クジのリスクプレミアム
何らかの行動を選択した場合、実際に起こり得る結果として複数の候補が存在し、なおかつ、その中のどの結果が実際に起こるかが完全に予測できない状況、すなわちランダムネスが成立している状況を想定した上で、そのような状況において意思決定主体が直面する個々の選択肢がクジとして定式化されているものとします。起こり得るすべての結果からなる集合\(X\)が有限集合や可算集合である場合、クジとは、それぞれの結果\(x\in X\)に対して、その結果が起こる確率\(L\left( x\right) \in \mathbb{R} \)を特定する関数\begin{equation*}L:X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}として表現されます。一方、結果集合\(X\)が数直線\(\mathbb{R} \)上の区間などの非可算集合である場合、クジ\(L\)は確率密度関数\begin{equation*}f_{L}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}として表現されます。主体が直面するすべてのクジからなる集合を\(\mathcal{L}\)で表記します。
結果集合\(X\subset \mathbb{R} \)が与えられており、クジどうしを比較する主体の選好が期待効用関数\(U:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)として表現されている状況を想定します。ベルヌーイ関数を\(u:\mathbb{R} \supset D\left( u\right) \rightarrow \mathbb{R} \)で表記します。主体がクジ\(L\in \mathcal{L}\)を選択した場合に直面する期待効用は、\begin{eqnarray*}U\left( L\right) &=&\sum_{n=1}^{N}\left[ L\left( x_{n}\right) \cdot u\left(
x_{n}\right) \right] \quad \because X\text{が有限集合である場合} \\
&=&\sum_{n=1}^{\infty }\left[ L\left( x_{n}\right) \cdot u\left(
x_{n}\right) \right] \quad \because X\text{が可算集合である場合} \\
&=&\int_{-\infty }^{+\infty }\left[ u\left( x\right) \cdot f_{L}\left(
x\right) \right] dx\quad \because X\text{が}\mathbb{R} \text{上の区間である場合}
\end{eqnarray*}である一方で、クジ\(L\)のもとでの結果の期待値は、\begin{eqnarray*}E\left( L\right) &=&\sum_{n=1}^{N}\left[ L\left( x_{n}\right) \cdot x_{n}\right] \quad \because X\text{が有限集合である場合} \\
&=&\sum_{n=1}^{\infty }\left[ L\left( x_{n}\right) \cdot x_{n}\right] \quad
\because X\text{が可算集合である場合} \\
&=&\int_{-\infty }^{+\infty }xf_{L}\left( x\right) dx\quad \because X\text{が}\mathbb{R} \text{上の区間である場合}
\end{eqnarray*}として定まります。\(D\left( u\right) \)は\(u\)の定義域を表す記号です。
以上の状況において、主体がクジ\(L\in \mathcal{L}\)を選択した場合に直面する期待効用は、期待効用関数\(U\)から、\begin{equation*}U\left( L\right)
\end{equation*}と特定されます。ただし、どの結果が実際に起こるかはランダムネスによって支配されているため、主体は期待効用\(U\left( L\right) \)を確実に得られるわけではありません。期待効用\(U\left( L\right) \)はあくまでも結果の効用\(u\left(x\right) \)の期待値です。一方、クジ\(L\)のもとでの結果の期待値\(E\left( L\right) \)を確実に得られる場合に主体が得る効用は、ベルヌーイ関数\(u\)から、\begin{equation*}u\left( E\left( L\right) \right)
\end{equation*}と特定されます。多くの場合、クジ\(L\)を選択して不確実な状況に直面することと、そのクジ\(L\)の結果の期待値\(E\left( L\right) \)を確実に得ることは無差別ではないため、以下の関係\begin{equation*}U\left( L\right) =u\left( E\left( L\right) \right)
\end{equation*}は成り立つとは限りません。そこで、確実に得られる結果の水準を\(p\in \mathbb{R} \)だけ調節して\(E\left( L\right) -p\)とすることにより、クジ\(L\)を選択して不確実な状況に直面することと、結果\(E\left( L\right) -p\)を確実に得ることが無差別になるならば、すなわち、以下の関係\begin{equation*}U\left( L\right) =u\left( E\left( L\right) -p\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(p\)をクジ\(L\)のリスクプレミアム（risk premium）や危険プレミアム、または保険プレミアムなどと呼び、これを、\begin{equation*}p\left( L,u\right)
\end{equation*}で表記します。
