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CONSUMER THEORY

上級財・中級財・下級財・必需財・奢侈財

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上級財(正常財)

商品\(n\)の需要関数\(x_{n}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が所得\(w\)に関して偏微分可能であるものとします。価格ベクトルと所得の組\(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)における商品\(n\)の所得効果が正である場合には、すなわち、\begin{equation*}\frac{\partial x_{n}^{\ast }\left( \overline{p},\overline{w}\right) }{\partial w}>0
\end{equation*}が成り立つ場合には、商品\(n\)は\(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \)において上級財(superior good at \(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \))であるとか正常財(normal good)であるなどと言います。これは、消費者による効用最大化を前提とした場合に、\(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \)を出発点に消費者の所得だけを増加させると、商品\(n\)の需要が増加することを意味します。

商品\(n\)が上級財であるかどうかは\(\left( p,w\right) \)の水準によって変化し得ます。一方、任意の\(\left( p,w\right) \)において商品\(n\)が上級財である場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall \left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}:\frac{\partial x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial w}>0
\end{equation*}が成り立つ場合には、商品\(n\)を上級財(superior good)や正常財(normalgood)などと呼びます。これは、消費者による効用最大化を前提とした場合に、任意の\(\left( p,w\right) \)を出発点に消費者の所得だけを増加させると、商品\(n\)の需要が増加することを意味します。数学的には、これは商品\(n\)の需要関数\(x_{n}^{\ast }\)が変数\(w\)に関して狭義の単調増加関数であることを意味します。

例(上級財)
通常、所得が増加すると商品の需要は増加するため、ほとんどの商品は上級財です。特に、所得水準が低くなるとすべての商品の需要を減らさざるを得なくなるため、\(w\)が十分低い場合、\(\left( p,w\right) \)においてすべての商品は上級財になります。
例(上級財)
上級財ではない商品が存在する場合においても、複数の商品を「食料」や「住居」などのカテゴリーとして集計を行い、個々のカテゴリーを商品として扱えば、すべての商品(つまり、すべての商品カテゴリー)は上級財になります。

例(上級財)
商品\(n\)の需要関数\(x_{n}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) =\frac{\alpha _{n}w}{p_{n}}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(0<\alpha _{n}<1\)です。\(x_{n}^{\ast }\)は変数\(w\)に関して偏微分可能であり、偏導関数は、\begin{eqnarray*}\frac{\partial x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial w} &=&\frac{\partial }{\partial w}\left( \frac{\alpha _{n}w}{p_{n}}\right) \quad
\because x_{n}^{\ast }\text{の定義} \\
&=&\frac{\alpha _{n}}{p_{n}} \\
&>&0\quad \because 0<\alpha _{n}<1,\ p_{n}>0
\end{eqnarray*}を満たすため、商品\(n\)は上級財です。

商品が上級財であることを需要の所得弾力性を用いて以下のように表現することもできます。

命題(上級財)
商品\(n\)の需要関数\(x_{n}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{++}\)は正の実数を値としてとるとともに、所得\(w\)に関して偏微分可能であるものとする。このとき、価格ベクトルと所得の組\(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)において、\begin{equation*}\varepsilon _{nw}\left( \overline{p},\overline{w}\right) >0
\end{equation*}が成り立つことは、商品\(n\)が\(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \)において上級財であるための必要十分条件である。したがって、\(\varepsilon _{nw}\)が正の実数のみを値としてとることは、商品\(n\)が上級財であるための必要十分条件である。
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中級財(中立財)

商品\(n\)の需要関数\(x_{n}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が所得\(w\)に関して偏微分可能であるものとします。価格ベクトルと所得の組\(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)における商品\(n\)の所得効果がゼロである場合には、すなわち、\begin{equation*}\frac{\partial x_{n}^{\ast }\left( \overline{p},\overline{w}\right) }{\partial w}=0
\end{equation*}が成り立つ場合には、商品\(n\)は\(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \)において中級財(neutral good at \(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \))であるとか中立財(neutral good)であるなどと言います。これは、消費者による効用最大化を前提とした場合に、\(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \)を出発点に消費者の所得だけを変化させても商品\(n\)の需要が変化しないことを意味します。

商品\(n\)が中級財であるかどうかは\(\left( p,w\right) \)の水準によって変化し得ます。一方、任意の\(\left( p,w\right) \)において商品\(n\)が中級財である場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall \left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}:\frac{\partial x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial w}=0
\end{equation*}が成り立つ場合には、商品\(n\)を中級財(neutral good)や中立財(neutralgood)などと呼びます。これは、消費者による効用最大化を前提とした場合に、任意の\(\left( p,w\right) \)を出発点に消費者の所得だけを変化させても商品\(n\)の需要が変化しないことを意味します。数学的には、これは商品\(n\)の需要関数\(x_{n}^{\ast }\)が変数\(w\)に関して定数関数であることを意味します。

