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CONSUMER THEORY

レオンチェフ型効用関数

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レオンチェフ型効用関数

消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上に定義された効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの消費ベクトル\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して定める値が、\begin{equation*}\forall n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :\alpha _{n}>0
\end{equation*}を満たす定数\(\alpha _{1},\cdots ,\alpha_{N}\)を用いて、\begin{equation*}u\left( x\right) =\min \left\{ \alpha _{1}x_{1},\cdots ,\alpha
_{N}x_{N}\right\}
\end{equation*}という形で表されるとき、このような効用関数\(u\)をレオンチェフ効用関数(Leontief utilityfunction)と呼びます。

例(レオンチェフ型効用関数)
2財モデルにおけるレオンチェフ型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =\min \left\{ \alpha _{1}x_{1},\alpha
_{2}x_{2}\right\}
\end{equation*}を定めます。ただし、\(\alpha _{1},\alpha _{2}>0\)です。例えば、\(\alpha _{1}=1\)かつ\(\alpha _{2}=\frac{1}{2}\)であれば、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =\min \left\{ x_{1},\frac{x_{2}}{2}\right\}
\end{equation*}となります。

例(レオンチェフ型効用関数)
3財モデルにおけるレオンチェフ型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) =\min \left\{ \alpha _{1}x_{1},,\alpha
_{2}x_{2},\alpha _{3}x_{3}\right\}
\end{equation*}を定めます。ただし、\(\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}>0\)です。例えば、\(\alpha _{1}=1\)かつ\(\alpha _{2}=\frac{1}{2}\)かつ\(\alpha _{3}=\frac{1}{3}\)であれば、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) =\min \left\{ x_{1},\frac{x_{2}}{2},\frac{x_{3}}{3}\right\}
\end{equation*}となります。

 

完全補完財

レオンチェフ型効用関数はどのような選好を表現しているのでしょうか。具体例として、2財モデルにおいて消費者の選好がレオンチェフ型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)によって表現される状況を想定します。つまり、\(u\)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =\min \left\{ \alpha _{1}x_{1},\alpha
_{2}x_{2}\right\}
\end{equation*}を定めるということです。まず、\begin{eqnarray*}
u\left( 0,0\right) &=&\min \left\{ 0,0\right\} =0 \\
u\left( x_{1},0\right) &=&\min \left\{ \alpha _{1}x_{1},0\right\} =0 \\
u\left( 0,x_{2}\right) &=&\min \left\{ 0,\alpha _{2}x_{2}\right\} =0
\end{eqnarray*}が成り立つため、消費者が少なくとも一方の商品を消費しない場合には効用を得られません。

消費者が商品\(1,2\)を\(\frac{1}{\alpha _{1}}:\frac{1}{\alpha _{2}}\)の割合で消費する場合には、\(c>0\)を任意に選んだときに、\begin{eqnarray*}u\left( \frac{c}{\alpha _{1}},\frac{c}{\alpha _{2}}\right) &=&\min \left\{
\alpha _{1}\frac{c}{\alpha _{1}},\alpha _{2}\frac{c}{\alpha _{2}}\right\}
\quad \because u\text{の定義} \\
&=&\min \left\{ c,c\right\} \\
&=&c
\end{eqnarray*}となります。ここから商品\(1\)の消費量を\(\Delta x_{1}>0\)だけを増やすと、\begin{eqnarray*}u\left( \frac{c}{\alpha _{1}}+\Delta x_{1},\frac{c}{\alpha _{2}}\right)
&=&\min \left\{ \alpha _{1}\left( \frac{c}{\alpha _{1}}+\Delta x_{1}\right)
,\alpha _{2}\frac{c}{\alpha _{2}}\right\} \quad \because u\text{の定義} \\
&=&\min \left\{ c+\alpha _{1}\Delta x_{2},c\right\} \\
&=&c\quad \because \alpha _{1}>0,\ \Delta x_{1}>0
\end{eqnarray*}となり、効用は変化しません。逆に、商品\(2\)の消費量を\(\Delta x_{2}>0\)だけを増やすと、\begin{eqnarray*}u\left( \frac{c}{\alpha _{1}},\frac{c}{\alpha _{2}}+\Delta x_{2}\right)
&=&\min \left\{ \alpha _{1}\frac{c}{\alpha _{1}},\alpha _{2}\left( \frac{c}{\alpha _{2}}+\Delta x_{2}\right) \right\} \quad \because u\text{の定義} \\
&=&\min \left\{ c,c+\alpha _{2}\Delta x_{2}\right\} \\
&=&c\quad \because \alpha _{2}>0,\ \Delta x_{2}>0
\end{eqnarray*}となり、やはりこの場合にも効用は変化しません。つまり、消費者にとって重要なことは商品\(1,2\)を\(\frac{1}{\alpha _{1}}:\frac{1}{\alpha _{2}}\)の割合で組み合わせて消費することであり、このバランスを崩す形で一方の商品の消費量だけを増やしてもそれは余分であり、消費者の満足度の向上には貢献しません。同様の議論は任意の\(c>0\)について成立します。つまり、消費者の満足度を向上させるためには商品\(1,2\)の消費量を\(\frac{1}{\alpha _{1}}:\frac{1}{\alpha _{2}}\)の割合でともに増やす必要があります。