改めて整理すると、ベルヌーイ関数\(u:\mathbb{R} \supset D\left( u\right) \rightarrow \mathbb{R} \)を持つ主体にとってのクジ\(L\in \mathcal{L}\)のリスクプレミアムは、以下の条件\begin{equation*}u\left( E\left( L\right) -p\left( L,u\right) \right) =U\left( L\right)
\end{equation*}を満たす値\(p\left( L,u\right) \in \mathbb{R} \)として定義されます。
ベルヌーイ関数\(u:\mathbb{R} \supset D\left( u\right) \rightarrow \mathbb{R} \)が狭義単調増加関数である場合には、その終集合を値域に制限して、\begin{equation*}u:\mathbb{R} \supset D\left( u\right) \rightarrow u\left( D\left( u\right) \right)
\end{equation*}とすれば全単射になるため、その逆関数\begin{equation*}
u^{-1}:u\left( D\left( u\right) \right) \rightarrow D\left( u\right)
\end{equation*}が存在することが保証されます。逆関数の定義より、順序対\(\left( x,y\right) \in D\left( u\right) \times u\left( D\left( u\right)\right) \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}u\left( x\right) =y\Leftrightarrow x=u^{-1}\left( y\right)
\end{equation*}が成り立つことに注意してください。したがって、クジ\(L\in \mathcal{L}\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{eqnarray*}u\left( E\left( L\right) -p\left( L,u\right) \right) =U\left( L\right)
&\Leftrightarrow &E\left( L\right) -p\left( L,u\right) =u^{-1}\left( U\left(
L\right) \right) \\
&\Leftrightarrow &p\left( L,u\right) =E\left( L\right) -u^{-1}\left( U\left(
L\right) \right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。つまり、ベルヌーイ関数\(u\)が狭義単調増加である場合、クジ\(L\in \mathcal{L}\)のリスクプレミアムを、\begin{equation*}p\left( L,u\right) =E\left( L\right) -u^{-1}\left( U\left( L\right) \right)
\end{equation*}と表現できるということです。
X=\left\{ x_{1},\cdots ,x_{N}\right\} \subset \mathbb{R} \end{equation*}である場合、クジ\(L\in \mathcal{L}\)のリスクプレミアムは、\begin{equation*}u\left( E\left( L\right) -p\left( L,u\right) \right) =U\left( L\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
u\left( \sum_{n=1}^{N}\left[ L\left( x_{n}\right) \cdot x_{n}\right] -p\left( L,u\right) \right) =\sum_{n=1}^{N}\left[ L\left( x_{n}\right) \cdot
u\left( x_{n}\right) \right] \end{equation*}を満たす値\(p\left( L,u\right) \in \mathbb{R} \)として定義されます。特に、ベルヌーイ関数\(u\)が狭義単調増加である場合には、\begin{equation*}p\left( L,u\right) =\sum_{n=1}^{N}\left[ L\left( x_{n}\right) \cdot x_{n}\right] -u^{-1}\left( \sum_{n=1}^{N}\left[ L\left( x_{n}\right) \cdot
u\left( x_{n}\right) \right] \right)
\end{equation*}となります。
X=\left\{ x_{1},x_{2},\cdots \right\} \subset \mathbb{R} \end{equation*}である場合、クジ\(L\in \mathcal{L}\)のリスクプレミアムは、\begin{equation*}u\left( E\left( L\right) -p\left( L,u\right) \right) =U\left( L\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
u\left( \sum_{n=1}^{\infty }\left[ L\left( x_{n}\right) \cdot x_{n}\right] -p\left( L,u\right) \right) =\sum_{n=1}^{\infty }\left[ L\left( x_{n}\right)
\cdot u\left( x_{n}\right) \right] \end{equation*}を満たす値\(p\left( L,u\right) \in \mathbb{R} \)として定義されます。特に、ベルヌーイ関数\(u\)が狭義単調増加である場合には、\begin{equation*}p\left( L,u\right) =\sum_{n=1}^{\infty }\left[ L\left( x_{n}\right) \cdot
