所得効果と需要の所得弾力性
所得効果と需要の所得弾力性について簡単に復習します。消費者の選好が消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)として表現されており、さらに、\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する状況を想定します。また、消費者が直面する経済的制約が予算対応\(B:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)として表現されているものとします。価格ベクトルと所得\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に直面した消費者が解くべき効用最大化問題は、以下のような制約付き最大化問題\begin{equation*}\max_{x\in \mathbb{R} _{+}^{N}}\ u\left( x\right) \quad \text{s.t.}\quad x\in B\left( p,w\right)
\end{equation*}として定式化されます。特に、選好関係\(\succsim \)が合理性、連続性、そして狭義凸性を満たす場合にはワルラスの需要関数\begin{equation*}x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}
\end{equation*}が存在するとともに連続であることが保証されます。ただし、需要関数\(x^{\ast }\)が価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して定める値\begin{equation*}x^{\ast }\left( p,w\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p,w\right) \\
\vdots \\
x_{N}^{\ast }\left( p,w\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}
\end{equation*}は、\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題の唯一の解に相当する\(N\)次元ベクトルであり、これを\(\left( p,w\right) \)のもとでの需要と呼びます。商品\(n\ \left( =1,\cdots ,N\right) \)を任意に選んだとき、それぞれの\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、商品\(n\)の需要\(x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{+}\)を値として定める多変数関数\begin{equation*}x_{n}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}
\end{equation*}が定義可能です。これを商品\(n\)の需要関数と呼びます。
商品\(n\)の需要関数\(x_{n}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が点\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)において変数\(w\)に関して偏微分可能である場合には、\(\left( p,w\right) \)における商品\(n\)の需要への所得効果を、\begin{equation*}\frac{\partial x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial w}
\end{equation*}と定義します。これは、\(\left( p,w\right) \)を出発点に所得だけを変化させたときに生じる商品\(n\)の需要の変化を表す指標です。ただし、所得効果の水準は商品や所得の単位に依存してしまうという問題があります。
商品\(n\)の需要関数\(x_{n}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が点\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)において変数\(w\)に関して偏微分可能である場合には、\(\left( p,w\right) \)における商品\(n\)の需要の所得弾力性を、\begin{equation*}\varepsilon _{nw}\left( p,w\right) =\frac{\partial x_{n}^{\ast }\left(
p,w\right) }{\partial w}\cdot \frac{w}{x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) }
\end{equation*}と定義します。これは、\(\left( p,w\right) \)を出発点として所得を\(1\)パーセント変化させた場合に商品\(n\)の需要が何パーセント変化するかを表す指標です。需要の所得弾力性は商品や所得の単位に依存しません。
上級財（正常財）
商品\(n\)の需要関数\(x_{n}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が所得\(w\)に関して偏微分可能であるものとします。価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right)\in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)における商品\(n\)の所得効果が正である場合には、すなわち、\begin{equation*}\frac{\partial x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial w}>0
\end{equation*}が成り立つ場合には、商品\(n\)は\(\left( p,w\right) \)において上級財（superior good at \(\left( p,w\right) \)）であるとか正常財（normal good）であるなどと言います。これは、消費者による効用最大化を前提とした場合に、\(\left( p,w\right) \)を出発点に消費者の所得だけを増加させると、商品\(n\)の需要が増加することを意味します。
商品\(n\)が上級財であるかどうかは\(\left( p,w\right) \)の水準によって変化し得ます。一方、任意の\(\left( p,w\right) \)において商品\(n\)が上級財である場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall \left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}:\frac{\partial x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial w}>0
