レオンチェフ型効用関数

レオンチェフ型効用関数

消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上に定義された効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの消費ベクトル\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して定める値が、\begin{equation*}u\left( x\right) =\min \left\{ \alpha _{1}x_{1},\cdots ,\alpha
_{N}x_{N}\right\}
\end{equation*}であるものとします。ただし、\(\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{N}\in \mathbb{R} \)は定数であり、以下の条件\begin{equation*}\alpha _{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right)
\end{equation*}を満たすものとします。このような効用関数\(u\)をレオンチェフ効用関数（Leontief utility function）と呼びます。

一般に、選好関係を表す効用関数が存在する場合、その選好関係は完備性と推移性を満たします。したがって、消費者の選好がレオンチェフ型効用関数によって表される場合、消費者の選好は完備性と推移性を満たします。

完全補完財

レオンチェフ型効用関数はどのような選好を表現しているのでしょうか。具体例として、2財モデルにおいて消費者の選好がレオンチェフ型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)によって表現される状況を想定します。つまり、\(u\)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =\min \left\{ \alpha _{1}x_{1},\alpha
_{2}x_{2}\right\}
\end{equation*}を定めるということです。ただし、\(\alpha _{1}>0\)かつ\(\alpha _{2}>0\)です。まず、\begin{eqnarray*}u\left( 0,0\right) &=&\min \left\{ 0,0\right\} =0 \\
u\left( x_{1},0\right) &=&\min \left\{ \alpha _{1}x_{1},0\right\} =0 \\
u\left( 0,x_{2}\right) &=&\min \left\{ 0,\alpha _{2}x_{2}\right\} =0
\end{eqnarray*}が成り立つため、消費者が少なくとも一方の商品を消費しない場合の効用はゼロです。

消費者が商品\(1,2\)を\(\frac{1}{\alpha _{1}}:\frac{1}{\alpha _{2}}\)の割合で消費する場合には、\(c>0\)を任意に選んだときに、\begin{eqnarray*}u\left( \frac{c}{\alpha _{1}},\frac{c}{\alpha _{2}}\right) &=&\min \left\{
\alpha _{1}\frac{c}{\alpha _{1}},\alpha _{2}\frac{c}{\alpha _{2}}\right\}
\quad \because u\text{の定義} \\
&=&\min \left\{ c,c\right\} \\
&=&c
\end{eqnarray*}となります。ここから商品\(1\)の消費量だけを\(\Delta x_{1}>0\)だけ増やすと、\begin{eqnarray*}u\left( \frac{c}{\alpha _{1}}+\Delta x_{1},\frac{c}{\alpha _{2}}\right)
&=&\min \left\{ \alpha _{1}\left( \frac{c}{\alpha _{1}}+\Delta x_{1}\right)
,\alpha _{2}\frac{c}{\alpha _{2}}\right\} \quad \because u\text{の定義} \\
&=&\min \left\{ c+\alpha _{1}\Delta x_{2},c\right\} \\
&=&c\quad \because \alpha _{1}>0,\ \Delta x_{1}>0
\end{eqnarray*}となり、効用は変化しません。逆に、商品\(2\)の消費量だけを\(\Delta x_{2}>0\)だけを増やすと、\begin{eqnarray*}u\left( \frac{c}{\alpha _{1}},\frac{c}{\alpha _{2}}+\Delta x_{2}\right)
&=&\min \left\{ \alpha _{1}\frac{c}{\alpha _{1}},\alpha _{2}\left( \frac{c}{\alpha _{2}}+\Delta x_{2}\right) \right\} \quad \because u\text{の定義} \\
&=&\min \left\{ c,c+\alpha _{2}\Delta x_{2}\right\} \\
&=&c\quad \because \alpha _{2}>0,\ \Delta x_{2}>0
\end{eqnarray*}となり、やはりこの場合にも効用は変化しません。つまり、消費者にとって重要なことは商品\(1,2\)を\(\frac{1}{\alpha _{1}}:\frac{1}{\alpha _{2}}\)の割合で組み合わせて消費することであり、このバランスを崩す形で一方の商品の消費量だけを増やしてもそれは余分であり、消費者の満足度の向上には貢献しません。同様の議論は任意の\(c>0\)について成立します。つまり、消費者の満足度を向上させるためには商品\(1,2\)の消費量を\(\frac{1}{\alpha _{1}}:\frac{1}{\alpha _{2}}\)の割合でともに増やす必要があります。

