合\(\mathcal{L}\)上の選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数\(U:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するものとします。このとき、狭義選好関係\(\succ \)および効用関数\(U\)の定義を踏まえると、クジ\(L,L^{\prime }\in \mathcal{L}\)を任意に選んだときに、\begin{equation*}L\succ L^{\prime }\Leftrightarrow U(L)>U(L^{\prime })
\end{equation*}という関係が成り立つことが示されます(演習問題)。つまり、意思決定主体にとって\(L\)が\(L^{\prime }\)よりも望ましいことと、\(L\)の効用が\(L^{\prime }\)の効用よりも大きいことは必要十分です。

同様に、無差別関係\(\sim \)および効用関数\(U\)の定義を踏まえると、クジ\(L,L^{\prime }\in \mathcal{L}\)を任意に選んだときに、\begin{equation*}L\sim L^{\prime }\Leftrightarrow U\left( L\right) =U\left( L^{\prime
}\right)
\end{equation*}という関係が成り立つことが示されます(演習問題)。つまり、意思決定主体にとって\(L\)と\(L^{\prime }\)が同じ程度望ましいことと、\(L\)の効用と\(L^{\prime }\)の効用が等しいことは必要十分です。

命題(効用関数の特徴づけ)
クジ集合\(\mathcal{L}\)上の選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数\(U:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するとき、任意のクジ\(L,L^{\prime }\in \mathcal{L}\)について、\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ L &\succ &L^{\prime }\Leftrightarrow U(L)>U(L^{\prime }) \\
\left( b\right) \ L &\sim &L^{\prime }\Leftrightarrow U\left( L\right)
=U\left( L^{\prime }\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つ。

証明

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上の命題の逆もまた成立します。つまり、クジ集合\(\mathcal{L}\)上に定義された関数\(U\)が先の2つの条件\(\left( a\right) ,\left( b\right) \)を満たす場合、この関数\(U\)は\(\succsim \)を表す効用関数であることが保証されます。つまり、任意のクジ\(L,L^{\prime }\in \mathcal{L}\)について、\begin{equation*}L\succsim L^{\prime }\Leftrightarrow U\left( L\right) \geq U\left( L^{\prime
}\right)
\end{equation*}という関係が成り立つことが示されます(演習問題)。

命題(効用関数の特徴づけ)
クジ集合\(\mathcal{L}\)上の選好関係\(\succsim \)が与えられたとき、ある関数\(U:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、任意のクジ\(L,L^{\prime }\in \mathcal{L}\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ L &\succ &L^{\prime }\Leftrightarrow U(L)>U(L^{\prime }) \\
\left( b\right) \ L &\sim &L^{\prime }\Leftrightarrow U\left( L\right)
=U\left( L^{\prime }\right)
\end{eqnarray*}をともに満たすならば、この関数\(U\)は\(\succsim \)を表す効用関数である。
証明

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以上の2つの命題より以下が導かれます。

命題(効用関数の特徴づけ)
クジ集合\(\mathcal{L}\)上の選好関係\(\succsim \)が与えられたとき、ある関数\(U:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、任意のクジ\(L,L^{\prime }\in \mathcal{L}\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ L &\succ &L^{\prime }\Leftrightarrow U(L)>U(L^{\prime }) \\
\left( b\right) \ L &\sim &L^{\prime }\Leftrightarrow U\left( L\right)
=U\left( L^{\prime }\right)
\end{eqnarray*}をともに満たすことは、この関数\(U\)が\(\succsim \)を表す効用関数であるための必要十分条件である。

これまでの話の流れを振り返ると、最初に選好関係\(\succsim \)を定義し、そこから派生的に狭義選好関係\(\succ \)や無差別関係\(\sim \)を定義し、さらに、\begin{equation}L\succsim L\Leftrightarrow U\left( L\right) \geq U\left( L^{\prime }\right)
\quad \cdots (1)
\end{equation}を満たすものとして効用関数\(U\)を定義した場合、\(\succ \)や\(\sim \)に関して、\begin{eqnarray}L &\succ &L^{\prime }\Leftrightarrow U(L)>U(L^{\prime }) \quad \cdots (2) \\
L &\sim &L^{\prime }\Leftrightarrow U\left( L\right) =U\left( L^{\prime
}\right) \quad \cdots (3)
\end{eqnarray}が成り立つことを明らかにしました。上の命題によると、そのような話の流れとは逆に、最初に\(\succ \)と\(\sim \)を定義し、そこから派生的に\(\succsim \)を定義し、さらに\(\left( 2\right) ,\left( 3\right) \)を満たすものとして\(U\)を定義したとき、\(\succsim \)に関して\(\left( 1\right) \)が成り立つことを示すことができます。つまり、意思決定主体の選好を定式化する際には、\(\succsim \)を出発点にしても、\(\succ \)と\(\sim \)のペアを出発点にしても本質的には同じであるということです。