\end{equation*}が成り立つ場合には、商品\(n\)を上級財（superior good）や正常財（normalgood）などと呼びます。これは、消費者による効用最大化を前提とした場合に、任意の\(\left( p,w\right) \)を出発点に消費者の所得だけを増加させると、商品\(n\)の需要が必ず増加することを意味します。数学的には、これは商品\(n\)の需要関数\(x_{n}^{\ast }\)が変数\(w\)に関して狭義の単調増加関数であることを意味します。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(0<\alpha _{n}<1\)です。\(\left( p,w\right) \)における商品\(n\)の需要への所得効果は、\begin{eqnarray*}\frac{\partial x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial w} &=&\frac{\partial }{\partial w}\left( \frac{\alpha _{n}w}{p_{n}}\right) \quad
\because x_{n}^{\ast }\text{の定義} \\
&=&\frac{\alpha _{n}}{p_{n}} \\
&>&0\quad \because 0<\alpha _{n}<1,\ p_{n}>0
\end{eqnarray*}ですが、これは\(\left( p,w\right) \)の水準に依存せず常に正であるため、商品\(n\)は上級財です。
商品が上級財であることを需要の所得弾力性を用いて以下のように表現できます。
\end{equation*}が成り立つことは、商品\(n\)が\(\left( p,w\right) \)において上級財であるための必要十分条件である。したがって、\(\varepsilon_{nw}\)が正の実数のみを値としてとることは、商品\(n\)が上級財であるための必要十分条件である。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(0<\alpha _{n}<1\)です。\(\left( p,w\right) \)における商品\(n\)の需要の所得弾力性は、\begin{eqnarray*}\varepsilon _{nw}\left( p,w\right) &=&\frac{\partial x_{n}^{\ast }\left(
p,w\right) }{\partial w}\cdot \frac{w}{x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) } \\
&=&\frac{\partial }{\partial w}\left( \frac{\alpha _{n}w}{p_{n}}\right)
\cdot \frac{w}{\frac{\alpha _{n}w}{p_{n}}}\quad \because x_{n}^{\ast }\text{の定義} \\
&=&\frac{\alpha _{n}}{p_{n}}\cdot \frac{p_{n}}{\alpha _{n}} \\
&=&1
\end{eqnarray*}ですが、これは\(\left( p,w\right) \)の水準に依存せず常に正であるため、商品\(n\)は上級財です。
中級財（中立財）
商品\(n\)の需要関数\(x_{n}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が所得\(w\)に関して偏微分可能であるものとします。価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right)\in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)における商品\(n\)の所得効果がゼロである場合には、すなわち、\begin{equation*}\frac{\partial x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial w}=0
\end{equation*}が成り立つ場合には、商品\(n\)は\(\left( p,w\right) \)において中級財（neutral good at \(\left( p,w\right) \)）であるとか中立財（neutral good）であるなどと言います。これは、消費者による効用最大化を前提とした場合に、\(\left( p,w\right) \)を出発点に消費者の所得だけを増加させても、商品\(n\)の需要が変化しないことを意味します。
商品\(n\)が中級財であるかどうかは\(\left( p,w\right) \)の水準によって変化し得ます。一方、任意の\(\left( p,w\right) \)において商品\(n\)が中級財である場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall \left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}:\frac{\partial x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial w}=0
\end{equation*}が成り立つ場合には、商品\(n\)を中級財（neutral good）や中立財（neutralgood）などと呼びます。これは、消費者による効用最大化を前提とした場合に、任意の\(\left( p,w\right) \)を出発点に消費者の所得だけを増加させても、商品\(n\)の需要が変化しないことを意味します。数学的には、これは商品\(n\)の需要関数\(x_{n}^{\ast }\)が変数\(w\)に関して定数関数であることを意味します。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(0<\alpha _{n}<1\)です。\(\left( p,w\right) \)における商品\(n\)の需要への所得効果は、\begin{eqnarray*}\frac{\partial x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial w} &=&\frac{\partial }{\partial w}\alpha _{n}\quad \because x_{n}^{\ast }\text{の定義} \\
&=&0
\end{eqnarray*}ですが、この結果は\(\left( p,w\right) \)の水準に依存しないため、商品\(n\)は中級財です。
商品が中級財であることを需要の所得弾力性を用いて以下のように表現できます。
