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等価変分

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価格変化がもたらす消費者厚生の変化を測る指標(補償変分と等価変分)

消費者の選好が消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)として表現されており、さらに、\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する状況を想定します。また、消費者が直面する経済的制約が予算対応\(B:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)として表現されているものとします。価格ベクトルと所得\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に直面した消費者が解くべき効用最大化問題は、以下のような制約付き最大化問題\begin{equation*}\max_{x\in \mathbb{R} _{+}^{N}}\ u\left( x\right) \quad \text{s.t.}\quad x\in B\left( p,w\right)
\end{equation*}として定式化されます。特に、選好関係\(\succsim \)が合理性、連続性、そして狭義凸性を満たす場合にはワルラスの需要関数\begin{equation*}x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}
\end{equation*}が存在することが保証されます。ただし、需要関数\(x^{\ast }\)が価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して定める値\begin{equation*}x^{\ast }\left( p,w\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p,w\right) \\
\vdots \\
x_{N}^{\ast }\left( p,w\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}
\end{equation*}は、\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題の唯一の解に相当する\(N\)次元ベクトルであり、これを\(\left( p,w\right) \)のもとでの需要と呼びます。同様の条件のもとでは間接効用関数\begin{equation*}v:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が存在することが保証されます。ただし、間接効用関数\(v\)が価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して定める値は\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題の解において消費者が得る効用であり、したがって需要関数\(x^{\ast }\)と間接効用関数\(v\)の間には以下の関係\begin{equation*}v\left( p,w\right) =u\left( x^{\ast }\left( p,w\right) \right)
\end{equation*}が成立します。

一方、価格ベクトルと目標効用\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)に直面した消費者が解くべき支出最小化問題は、以下のような制約付き最小化問題\begin{equation*}\min_{x\in X}\ p\cdot x\quad \text{s.t.}\quad u\left( x\right) \geq v
\end{equation*}として定式化されます。ただし、\begin{equation*}
U=\left\{ v\in u\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \ |\ v\geq u\left( 0\right) \right\}
\end{equation*}です。特に、選好関係\(\succsim \)が合理性、連続性、そして狭義凸性を満たす場合にはヒックスの補償需要関数\begin{equation*}h^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}
\end{equation*}が存在することが保証されます。ただし、補償需要関数\(h^{\ast }\)が価格ベクトルと目標効用の組\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)に対して定める値\begin{equation*}h^{\ast }\left( p,v\right) =\left(
\begin{array}{c}
h_{1}^{\ast }\left( p,v\right) \\
\vdots \\
h_{N}^{\ast }\left( p,v\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}
\end{equation*}は、\(\left( p,v\right) \)のもとでの支出最小化問題の唯一の解に相当する\(N\)次元ベクトルであり、これを\(\left( p,v\right) \)のもとでの補償需要と呼びます。同様の条件のもとでは支出関数\begin{equation*}e:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が存在することが保証されます。ただし、支出関数\(e\)が価格ベクトルと目標効用の組\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)に対して定める値は\(\left( p,v\right) \)のもとでの支出最小化問題の解において消費者が直面する支出であり、したがって補償需要関数\(x^{\ast }\)と支出関数\(e\)の間には以下の関係\begin{equation*}e\left( p,v\right) =p\cdot h^{\ast }\left( p,v\right)
\end{equation*}が成立します。

さて、消費者による効用最大化を前提とした場合、価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right)\in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に直面した消費者が得る効用は、\begin{equation*}v\left( p,w\right)
\end{equation*}です。所得\(w\)を固定したまま価格ベクトルだけが\(\Delta p\)だけ変化して\(p+\Delta p\)となった場合、消費者が得る効用は、\begin{equation*}v\left( p+\Delta p,w\right)
\end{equation*}へと変化します。したがって、価格が変化する前後において消費者の効用は、\begin{equation*}
v\left( p+\Delta p,w\right) -v\left( p,w\right)
\end{equation*}だけ変化します。ただ、これを価格変化がもたらす消費者厚生の変化を測る指標として採用することはできません。消費者の選好を表現する効用関数は一意的に定まらないため、効用の絶対的な水準は採用する効用関数に依存して変化してしまいます。間接効用関数は効用関数を用いて定義されるため、間接効用の差の大きさもまた採用する効用関数に依存して変化してしまいます。したがって、価格変化がもたらす消費者厚生の変化を測る指標として間接効用の差を採用することはできません。

