クジの確実同値額
何らかの行動を選択した場合、実際に起こり得る結果として複数の候補が存在し、なおかつ、その中のどの結果が実際に起こるかが完全に予測できない状況、すなわちランダムネスが成立している状況を想定した上で、そのような状況において意思決定主体が直面する個々の選択肢がクジとして定式化されているものとします。起こり得るすべての結果からなる集合\(X\)が有限集合や可算集合である場合、クジとは、それぞれの結果\(x\in X\)に対して、その結果が起こる確率\(L\left( x\right) \in \mathbb{R} \)を特定する関数\begin{equation*}L:X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}として表現されます。一方、結果集合\(X\)が数直線\(\mathbb{R} \)上の区間などの非可算集合である場合、クジ\(L\)は確率密度関数\begin{equation*}f_{L}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}として表現されます。主体が直面するすべてのクジからなる集合を\(\mathcal{L}\)で表記します。
主体がクジどうしを比較する評価体系が期待効用関数\begin{equation*}
U:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}として表現されている状況を想定します。つまり、クジ\(L\in \mathcal{L}\)の期待効用が、\begin{eqnarray*}U\left( L\right) &=&\sum_{n=1}^{N}\left[ L\left( x_{n}\right) \cdot u\left(
x_{n}\right) \right] \quad \because X\text{が有限集合である場合} \\
&=&\sum_{n=1}^{\infty }\left[ L\left( x_{n}\right) \cdot u\left(
x_{n}\right) \right] \quad \because X\text{が可算集合である場合} \\
&=&\int_{-\infty }^{+\infty }\left[ u\left( x\right) \cdot f_{L}\left(
x\right) \right] dx\quad \because X\text{が}\mathbb{R} \text{上の区間である場合}
\end{eqnarray*}として定まるということです。ただし、\begin{equation*}
u:\mathbb{R} \supset D\left( u\right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}はベルヌーイ効用関数です。\(D\left( u\right) \)は\(u\)の定義域を表す記号です。
以上の状況において、主体がクジ\(L\in \mathcal{L}\)を選択した場合に直面する期待効用は、期待効用関数\(U\)から、\begin{equation*}U\left( L\right)
\end{equation*}と特定されます。ただし、どの結果が実際に起こるかはランダムネスによって支配されているため、主体は期待効用\(U\left( L\right) \)を確実に得られるわけではありません。期待効用\(U\left( L\right) \)はあくまでも結果の効用\(u\left(x\right) \)の期待値です。一方、結果\(x\in X\)が確実に実現する場合に主体が得る効用は、ベルヌーイ関数\(u\)から、\begin{equation*}u\left( x\right)
\end{equation*}と特定されます。したがって、クジ\(L\in \mathcal{L}\)に対して結果\(x\in X\)が以下の条件\begin{equation*}u\left( x\right) =U\left( L\right)
\end{equation*}を満たす場合、主体にとってクジ\(L\)を選択することと結果\(x\)を確実に得ることは無差別になります。そこで、以上の条件を満たす結果\(x\)をクジ\(L\)の確実同値額（certainty equivalent）や確実性等価と呼び、これを、\begin{equation*}c\left( L,u\right)
\end{equation*}で表記します。
改めて整理すると、ベルヌーイ関数\(u:\mathbb{R} \supset D\left( u\right) \rightarrow \mathbb{R} \)を持つ主体にとってのクジ\(L\in \mathcal{L}\)の確実同値額は、以下の条件\begin{equation*}u\left( c\left( L,u\right) \right) =U\left( L\right)
\end{equation*}を満たす結果\(c\left( L,u\right) \in X\)として定義されます。個々の結果が金銭である場合、以上の事実は、クジ\(L\)を金銭換算したものが確実同値額\(c\left( L,u\right) \)であることを意味します。
ベルヌーイ関数\(u:\mathbb{R} \supset D\left( u\right) \rightarrow \mathbb{R} \)が狭義単調増加関数である場合には、その終集合を値域に制限して、\begin{equation*}u:\mathbb{R} \supset D\left( u\right) \rightarrow u\left( D\left( u\right) \right)
\end{equation*}とすれば全単射になるため、その逆関数\begin{equation*}
u^{-1}:u\left( D\left( u\right) \right) \rightarrow D\left( u\right)