一般のレオンチェフ型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)についても同様の議論が成立します。つまり、消費者が消費ベクトル\(x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)から得られる効用が、\begin{equation*}u\left( x\right) =\min \left\{ \alpha _{1}x_{1},\cdots ,\alpha
_{N}x_{N}\right\}
\end{equation*}という形で表されているとき、消費者にとって重要なことは\(N\)種類の商品を\(\frac{1}{\alpha _{1}}:\cdots :\frac{1}{\alpha _{N}}\)の割合で組み合わせて消費することであり、このバランスを崩す形で特定の商品の消費量を増やしてもそれらは余分であり、消費者の満足度の向上には貢献しません。同様の議論は任意の\(c>0\)について成立します。つまり、消費者の満足度を向上させるためには、\(N\)種類のすべての商品の消費量を\(\frac{1}{\alpha _{1}}:\cdots :\frac{1}{\alpha _{N}}\)の割合ですべて増やす必要があります。

複数の商品が一定の割合で組み合わされて消費されることで意味を持つ場合、それらの商品を完全補完財（perfect complements）と呼びます。レオンチェフ型効用関数は完全補完財を消費する場合の選好を表しています。

レオンチェフ型効用関数の連続性

2財モデルにおけるレオンチェフ型効用関数は、\begin{eqnarray*}
u\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\min \left\{ \alpha _{1}x_{1},\alpha
_{2}x_{2}\right\} \\
&=&\frac{\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}}{2}-\frac{\left\vert \alpha
_{1}x_{1}-\alpha _{2}x_{2}\right\vert }{2}
\end{eqnarray*}という形に変形可能であることを踏まえると、これが連続関数であることが示されます。

以上の事実を踏まえると、\(N\)財モデルにおけるレオンチェフ型効用関数が連続であることが示されます。

一般に、選好関係を表す連続な効用関数が存在する場合、その選好は連続性を満たします。レオンチェフ型効用関数は連続であるため、消費者の選好がレオンチェフ型効用関数によって表される場合、消費者の選好は連続性を満たします。

レオンチェフ型効用関数の偏微分可能性

2財モデルにおけるレオンチェフ型効用関数\(u\)が、\begin{eqnarray*}u\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\min \left\{ \alpha _{1}x_{1},\alpha
_{2}x_{2}\right\} \\
&=&\frac{\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}}{2}-\frac{\left\vert \alpha
_{1}x_{1}-\alpha _{2}x_{2}\right\vert }{2}
\end{eqnarray*}という形に変形可能であることを踏まえると、これが\(\alpha _{1}x_{1}\not=\alpha_{2}x_{2}\)を満たす点\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)において偏微分可能であることが示されます。

3変数のレオンチェフ型効用関数\(u\)については、\begin{eqnarray*}&&u\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \\
&=&\min \left\{ \alpha _{1}x_{1},\alpha _{2}x_{2},\alpha _{3}x_{3}\right\}
\quad \because u\text{の定義} \\
&=&\min \left\{ \min \left\{ \alpha _{1}x_{1},\alpha _{2}x_{2}\right\}
,\alpha _{3}x_{3}\right\} \\
&=&\frac{\min \left\{ \alpha _{1}x_{1},\alpha _{2}x_{2}\right\} +\alpha
_{3}x_{3}}{2}-\frac{\left\vert \min \left\{ \alpha _{1}x_{1},\alpha
_{2}x_{2}\right\} -\alpha _{3}x_{3}\right\vert }{2} \\
&=&\frac{1}{2}\left( \frac{\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}}{2}-\frac{\left\vert \alpha _{1}x_{1}-\alpha _{2}x_{2}\right\vert }{2}+\alpha
_{3}x_{3}\right) -\frac{1}{2}\left\vert \frac{\alpha _{1}x_{1}+\alpha
_{2}x_{2}}{2}-\frac{\left\vert \alpha _{1}x_{1}-\alpha _{2}x_{2}\right\vert
}{2}-\alpha _{3}x_{3}\right\vert
\end{eqnarray*}という変形が可能であるため、\(u\)は以下の集合\begin{equation*}X=\left\{ \left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{3}\ |\ \alpha _{1}x_{1}\not=\alpha _{2}x_{2}\wedge \alpha
_{2}x_{2}\not=\alpha _{3}x_{3}\wedge \alpha _{1}x_{1}\not=\alpha
_{3}x_{3}\right\}
\end{equation*}上で偏微分可能です。