x_{n}\right] -u^{-1}\left( \sum_{n=1}^{\infty }\left[ L\left( x_{n}\right)
\cdot u\left( x_{n}\right) \right] \right)
\end{equation*}となります。
X\subset \mathbb{R} \end{equation*}である場合、クジ\(L\in \mathcal{L}\)のリスクプレミアムは、\begin{equation*}u\left( E\left( L\right) -p\left( L,u\right) \right) =U\left( L\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
u\left( \int_{-\infty }^{+\infty }xf_{L}\left( x\right) dx-p\left(
L,u\right) \right) =\int_{-\infty }^{+\infty }\left[ u\left( x\right) \cdot
f_{L}\left( x\right) \right] dx
\end{equation*}を満たす値\(p\left( L,u\right) \in \mathbb{R} \)として定義されます。特に、ベルヌーイ関数\(u\)が狭義単調増加である場合には、\begin{equation*}p\left( L,u\right) =\int_{-\infty }^{+\infty }xf_{L}\left( x\right)
dx-u^{-1}\left( \int_{-\infty }^{+\infty }\left[ u\left( x\right) \cdot
f_{L}\left( x\right) \right] dx\right)
\end{equation*}となります。
\end{equation*}である中で、以下の条件\begin{equation*}
L\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{3} & \left( if\ x=9\right) \\
\frac{2}{3} & \left( if\ x=81\right) \\
0 & \left( otherwise\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を満たすクジ\(L:X\rightarrow \mathbb{R} \)に直面しているということです。主体のベルヌーイ関数\(u:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x\right) =x^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。この主体にとってのクジ\(L\)のリスクプレミアムを以下で特定します。クジ\(L\)の期待効用は、\begin{eqnarray*}U\left( L\right) &=&L\left( 9\right) \cdot u\left( 9\right) +L\left(
81\right) \cdot u\left( 81\right) \quad \because \text{期待効用の定義} \\
&=&\frac{1}{3}\cdot 9^{\frac{1}{2}}+\frac{2}{3}\cdot 81^{\frac{1}{2}} \\
&=&\frac{1}{3}\cdot 3+\frac{2}{3}\cdot 9 \\
&=&7
\end{eqnarray*}であり、クジ\(L\)のもとでの結果の期待値は、\begin{eqnarray*}E\left( L\right) &=&L\left( 9\right) \cdot 9+L\left( 81\right) \cdot 81\quad
\because \text{期待値の定義} \\
&=&\frac{1}{3}\cdot 9+\frac{2}{3}\cdot 81 \\
&=&57
\end{eqnarray*}であるため、このクジ\(L\)のリスクプレミアムは、\begin{equation*}u\left( E\left( L\right) -p\right) =U\left( L\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( 57-p\right) ^{\frac{1}{2}}=7
\end{equation*}を満たす\(p\)と一致します。これを解くと、\begin{equation*}57-p=49
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
p=8
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
p\left( u,L\right) =8
\end{equation*}であることが明らかになりました。つまり、この主体にとって、このギャンブルに挑戦することと、期待値\(57\)よりも\(8\)だけ低い賞金である\(49\)を確実にもらうことは無差別です。
リスクプレミアムの解釈
ベルヌーイ関数\(u:\mathbb{R} \supset D\left( u\right) \rightarrow \mathbb{R} \)が狭義単調増加関数であるものとします。クジ\(L\in \mathcal{L}\)のリスクプレミアムは、\begin{equation}u\left( E\left( L\right) -p\left( L,u\right) \right) =U\left( L\right)
\quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす値\(p\left( L,u\right) \in \mathbb{R} \)として定義されます。
クジ\(L\)のリスクプレミアムが正である場合、すなわち、\begin{equation*}p\left( L,u\right) >0
\end{equation*}である場合には、\begin{equation}