\end{equation*}が存在することが保証されます。逆関数の定義より、順序対\(\left( x,y\right) \in D\left( u\right) \times u\left( D\left( u\right)\right) \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}u\left( x\right) =y\Leftrightarrow x=u^{-1}\left( y\right)
\end{equation*}が成り立つことに注意してください。したがって、クジ\(L\in \mathcal{L}\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}u\left( c\left( L,u\right) \right) =U\left( L\right) \Leftrightarrow c\left(
L,u\right) =u^{-1}\left( U\left( L\right) \right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、ベルヌーイ関数\(u\)が狭義単調増加である場合、クジ\(L\in \mathcal{L}\)の確実同値額を、\begin{equation*}c\left( L,u\right) =u^{-1}\left( U\left( L\right) \right)
\end{equation*}と表現できるということです。
X=\left\{ x_{1},\cdots ,x_{N}\right\} \subset \mathbb{R} \end{equation*}である場合、クジ\(L\in \mathcal{L}\)の確実同値額は、\begin{equation*}u\left( c\left( L,u\right) \right) =U\left( L\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
u\left( c\left( L,u\right) \right) =\sum_{n=1}^{N}\left[ L\left(
x_{n}\right) \cdot u\left( x_{n}\right) \right] \end{equation*}を満たす結果\(c\left( L,u\right) \in X\)として定義されます。特に、ベルヌーイ関数\(u\)が狭義単調増加である場合には、\begin{equation*}c\left( L,u\right) =u^{-1}\left( \sum_{n=1}^{N}\left[ L\left( x_{n}\right)
\cdot u\left( x_{n}\right) \right] \right)
\end{equation*}となります。
X=\left\{ x_{1},x_{2},\cdots \right\} \subset \mathbb{R} \end{equation*}である場合、クジ\(L\in \mathcal{L}\)の確実同値額は、\begin{equation*}u\left( c\left( L,u\right) \right) =U\left( L\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
u\left( c\left( L,u\right) \right) =\sum_{n=1}^{\infty }\left[ L\left(
x_{n}\right) \cdot u\left( x_{n}\right) \right] \end{equation*}を満たす結果\(c\left( L,u\right) \in X\)として定義されます。特に、ベルヌーイ関数\(u\)が狭義単調増加である場合には、\begin{equation*}c\left( L,u\right) =u^{-1}\left( \sum_{n=1}^{\infty }\left[ L\left(
x_{n}\right) \cdot u\left( x_{n}\right) \right] \right)
\end{equation*}となります。
X\subset \mathbb{R} \end{equation*}である場合、クジ\(L\in \mathcal{L}\)の確実同値額は、\begin{equation*}u\left( c\left( L,u\right) \right) =U\left( L\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
u\left( c\left( L,u\right) \right) =\int_{-\infty }^{+\infty }\left[ u\left(
x\right) \cdot f_{L}\left( x\right) \right] dx
\end{equation*}を満たす結果\(c\left( L,u\right) \in X\)として定義されます。特に、ベルヌーイ関数\(u\)が狭義単調増加である場合には、\begin{equation*}c\left( L,u\right) =u^{-1}\left( \int_{-\infty }^{+\infty }\left[ u\left(
x\right) \cdot f_{L}\left( x\right) \right] dx\right)
\end{equation*}となります。
\end{equation*}である中で、以下の条件\begin{equation*}
L\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{3} & \left( if\ x=9\right) \\
\frac{2}{3} & \left( if\ x=81\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を満たすクジ\(L:X\rightarrow \mathbb{R} \)に直面しているということです。主体のベルヌーイ関数\(u:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x\right) =x^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。この主体にとってのクジ\(L\)の確実同値額を以下で特定します。クジ\(L\)の期待効用は、\begin{eqnarray*}U\left( L\right) &=&L\left( 9\right) \cdot u\left( 9\right) +L\left(