以上の問題意識を踏まえた上で、価格変化がもたらす消費者厚生の変化を測る指標として補償変分と等価変分の2つの概念を導入しました。簡単に復習します。

所得\(w\)が一定のまま価格ベクトル\(p\)だけが\(\Delta p\)だけ変化した後の時点において、消費者の所得を\(\Delta w\)だけ変化させれば価格変化前と同じ効用水準を得られるのであれば、すなわち、\begin{equation}v\left( p+\Delta p,w+\Delta w\right) =v\left( p,w\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす\(\Delta w\)を特定できるのであれば、\(\Delta w\)の大きさは価格変化\(\Delta p\)がもたらす消費者厚生の変化の大きさを所得に換算して表現したものであると言えます。そこで、\(\left( 1\right) \)を満たす\(\Delta w\)に負の記号をつけたものを、\begin{equation*}CV=-\Delta w
\end{equation*}で表記し、これを補償変分と定義しました。つまり、補償変分とは以下の関係\begin{equation*}
v\left( p+\Delta p,w-CV\right) =v\left( p,w\right)
\end{equation*}を満たすものとして定義されます。補償変分の値は出発点とする価格ベクトルと所得\(\left( p,w\right) \)および価格変化後の価格ベクトル\(p+\Delta p\)に依存するため、そのことを明示したい場合には、\begin{equation*}CV=CV\left( p,p+\Delta p,w\right)
\end{equation*}で表記します。特に、所得\(w\)と商品\(n\)以外のすべての商品の価格\(p_{-n}\)は一定のまま商品\(n\)の価格\(p_{n}\)だけが\(\Delta p_{n}\)だけ変化した場合の補償変分\begin{equation*}CV=CV\left( p,\left( p_{n}+\Delta p_{n},p_{-n}\right) ,w\right)
\end{equation*}は、\begin{equation*}
v\left( p_{n}+\Delta p_{n},p_{-n},w-CV\right) =v\left( p,w\right)
\end{equation*}を満たすものとして定義されますが、一定の条件のもとでは、これは補償需要関数を積分することにより導出可能であることを明らかにしました。

命題(補償需要関数を用いた補償変分の表現)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と連続性、局所非飽和性、狭義凸性を満たすものとする。この場合、需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)と補償需要関数\(h^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)が存在するとともに、間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)と支出関数\(e:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する。ただし、\begin{equation*}U=\{v\in u\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \ |\ v>u\left( 0\right) \}
\end{equation*}である。さらに、\(u,h^{\ast},e\)はいずれも\(C^{1}\)級であるものとする。加えて、\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)を任意に選んだときに、\begin{equation*}\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :\frac{\partial u\left( h^{\ast
}\left( p,v\right) \right) }{\partial x_{i}}\not=0
\end{equation*}が成り立つものとする。以上の条件のもとでは、価格ベクトルと所得\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)および商品\(n\in \left\{ 1,\cdots,N\right\} \)とその変化量\(\Delta p_{n}\)をそれぞれ任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}CV\left( p,\left( p_{n}+\Delta p_{n},p_{-n}\right) ,w\right)
=\int_{p_{n}+\Delta p_{n}}^{p_{n}}h_{n}^{\ast }\left( x,p_{-n},v\left(
p,w\right) \right) dx
\end{equation*}が成り立つ。