\end{equation*}が成り立つことは、商品\(n\)が\(\left( p,w\right) \)において中級財であるための必要十分条件である。したがって、\(\varepsilon_{nw}\)がゼロのみを値としてとる定数関数であることは、商品\(n\)が中級財であるための必要十分条件である。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(0<\alpha _{n}<1\)です。\(\left( p,w\right) \)における商品\(n\)の需要の所得弾力性は、\begin{eqnarray*}\varepsilon _{nw}\left( p,w\right) &=&\frac{\partial x_{n}^{\ast }\left(
p,w\right) }{\partial w}\cdot \frac{w}{x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) } \\
&=&\frac{\partial }{\partial w}\alpha _{n}\cdot \frac{w}{\alpha _{n}}\quad
\because x_{n}^{\ast }\text{の定義} \\
&=&0\cdot \frac{w}{\alpha _{n}} \\
&=&0
\end{eqnarray*}ですが、この結果は\(\left( p,w\right) \)の水準に依存しないため、商品\(n\)は中級財です。
下級財（劣等財）
商品\(n\)の需要関数\(x_{n}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が所得\(w\)に関して偏微分可能であるものとします。価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right)\in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)における商品\(n\)の所得効果が負である場合には、すなわち、\begin{equation*}\frac{\partial x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial w}<0
\end{equation*}が成り立つ場合には、商品\(n\)は\(\left( p,w\right) \)において下級財（inferior good at \(\left( p,w\right) \)）であるとか劣等財（inferior good）であるなどと言います。これは、消費者による効用最大化を前提とした場合に、\(\left( p,w\right) \)を出発点に消費者の所得だけを増加させると、商品\(n\)の需要が減少することを意味します。
商品\(n\)が下級財であるかどうかは\(\left( p,w\right) \)の水準によって変化し得ます。一方、任意の\(\left( p,w\right) \)において商品\(n\)が下級財である場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall \left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}:\frac{\partial x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial w}<0
\end{equation*}が成り立つ場合には、商品\(n\)を下級財（inferior good）や劣等財（inferior good）などと呼びます。これは、消費者による効用最大化を前提とした場合に、任意の\(\left( p,w\right) \)を出発点に消費者の所得だけを増加させると、商品\(n\)の需要が必ず減少することを意味します。数学的には、これは商品\(n\)の需要関数\(x_{n}^{\ast }\)が変数\(w\)に関して狭義の単調減少関数であることを意味します。
商品が下級財であることを需要の所得弾力性を用いて以下のように表現できます。
\end{equation*}が成り立つことは、商品\(n\)が\(\left( p,w\right) \)において下級財であるための必要十分条件である。したがって、\(\varepsilon_{nw}\)が負の実数のみを値としてとることは、商品\(n\)が下級財であるための必要十分条件である。
必需財
商品\(n\)の需要関数\(x_{n}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{++}\)は正の実数を値としてとるとともに、所得\(w\)に関して偏微分可能であるものとします。先に定義したように、価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)において商品\(n\)が上級財であることは、\begin{equation*}\varepsilon _{nw}\left( p,w\right) >0
\end{equation*}が成り立つことを意味します。特に、\begin{equation*}
0<\varepsilon _{nw}\left( p,w\right) <1
\end{equation*}が成り立つ場合には、上級財\(n\)は\(\left( p,w\right) \)において必需財（necessitygoood at \(\left( p,w\right) \)）であると言います。これは、消費者による効用最大化を前提とした場合に、\(\left( p,w\right) \)を出発点に消費者の所得だけを増加させると需要もまた増加するとともに、所得の増加率よりも需要の増加率の方が小さいことを意味します。
商品\(n\)が必需財であるかどうかは\(\left( p,w\right) \)の水準によって変化し得ます。一方、任意の\(\left( p,w\right) \)において商品\(n\)が必需財である場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall \left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}:0<\varepsilon _{nw}\left( p,w\right) <1
\end{equation*}が成り立つ場合には、商品\(n\)を必需財（necessity good）と呼びます。これは、消費者による効用最大化を前提とした場合に、任意の\(\left( p,w\right) \)を出発点に消費者の所得だけを増加させると需要もまた増加するとともに、所得の増加率よりも需要の増加率の方が小さいことを意味します。
奢侈財
商品\(n\)の需要関数\(x_{n}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{++}\)は正の実数を値としてとるとともに、所得\(w\)に関して偏微分可能であるものとします。先に定義したように、価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)において商品\(n\)が上級財であることは、\begin{equation*}\varepsilon _{nw}\left( p,w\right) >0
\end{equation*}が成り立つことを意味します。特に、\begin{equation*}
\varepsilon _{nw}\left( p,w\right) >1