E\left( L\right) -p\left( L,u\right) <E\left( L\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}を得るため、\begin{eqnarray*}
U\left( L\right) &=&u\left( E\left( L\right) -p\left( L,u\right) \right)
\quad \because \left( 1\right) \\
&<&u\left( E\left( L\right) \right) \quad \because \left( 2\right) \text{および}u\text{は狭義単調増加}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
U\left( L\right) <u\left( E\left( L\right) \right)
\end{equation*}を得ます。つまり、クジ\(L\)のリスクプレミアムが正である場合、主体はクジ\(L\)に挑戦して不確実な状況に直面するよりも、クジ\(L\)のもとでの期待値\(E\left( L\right) \)と一致する結果を確実に得ることを望みます。リスクプレミアム\(p\left( L,u\right) \)が正である場合、その絶対値は\(p\left( L,u\right) \)と一致します。そこで、確実に得られる値をリスクプレミアムの絶対値\(p\left( L,u\right) \)の分だけ差し引くと、リスクプレミアムの定義より、\begin{equation*}U\left( L\right) =u\left( E\left( L\right) -p\left( L,u\right) \right)
\end{equation*}となるため、この時点においてようやく、主体にとってクジ\(L\)に挑戦してもよい、という状態になります。言い換えると、クジに挑戦しない場合のペナルティーとして課される値がリスクプレミアムの絶対値\(p\left( L,u\right) \)よりも小さい場合、主体はクジ\(L\)に挑戦しない方を選びます。リスクをなくすためには、その対価として主体はリスクプレミアムの絶対値\(p\left( L,u\right) \)に相当する金額まで支払う用意があります。
クジのリスクプレミアムが負の場合には逆の議論が成り立ちます。具体的には以下の通りです。
クジ\(L\)のリスクプレミアムが負である場合、すなわち、\begin{equation*}p\left( L,u\right) <0
\end{equation*}である場合には、\begin{equation}
E\left( L\right) -p\left( L,u\right) >E\left( L\right) \quad \cdots (3)
\end{equation}を得るため、\begin{eqnarray*}
U\left( L\right) &=&u\left( E\left( L\right) -p\left( L,u\right) \right)
\quad \because \left( 1\right) \\
&>&u\left( E\left( L\right) \right) \quad \because \left( 3\right) \text{および}u\text{は狭義単調増加}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
U\left( L\right) >u\left( E\left( L\right) \right)
\end{equation*}を得ます。つまり、クジ\(L\)のリスクプレミアムが負である場合、主体はクジ\(L\)のもとでの期待値\(E\left( L\right) \)と一致する結果を確実に得るよりも、クジ\(L\)に挑戦して不確実な状況に直面することを望みます。リスクプレミアム\(p\left( L,u\right) \)が負である場合、その絶対値は\(-p\left( L,u\right) \)と一致します。そこで、確実に得られる値をリスクプレミアムの絶対値\(-p\left( L,u\right) \)の分だけ加えると、リスクプレミアムの定義より、\begin{equation*}U\left( L\right) =u\left( E\left( L\right) -p\left( L,u\right) \right)
\end{equation*}となるため、この時点においてようやく、主体にとってクジ\(L\)に挑戦しなくてもよい、という状態になります。言い換えると、クジに挑戦することを諦めることの対価として得られる値がリスクプレミアムの絶対値\(-p\left( L,u\right) \)よりも小さい場合、主体はクジ\(L\)に挑戦する方を選びます。リスクに挑戦するためには、その対価として主体はリスクプレミアムの絶対値\(-p\left( L,u\right) \)に相当する金額まで支払う用意があります。
クジのリスクプレミアムと確実同値額の関係
ベルヌーイ関数\(u:\mathbb{R} \supset D\left( u\right) \rightarrow \mathbb{R} \)を持つ主体にとってのクジ\(L\in \mathcal{L}\)の確実同値額は、以下の条件\begin{equation*}u\left( c\left( L,u\right) \right) =U\left( L\right)
\end{equation*}を満たす結果\(c\left( L,u\right) \in X\)として定義されます。個々の結果が金銭である場合、以上の事実は、クジ\(L\)を金銭換算したものが確実同値額\(c\left( L,u\right) \)であることを意味します。
ベルヌーイ関数\(u\)が単調増加関数である場合、クジのリスクプレミアムと確実同値額の間には以下の関係が成立します。
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(p\left( L,u\right) \)はクジ\(L\)のリスクプレミアム、\(E\left(L\right) \)はクジ\(L\)のもとでの結果の期待値、\(c\left( L,u\right) \)はクジ\(L\)の確実同値額である。