81\right) \cdot u\left( 81\right) \quad \because \text{期待効用の定義} \\
&=&\frac{1}{3}\cdot 9^{\frac{1}{2}}+\frac{2}{3}\cdot 81^{\frac{1}{2}} \\
&=&\frac{1}{3}\cdot 3+\frac{2}{3}\cdot 9 \\
&=&7
\end{eqnarray*}であるため、このクジ\(L\)の確実同値額は、\begin{equation*}u\left( x\right) =U\left( L\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
x^{\frac{1}{2}}=7
\end{equation*}を満たす結果\(x\in X\)と一致します。これを解くと、\begin{equation*}x=49
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
c\left( u,L\right) =49
\end{equation*}であることが明らかになりました。つまり、この主体にとって、このギャンブルに挑戦することと賞金\(49\)を確実にもらうことは無差別です。言い換えると、ギャンブルの参加料が\(49\)以下であるならば、この人はギャンブルに挑戦します。
確実同値額を用いたリスク回避的であることの表現
結果集合\(X\subset \mathbb{R} \)が与えられており、クジどうしを比較する主体の選好が期待効用関数\(U:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)として表現されている状況を想定します。ベルヌーイ関数を\(u:\mathbb{R} \supset D\left( u\right) \rightarrow \mathbb{R} \)で表記します。主体がクジ\(L\in \mathcal{L}\)を選択した場合に直面する期待効用は、\begin{eqnarray*}U\left( L\right) &=&\sum_{n=1}^{N}\left[ L\left( x_{n}\right) \cdot u\left(
x_{n}\right) \right] \quad \because X\text{が有限集合である場合} \\
&=&\sum_{n=1}^{\infty }\left[ L\left( x_{n}\right) \cdot u\left(
x_{n}\right) \right] \quad \because X\text{が可算集合である場合} \\
&=&\int_{-\infty }^{+\infty }\left[ u\left( x\right) \cdot f_{L}\left(
x\right) \right] dx\quad \because X\text{が}\mathbb{R} \text{上の区間である場合}
\end{eqnarray*}である一方で、クジ\(L\)のもとでの結果の期待値は、\begin{eqnarray*}E\left( L\right) &=&\sum_{n=1}^{N}\left[ L\left( x_{n}\right) \cdot x_{n}\right] \quad \because X\text{が有限集合である場合} \\
&=&\sum_{n=1}^{\infty }\left[ L\left( x_{n}\right) \cdot x_{n}\right] \quad
\because X\text{が可算集合である場合} \\
&=&\int_{-\infty }^{+\infty }xf_{L}\left( x\right) dx\quad \because X\text{が}\mathbb{R} \text{上の区間である場合}
\end{eqnarray*}として定まります。
以上を踏まえた上で、主体がリスク回避的であることとは、任意のクジ\(L\in \mathcal{L}\)に対して、主体がそのクジ\(L\)のもとでの結果の期待値\(E\left( L\right) \)を確実に得ることを、そのクジ\(L\)を選択して期待効用\(U\left( L\right) \)に直面すること以上に好むこととして、すなわち、\begin{equation*}\forall L\in \mathcal{L}:u\left( E\left( L\right) \right) \geq U\left(
L\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。
主体がリスク回避的であることと、その主体のベルヌーイ関数\(u:\mathbb{R} \supset D\left( u\right) \rightarrow \mathbb{R} \)が凹関数であることは必要十分です。以上の事実は、リスク回避的な主体にとって、失うことの恐れは、得ることの喜びよりも大きいことを示唆します。言い換えると、確実に得られる結果が増加するにつれて、追加的な増量がもたらす効用の増分は逓減していくということです。結果が金銭であるならば、以上の事実は、確実に得られる金額が大きくなるほど、追加的な金銭がもたらす満足度が逓減していくことを意味します。
ベルヌーイ関数\(u\)が単調増加関数である場合、主体がリスク回避的であることをクジの確実同値額を用いて以下のように表現できます。
\end{equation*}が成り立つことは必要十分である。
以上の命題より、リスク回避的な主体にとって、クジのもとでの結果の期待値はクジの確実同値額以上であることが明らかになりました。確実同値額の定義より、以上の事実は、リスク回避的な主体にとって、クジのもとでの結果の期待値を確実に得ることは、クジの確実同値額を確実に得ること以上に望ましいことを意味します。
