消費者は予算集合に属する消費ベクトルの中から、自身の選好のもとで最も望ましい消費ベクトルを選ぶものと仮定します。このような仮定のもとで、消費者が直面する問題を選好最大化問題や効用最大化問題として定式化します。
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選好最大化問題

消費者が直面し得る個々の選択肢を消費ベクトルとして表現し、消費者が選択可能な消費ベクトルからなる集合を消費集合や予算集合として表現しました。さらに、消費者が消費ベクトルどうしを比較する評価体系を選好関係として表現しました。消費者理論では、消費者は自身が選択可能な消費ベクトルの中から、自身の選好に照らし合わせて最も望ましいものを選ぶものと仮定します。消費者の行動原理に関するこのような仮定を選好最大化(preference maximization)の仮定と呼びます。

選好最大化の仮定を踏まえたとき、消費者が直面する意思決定問題は、予算集合に属する選択可能な消費ベクトルの中から、自身の選好に照らし合わせて最も望ましい消費ベクトルを特定する最適化問題として定式化されます。

消費者の嗜好は消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)として定式化されているものとします。一方、消費者が選択可能な選択肢からなる集合は予算集合\(B\left( p,w\right) \subset X\)として定式化されますが、これは価格ベクトル\(p\)と所得\(w\)に依存して変化します。ただ、プライステイカーの仮定より、消費者は\(p\)と\(w\)を与えられたものとして意思決定を行います。つまり、\(p\)と\(w\)の水準が消費者による意思決定に影響を与えることはあっても、消費者による意思決定が\(p\)と\(w\)の水準に影響を与えることはないということです。

消費者による意思決定を総体的に記述するためには、消費者が特定の予算集合\(B\left( p,w\right) \)に直面した場合の意思決定について考えるだけでなく、\(p\)や\(w\)の変化にともない、消費者による選択がどのように変化するかを考察する必要があります。そのような舞台を整えるためには、それぞれの値\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、そこでの予算対応\(B\left( p,w\right) \subset X\)を特定する予算対応\(B: \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)が必要です。

以上を踏まえた上で、価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、このとき消費者が解くべき問題は、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ x^{\ast }\in B(p,w) \\
&&\left( b\right) \ \forall x\in B(p,w):x^{\ast }\succsim x
\end{eqnarray*}をともに満たす消費ベクトル\(x^{\ast }\in X\)を特定することとして定式化されます。これを\(\left( p,w\right) \)のもとでの選好最大化問題(preference maximization problem)と呼びます。

条件\(\left( a\right) \)は、選好最大化問題の解\(x^{\ast }\)が予算集合に属することを意味しますが、これを予算制約(budget constraint)の条件と呼びます。条件\(\left( b\right) \)は、選好最大化問題の解\(x^{\ast }\)は、予算制約を満たす消費ベクトルの中でも最も望ましいものであることを意味しますが、これを選好最大化(preference maximization)の条件と呼びます。したがって、選好最大化問題とは、与えられた価格ベクトルと所得の組のもとで、予算制約と選好最大化の条件をともに満たす消費ベクトルを特定することを意味します。

 

効用最大化問題

消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)と予算対応\(B: \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)から定義される選好最大化問題について考えます。このとき、\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する場合には、\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)のもとでの選好最大化問題は、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ x^{\ast }\in B(p,w) \\
&&\left( b\right) \ \forall x\in B(p,w):u\left( x^{\ast }\right) \geq
u\left( x\right)
\end{eqnarray*}を満たす\(x^{\ast }\in X\)を特定することとして言い換え可能です。これを\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題(utility maximization problem)と呼びます。条件\(\left( a\right) \)は先ほどと同様の予算制約です。条件\(\left( b\right) \)は、効用最大化問題の解\(x^{\ast }\)は、予算制約を満たす消費ベクトルの中でも効用を最大化するものであることを意味しますが、これを効用最大化(utility maximization)の条件と呼びます。したがって、効用最大化問題とは、与えられた価格ベクトルと所得の組のもとで、予算制約と効用最大化の条件をともに満たす消費ベクトルを特定することを意味します。

価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題は、以下の様な制約付き最大化問題\begin{equation*}
\max_{x\in X}\ u\left( x\right) \quad s.t.\quad x\in B\left( p,w\right)
\end{equation*}として表現できます。\(B\left( p,w\right) \subset X\)であることを踏まえた上で、\begin{equation*}
\max_{x\in B\left( p,w\right) }\ u\left( x\right)
\end{equation*}と表現することもできます。

一般に、選好関係を表現する効用関数が存在するとき、それは一意的に定まりません。したがって、選好最大化問題が与えられたとき、それに対応する効用最大化問題は無数に存在します。効用関数の定義より、それらはいずれも問題として実質的に等しくなるため、どれを解いても得られる結果は同じです。ただ、効用最大化問題は先の制約付き最大化問題として定式化されますが、それは選好最大化問題よりも数学的に扱いやすい形をしています。そこで、選好関係を表現する効用関数が存在する場合には、選好最大化問題を効用最大化問題に読み替えることにより、消費者が直面する最適化問題をより簡単に解くことができます。

次回は需要対応について学びます。

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