効用最大化問題

選好最大化問題

消費者が選択し得る消費ベクトルからなる集合が消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)として定式化されているとともに、消費者が消費ベクトルどうしを比較する評価体系が消費集合\(X\)上の選好関係\(\succsim \)として定式化されているものとします。つまり、2つの消費ベクトル\(x,y\in X\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}x\succsim y\Leftrightarrow \text{消費者は}x\text{を}y\text{以上に好む}
\end{equation*}という関係を満たすものとして\(X\)上の二項関係である\(\succsim \)を定義するということです。特に、消費者が直面する経済的制約に注目する場合、それは予算対応\(B:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)として定式化されます。つまり、価格ベクトルと所得\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に直面した消費者が選択可能な消費ベクトルからなる集合は予算集合\begin{equation*}B(p,w)=\{x\in X\ |\ p\cdot x\leq w\}
\end{equation*}として定式化されるということです。以上を踏まえた上で、消費者理論では、消費者は自身が直面する予算集合\(B\left( p,w\right) \)の中から自身の選好\(\succsim \)に照らし合わせて最も望まし消費ベクトルを選ぶものと仮定します。消費者の行動原理に関するこのような仮定を選好最大化（preference maximization）の仮定と呼びます。

プライステイカーの仮定より、消費者は価格ベクトル\(p\)と所得\(w\)を与えられたものとして意思決定を行います。つまり、\(p\)と\(w\)の水準が消費者による意思決定に影響を与えることはあっても、消費者による意思決定が\(p\)と\(w\)の水準に影響を与えることはないということです。以上を踏まえると、選好最大化とプライステイカーを仮定する場合、価格ベクトルと所得\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に直面した消費者が解くべき問題は、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ x^{\ast }\in B\left( p,w\right) \\
&&\left( b\right) \ \forall x\in B\left( p,w\right) :x^{\ast }\succsim x
\end{eqnarray*}を満たす消費ベクトル\(x^{\ast }\)を特定する最適化問題として定式化されます。このような最適化問題を\(\left( p,w\right) \)のもとでの選好最大化問題（preference maximization problem）と呼びます。条件\(\left( a\right) \)は、選好最大化問題の解\(x^{\ast }\)が予算集合に属することを意味しますが、これを予算制約（budget constraint）の条件と呼びます。予算集合\(B\left( p,w\right) \)の定義を踏まえると、予算制約の条件は、\begin{equation*}\left( a\right) \ x^{\ast }\in X\wedge p\cdot x^{\ast }\leq w
\end{equation*}と必要十分です。条件\(\left( b\right) \)は、選好最大化問題の解\(x^{\ast }\)は、予算制約を満たす消費ベクトルの中でも選好\(\succsim \)のもとで最も望ましいものであることを意味しますが、これを選好最大化（preference maximization）の条件と呼びます。予算集合\(B\left( p,w\right) \)の定義を踏まえると、選好最大化の条件は、\begin{equation*}\left( b\right) \ \forall x\in X:\left( p\cdot x\leq w\Rightarrow x^{\ast
}\succsim x\right)
\end{equation*}と必要十分です。選好最大化問題とは、与えられた価格ベクトルと所得のもとで、予算制約と選好最大化の条件をともに満たす消費ベクトルを特定する最適化問題に相当します。

予算集合\(B\left( p,w\right) \)に含まれる消費ベクトルは価格ベクトル\(p\)と所得\(w\)の水準に依存して変化するため、消費者が直面する選好最大化問題もまた\(p\)と\(w\)の水準に依存して変化します。したがって、消費者による意思決定を総体的に記述するためには、消費者が直面し得るすべての\(p,w\)について、そこでの選好最大化問題について考える必要があります。その上で、\(p\)や\(w\)の変化にともない、消費者による選択がどのように変化するかを考察することになります。

効用最大化問題

消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する場合、価格ベクトルと所得\(\left(p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)のもとでの選好最大化問題を、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ x^{\ast }\in B(p,w) \\
&&\left( b\right) \ \forall x\in B(p,w):u\left( x^{\ast }\right) \geq
u\left( x\right)
\end{eqnarray*}を満たす消費ベクトル\(x^{\ast }\)を特定する最適化問題として定式化できます。このような最適化問題を\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題（utility maximization problem）と呼びます。条件\(\left(a\right) \)は先と同様に予算制約の条件です。条件\(\left( b\right) \)は、効用最大化問題の解\(x^{\ast }\)は、予算制約を満たす消費ベクトルの中でも最大の効用をもたらすものであることを意味しますが、これを効用最大化（utility maximization）の条件と呼びます。予算集合\(B\left( p,w\right) \)の定義を踏まえると、効用最大化の条件は、\begin{equation*}\left( b\right) \ \forall x\in X:\left[ p\cdot x\leq w\Rightarrow u\left(
x^{\ast }\right) \geq u\left( x\right) \right] \end{equation*}と必要十分です。効用最大化問題とは、与えられた価格ベクトルと所得のもとで、予算制約と効用最大化の条件をともに満たす消費ベクトルを特定する最適化問題に相当します。

