予算集合の非空性（非空値をとる予算対応）

予算集合が空集合ではないことの意味

消費者が選択し得る消費ベクトルからなる集合が消費集合\begin{equation*}
X\subset \mathbb{R} ^{N}
\end{equation*}として定式化されているものとします。特に、消費者が直面する経済的に注目する場合、それは予算対応\begin{equation*}
B:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X
\end{equation*}として表現されます。つまり、プライス・テイカーの仮定のもとでは、消費者にとって価格ベクトルと所得はいずれも外生的に与えられるパラメーターとみなされるため、価格ベクトルと所得\(\left( \boldsymbol{p},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に直面した消費者が選択可能な消費ベクトルからなる集合は予算集合\begin{eqnarray*}B\left( \boldsymbol{p},w\right) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in X\ |\
\boldsymbol{p}\cdot \boldsymbol{x}\leq w\right\} \\
&=&\left\{ \left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) \in X\ |\ p_{1}x_{1}+\cdots
+p_{n}x_{N}\leq w\right\}
\end{eqnarray*}として表現されるということです。これは、消費集合\(X\)に属する消費ベクトルの中でも、消費者による支出が所得を超えないものからなる集合です。

消費者は予算集合に属する消費ベクトルの中から何らかの消費ベクトルを選びます。したがって、仮に予算集合が空集合であるならば、消費者がどのような選択を行うかという問題を検討する余地がなくなってしまいます。消費者行動を分析するためには、そもそも予算集合が空集合ではないことを保証する必要があるということです。

例（予算対応が非空値をとるための条件）

2財モデルにおいて消費集合が\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)である場合の予算集合\begin{equation*}B\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}\leq w\right\}
\end{equation*}が下図のグレーの領域として描かれています（境界を含む）。商品の価格\(p_{1},p_{2}\)と所得\(w\)はいずれも正の実数を値としてとるため、予算線の端点である切片\(\frac{w}{p_{1}},\frac{w}{p_{2}}\)はともに正の実数です、したがって、\(p_{1},p_{2},w\)の値に関わらず原点\(\left( 0,0\right) \)は予算集合\(B\left(p_{1},p_{2},w\right) \)の要素であるため、予算集合は空集合ではありません。

予算対応が非空値をとるための条件

消費者が直面する予算集合\(B\left( \boldsymbol{p},w\right) \)は価格ベクトル\(\boldsymbol{p}\)と所得\(w\)に依存して変化します。消費者行動を分析する際には\(\boldsymbol{p}\)や\(w\)の変化にともない消費者による選択がどのように変化するかを考察することも重要になります。したがって、そのような分析を意味ある形で行うためには、\(\boldsymbol{p}\)や\(w\)がどのような値をとる場合でも予算集合\(B\left( \boldsymbol{p},w\right) \)が非空であることを保証する必要があります。つまり、予算対応\(B:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)は以下の条件\begin{equation*}\forall \left( \boldsymbol{p},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}:B\left( \boldsymbol{p},w\right) \not=\phi
\end{equation*}を満たす必要があるということです。予算対応\(B\)が以上の条件を満たすとき、\(B\)は非空値をとる（nonempty valued）と言います。

予算対応が非空値をとることを天下り的に仮定してもよいのですが、よりシンプルな仮定をもとに、予算対応が非空値をとることを保証できます。具体的には、先の例が示唆するように、消費集合が\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)である場合には予算対応\(B\)が非空値をとることが保証されます。

演習問題