不確実性を評価する効用関数

効用関数

何らかの行動を選択した場合、実際に起こり得る結果として複数の候補が存在し、なおかつ、その中のどの結果が実際に起こるかが完全に予測できない状況、すなわちランダムネスが成立している状況を想定した上で、そのような状況において意思決定主体が直面する個々の選択肢がクジとして定式化されているものとします。起こり得るすべての結果からなる集合\(X\)が有限集合や可算集合である場合、クジとは、それぞれの結果\(x\in X\)に対して、その結果が起こる確率\(L\left( x\right) \in \mathbb{R} \)を特定する関数\begin{equation*}L:X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}として表現されます。一方、結果集合\(X\)が数直線\(\mathbb{R} \)上の区間などの非可算集合である場合、クジ\(L\)は確率密度関数\begin{equation*}f_{L}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}として表現されます。主体が直面するすべてのクジからなる集合を\(\mathcal{L}\)で表記します。

クジどうしを比較する主体の評価体系がクジ集合\(\mathcal{L}\)上の選好関係\(\succsim \)として表現されているものとします。つまり、2つのクジ\(L,L^{\prime }\in \mathcal{L}\)を任意に選んだときに、以下の関係\begin{equation*}L\succsim L^{\prime }\Leftrightarrow \text{主体は}L\text{を}L^{\prime }\text{以上に好む}
\end{equation*}を満たす\(\mathcal{L}\)上の二項関係として\(\succsim \)が定義されているということです。

クジ集合\(\mathcal{L}\)上の選好関係\(\succsim \)が与えられたとき、ある関数\(U:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、任意のクジ\(L,L^{\prime }\in \mathcal{L}\)に対して、\begin{equation*}U\left( L\right) \geq U\left( L^{\prime }\right) \Leftrightarrow L\succsim
L^{\prime }
\end{equation*}という関係が成り立つ場合には、この関数\(U\)を選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数（utility function）と呼びます。また、効用関数\(U\)がクジ\(L\)に対して定める値\(U\left( L\right) \)を\(L\)の効用（utility）と呼びます。つまり、選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(U\)が存在する場合、クジ\(L,L^{\prime}\)について\(L\)が\(L^{\prime }\)以上に望ましいことと、\(L\)の効用が\(L^{\prime }\)の効用以上であることが必要十分になります。言い換えると、効用関数を用いれば、クジの間の相対的な望ましさを、クジがもたらす効用の大小関係として表現できるということです。

一般に、選好関係を表現する効用関数は存在するとは限りません。選好関係を表現する効用関数が存在することを保証する上で必要な条件については場を改めて詳しく解説します。

効用関数の特徴づけ

クジ集合\(\mathcal{L}\)上の選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数\(U:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するものとします。このとき、狭義選好関係\(\succ \)および効用関数\(U\)の定義を踏まえると、クジ\(L,L^{\prime }\in \mathcal{L}\)を任意に選んだときに、\begin{equation*}L\succ L^{\prime }\Leftrightarrow U(L)>U(L^{\prime })
\end{equation*}という関係が成り立つことが示されます（演習問題）。つまり、意思決定主体にとって\(L\)が\(L^{\prime }\)よりも望ましいことと、\(L\)の効用が\(L^{\prime }\)の効用よりも大きいことは必要十分です。

同様に、無差別関係\(\sim \)および効用関数\(U\)の定義を踏まえると、クジ\(L,L^{\prime }\in \mathcal{L}\)を任意に選んだときに、\begin{equation*}L\sim L^{\prime }\Leftrightarrow U\left( L\right) =U\left( L^{\prime
}\right)
\end{equation*}という関係が成り立つことが示されます（演習問題）。つまり、意思決定主体にとって\(L\)と\(L^{\prime }\)が同じ程度望ましいことと、\(L\)の効用と\(L^{\prime }\)の効用が等しいことは必要十分です。

上の命題の逆もまた成立します。つまり、クジ集合\(\mathcal{L}\)上に定義された関数\(U\)が先の2つの条件\(\left( a\right) ,\left( b\right) \)を満たす場合、この関数\(U\)は\(\succsim \)を表す効用関数であることが保証されます。つまり、任意のクジ\(L,L^{\prime }\in \mathcal{L}\)について、\begin{equation*}L\succsim L^{\prime }\Leftrightarrow U\left( L\right) \geq U\left( L^{\prime
}\right)
\end{equation*}という関係が成り立つことが示されます（演習問題）。

以上の2つの命題より以下が導かれます。

これまでの話の流れを振り返ると、最初に選好関係\(\succsim \)を定義し、そこから派生的に狭義選好関係\(\succ \)や無差別関係\(\sim \)を定義し、さらに、\begin{equation}L\succsim L\Leftrightarrow U\left( L\right) \geq U\left( L^{\prime }\right)
\quad \cdots (1)
\end{equation}を満たすものとして効用関数\(U\)を定義した場合、\(\succ \)や\(\sim \)に関して、\begin{eqnarray}L &\succ &L^{\prime }\Leftrightarrow U(L)>U(L^{\prime }) \quad \cdots (2) \\
L &\sim &L^{\prime }\Leftrightarrow U\left( L\right) =U\left( L^{\prime
}\right) \quad \cdots (3)
\end{eqnarray}が成り立つことを明らかにしました。上の命題によると、そのような話の流れとは逆に、最初に\(\succ \)と\(\sim \)を定義し、そこから派生的に\(\succsim \)を定義し、さらに\(\left( 2\right) ,\left( 3\right) \)を満たすものとして\(U\)を定義したとき、\(\succsim \)に関して\(\left( 1\right) \)が成り立つことを示すことができます。つまり、意思決定主体の選好を定式化する際には、\(\succsim \)を出発点にしても、\(\succ \)と\(\sim \)のペアを出発点にしても本質的には同じであるということです。