一般のレオンチェフ型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)についても同様の議論が成立します。つまり、消費者が消費ベクトル\(x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)から得られる効用が、\begin{equation*}u\left( x\right) =\min \left\{ \alpha _{1}x_{1},\cdots ,\alpha
_{N}x_{N}\right\}
\end{equation*}という形で表されているとき、消費者にとって重要なことは\(N\)種類の商品を\(\frac{1}{\alpha _{1}}:\cdots :\frac{1}{\alpha _{N}}\)の割合で組み合わせて消費することであり、このバランスを崩す形で特定の商品の消費量を増やしてもそれらは余分であり、消費者の満足度の向上には貢献しません。同様の議論は任意の\(c>0\)について成立します。つまり、消費者の満足度を向上させるためには、\(N\)種類のすべての商品の消費量を\(\frac{1}{\alpha _{1}}:\cdots :\frac{1}{\alpha _{N}}\)の割合ですべて増やす必要があります。

複数の商品が一定の割合で組み合わされて消費されることで意味を持つ場合、それらの商品を完全補完財(perfect complements)と呼びます。レオンチェフ型効用関数は完全補完財を消費する場合の選好を表しています。

例(完全補完財)
足が2本ある人は左右の靴を1足ずつ消費します。つまり、左足用の靴と右足用の靴は\(1:1\)の割合で消費される完全補完財であり、左足用の靴だけ増やしても、また逆に右足用の靴だけを増やしても消費者の満足度の向上には貢献しません。つまり、左足用の靴の消費量を\(x_{1}\)で表し、右足用の靴の消費量を消費量を\(x_{2}\)で表す場合、効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =\min \left\{ x_{1},x_{2}\right\}
\end{equation*}を定めます。

例(完全補完財)
コーヒーと角砂糖という2つの商品について考えます。コーヒーの消費量を\(x_{1}\)杯で、角砂糖の消費量を\(x_{2}\)個でそれぞれ表記します。ある人はコーヒー\(1\)杯に角砂糖を2個入れることを習慣にしており、角砂糖がそれよりも多すぎたり少なすぎると我慢できません。つまり、この人にとってコーヒーと角砂糖は\(1:2\)の割合で消費される完全補完財であるため、効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =\min \left\{ x_{1},\frac{x_{2}}{2}\right\}
\end{equation*}を定めます。

 

レオンチェフ型効用関数の単調性

レオンチェフ型効用関数は単調増加関数です。

命題(レオンチェフ型効用関数の単調性)
レオンチェフ型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)は単調増加関数である。
証明

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レオンチェフ型効用関数は狭義単調増加ではありません。以下の例より明らかです。

例(レオンチェフ型効用関数)
関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =\min \left\{ x_{1},\frac{x_{2}}{2}\right\}
\end{equation*}を定めるものとします。これはレオンチェフ型効用関数です。以下の2つの点\begin{eqnarray*}
\left( 1,2\right) &\in &\mathbb{R} _{+}^{2} \\
\left( 2,2\right) &\in &\mathbb{R} _{+}^{2}
\end{eqnarray*}に注目すると、\begin{equation*}
\left( 2,2\right) >\left( 1,2\right)
\end{equation*}が成り立つ一方で、\begin{eqnarray*}
u\left( 2,2\right) &=&\min \left\{ 2,\frac{2}{2}\right\} \\
&=&1 \\
&=&\min \left\{ 1,\frac{2}{2}\right\} \\
&=&u\left( 1,2\right)
\end{eqnarray*}となり、したがって、\begin{equation*}
u\left( 2,2\right) >u\left( 1,2\right)
\end{equation*}が成り立たないからです。

レオンチェフ型効用関数は局所非飽和性を満たします。

命題(レオンチェフ型効用関数の局所非飽和性)
レオンチェフ型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)は局所非飽和関数である。
証明

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局所非飽和な効用関数のもとではワルラスの法則が成立します。以上より、レオンチェフ型効用関数を分析対象とする場合、効用最大化問題の解が消費集の内点解である場合には、すなわち\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)の点である場合には、消費者は解において所得を使い切ることが保証されます。

 

レオンチェフ型効用関数の連続性

2財モデルにおけるレオンチェフ型効用関数は、\begin{eqnarray*}
u\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\min \left\{ \alpha _{1}x_{1},\alpha
_{2}x_{2}\right\} \\
&=&\frac{\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}}{2}-\frac{\left\vert \alpha
_{1}x_{1}-\alpha _{2}x_{2}\right\vert }{2}
\end{eqnarray*}という形に変形可能であることを踏まえると、\(u\)が連続であることが示されます。

命題(レオンチェフ型効用関数の連続性)
レオンチェフ型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)は連続関数である。
証明

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以上の事実を踏まえると、\(N\)財モデルにおけるレオンチェフ型効用関数が連続であることが示されます。

命題(レオンチェフ型効用関数の連続性)
レオンチェフ型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)は連続関数である。
証明

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レオンチェフ型効用関数の準凹性

2財モデルにおけるレオンチェフ型効用関数は準凹関数です。

命題(レオンチェフ型効用関数の準凹性)
レオンチェフ型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)は準凹関数である。
証明

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以上の事実を踏まえると、\(N\)財モデルにおけるレオンチェフ型効用関数が準凹であることが示されます。

命題(レオンチェフ型効用関数の準凹性)
レオンチェフ型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)は準凹関数である。
証明

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次回はレオンチェフ型効用関数のもとでの効用最大化問題について解説します。

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DISCUSSION

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消費者理論