微分を用いた1変数の狭義準凸関数の判定
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が狭義準凸関数であることは、\begin{equation*}\forall x_{1}\in I,\ \forall x_{2}\in I\backslash \left\{ x_{1}\right\} ,\
\forall \lambda \in \left( 0,1\right) :f\left( \lambda x_{1}+\left(
1-\lambda \right) x_{2}\right) <\max \left\{ f\left( x_{1}\right) ,f\left(
x_{2}\right) \right\}
\end{equation*}が成り立つこととして定義されますが、定義にもとづいて関数が狭義準凸であることを示す作業は煩雑になりがちです。
関数\(f\)が\(C^{1}\)級である場合、すなわち\(f\)が微分可能であるとともに導関数\(f^{\prime }\)が連続である場合、それが狭義準凸関数であることを以下のように特徴づけることができます。
\left[ f\left( x_{2}\right) \leq f\left( x_{1}\right) \Rightarrow \left(
x_{2}-x_{1}\right) \cdot f^{\prime }\left( x_{1}\right) <0\right] \end{equation*}が成り立つことは、\(f\)は狭義準凸関数であるための必要十分条件である。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} _{++}\)は区間です。\(f\)は\(C^{1}\)級であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation}f^{\prime }\left( x\right) =\frac{1}{x} \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。そこで、\begin{equation*}
f\left( x_{2}\right) \leq f\left( x_{1}\right)
\end{equation*}を満たす異なる点\(x_{1},x_{2}\in I\)を任意に選びます。\(f\)は狭義単調増加関数であるため、このとき、\begin{equation}x_{2}<x_{1} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。すると、\begin{eqnarray*}
\left( x_{2}-x_{1}\right) \cdot f^{\prime }\left( x_{1}\right) &=&\frac{x_{2}-x_{1}}{x_{1}}\quad \because \left( 1\right) \\
&<&0\quad \because x_{1}>0\text{および}\left( 2\right)
\end{eqnarray*}となるため、先の命題より\(f\)は狭義準凸関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)は区間です。\(f\)は\(C^{1}\)級であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation}f^{\prime }\left( x\right) =2 \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。そこで、\begin{equation*}
f\left( x_{2}\right) \leq f\left( x_{1}\right)
\end{equation*}を満たす異なる点\(x_{1},x_{2}\in I\)を任意に選びます。\(f\)は狭義単調増加関数であるため、このとき、\begin{equation}x_{2}<x_{1} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。すると、\begin{eqnarray*}
\left( x_{2}-x_{1}\right) \cdot f^{\prime }\left( x_{1}\right) &=&\left(
x_{2}-x_{1}\right) \cdot 2\quad \because \left( 1\right) \\
&<&0\quad \because \left( 2\right)
\end{eqnarray*}となるため、先の命題より\(f\)は狭義準凸関数です。
先の命題は区間上に定義された\(C^{1}\)級の関数が狭義準凸であるための必要十分条件を与えているため、与えられた関数が狭義準凸でないことを示す際にも利用できます。具体的には、区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)は\(C^{1}\)級である一方で、\begin{equation*}\exists x_{1}\in I,\ \exists x_{2}\in I\backslash \left\{ x_{1}\right\} :
\left[ f\left( x_{2}\right) \leq f\left( x_{1}\right) \wedge \left(
x_{2}-x_{1}\right) \cdot f^{\prime }\left( x_{1}\right) \geq 0\right]
\end{equation*}が成り立つ場合、\(f\)は狭義準凸関数ではありません。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)は区間です。\(f\)は\(C^{1}\)級であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =-2x
\end{equation*}を定めます。以下の点とスカラー\begin{equation*}
\left( x_{1},x_{2},\lambda \right) =\left( 1,-1,\frac{1}{2}\right)
\end{equation*}に注目すると、\begin{eqnarray*}
f\left( x_{2}\right) &=&f\left( -1\right) \\
&=&-1 \\
&=&f\left( 1\right) \\
&=&f\left( x_{1}\right)
\end{eqnarray*}であるとともに、\begin{eqnarray*}
\left( x_{2}-x_{1}\right) \cdot f^{\prime }\left( x_{1}\right) &=&\left(
-1-1\right) \cdot \left( -2\right) \\
&=&4 \\
&\geq &0
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(f\)は狭義準凸関数ではありません。
微分を用いた1変数の狭義準凹関数の判定
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が狭義準凹関数であることは、\begin{equation*}\forall x_{1}\in I,\ \forall x_{2}\in I\backslash \left\{ x_{1}\right\} ,\