以上の命題より、クジのリスクプレミアムは、そのクジのもとでの結果の期待値と、そのクジの確実同値額の差と一致することが明らかになりました。
\end{equation*}である中で、以下の条件\begin{equation*}
L\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{3} & \left( if\ x=9\right) \\
\frac{2}{3} & \left( if\ x=81\right) \\
0 & \left( otherwise\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を満たすクジ\(L:X\rightarrow \mathbb{R} \)に直面しているということです。主体のベルヌーイ関数\(u:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x\right) =x^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、このクジ\(L\)のもとでの結果の期待値は、\begin{equation*}E\left( L\right) =57
\end{equation*}である一方、このクジ\(L\)のリスクプレミアムは、\begin{equation*}p\left( u,L\right) =8
\end{equation*}です。\(u\)は狭義単調増加関数であるため、先の命題より、このクジ\(L\)の確実同値額は、\begin{eqnarray*}c\left( L,u\right) &=&E\left( L\right) -p\left( L,u\right) \\
&=&57-8 \\
&=&49
\end{eqnarray*}です。同じことを確実同値額の定義から確認します。クジ\(L\)の期待効用は、\begin{eqnarray*}U\left( L\right) &=&L\left( 9\right) \cdot u\left( 9\right) +L\left(
81\right) \cdot u\left( 81\right) \quad \because \text{期待効用の定義} \\
&=&\frac{1}{3}\cdot 9^{\frac{1}{2}}+\frac{2}{3}\cdot 81^{\frac{1}{2}} \\
&=&\frac{1}{3}\cdot 3+\frac{2}{3}\cdot 9 \\
&=&7
\end{eqnarray*}であるため、このクジ\(L\)の確実同値額は、\begin{equation*}u\left( x\right) =U\left( L\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
x^{\frac{1}{2}}=7
\end{equation*}を満たす結果\(x\in X\)と一致します。これを解くと、\begin{equation*}x=49
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
c\left( u,L\right) =49
\end{equation*}であることが明らかになりました。これは先の結果と一致しています。
リスクプレミアムを用いたリスク回避的であることの表現
結果集合\(X\subset \mathbb{R} \)が与えられており、クジどうしを比較する主体の選好が期待効用関数\(U:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)として表現されている状況を想定します。ベルヌーイ関数を\(u:\mathbb{R} \supset D\left( u\right) \rightarrow \mathbb{R} \)で表記します。主体がクジ\(L\in \mathcal{L}\)を選択した場合に直面する期待効用は\(U\left( L\right) \)である一方で、クジ\(L\)のもとでの結果の期待値は\(E\left( L\right) \)として定まります。
以上を踏まえた上で、主体がリスク回避的であることとは、任意のクジ\(L\in \mathcal{L}\)に対して、主体がそのクジ\(L\)のもとでの結果の期待値\(E\left( L\right) \)を確実に得ることを、そのクジ\(L\)を選択して期待効用\(U\left( L\right) \)に直面すること以上に好むこととして、すなわち、\begin{equation*}\forall L\in \mathcal{L}:u\left( E\left( L\right) \right) \geq U\left(
L\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。
主体がリスク回避的であることと、その主体のベルヌーイ関数\(u:\mathbb{R} \supset D\left( u\right) \rightarrow \mathbb{R} \)が凹関数であることは必要十分です。以上の事実は、リスク回避的な主体にとって、失うことの恐れは、得ることの喜びよりも大きいことを示唆します。言い換えると、確実に得られる結果が増加するにつれて、追加的な増量がもたらす効用の増分は逓減していくということです。結果が金銭であるならば、以上の事実は、確実に得られる金額が大きくなるほど、追加的な金銭がもたらす満足度が逓減していくことを意味します。
ベルヌーイ関数\(u\)が狭義単調増加関数である場合、主体がリスク回避的であることをクジのリスクプレミアムを用いて以下のように表現できます。
\end{equation*}が成り立つことは必要十分である。
以上の命題より、リスク回避的な主体にとって、任意のクジのリスクプレミアムは非負であることが明らかになりました。リスクプレミアムの定義より、以上の事実は、いかなるクジ\(L\)についても、リスク回避的な主体にとって\(L\)を選択して不確実な状況に直面することと、期待値\(E\left( L\right) \)よりも小さい結果\(E\left(L\right) -p\left( L,u\right) \)を確実に得ることが無差別であることを意味します。つまり、不確実なクジ\(L\)に挑戦する危険を冒すくらいならば、たとえ確実に得られる結果が期待値\(E\left(L\right) \)より少なかったとしても、確実な選択肢を選ぶということです。
