下位集合を用いた1変数の狭義準凸関数の判定
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が狭義準凸関数であることは、\begin{equation*}\forall x_{1}\in I,\ \forall x_{2}\in I\backslash \left\{ x_{1}\right\} ,\
\forall \lambda \in \left( 0,1\right) :f\left( \lambda x_{1}+\left(
1-\lambda \right) x_{2}\right) <\max \left\{ f\left( x_{1}\right) ,f\left(
x_{2}\right) \right\}
\end{equation*}が成り立つこととして定義されますが、定義にもとづいて関数が狭義準凸であることを示す作業は煩雑になりがちです。ただし、関数\(f\)が\(C^{1}\)級である場合、\begin{equation*}\forall x_{1}\in I,\ \forall x_{2}\in I\backslash \left\{ x_{1}\right\} :
\left[ f\left( x_{2}\right) \leq f\left( x_{1}\right) \Rightarrow \left(
x_{2}-x_{1}\right) \cdot f^{\prime }\left( x_{1}\right) <0\right]
\end{equation*}が成り立つことは、\(f\)は狭義準凸関数であるための必要十分条件です。では、関数\(f\)が微分可能でない場合、\(f\)が狭義準凸関数であることを簡単に判定する方法はあるのでしょうか。
関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(f\left( x\right) \)の値がある実数\(c\in \mathbb{R} \)以下になるような定義域の点\(x\in I\)からなる集合を、\begin{equation*}L\left( c\right) =\left\{ x\in I\ |\ f\left( x\right) \leq c\right\}
\end{equation*}で表記し、これを\(f\)の\(c \)に関する下位集合（lower level set）や劣位集合（sublevel set）などと呼びます。
関数\(f\)が連続な狭義準凸関数である場合には、それぞれの実数\(c\)に関する\(f\)の下位集合\(L\left( c\right) \)が狭義凸集合または空集合になります。
\end{equation*}は狭義凸集合または空集合である。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数は連続な狭義準凸関数です（確認してください）。実数\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}L\left( c\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} _{++}\ |\ f\left( x\right) \leq c\right\} \quad \because \text{下位集合の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} _{++}\ |\ \ln \left( x\right) \leq c\right\} \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} _{++}\ |\ x\leq e^{c}\right\} \\
&=&(0,e^{c}] \end{eqnarray*}となります。任意の\(c\in \mathbb{R} \)に対して\(e^{c}>0\)であるため、\((0,e^{c}]\)すなわち\(L\left( c\right) \)は空集合ではありません。有界半閉区間は\(\mathbb{R} \)上の狭義凸集合であるため\(L\left( c\right) \)は狭義凸集合です。この結果は先の命題の主張と整合的です。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数は連続な狭義準凸関数です（確認してください）。実数\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}L\left( c\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) \leq c\right\} \quad \because \text{下位集合の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 2x\leq c\right\} \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x\leq \frac{c}{2}\right\} \\
&=&\left( -\infty ,\frac{c}{2}\right] \end{eqnarray*}となります。任意の\(c\in \mathbb{R} \)に対して\(-\infty <\frac{c}{2}\)であるため、\(\left( -\infty ,\frac{c}{2}\right] \)すなわち\(L\left( c\right) \)は空集合ではありません。無限半閉区間は\(\mathbb{R} \)上の狭義凸集合であるため\(L\left( c\right) \)は狭義凸集合です。この結果は先の命題の主張と整合的です。
先の命題の逆は成立するとは限りません。つまり、区間上に定義された連続な関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)のそれぞれの実数\(c\in \mathbb{R} \)に関する下位集合\(L\left(c\right) \)が空集合または狭義凸集合である場合でも、\(f\)は狭義準凸関数であるとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数は連続である一方で狭義準凸ではありません（確認してください）。実数\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}L\left( c\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) \leq c\right\} \quad \because \text{下位集合の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 1\leq c\right\} \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
L\left( c\right) =\left\{
\begin{array}{cc}\mathbb{R} & \left( if\ c\geq 1\right) \\
\phi & \left( if\ c<1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となります。\(\mathbb{R} \)は狭義凸集合です。
上位集合を用いた1変数の狭義準凹関数の判定