\forall \lambda \in \left( 0,1\right) :\min \left\{ f\left( x_{1}\right)
,f\left( x_{2}\right) \right\} <f\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda
\right) x_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。狭義準凸関数に関する先の議論において不等号の向きを逆にすればそのまま狭義準凹関数に関する議論になります。したがって、\(C^{1}\)級の関数が狭義準凹関数であることを以下のような形で特徴づけられます。
\left[ f\left( x_{2}\right) \geq f\left( x_{1}\right) \Rightarrow \left(
x_{2}-x_{1}\right) \cdot f^{\prime }\left( x_{1}\right) >0\right] \end{equation*}が成り立つことは、\(f\)は狭義準凹関数であるための必要十分条件である。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} _{++}\)は区間です。\(f\)は\(C^{1}\)級であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation}f^{\prime }\left( x\right) =\frac{1}{x} \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。そこで、\begin{equation*}
f\left( x_{2}\right) \geq f\left( x_{1}\right)
\end{equation*}を満たす異なる点\(x_{1},x_{2}\in I\)を任意に選びます。\(f\)は狭義単調増加関数であるため、このとき、\begin{equation}x_{2}>x_{1} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。すると、\begin{eqnarray*}
\left( x_{2}-x_{1}\right) \cdot f^{\prime }\left( x_{1}\right) &=&\frac{x_{2}-x_{1}}{x_{1}}\quad \because \left( 1\right) \\
&>&0\quad \because x_{1}>0\text{および}\left( 2\right)
\end{eqnarray*}となるため、先の命題より\(f\)は狭義準凹関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)は区間です。\(f\)は\(C^{1}\)級であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation}f^{\prime }\left( x\right) =2 \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。そこで、\begin{equation*}
f\left( x_{2}\right) \geq f\left( x_{1}\right)
\end{equation*}を満たす異なる点\(x_{1},x_{2}\in I\)を任意に選びます。\(f\)は狭義単調増加関数であるため、このとき、\begin{equation}x_{2}>x_{1} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。すると、\begin{eqnarray*}
\left( x_{2}-x_{1}\right) \cdot f^{\prime }\left( x_{1}\right) &=&\left(
x_{2}-x_{1}\right) \cdot 2\quad \because \left( 1\right) \\
&>&0\quad \because \left( 2\right)
\end{eqnarray*}となるため、先の命題より\(f\)は狭義準凹関数です。
先の命題は区間上に定義された\(C^{1}\)級の関数が狭義準凹であるための必要十分条件を与えているため、与えられた関数が狭義準凹でないことを示す際にも利用できます。具体的には、区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)は\(C^{1}\)級である一方で、\begin{equation*}\exists x_{1}\in I,\ \exists x_{2}\in I\backslash \left\{ x_{1}\right\} :
\left[ f\left( x_{2}\right) \geq f\left( x_{1}\right) \wedge \left(
x_{2}-x_{1}\right) \cdot f^{\prime }\left( x_{1}\right) \leq 0\right]
\end{equation*}が成り立つ場合、\(f\)は狭義準凹関数ではありません。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)は区間です。\(f\)は\(C^{1}\)級であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =2x
\end{equation*}を定めます。以下の点とスカラー\begin{equation*}
\left( x_{1},x_{2},\lambda \right) =\left( 1,-1,\frac{1}{2}\right)
\end{equation*}に注目すると、\begin{eqnarray*}
f\left( x_{2}\right) &=&f\left( -1\right) \\
&=&1 \\
&=&f\left( 1\right) \\
&=&f\left( x_{1}\right)
\end{eqnarray*}であるとともに、\begin{eqnarray*}
\left( x_{2}-x_{1}\right) \cdot f^{\prime }\left( x_{1}\right) &=&\left(
-1-1\right) \cdot 1 \\
&=&-4 \\
&\leq &0
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(f\)は狭義準凹関数ではありません。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が狭義準凸であることを微分の判定条件を用いて示してください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が狭義準凸関数かつ狭義準凹関数であることを微分を用いた判定条件を用いて示してください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が狭義準凸関数かつ狭義準凹関数であることを微分を用いた判定条件を用いて示してください。
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