 

基数的効用と序数的効用

クジ集合\(\mathcal{L}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(U:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するとき、単調増加関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で合成関数\(f\circ U:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)を作成します。合成関数の定義より、それぞれの\(L\in \mathcal{L}\)に対して、\begin{equation*}\left( f\circ U\right) \left( L\right) =f\left( U\left( L\right) \right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。このような合成関数を生成する操作を\(U\)の単調増加変換(monotonically increasing transformation)と呼びます。クジ\(L,L^{\prime}\in \mathcal{L}\)を任意に選ぶと、このとき、\begin{align*}L\succsim L^{\prime }& \Leftrightarrow \ U(L)\geq U(L^{\prime })\quad
\because U\text{は効用関数} \\
& \Leftrightarrow \ f(U(L))\geq f(U(L^{\prime }))\quad \because f\text{は単調増加関数} \\
& \Leftrightarrow \ (f\circ U)(L)\geq (f\circ U)(L)\quad \because f\circ U\text{の定義}
\end{align*}すなわち、\begin{equation*}
L\succsim L^{\prime }\Leftrightarrow (f\circ U)(L)\geq (f\circ U)(L)
\end{equation*}が成り立つため、\(f\circ U\)もまた\(\succsim \)を表す効用関数です。同様の議論が任意の単調増加関数\(f\)に関して成立します。つまり、選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(U\)が与えられたとき、それを任意の形で単調増加変換して得られる関数\(f\circ U\)もまた\(\succsim \)を表す効用関数であることが保証されるということです。

命題(効用関数の単調増加変換)
クジ集合\(\mathcal{L}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(U:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、単調増加関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、両者の合成関数\(f\circ U:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)をとると、この\(f\circ U\)もまた\(\succsim \)を表現する効用関数となる。
例(効用関数の単調増加変換)
クジ\(L\in \mathcal{L}\)がもたらす期待値を\(E\left( L\right) \in \mathbb{R} \)で表記するものとします。ある意思決定主体は期待値を最大化するクジを選択するものとします。この場合、クジ集合\(\mathcal{L}\)上の選好関係\(\succsim \)は任意の2つのクジ\(L,L^{\prime }\in \mathcal{L}\)に対して、\begin{equation}L\succsim L^{\prime }\Leftrightarrow E\left( L\right) \geq E\left( L^{\prime
}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たします。それぞれのクジ\(L\in \mathcal{L}\)に対して、その期待値\begin{equation*}U\left( L\right) =E\left( L\right)
\end{equation*}を定める関数\(U:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)を定義すれば、\(\left( 1\right) \)より、任意の2つのクジ\(L,L^{\prime }\in \mathcal{L}\)に対して、\begin{equation*}L\succsim L^{\prime }\Leftrightarrow U\left( L\right) \geq U\left( L^{\prime
}\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(U\)は\(\succsim \)を表す効用関数です。さらに、\(U\)に対して様々な単調増加変換を行うことで得られる関数\(G,H,I:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(L\in \mathcal{L}\)に対して、\begin{eqnarray*}G\left( L\right) &=&\left[ U\left( L\right) \right] ^{2}=\left[ E\left(
L\right) \right] ^{2} \\
H\left( L\right) &=&10\ln U\left( L\right) =10\ln E\left( L\right) \\
I\left( L\right) &=&\sqrt{U\left( L\right) }=\sqrt{E\left( L\right) }
\end{eqnarray*}を定めるものとします。先の命題より\(G,H,I\)もまた\(U\)と同様に\(\succsim \)を表現する効用関数です。クジ\(L\in \mathcal{L}\)を任意に選んだとき、これに対して\(G,H,I\)が定める効用\(G\left( L\right) ,H\left( L\right) ,I\left(L\right) \)は一致するとは限りません(確認してください)。その一方で、\(L\succsim L^{\prime }\)を満たすクジ\(L,L^{\prime }\in \mathcal{L}\)を任意に選んだとき、\(G,H,L\)の中のどの効用関数を採用した場合においても、\(L\)の効用が\(L^{\prime }\)の効用以上であるという点では共通しています。