価格ベクトルと所得\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)のもとでの効用最大化問題は、効用関数\(u\)を目的関数とし、予算制約を制約条件とする以下のような制約付き最大化問題\begin{equation*}\max_{x\in \mathbb{R} ^{N}}\ u\left( x\right) \quad \text{s.t.}\quad x\in B\left( p,w\right)
\end{equation*}に他なりません。予算集合\(B\left( p,w\right) \)の定義より、これを、
$$\begin{array}{cl}\max\limits_{x\in \mathbb{R}^{N}} & u\left( x\right) \\
s.t. & p\cdot x\leq w \\
& x\in X
\end{array}$$
と表現することもできます。

選好最大化問題と効用最大化問題の関係

消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)と予算対応\(B:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)が与えられたとき、価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)のもとでの選好最大化問題とは、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ x^{\ast }\in B(p,w) \\
&&\left( b\right) \ \forall x\in B(p,w):x^{\ast }\succsim x
\end{eqnarray*}を満たす消費ベクトル\(x^{\ast }\in X\)を特定する最適化問題です。選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する場合、先の\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題とは、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ x^{\ast }\in B(p,w) \\
&&\left( b\right) \ \forall x\in B(p,w):u\left( x^{\ast }\right) \geq
u\left( x\right)
\end{eqnarray*}を満たす消費ベクトル\(x^{\ast }\in X\)を特定する最適化問題です。さらに、効用関数の定義より、任意の\(x,y\in X\)に対して、\begin{equation*}u\left( x\right) \geq u\left( y\right) \Leftrightarrow x\succsim y
\end{equation*}という関係が成り立つため、ある消費ベクトル\(x^{\ast }\in X\)が\(\left( p,w\right) \)のもとでの選好最大化問題の解であることと、\(x^{\ast }\)が\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題の解であることは必要十分になります（演習問題）。したがって、選好関係を表現する効用関数が存在する場合には、選好最大化問題の代わりに効用最大化問題について考えても得られる結果は同じであることが保証されます。

一般に、選好関係を表現する効用関数が存在する場合、それは一意的に定まりません。実際、選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数\(u\)が存在する場合、それを任意の形で単調増加変換することで得られる関数もまた\(\succsim \)を表現する効用関数であることが保証されます。では、効用最大化問題を構成する際に、数ある効用関数の中からどれを採用すればよいのでしょうか。同一の選好関係\(\succsim \)を表現する2つの異なる効用関数\(u,v\)を任意に選んだ場合、どちらを採用した場合にも先の命題が成り立ちます。つまり、効用関数として\(u\)を採用した場合の効用最大化問題の解と、効用関数として\(v\)を採用した場合の効用最大化問題の解はいずれも、\(\succsim \)のもとでの選好最大化問題の解と一致するため、2つの効用最大化問題の解もまた一致します。したがって、効用最大化問題を構成する際にどちらの効用関数を採用しても本質的な違いは発生しません。

効用最大化問題を扱う利点

消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が与えられたとき、価格ベクトルと所得\(\left(p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)のもとでの選好最大化問題は、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ p\cdot x^{\ast }\leq w \\
&&\left( b\right) \ x^{\ast }\in X \\
&&\left( c\right) \ \forall x\in X:\left( p\cdot x\leq w\Rightarrow x^{\ast
}\succsim x\right)
\end{eqnarray*}を満たす消費ベクトル\(x^{\ast }\)を特定する最適化問題として定式化されますが、これをそのまま解くのは容易ではありません。一方、選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する場合には、先に提示した理由により、選好最大化問題について考えるかわりに、\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題$$\begin{array}{cl}\max\limits_{x\in \mathbb{R} ^{N}} & u\left( x\right) \\
s.t. & p\cdot x\leq w \\
& x\in X
\end{array}$$
について考えてもについても一般性は失われません。効用最大化問題は効用関数\(u\)を目的関数とする制約付き最大化問題です。一般に、与えられた制約のもとで目的関数を最大化する制約付き最大化問題については、それを扱う数学の理論体系が存在します。そこで、選好最大化問題を効用最大化問題に読み替えることにより、既存の数学体系を利用しながら消費者問題を分析し、解くことができるようになります。

演習問題