基数的効用と序数的効用

クジ集合\(\mathcal{L}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(U:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するとき、単調増加関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で合成関数\(f\circ U:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)を作成します。合成関数の定義より、それぞれの\(L\in \mathcal{L}\)に対して、\begin{equation*}\left( f\circ U\right) \left( L\right) =f\left( U\left( L\right) \right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。このような合成関数を生成する操作を\(U\)の単調増加変換（monotonically increasing transformation）と呼びます。クジ\(L,L^{\prime}\in \mathcal{L}\)を任意に選ぶと、このとき、\begin{align*}L\succsim L^{\prime }& \Leftrightarrow \ U(L)\geq U(L^{\prime })\quad
\because U\text{は効用関数} \\
& \Leftrightarrow \ f(U(L))\geq f(U(L^{\prime }))\quad \because f\text{は単調増加関数} \\
& \Leftrightarrow \ (f\circ U)(L)\geq (f\circ U)(L)\quad \because f\circ U\text{の定義}
\end{align*}すなわち、\begin{equation*}
L\succsim L^{\prime }\Leftrightarrow (f\circ U)(L)\geq (f\circ U)(L)
\end{equation*}が成り立つため、\(f\circ U\)もまた\(\succsim \)を表す効用関数です。同様の議論が任意の単調増加関数\(f\)に関して成立します。つまり、選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(U\)が与えられたとき、それを任意の形で単調増加変換して得られる関数\(f\circ U\)もまた\(\succsim \)を表す効用関数であることが保証されるということです。

効用関数の単調増加変換に関する先の命題や上の例が示唆するように、主体がクジどうしを比較する選好関係\(\succsim \)が与えられたとき、それを表現する効用関数は一意的には定まりません。実際、単調増加関数は無数に存在するため、\(\succsim \)を表す効用関数\(U\)が与えられたとき、それは無数の形で単調増加変換が可能であり、そうして得られる無数の関数はいずれも同一の選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数となります。つまり、その中のどの効用関数を採用しても一般性は失われないということです。

その一方で、クジ\(L\)を任意に選んだとき、そこから得られる効用の絶対的な水準はどの効用関数を採用するかに依存して変化します。絶対的な水準に注目した場合の効用を基数的効用（cardinal utility）と呼びます。上の例においても、関数\(U,G,H,I\)はいずれも同一の選好\(\succsim \)を表す効用関数であるためどれを採用しても良いのですが、それぞれのクジ\(L\)の基数的効用はどの効用関数を採用するかに依存して変化します。採用する効用関数に依存して基数的効用が変化してしまうということは、基数的効用はそれほど重要ではないことを意味します。ただし、後に導入する期待効用関数（expected utility function）と呼ばれるクラスの効用関数は例外です。詳細は後述します。

選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数\(U\)と、それを任意の形で単調増加変換して得られる効用関数\(f\circ U\)が与えられたとき、任意のクジ\(L,L^{\prime }\in \mathcal{L}\)に対して，\begin{equation*}U\left( L\right) \geq U\left( L^{\prime }\right) \Leftrightarrow (f\circ
U)(L)\geq (f\circ U)(L)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、それぞれのクジに対して割り当てられる効用の相対的な大小関係は、どの効用関数を採用した場合でも一定であるため、効用の相対的な大小関係には重要な意味があります。相対的な大小に注目した場合の効用を序数的効用（ordinal utility）と呼びます。

選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数\(U\)が与えられたとき、クジ\(L\)の効用\(U\left( L\right) \)がクジ\(L^{\prime }\)の効用\(U\left( L^{\prime }\right) \)の\(2\)倍の大きさであっても、主体は\(L\)を\(L^{\prime }\)よりも\(2\)倍好ましいと考えているとは言えません。なぜなら、\(U\)を単調増加変換して得られる関数\(f\circ U\)もまた\(\succsim \)を表現する効用関数であるにも関わらず、\((f\circ U)(L)\)の大きさは\((f\circ U)(L^{\prime})\)の大きさの\(2\)倍であるとは限らないからです。基数的効用は重要ではありません。その一方で、\(U\)と\(f\circ U\)のどちらの効用関数を採用した場合においても、\(L\)の効用が\(L^{\prime }\)の効用よりも大きいという事実は不変です。序数的効用は重要です。ただし、繰り返しになりますが、期待効用関数と呼ばれるクラスの効用関数に関しては、基数的効用の水準が重要な意味を持ちます。詳細は後述します。

演習問題