\(N\)変数のレオンチェフ型効用関数\(u\)についても同様に考えることにより、以下の集合\begin{equation*}X=\left\{ x\in \mathbb{R} _{++}^{N}\ |\ \forall i,j\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :\left(
i\not=j\Rightarrow \alpha _{i}x_{i}\not=\alpha _{j}x_{j}\right) \right\}
\end{equation*}上で偏微分可能であることが示されます。

レオンチェフ型効用関数のもとでの限界効用

レオンチェフ型効用関数のもとでの限界効用は以下の通りです。

レオンチェフ型効用関数のもとでの限界代替率

レオンチェフ型効用関数のもとでの限界代替率は以下の通りです。

レオンチェフ型効用関数の単調性

レオンチェフ型効用関数は単調増加関数です。つまり、\begin{equation*}
\forall x,y\in \mathbb{R} _{+}^{N}:\left[ y\geq x\Rightarrow u\left( y\right) \geq u\left( x\right) \right] \end{equation*}が成り立ちます。ただし、\begin{equation*}
y\geq x\Leftrightarrow \forall n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :y_{n}\geq
x_{n}
\end{equation*}です。消費ベクトル\(x\)を任意に選んだとき、そこからすべての商品の消費量を減らさない場合には、消費者が得られる効用も低下しないということです。

レオンチェフ型効用関数は狭義単調増加ではありません。以下の例より明らかです。

レオンチェフ型効用関数は局所非飽和性を満たします。つまり、\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R} _{+}^{N},\ \forall \varepsilon >0,\ \exists y\in \mathbb{R} _{+}^{N}\cap N_{\varepsilon }\left( x\right) :u\left( y\right) >u\left(
x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、\(N_{\varepsilon }\left( x\right) \)は中心が\(x\)であり半径が\(\varepsilon \)の開近傍です。\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の消費ベクトル\(x\)を任意に選んだとき、それにいくらでも近い場所に\(x\)よりも大きな効用をもたらす消費ベクトル\(y\)が存在するということです。

以上の諸命題より、消費者の選好がレオンチェフ型効用関数によって表される場合、消費者の選好は単調性と局所非飽和性を満たします。

レオンチェフ型効用関数の同次性

レオンチェフ型効用関数\(u\)は\(1\)次同次関数です。つまり、\begin{equation*}\forall x\in \mathbb{R} _{+}^{N},\ \forall \lambda \in \mathbb{R} _{++}:u\left( \lambda x\right) =\lambda u\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。消費ベクトル\(x\)を任意に選んだとき、すべての商品の消費量を\(\lambda >0\)倍すれば、消費者が得られる効用の水準もまた\(\lambda \)倍になるということです。

レオンチェフ型効用関数は凸関数かつ凹関数

レオンチェフ型効用関数は凸関数かつ凹関数です。

凸関数は準凸関数であり、凹関数は準凹関数であるため、上の命題より以下を得ます。

選好関係を表す効用関数が存在する場合、効用関数が準凹であることと選好関係は凸性を満たすことは必要十分です。したがって、レオンチェフ型効用関数によって表される選好関係は凸性を満たします。

レオンチェフ関数は狭義凸関数や狭義凹関数ではありません（演習問題）。また、狭義準凸関数や狭義準凹関数でもありません（演習問題）。選好関係を表す効用関数が存在する場合、効用関数が狭義準凹であることと選好関係は狭義凸性を満たすことは必要十分です。したがって、レオンチェフ型効用関数によって表される選好関係は狭義凸性を満たしません。

演習問題