例(中級財)
持病を抱えている人にとっての常備薬は中級財です。所得水準とは関係なく、常に一定量を消費する必要があるからです。ただし、その病気に有効な薬が複数あり、それらの価格と効果に差がある場合には、所得が増加するとより高価な薬への乗り換えが起こるため、これらの薬は中級財ではありません。

商品が中級財であることを需要の所得弾力性を用いて以下のように表現することもできます。

命題(中級財)
商品\(n\)の需要関数\(x_{n}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{++}\)は正の実数を値としてとるとともに、所得\(w\)に関して偏微分可能であるものとする。このとき、価格ベクトルと所得の組\(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)において、\begin{equation*}\varepsilon _{nw}\left( \overline{p},\overline{w}\right) =0
\end{equation*}が成り立つことは、商品\(n\)が\(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \)において中級財であるための必要十分条件である。したがって、\(\varepsilon _{nw}\)がゼロのみを値としてとる定数関数であることは、商品\(n\)が中級財であるための必要十分条件である。
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下級財(劣等財)

商品\(n\)の需要関数\(x_{n}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が所得\(w\)に関して偏微分可能であるものとします。価格ベクトルと所得の組\(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)における商品\(n\)の所得効果が負である場合には、すなわち、\begin{equation*}\frac{\partial x_{n}^{\ast }\left( \overline{p},\overline{w}\right) }{\partial w}<0
\end{equation*}が成り立つ場合には、商品\(n\)は\(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \)において下級財(inferior good at \(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \))であるとか劣等財(inferior good)であるなどと言います。これは、消費者による効用最大化を前提とした場合に、\(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \)を出発点に消費者の所得だけを増加させると、商品\(n\)の需要が減少することを意味します。

商品\(n\)が下級財であるかどうかは\(\left( p,w\right) \)の水準によって変化し得ます。一方、任意の\(\left( p,w\right) \)において商品\(n\)が下級財である場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall \left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}:\frac{\partial x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial w}<0
\end{equation*}が成り立つ場合には、商品\(n\)を下級財(inferior good)や劣等財(inferior good)などと呼びます。これは、消費者による効用最大化を前提とした場合に、任意の\(\left( p,w\right) \)を出発点に消費者の所得だけを増加させると、商品\(n\)の需要が減少することを意味します。数学的には、これは商品\(n\)の需要関数\(x_{n}^{\ast }\)が変数\(w\)に関して狭義の単調減少関数であることを意味します。

例(下級財)
通常、所得が増えるにつれて、需要する商品を高級品へ代替していくことが一般的であるため、安物の商品は下級財になります。例えば、所得が低い段階では安物の靴を履きますが、所得が上昇すると高級な靴を履くようになるため、\(w\)が十分高い場合、\(\left( p,w\right) \)において安物の靴は下級財になります。
例(下級財)
商品を細かく分類するほど下級財は発生しやすくなります。例えば、安物の靴と高級な靴をまとめて「靴」という商品として扱う場合、これは上級財になります。一方、安物の靴と高級な靴を異なる商品として区別する場合、先の理由により、安物の靴は下級財になります。

商品が下級財であることを需要の所得弾力性を用いて以下のように表現することもできます。

命題(下級財)
商品\(n\)の需要関数\(x_{n}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{++}\)は正の実数を値としてとる偏微分可能な関数であるものとする。このとき、価格ベクトルと所得の組\(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)において、\begin{equation*}\varepsilon _{nw}\left( \overline{p},\overline{w}\right) <0
\end{equation*}が成り立つことは、商品\(n\)が\(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \)において下級財であるための必要十分条件である。したがって、\(\varepsilon _{nw}\)が負の実数のみを値としてとることは、商品\(n\)が下級財であるための必要十分条件である。
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需要関数がワルラスの法則を満たす場合、つまり、効用最大化問題の解において消費者が所得をすべて使い切ることが保証される場合、すべての商品が同時に下級財になることはありません。言い換えると、少なくとも1つの商品が上級財または中級財になります。

命題(ワルラスの法則と下級財)
需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)がワルラスの法則を満たすとともに\(w\)について偏微分可能であるものとする。価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、\(\left( p,w\right) \)において少なくとも1つの商品は下級財ではない。したがって、少なくとも1つの商品は下級財ではない。
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必需財

商品\(n\)の需要関数\(x_{n}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{++}\)は正の実数を値としてとるとともに、所得\(w\)に関して偏微分可能であるものします。このとき、価格ベクトルと所得の組\(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)において商品\(n\)が上級財であることとは、\begin{equation*}\varepsilon _{nw}\left( \overline{p},\overline{w}\right) >0
\end{equation*}が成り立つことを意味します。特に、\begin{equation*}
0<\varepsilon _{nw}\left( \overline{p},\overline{w}\right) <1
\end{equation*}が成り立つ場合、商品\(n\)は\(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \)において必需財(necessity goood at \(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \))であると言います。これは、消費者による効用最大化を前提とした場合に、\(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \)を出発点に消費者の所得だけを増加させると需要もまた増加するとともに、所得の増加率よりも需要の増加率の方が小さいことを意味します。

