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CONSUMER THEORY

効用最大化問題

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選好最大化問題

消費者が直面し得る個々の選択肢を消費ベクトルとして表現し、経済的制約に直面した消費者が選択可能な消費ベクトルからなる集合を予算集合として表現しました。さらに、消費者が消費ベクトルどうしを比較する評価体系を選好関係として表現しました。消費者理論では、消費者は自身が選択可能な消費ベクトルの中から自身の選好に照らし合わせて最も望ましいものを選ぶものと仮定します。消費者の行動原理に関するこのような仮定を選好最大化(preference maximization)の仮定と呼びます。繰り返しになりますが、選好最大化の仮定を踏まえたとき、消費者が直面する意思決定問題は、予算集合に属する消費ベクトルの中から、自身の選好に照らし合わせて最も望ましい消費ベクトルを特定する最適化問題として定式化されます。

消費者の評価体系は消費集合\(X\)上の選好関係\(\succsim \)として定式化されているものとします。一方、消費者が選択可能な消費ベクトルからなる集合は予算集合\(B\left( p,w\right) \)として定式化されますが、これは価格ベクトル\(p\)と所得\(w\)に依存して変化します。プライステイカーの仮定より、消費者は\(p\)と\(w\)を与えられたものとして意思決定を行います。つまり、\(p\)と\(w\)の水準が消費者による意思決定に影響を与えることはあっても、消費者による意思決定が\(p\)と\(w\)の水準に影響を与えることはないということです。消費者による意思決定を総体的に記述するためには、消費者が特定の予算集合\(B\left( p,w\right) \)に直面した場合の意思決定について考えるだけでなく、\(p\)や\(w\)の変化にともない、消費者による選択がどのように変化するかを考察する必要があります。そのような舞台を整えるためには、それぞれの値\(\left( p,w\right) \)に対して、そこでの予算集合\(B\left( p,w\right) \)を特定する予算対応\(B\)が必要です。

消費者の評価体系が消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)として表現され、消費者が直面する経済的制約が予算対応\(B:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)として表現されているものとします。このとき、価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に直面した消費者が解くべき問題は、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ x^{\ast }\in B(p,w) \\
&&\left( b\right) \ \forall x\in B(p,w):x^{\ast }\succsim x
\end{eqnarray*}をともに満たす消費ベクトル\(x^{\ast }\in X\)を特定することとして定式化されます。これを\(\left( p,w\right) \)のもとでの選好最大化問題(preference maximization problem)と呼びます。条件\(\left( a\right) \)は、選好最大化問題の解\(x^{\ast }\)が予算集合に属することを意味しますが、これを予算制約(budget constraint)の条件と呼びます。条件\(\left( b\right) \)は、選好最大化問題の解\(x^{\ast }\)は、予算制約を満たす消費ベクトルの中でも\(\succsim \)のもとで最も望ましいものであることを意味しますが、これを選好最大化(preference maximization)の条件と呼びます。したがって、選好最大化問題とは、与えられた価格ベクトルと所得のもとで、予算制約と選好最大化の条件をともに満たす消費ベクトルを特定することを意味します。

 

効用最大化問題

消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)と予算対応\(B:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)が与えられているものとします。さらに、\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する場合には、\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)のもとでの選好最大化問題は、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ x^{\ast }\in B(p,w) \\
&&\left( b\right) \ \forall x\in B(p,w):u\left( x^{\ast }\right) \geq
u\left( x\right)
\end{eqnarray*}をともに満たす消費ベクトル\(x^{\ast }\in X\)を特定することとして言い換え可能です。これを\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題(utility maximization problem)と呼びます。条件\(\left( a\right) \)は予算制約条件である一方、条件\(\left( b\right) \)は、効用最大化問題の解\(x^{\ast }\)は、予算制約を満たす消費ベクトルの中でも最大の効用をもたらすものであることを意味しますが、これを効用最大化(utility maximization)の条件と呼びます。したがって、効用最大化問題とは、与えられた価格ベクトルと所得のもとで、予算制約と効用最大化の条件をともに満たす消費ベクトルを特定することを意味します。

価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題は、以下のような制約付き最大化問題\begin{equation*}
\max_{x\in X}\ u\left( x\right) \quad \text{s.t.}\quad x\in B\left(
p,w\right)
\end{equation*}として表現できます。予算集合\(B\left( p,w\right) \)の定義より、これを、\begin{equation*}
\max_{x\in X}\ u\left( x\right) \quad \text{s.t.}\quad p\cdot x\leq w
\end{equation*}と表現することもできます。

例(効用最大化問題)
消費集合が\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)であり、効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの消費ベクトル\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、価格ベクトルと所得の組\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \)のもとでの効用最大化問題は、

\begin{array}{cl}
\max\limits_{\left( x_{1},x_{2}\right) } & x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}} \\
s.t. & p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}\leq w \\
& x_{1}\geq 0 \\
& x_{2}\geq 0
\end{array}

となります。例えば、\(\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left( 1,2,10\right) \)の場合には、

\begin{array}{cl}
\max\limits_{\left( x_{1},x_{2}\right) } & x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}} \\
s.t. & x_{1}+2x_{2}\leq 10 \\
& x_{1}\geq 0 \\
& x_{2}\geq 0
\end{array}