効用関数の単調増加変換に関する先の命題や上の例が示唆するように、主体がクジどうしを比較する選好関係\(\succsim \)が与えられたとき、それを表現する効用関数は一意的には定まりません。実際、単調増加関数は無数に存在するため、\(\succsim \)を表す効用関数\(U\)が与えられたとき、それは無数の形で単調増加変換が可能であり、そうして得られる無数の関数はいずれも同一の選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数となります。つまり、その中のどの効用関数を採用しても一般性は失われないということです。

その一方で、クジ\(L\)を任意に選んだとき、そこから得られる効用の絶対的な水準はどの効用関数を採用するかに依存して変化します。絶対的な水準に注目した場合の効用を基数的効用(cardinal utility)と呼びます。上の例においても、関数\(U,G,H,I\)はいずれも同一の選好\(\succsim \)を表す効用関数であるためどれを採用しても良いのですが、それぞれのクジ\(L\)の基数的効用はどの効用関数を採用するかに依存して変化します。採用する効用関数に依存して基数的効用が変化してしまうということは、基数的効用はそれほど重要ではないことを意味します。ただし、後に導入する期待効用関数(expected utility function)と呼ばれるクラスの効用関数は例外です。詳細は後述します。

選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数\(U\)と、それを任意の形で単調増加変換して得られる効用関数\(f\circ U\)が与えられたとき、任意のクジ\(L,L^{\prime }\in \mathcal{L}\)に対して,\begin{equation*}U\left( L\right) \geq U\left( L^{\prime }\right) \Leftrightarrow (f\circ
U)(L)\geq (f\circ U)(L)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、それぞれのクジに対して割り当てられる効用の相対的な大小関係は、どの効用関数を採用した場合でも一定であるため、効用の相対的な大小関係には重要な意味があります。相対的な大小に注目した場合の効用を序数的効用(ordinal utility)と呼びます。

選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数\(U\)が与えられたとき、クジ\(L\)の効用\(U\left( L\right) \)がクジ\(L^{\prime }\)の効用\(U\left( L^{\prime }\right) \)の\(2\)倍の大きさであっても、主体は\(L\)を\(L^{\prime }\)よりも\(2\)倍好ましいと考えているとは言えません。なぜなら、\(U\)を単調増加変換して得られる関数\(f\circ U\)もまた\(\succsim \)を表現する効用関数であるにも関わらず、\((f\circ U)(L)\)の大きさは\((f\circ U)(L^{\prime})\)の大きさの\(2\)倍であるとは限らないからです。基数的効用は重要ではありません。その一方で、\(U\)と\(f\circ U\)のどちらの効用関数を採用した場合においても、\(L\)の効用が\(L^{\prime }\)の効用よりも大きいという事実は不変です。序数的効用は重要です。ただし、繰り返しになりますが、期待効用関数と呼ばれるクラスの効用関数に関しては、基数的効用の水準が重要な意味を持ちます。詳細は後述します。

 

演習問題

問題(効用関数)
結果集合が、\begin{equation*}
X=\left\{ x_{1},x_{2},x_{3}\right\}
\end{equation*}であるとともに、クジ集合\(\mathcal{L}\)上に定義された選好関係\(\succsim \)は任意のクジ\(L,L^{\prime }\in \mathcal{L}\)に対して、\begin{equation*}L\succsim L^{\prime }\Leftrightarrow L\left( x_{1}\right) +\frac{L\left(
x_{2}\right) }{2}+\frac{L\left( x_{3}\right) }{3}\geq L^{\prime }\left(
x_{1}\right) +\frac{L^{\prime }\left( x_{2}\right) }{2}+\frac{L^{\prime
}\left( x_{3}\right) }{3}
\end{equation*}を満たすものとします。\(\succsim \)を表す効用関数\(U:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)は存在するでしょうか。議論してください。
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問題(効用関数)
結果集合が、\begin{equation*}
X=\left\{ x_{1},x_{2},x_{3}\right\}
\end{equation*}であるとともに、クジ集合\(\mathcal{L}\)上に定義された選好関係\(\succsim \)は任意のクジ\(L,L^{\prime }\in \mathcal{L}\)に対して、\begin{equation*}L\succsim L^{\prime }\Leftrightarrow L\left( x_{1}\right) \geq L^{\prime
}\left( x_{1}\right) \wedge L\left( x_{2}\right) \geq L^{\prime }\left(
x_{2}\right)
\end{equation*}を満たすものとします。\(\succsim \)を表す効用関数\(U:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)は存在するでしょうか。議論してください。
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