リスク回避的であることをリスクプレミアムを用いて表現できることが明らかになりました。では、リスク回避の程度をリスクプレミアムを用いて表現できるでしょうか。順番に考えます。
2人の主体\(1,2\)のベルヌーイ関数を、\begin{eqnarray*}u_{1} &:&\mathbb{R} \supset D\left( u_{1}\right) \rightarrow \mathbb{R} \\
u_{2} &:&\mathbb{R} \supset D\left( u_{2}\right) \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}でそれぞれ表記します。主体\(1\)が主体\(2\)よりもリスク回避的であることを確実同値額を用いて表現すると、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall L\in \mathcal{L}:E\left( L\right) \geq c\left(
L,u_{1}\right) \\
&&\left( b\right) \ \forall L\in \mathcal{L}:E\left( L\right) \geq c\left(
L,u_{2}\right) \\
&&\left( c\right) \ \forall L\in \mathcal{L}:c\left( L,u_{1}\right) \leq
c\left( L,u_{2}\right)
\end{eqnarray*}となります。条件\(\left(a\right) ,\left( b\right) \)は主体\(1,2\)がともにリスク回避的であることを意味し、条件\(\left( c\right) \)は主体\(1\)が主体\(2\)よりもリスク回避の度合いが強いことを意味します。
リスクプレミアムを用いてこれらの条件を言い換えると以下のようになります。
&&\left( b\right) \ \forall L\in \mathcal{L}:p\left( L,u_{2}\right) \geq 0 \\
&&\left( c\right) \ \forall L\in \mathcal{L}:p\left( L,u_{1}\right) \geq
p\left( L,u_{2}\right)
\end{eqnarray*}が成り立つことは必要十分である。
主体\(1\)が主体\(2\)よりもリスク回避的であることと、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall L\in \mathcal{L}:p\left( L,u_{1}\right) \geq 0 \\
&&\left( b\right) \ \forall L\in \mathcal{L}:p\left( L,u_{2}\right) \geq 0 \\
&&\left( c\right) \ \forall L\in \mathcal{L}:p\left( L,u_{1}\right) \geq
p\left( L,u_{2}\right)
\end{eqnarray*}が成り立つことは必要十分であることが明らかになりました。条件\(\left( a\right) ,\left( b\right) \)は主体\(1,2\)がともにリスク回避的であることを意味します。条件\(\left( c\right) \)は、どのようなクジ\(L\)についても、主体\(1\)にとっての\(L\)のリスクプレミアムの絶対値は主体\(2\)にとってのリスクプレミアムの絶対値以上であることを意味します。リスク回避的な主体にとってのクジ\(L\)のリスクプレミアムの絶対値\(P\left(L,u\right) \)とは、その主体がクジ\(L\)に挑戦することを回避するために払ってもよい金額に相当する概念です。したがって、リスクプレミアムの絶対値を大きく評価する主体ほどリスク回避的であるという条件\(\left( c\right) \)は、リスクプレミアムの本来の意味と整合的です。
リスクプレミアムを用いたリスク中立的であることの表現
結果集合\(X\subset \mathbb{R} \)が与えられており、クジどうしを比較する主体の選好が期待効用関数\(U:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)として表現されている状況を想定します。ベルヌーイ関数を\(u:\mathbb{R} \supset D\left( u\right) \rightarrow \mathbb{R} \)で表記します。主体がクジ\(L\in \mathcal{L}\)を選択した場合に直面する期待効用は\(U\left( L\right) \)である一方で、クジ\(L\)のもとでの結果の期待値は\(E\left( L\right) \)として定まります。
以上を踏まえた上で、主体がリスク中立的であることとは、任意のクジ\(L\in \mathcal{L}\)に対して、主体がそのクジ\(L\)のもとでの結果の期待値\(E\left( L\right) \)を確実に得ることと、そのクジ\(L\)を選択して期待効用\(U\left( L\right) \)に直面することが無差別であることとして、すなわち、\begin{equation*}\forall L\in \mathcal{L}:u\left( E\left( L\right) \right) =U\left( L\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。
主体がリスク中立的であることと、その主体のベルヌーイ関数\(u:\mathbb{R} \supset D\left( u\right) \rightarrow \mathbb{R} \)が線型関数であることは必要十分です。以上の事実は、リスク回避的な主体にとって、失うことの恐れは、得ることの喜びと同程度であることを示唆します。言い換えると、確実に得られる結果が増加しても、追加的な増量がもたらす効用の増分は一定であるということです。結果が金銭であるならば、以上の事実は、確実に得られる金額が大きくなっても、追加的な金銭がもたらす満足度が変化しないことを意味します。
