予算集合の非空性

予算集合が非空集合である必要性

消費者に課される様々な制約を踏まえた上で、消費者がなおも選択可能な消費ベクトルからなる集合が消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)です。さらに、消費集合\(X\)に属する消費ベクトルの中でも経済的制約を満たすもの、すなわち、支出額が所得の範囲内に収まるような消費ベクトルからなる\(X\)の部分集合が予算集合\(B\left( p,w\right) \)です。

消費者は予算集合に属する消費ベクトルの中から、何らかの消費ベクトルを選びます。したがって、仮に予算集合が空集合であるならば、消費者がどのような選択を行うかという問題を検討する余地がなくなってしまいます。消費者行動を分析するためには、そもそも予算集合が空集合ではないことを保証する必要があるということです。

消費者が直面する予算集合\(B\left( p,w\right) \)は価格ベクトル\(p\)と所得\(w\)に依存して変化します。消費者行動を分析する際には、\(p\)や\(w\)の変化にともない、消費者による選択がどのように変化するかを考察することも重要になります。したがって、そのような分析を意味ある形で行うためには、\(p\)や\(w\)がどのような値をとる場合でも予算集合\(B\left( p,w\right) \)が非空であることを保証する必要があります。つまり、予算対応\(B:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)はそれぞれの組\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}
B\left( p,w\right) \not=\phi
\end{equation*}を満たす必要があるということです。予算対応\(B\)が以上の条件を満たすとき、\(B\)は非空値をとる（nonempty valued）と言います。

予算対応が非空値をとるための条件

予算対応\(B\)が非空値をとることを天下り的に仮定してもよいのですが、よりシンプルな仮定をもとに、予算対応\(B\)が非空値をとることを保証することもできます。

消費集合が\(X=\mathbb{R} _{+}^{N}\)であるとします。このとき、\(\left( 0,\cdots ,0\right) \in X\)が成り立ちます。価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)を任意に選ぶと、\begin{equation*}
p\cdot \left( 0,\cdots ,0\right) =0<w
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、予算集合の定義より\(\left( 0,\cdots ,0\right) \in B\left( p,w\right) \)が成り立つため、\(B\left( p,w\right) \not=\phi \)であることが示されました。

2財モデルを用いて上の命題を図解します。消費集合が\(X=\mathbb{R} _{+}^{2}\)である場合の予算集合\(B\left( p_{1},p_{2},w\right) \)は下図のグレーの領域として表されます。ただし、境界を含みます。斜めの線分は予算線\(\overline{B}\left( p_{1},p_{2},w\right) \)に対応しており、これは2つの点\((\frac{w}{p_{1}},0),(0,\frac{w}{p_{2}})\)を通り、傾きが\(-\frac{p_{1}}{p_{2}}\)の線分です。

商品の価格\(p_{1},p_{2}\)と所得\(w\)はいずれも正の実数を値としてとり得るため、切片\(\frac{w}{p_{1}},\frac{w}{p_{2}}\)はともに正の実数です。したがって、\(p_{1},p_{2},w\)の値に関わらず、上図のグレーの領域、すなわち予算集合\(B\left( p_{1},p_{2},w\right) \)は空集合にはなりません。

次回は予算集合が凸集合であることの意味を解説します。