商品\(n\)が必需財であるかどうかは\(\left( p,w\right) \)の水準によって変化し得ます。一方、任意の\(\left( p,w\right) \)において商品\(n\)が必需財である場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall \left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}:0<\varepsilon _{nw}\left( p,w\right) <1
\end{equation*}が成り立つ場合には、商品\(n\)を必需財(necessity goood)と呼びます。これは、消費者による効用最大化を前提とした場合に、任意の\(\left( p,w\right) \)を出発点に消費者の所得だけを増加させると需要もまた増加するとともに、所得の増加率よりも需要の増加率の方が小さいことを意味します。

例(必需財)
通常、所得が増加すると生活スタイルが変化して電気をより多く消費するようになるため、電気は上級財です。ただし、生活に必要な電気の量は高々知れているため、所得がある程度高くなると、そこから所得がさらに1パーセント上がったからといって電気の消費量が1パーセントも増えるとは考えられません。したがって、電気は必需財です。

所得が増加すると必需財への支出額が所得に占める割合は減少します。

命題(必需財への支出額)
商品\(n\)の需要関数\(x_{n}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{++}\)は正の実数を値としてとる偏微分可能な関数であるものとする。商品\(n\)が必需財である場合には、所得\(w\)に対して商品\(n\)への支出額が占める割合\(\frac{p_{n}\cdot x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) }{w}\)は\(w\)に関する狭義の単調減少関数になる。
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需要関数がワルラスの法則を満たす場合、つまり、効用最大化問題の解において消費者が所得をすべて使い切ることが保証される場合、すべての商品が同時に必需財になることはありません。

命題(ワルラスの法則と必需財)
需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)がワルラスの法則を満たすとともに\(w\)について偏微分可能であるものとする。価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、\(\left( p,w\right) \)において少なくとも1つの商品は必需財ではない。したがって、少なくとも1つの商品は必需財ではない。
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奢侈財

商品\(n\)の需要関数\(x_{n}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{++}\)は正の実数を値としてとるとともに、所得\(w\)に関して偏微分可能であるものします。このとき、価格ベクトルと所得の組\(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)において商品\(n\)が上級財であることとは、\begin{equation*}\varepsilon _{nw}\left( \overline{p},\overline{w}\right) >0
\end{equation*}が成り立つことを意味します。特に、\begin{equation*}
\varepsilon _{nw}\left( \overline{p},\overline{w}\right) >1
\end{equation*}が成り立つ場合、商品\(n\)は\(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \)において奢侈財(luxury at \(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \))であると言います。これは、消費者による効用最大化を前提とした場合に、\(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \)を出発点に消費者の所得だけを増加させると需要もまた増加するとともに、所得の増加率よりも需要の増加率の方が大きいことを意味します。

商品\(n\)が奢侈財であるかどうかは\(\left( p,w\right) \)の水準によって変化し得ます。一方、任意の\(\left( p,w\right) \)において商品\(n\)が奢侈財である場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall \left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}:\varepsilon _{nw}\left( p,w\right) >1
\end{equation*}が成り立つ場合には、商品\(n\)を奢侈財(luxury)と呼びます。これは、消費者による効用最大化を前提とした場合に、任意の\(\left( p,w\right) \)を出発点に消費者の所得だけを増加させると需要もまた増加するとともに、所得の増加率よりも需要の増加率の方が大きいことを意味します。

例(奢侈財)
通常、所得が増加すると車を購入するようになるため、車は上級財です。特に、所得がある程度高くなった段階で多少無理して高級車を購入する場合、高級車は奢侈財です。

所得が増加すると奢侈財への支出額が所得に占める割合は増加します。

命題(奢侈財への支出額)
商品\(n\)の需要関数\(x_{n}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{++}\)は正の実数を値としてとる偏微分可能な関数であるものとする。商品\(n\)が奢侈財である場合には、所得\(w\)に対して商品\(n\)への支出額が占める割合\(\frac{p_{n}\cdot x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) }{w}\)は\(w\)に関する狭義の単調増加関数になる。
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需要関数がワルラスの法則を満たす場合、つまり、効用最大化問題の解において消費者が所得をすべて使い切ることが保証される場合、すべての商品が同時に奢侈財になることはありません。

命題(ワルラスの法則と奢侈財)
需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)がワルラスの法則を満たすとともに\(w\)について偏微分可能であるものとする。価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、\(\left( p,w\right) \)において少なくとも1つの商品は奢侈財ではない。したがって、少なくとも1つの商品は奢侈財ではない。
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効用最大化
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消費者が効用を最大化するという前提のもと、すべての商品の価格を一定にしたまま所得だけを変化させたときに生じる需要の変化を所得効果と呼びます。

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代替効果

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DISCUSSION

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