ベルヌーイ関数\(u\)が狭義単調増加関数である場合、主体がリスク中立的であることをクジのリスクプレミアムを用いて以下のように表現できます。
\end{equation*}が成り立つことは必要十分である。
以上の命題より、リスク中立的な主体にとって、任意のクジのリスクプレミアムはゼロであることが明らかになりました。リスクプレミアムの定義より、以上の事実は、いかなるクジ\(L\)についても、リスク回避的な主体にとって\(L\)を選択して不確実な状況に直面することと、期待値\(E\left( L\right) \)を確実に得ることが無差別であることを意味します。
リスクプレミアムを用いたリスク愛好的であることの表現
結果集合\(X\subset \mathbb{R} \)が与えられており、クジどうしを比較する主体の選好が期待効用関数\(U:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)として表現されている状況を想定します。ベルヌーイ関数を\(u:\mathbb{R} \supset D\left( u\right) \rightarrow \mathbb{R} \)で表記します。主体がクジ\(L\in \mathcal{L}\)を選択した場合に直面する期待効用は\(U\left( L\right) \)である一方で、クジ\(L\)のもとでの結果の期待値は\(E\left( L\right) \)として定まります。
以上を踏まえた上で、主体がリスク愛好的であることとは、任意のクジ\(L\in \mathcal{L}\)に対して、主体がそのクジ\(L\)を選択して期待効用\(U\left( L\right) \)に直面することを、そのクジ\(L\)のもとでの結果の期待値\(E\left( L\right) \)を確実に得ること以上に好むこととして、すなわち、\begin{equation*}\forall L\in \mathcal{L}:U\left( L\right) \geq u\left( E\left( L\right)
\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。
主体がリスク愛好的であることと、その主体のベルヌーイ関数\(u:\mathbb{R} \supset D\left( u\right) \rightarrow \mathbb{R} \)が凸関数であることは必要十分です。以上の事実は、リスク回避的な主体にとって、得ることの喜びは、失うことの恐れよりも大きいことを示唆します。言い換えると、確実に得られる結果が増加するにつれて、追加的な増量がもたらす効用の増分は逓増していくということです。結果が金銭であるならば、以上の事実は、確実に得られる金額が大きくなるほど、追加的な金銭がもたらす満足度が逓増していくことを意味します。
ベルヌーイ関数\(u\)が狭義単調増加関数である場合、主体がリスク愛好的であることをクジのリスクプレミアムを用いて以下のように表現できます。
\end{equation*}が成り立つことは必要十分である。
以上の命題より、リスク愛好的な主体にとって、任意のクジのリスクプレミアムは非正であることが明らかになりました。リスクプレミアムの定義より、以上の事実は、いかなるクジ\(L\)についても、リスク愛好的な主体にとって\(L\)を選択して不確実な状況に直面することと、期待値\(E\left( L\right) \)よりも大きい結果\(E\left(L\right) -p\left( L,u\right) \)を確実に得ることが無差別であることを意味します。つまり、確実に得られる結果が期待値\(E\left( L\right) \)より多かったとしても、あえて不確実なクジ\(L\)に挑戦するほうを好むということです。
2人の主体\(1,2\)のベルヌーイ関数を、\begin{eqnarray*}u_{1} &:&\mathbb{R} \supset D\left( u_{1}\right) \rightarrow \mathbb{R} \\
u_{2} &:&\mathbb{R} \supset D\left( u_{2}\right) \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}でそれぞれ表記します。主体\(1\)が主体\(2\)よりもリスク愛好的であることを確実同値額を用いて表現すると、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall L\in \mathcal{L}:E\left( L\right) \leq c\left(
L,u_{1}\right) \\
&&\left( b\right) \ \forall L\in \mathcal{L}:E\left( L\right) \leq c\left(
L,u_{2}\right) \\
&&\left( c\right) \ \forall L\in \mathcal{L}:c\left( L,u_{1}\right) \geq
c\left( L,u_{2}\right)
\end{eqnarray*}となります。条件\(\left(a\right) ,\left( b\right) \)は主体\(1,2\)がともにリスク愛好的であることを意味し、条件\(\left( c\right) \)は主体\(1\)が主体\(2\)よりもリスク愛好の度合いが強いことを意味します。
リスクプレミアムを用いてこれらの条件を言い換えると以下のようになります。
&&\left( b\right) \ \forall L\in \mathcal{L}:p\left( L,u_{2}\right) \leq 0 \\
&&\left( c\right) \ \forall L\in \mathcal{L}:p\left( L,u_{1}\right) \leq
p\left( L,u_{2}\right)
\end{eqnarray*}が成り立つことは必要十分である。