となります。

例(効用最大化問題)
消費集合が\(\mathbb{R} _{+}^{3}\)であり、効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの消費ベクトル\(\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{3}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) =x_{1}x_{2}+x_{3}
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、価格ベクトルと所得の組\(\left( p_{1},p_{2},p_{3},w\right) \)のもとでの効用最大化問題は、

\begin{array}{cl}
\max\limits_{\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) } & x_{1}x_{2}+x_{3} \\
s.t. & p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}+p_{3}x_{3}\leq w \\
& x_{1}\geq 0 \\
& x_{2}\geq 0 \\
& x_{3}\geq 0
\end{array}

となります。例えば、\(\left( p_{1},p_{2},p_{3},w\right) =\left( 1,2,3,15\right) \)の場合には、

\begin{array}{cl}
\max\limits_{\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) } & x_{1}x_{2}+x_{3} \\
s.t. & x_{1}+2x_{2}+3x_{3}\leq 15 \\
& x_{1}\geq 0 \\
& x_{2}\geq 0 \\
& x_{3}\geq 0
\end{array}

となります。

 

選好最大化問題と効用最大化問題の関係

消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)と予算対応\(B:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)が与えられたとき、価格と所得の組\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)のもとでの選好最大化問題とは、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ x^{\ast }\in B(p,w) \\
&&\left( b\right) \ \forall x\in B(p,w):x^{\ast }\succsim x
\end{eqnarray*}を満たす消費ベクトル\(x^{\ast }\in X\)を特定することを意味します。選好\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、先の\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題とは、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ x^{\ast }\in B(p,w) \\
&&\left( b\right) \ \forall x\in B(p,w):u\left( x^{\ast }\right) \geq
u\left( x\right)
\end{eqnarray*}を満たす消費ベクトル\(x^{\ast }\in X\)を特定することを意味します。一般に、選好関係を表現する効用関数が存在するとき、それは一意的に定まりません。したがって、選好最大化問題が与えられたとき、それに対応する効用最大化問題は無数に存在します。ただ、効用関数の定義より、任意の\(x,y\in X\)に対して、\begin{equation*}u\left( x\right) \geq u\left( y\right) \Leftrightarrow x\succsim y
\end{equation*}という関係が成り立つため、ある消費ベクトル\(x^{\ast }\in X\)が\(\left( p,w\right) \)のもとでの選好最大化問題の解であることと、\(x^{\ast }\)が\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題の解であることは必要十分になります。したがって、選好関係を表現する効用関数が存在する場合には、選好最大化問題の代わりに効用最大化問題について考えても得られる結果は同じであることが保証されます。

命題(選好最大化問題と効用最大化問題の解)
消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)と予算対応\(B:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)が与えられており、さらに、\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するものとする。価格と所得の組\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、消費ベクトル\(x^{\ast}\in X\)が\(\left( p,w\right) \)のもとでの選好最大化問題の解であることは、\(x^{\ast }\)が\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題の解であるための必要十分条件である。
証明

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効用最大化問題は選好最大化問題よりも数学的に扱いやすい形をしているため、選好関係を表現する効用関数が存在する場合には選好最大化問題を効用最大化問題に読み替えることにより、消費者が直面する問題を制約条件のもとで目的関数を最大化する制約付き最大化問題として扱うことができます。

例(選好最大化問題と効用最大化問題の解)
消費集合\(X=\left\{x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}\right\} \)上に定義された選好関係\(\succsim \)は完備性と推移性を満たすとともに、\begin{equation*}x_{5}\sim x_{4}\succ x_{3}\succ x_{2}\sim x_{1}
\end{equation*}を満たすものとします。価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \)のもとでの予算集合が、\begin{equation*}B\left( p,w\right) =\left\{ x_{2},x_{4},x_{5}\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします。この\(\left(p,w\right) \)のもとでの選好最大化問題について考えます。\(x_{2}\)は解でしょうか。仮定より\(x_{4}\succ x_{3}\succ x_{2}\)であるため推移性より\(x_{4}\succ x_{2}\)を得ますが、完備性よりこれは\(\lnot \left( x_{2}\succsim x_{4}\right) \)と必要十分です。これと\(x_{4}\in B\left( p,w\right) \)より\(x_{2}\)は解ではないことが明らかになりました。\(x_{4}\)は解でしょうか。仮定より\(x_{5}\sim x_{4}\succ x_{3}\succ x_{2}\)です。\(x_{5}\sim x_{4}\)より\(x_{4}\succsim x_{5}\)を得ます。また、\(x_{4}\succ x_{3}\)かつ\(x_{3}\succ x_{2}\)であるため推移性より\(x_{4}\succ x_{2}\)を得ます。したがって\(x_{4}\)は解です。\(x_{5}\)が解であることも同様にして示されます。以上より\(x_{4}\)と\(x_{5}\)が\(\left( p,w\right) \)のもとでの選好最大化問題の解であることが明らかになりました。このような単純な例であっても、選好最大化問題を解くのは面倒です。では、同じ問題を効用最大化問題として解いてみましょう。関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{i}\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
1 & \left( i=1,2\right) \\
2 & \left( i=3\right) \\
3 & \left( i=4,5\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるのであれば、この\(u\)は明らかに\(\succsim \)を表す効用関数です。先の\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題について考えると、\begin{equation*}u\left( x_{4}\right) =u\left( x_{5}\right) >u\left( x_{2}\right)
\end{equation*}であることから、\(x_{4}\)と\(x_{5}\)が解であることが明らかになりました。これは先の解と整合的です。

次回は需要関数について学びます。

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DISCUSSION

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