\end{equation*}が成り立つ場合には、上級財\(n\)は\(\left( p,w\right) \)において奢侈財（luxury at \(\left( p,w\right) \)）であると言います。これは、消費者による効用最大化を前提とした場合に、\(\left( p,w\right) \)を出発点に消費者の所得だけを増加させると需要もまた増加するとともに、所得の増加率よりも需要の増加率の方が大きいことを意味します。
商品\(n\)が奢侈財であるかどうかは\(\left( p,w\right) \)の水準によって変化し得ます。一方、任意の\(\left( p,w\right) \)において商品\(n\)が奢侈財である場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall \left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}:\varepsilon _{nw}\left( p,w\right) >1
\end{equation*}が成り立つ場合には、商品\(n\)を奢侈財（luxury）と呼びます。これは、消費者による効用最大化を前提とした場合に、任意の\(\left( p,w\right) \)を出発点に消費者の所得だけを増加させると需要もまた増加するとともに、所得の増加率よりも需要の増加率の方が大きいことを意味します。
需要の所得弾力性にもとづく商品の分類
繰り返しになりますが、商品\(n\)の需要関数\(x_{n}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が点\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)において変数\(w\)に関して偏微分可能である場合には、\(\left( p,w\right) \)における商品\(n\)の需要の所得弾力性を、\begin{equation*}\varepsilon _{nw}\left( p,w\right) =\frac{\partial x_{n}^{\ast }\left(
p,w\right) }{\partial w}\cdot \frac{w}{x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) }
\end{equation*}と定義します。需要の所得弾力性の値によって商品を分類しましたが、改めて整理すると、\begin{equation*}
\left( p,w\right) \text{において商品}n\text{は}\left\{
\begin{array}{l}
\text{上級財（}if\ \varepsilon _{nw}\left(
p,w\right) >0\text{）} \\
\text{中級財（}if\ \varepsilon _{nw}\left(
p,w\right) =0\text{）} \\
\text{下級財（}if\ \varepsilon _{nw}\left(
p,w\right) <0\text{）}\end{array}\right.
\end{equation*}であり、さらに上級財は、\begin{equation*}
\left( p,w\right) \text{において上級財}n\text{は}\left\{
\begin{array}{l}
\text{必需財（}if\ 0<\varepsilon _{nw}\left(
p,w\right) <1\text{）} \\
\text{奢侈財（}if\ 1<\varepsilon _{nw}\left(
p,w\right) \text{）}\end{array}\right.
\end{equation*}と分類されます。
所得の変化にともなうエンゲル係数の変化
商品\(n\)の需要関数\(x_{n}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{++}\)が与えられたとき、価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)における商品\(n\)への需要は\(x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) \)であるため、商品\(n\)への支出が所得\(w\)に占める割合は、\begin{equation*}\frac{p_{n}\cdot x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) }{w}
\end{equation*}となります。これを\(\left( p,w\right) \)における商品\(n\)のエンゲル係数（Engel’s coefficient）と呼びます。エンゲル係数と需要の所得弾力性の間には以下の関係が成立します。
p,w\right) }{w}\right] =\frac{p_{n}\cdot x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) }{w^{2}}\left[ \varepsilon _{nw}\left( p,w\right) -1\right] \end{equation*}が成立する。
以上の命題を踏まえると、所得\(w\)の変化にともない商品\(n\)のエンゲル係数が増えるかどうかを判定するためには、商品\(n\)の需要の所得弾力性を用いて以下の形で判定可能です。
x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) }{w}\right] >0\Leftrightarrow \varepsilon
_{nw}\left( p,w\right) >1 \\
&&\left( b\right) \ \frac{\partial }{\partial w}\left[ \frac{p_{n}\cdot
x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) }{w}\right] =0\Leftrightarrow \varepsilon
_{nw}\left( p,w\right) =1 \\
&&\left( c\right) \ \frac{\partial }{\partial w}\left[ \frac{p_{n}\cdot
x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) }{w}\right] <0\Leftrightarrow \varepsilon
_{nw}\left( p,w\right) <1
\end{eqnarray*}が成り立つ。
以上の命題より、\(\left(p,w\right) \)において商品\(n\)が奢侈財であれば、そこから所得が増加したときに商品\(n\)のエンゲル係数は増加します。また、\(\left( p,w\right) \)において商品\(n\)が奢侈財ではない場合には、そこから所得が増加したときに商品\(n\)のエンゲル係数は減少します。
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