主体\(1\)が主体\(2\)よりもリスク愛好的であることと、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall L\in \mathcal{L}:p\left( L,u_{1}\right) \leq 0 \\
&&\left( b\right) \ \forall L\in \mathcal{L}:p\left( L,u_{2}\right) \leq 0 \\
&&\left( c\right) \ \forall L\in \mathcal{L}:p\left( L,u_{1}\right) \leq
p\left( L,u_{2}\right)
\end{eqnarray*}が成り立つことは必要十分であることが明らかになりました。さらにこれは、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall L\in \mathcal{L}:p\left( L,u_{1}\right) \leq 0 \\
&&\left( b\right) \ \forall L\in \mathcal{L}:p\left( L,u_{2}\right) \leq 0 \\
&&\left( c\right) \ \forall L\in \mathcal{L}:-p\left( L,u_{1}\right) \geq
-p\left( L,u_{2}\right)
\end{eqnarray*}と必要十分です。条件\(\left( a\right) ,\left( b\right) \)は主体\(1,2\)がともにリスク愛好的であることを意味します。条件\(\left( c\right) \)は、どのようなクジ\(L\)についても、主体\(1\)にとっての\(L\)のリスクプレミアムの絶対値が主体\(2\)にとってのリスクプレミアムの絶対値以上であることを意味します。リスク愛好的な主体にとってのクジ\(L\)のリスクプレミアムの絶対値\(-p\left( L,u\right) \)とは、その主体がクジ\(L\)に挑戦することを諦める対価として受け取ってもよい金額に相当する概念です。したがって、リスクプレミアムの絶対値を大きく評価する主体ほどリスク愛好的であるという条件\(\left( c\right) \)は、リスクプレミアムの本来の意味と整合的です。
演習問題
X=\left\{ 20,30,48,60,90\right\}
\end{equation*}であるとともに、クジ集合\(\mathcal{L}\)には以下の2つのクジ\begin{eqnarray*}L_{1} &=&\left( \frac{3}{5},0,0,\frac{3}{10},\frac{1}{10}\right) \\
L_{2} &=&\left( 0,\frac{1}{2},\frac{1}{2},0,0\right)
\end{eqnarray*}が含まれているものとします。以下の問いに答えてください。
- \(A\)さんのベルヌーイ関数\(u_{1}:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}u_{1}\left( x\right) =x^{\frac{1}{2}}\end{equation*}を定めるものとします。\(A\)さんがリスク回避的であることを示してください。その上で、\(A\)さんにとってのクジ\(L_{1},L_{2}\)のリスクプレミアムを特定してください。
- \(B\)さんのベルヌーイ関数\(u_{2}:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}u_{2}\left( x\right) =2x^{\frac{1}{3}}\end{equation*}を定めるものとします。\(B\)さんがリスク回避的であることを示してください。その上で、\(B\)さんにとってのクジ\(L_{1},L_{2}\)のリスクプレミアムを特定してください。
- \(A\)さんと\(B\)さんのどちらのほうがリスク回避的でしょうか。
X=\left\{ 20,30,48,60,90\right\}
\end{equation*}であるとともに、クジ集合\(\mathcal{L}\)には以下の2つのクジ\begin{eqnarray*}L_{1} &=&\left( \frac{3}{5},0,0,\frac{3}{10},\frac{1}{10}\right) \\
L_{2} &=&\left( 0,\frac{1}{2},\frac{1}{2},0,0\right)
\end{eqnarray*}が含まれているものとします。以下の問いに答えてください。
- \(A\)さんのベルヌーイ関数\(u_{1}:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}u_{1}\left( x\right) =x^{2}\end{equation*}を定めるものとします。\(A\)さんがリスク愛好的であることを示してください。その上で、\(A\)さんにとってのクジ\(L_{1},L_{2}\)のリスクプレミアムを特定してください。
- \(B\)さんのベルヌーイ関数\(u_{2}:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}u_{2}\left( x\right) =5x^{3}\end{equation*}を定めるものとします。\(B\)さんがリスク愛好的であることを示してください。その上で、\(B\)さんにとってのクジ\(L_{1},L_{2}\)のリスクプレミアムを特定してください。
- \(A\)さんと\(B\)さんのどちらのほうがリスク愛好的でしょうか。
\end{equation*}を定めるものとします。ある会社では営業職を募集していますが、成果によって給料が大きく変動します。具体的には、\(\frac{1}{2}\)の確率で\(1000\)万円得られる一方で、\(\frac{1}{2}\)の確率で\(500\)万円得られるものとします。以上の状況をクジとして定式化した上で、そのクジのリスクプレミアムを求めてください。その上で、得られた結果の意味を解釈してください。
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