確実同値額を用いたリスク中立性であることの表現
結果集合\(X\subset \mathbb{R} \)が与えられており、クジどうしを比較する主体の選好が期待効用関数\(U:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)として表現されている状況を想定します。ベルヌーイ関数を\(u:\mathbb{R} \supset D\left( u\right) \rightarrow \mathbb{R} \)で表記します。主体がクジ\(L\in \mathcal{L}\)を選択した場合に直面する期待効用は\(U\left( L\right) \)である一方で、クジ\(L\)のもとでの結果の期待値は\(E\left( L\right) \)として定まります。
以上を踏まえた上で、主体がリスク中立的であることとは、任意のクジ\(L\in \mathcal{L}\)に対して、主体がそのクジ\(L\)のもとでの結果の期待値\(E\left( L\right) \)を確実に得ることと、そのクジ\(L\)を選択して期待効用\(U\left( L\right) \)に直面することが無差別であることとして、すなわち、\begin{equation*}\forall L\in \mathcal{L}:u\left( E\left( L\right) \right) =U\left( L\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。
主体がリスク中立的であることと、その主体のベルヌーイ関数\(u:\mathbb{R} \supset D\left( u\right) \rightarrow \mathbb{R} \)が線型関数であることは必要十分です。以上の事実は、リスク回避的な主体にとって、失うことの恐れは、得ることの喜びと同程度であることを示唆します。言い換えると、確実に得られる結果が増加しても、追加的な増量がもたらす効用の増分は一定であるということです。結果が金銭であるならば、以上の事実は、確実に得られる金額が大きくなっても、追加的な金銭がもたらす満足度が変化しないことを意味します。
ベルヌーイ関数\(u\)が単調増加関数である場合、主体がリスク中立的であることをクジの確実同値額を用いて以下のように表現できます。
\end{equation*}が成り立つことは必要十分である。
以上の命題より、リスク中立的な主体にとって、クジのもとでの結果の期待値はクジの確実同値額と等しいことが明らかになりました。確実同値額の定義より、以上の事実は、リスク中立的な主体にとって、クジのもとでの結果の期待値を確実に得ることと、クジの確実同値額を確実に得ることは同じ程度に望ましいことを意味します。
確実同値額を用いたリスク愛好的であることの表現
結果集合\(X\subset \mathbb{R} \)が与えられており、クジどうしを比較する主体の選好が期待効用関数\(U:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)として表現されている状況を想定します。ベルヌーイ関数を\(u:\mathbb{R} \supset D\left( u\right) \rightarrow \mathbb{R} \)で表記します。主体がクジ\(L\in \mathcal{L}\)を選択した場合に直面する期待効用は\(U\left( L\right) \)である一方で、クジ\(L\)のもとでの結果の期待値は\(E\left( L\right) \)として定まります。
以上を踏まえた上で、主体がリスク愛好的であることとは、任意のクジ\(L\in \mathcal{L}\)に対して、主体がそのクジ\(L\)を選択して期待効用\(U\left( L\right) \)に直面することを、そのクジ\(L\)のもとでの結果の期待値\(E\left( L\right) \)を確実に得ること以上に好むこととして、すなわち、\begin{equation*}\forall L\in \mathcal{L}:U\left( L\right) \geq u\left( E\left( L\right)
\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。
主体がリスク愛好的であることと、その主体のベルヌーイ関数\(u:\mathbb{R} \supset D\left( u\right) \rightarrow \mathbb{R} \)が凸関数であることは必要十分です。以上の事実は、リスク回避的な主体にとって、得ることの喜びは、失うことの恐れよりも大きいことを示唆します。言い換えると、確実に得られる結果が増加するにつれて、追加的な増量がもたらす効用の増分は逓増していくということです。結果が金銭であるならば、以上の事実は、確実に得られる金額が大きくなるほど、追加的な金銭がもたらす満足度が逓増していくことを意味します。
ベルヌーイ関数\(u\)が単調増加関数である場合、主体がリスク愛好的であることをクジの確実同値額を用いて以下のように表現できます。
\end{equation*}が成り立つことは必要十分である。
以上の命題より、リスク愛好的な主体にとって、クジの確実同値額はクジのもとでの結果の期待値以上であることが明らかになりました。確実同値額の定義より、以上の事実は、リスク愛好的な主体にとって、クジの確実同値額を確実に得ることは、クジのもとでの結果の期待値を確実に得ること以上に望ましいことを意味します。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。その主体が保有している金融資産の価値が\(1000\)万円であるものとします。ただし、\(10\)パーセントの確率で資産価値が半減してしまう恐れがあります。以上の状況をクジとして定式化した上で、そのクジの確実同値額を求めてください。その上で、得られた結果の意味を解釈してください。
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