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が狭義準凹関数であることは、\begin{equation*}\forall x_{1}\in I,\ \forall x_{2}\in I\backslash \left\{ x_{1}\right\} ,\
\forall \lambda \in \left( 0,1\right) :\min \left\{ f\left( x_{1}\right)
,f\left( x_{2}\right) \right\} <f\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda
\right) x_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されますが、定義にもとづいて関数が狭義準凹であることを示す作業は煩雑になりがちです。ただし、関数\(f\)が\(C^{1}\)級である場合、\begin{equation*}\forall x_{1}\in I,\ \forall x_{2}\in I\backslash \left\{ x_{1}\right\} :
\left[ f\left( x_{2}\right) \geq f\left( x_{1}\right) \Rightarrow \left(
x_{2}-x_{1}\right) \cdot f^{\prime }\left( x_{1}\right) >0\right]
\end{equation*}が成り立つことは、\(f\)は狭義準凹関数であるための必要十分条件です。では、関数\(f\)が微分可能でない場合、\(f\)が狭義準凹関数であることを簡単に判定する方法はあるのでしょうか。
関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(f\left( x\right) \)の値がある実数\(c\in \mathbb{R} \)以上になるような定義域の点\(x\in I\)からなる集合を、\begin{equation*}U\left( c\right) =\left\{ x\in I\ |\ f\left( x\right) \geq c\right\}
\end{equation*}で表記し、これを\(f\)の\(c \)に関する上位集合（upper level set）や優位集合（super level set）などと呼びます。
関数\(f\)が連続な狭義準凹関数である場合には、それぞれの実数\(c\)に関する\(f\)の上位集合\(U\left( c\right) \)が狭義凸集合または空集合になります。
\end{equation*}は狭義凹集合または空集合である。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数は連続な狭義準凹関数です（確認してください）。実数\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}U\left( c\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} _{++}\ |\ f\left( x\right) \geq c\right\} \quad \because \text{上位集合の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} _{++}\ |\ \ln \left( x\right) \geq c\right\} \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} _{++}\ |\ x\geq e^{c}\right\} \\
&=&[e^{c},+\infty )
\end{eqnarray*}となります。任意の\(c\in \mathbb{R} \)に対して\(e^{c}<+\infty \)であるため、\([e^{c},+\infty )\)すなわち\(U\left( c\right) \)は空集合ではありません。無限半閉区間は\(\mathbb{R} \)上の狭義凸集合であるため\(U\left( c\right) \)は狭義凸集合です。この結果は先の命題の主張と整合的です。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数は連続な狭義準凹関数です（確認してください）。実数\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}U\left( c\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) \geq c\right\} \quad \because \text{上位集合の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 2x\geq c\right\} \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x\geq \frac{c}{2}\right\} \\
&=&\left[ \frac{c}{2},+\infty \right)
\end{eqnarray*}となります。任意の\(c\in \mathbb{R} \)に対して\(\frac{c}{2}<+\infty \)であるため、\(\left[ \frac{c}{2},+\infty \right) \)すなわち\(U\left( c\right) \)は空集合ではありません。無限半閉区間は\(\mathbb{R} \)上の狭義凸集合であるため\(U\left( c\right) \)は狭義凸集合です。この結果は先の命題の主張と整合的です。
先の命題の逆は成立するとは限りません。つまり、区間上に定義された連続な関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)のそれぞれの実数\(c\in \mathbb{R} \)に関する上位集合\(U\left(c\right) \)が空集合または狭義凸集合である場合でも、\(f\)は狭義準凹関数であるとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数は連続である一方で狭義準凹ではありません（確認してください）。実数\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}U\left( c\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) \geq c\right\} \quad \because \text{上位集合の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 1\geq c\right\} \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
L\left( c\right) =\left\{
\begin{array}{cc}\mathbb{R} & \left( if\ c\leq 1\right) \\
\phi & \left( if\ c>1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となります。\(\mathbb{R} \)は狭義凸集合です。
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