所得\(w\)が一定のまま価格ベクトル\(p\)だけが\(\Delta p\)だけ変化することを見越した場合に、現時点において所得を\(\Delta w\)だけ変化させれば価格変化後と同じ水準の効用を現時点において得られるのであれば、すなわち、\begin{equation}v\left( p+\Delta p,w\right) =v\left( p,w+\Delta w\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす\(\Delta w\)を特定できるのであれば、\(\Delta w\)の大きさは価格変化\(\Delta p\)がもたらすであろう消費者厚生の変化の大きさを所得に換算して表現したものであると言えます。そこで、\(\left( 1\right) \)を満たす\(\Delta w\)を、\begin{equation*}EV=\Delta w
\end{equation*}で表記し、これを等価変分と定義しました。つまり、等価変分とは以下の関係\begin{equation*}
v\left( p+\Delta p,w\right) =v\left( p,w+EV\right)
\end{equation*}を満たすものとして定義されます。等価変分の値は出発点とする価格ベクトルと所得\(\left( p,w\right) \)および価格変化後の価格ベクトル\(p+\Delta p\)に依存するため、そのことを明示したい場合には、\begin{equation*}EV=EV\left( p,p+\Delta p,w\right)
\end{equation*}で表記します。特に、所得\(w\)と商品\(n\)以外のすべての商品の価格\(p_{-n}\)は一定のまま商品\(n\)の価格\(p_{n}\)だけが\(\Delta p_{n}\)だけ変化した場合の等価変分\begin{equation*}EV=CV\left( p,\left( p_{n}+\Delta p_{n},p_{-n}\right) ,w\right)
\end{equation*}は、\begin{equation*}
v\left( p_{n}+\Delta p_{n},p_{-n},w\right) =v\left( p,w+EV\right)
\end{equation*}を満たすものとして定義されますが、一定の条件のもとでは、これは補償需要関数を積分することにより導出可能であることを明らかにしました。

命題(補償需要関数を用いた等価変分の表現)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と連続性、局所非飽和性、狭義凸性を満たすものとする。この場合、需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)と補償需要関数\(h^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)が存在するとともに、間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)と支出関数\(e:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する。ただし、\begin{equation*}U=\{v\in u\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \ |\ v>u\left( 0\right) \}
\end{equation*}である。さらに、\(u,h^{\ast},e\)はいずれも\(C^{1}\)級であるものとする。加えて、\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)を任意に選んだときに、\begin{equation*}\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :\frac{\partial u\left( h^{\ast
}\left( p,v\right) \right) }{\partial x_{i}}\not=0
\end{equation*}が成り立つものとする。以上の条件のもとでは、価格ベクトルと所得\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)および商品\(n\in \left\{ 1,\cdots,N\right\} \)とその変化量\(\Delta p_{n}\)をそれぞれ任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}EV\left( p,\left( p_{n}+\Delta p_{n},p_{-n}\right) ,w\right)
=\int_{p_{n}+\Delta p_{n}}^{p_{n}}h_{n}^{\ast }\left( x,p_{-n},v\left(
p_{n}+\Delta p_{n},p_{-n},w\right) \right) dx
\end{equation*}が成り立つ。

 

消費者余剰

補償変分と等価変分はいずれも価格変化がもたらす消費者厚生の変化を測る指標として十分な根拠があります。加えて、これらはいずれも補償需要関数から導出可能です。ただ、通常の需要関数とは異なり、補償需要関数を観察するのは困難であるため、補償変分や等価変分を具体的に測定するのは困難です。一方、通常の需要関数は比較的容易に観察できるため、需要関数から導出可能な指標を用いて補償変分や等価変分を近似的に表現できるのであれば、次善の策として望ましいということになります。そこで登場するのが消費者余剰(consumer surplus)と呼ばれる指標です。順番に説明します。

価格ベクトルと所得\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)および商品\(n\in \left\{ 1,\cdots,N\right\} \)を任意に選びます。\(\left( p,w\right) \)を出発点として所得\(w\)および商品\(n\)以外の商品の価格\(p_{-n}\)を固定したまま、商品\(n\)の価格\(p_{n}\)だけを\(\Delta p_{n}\)だけ変化させる状況を想定します。この価格変化に対応する補償変分\begin{equation*}CV=CV\left( p,\left( p_{n}+\Delta p_{n},p_{-n}\right) ,w\right)
\end{equation*}は、\begin{equation*}
v\left( p_{n}+\Delta p_{n},p_{-n},w-CV\right) =v\left( p,w\right)
\end{equation*}を満たすものとして定義されますが、先の命題より、これは、\begin{equation*}
CV=\int_{p_{n}+\Delta p_{n}}^{p_{n}}h_{n}^{\ast }\left( x,p_{-n},v\left(
p,w\right) \right) dx
\end{equation*}として導出可能です。つまり、価格変化前の商品\(n\)の補償需要関数\(h_{n}^{\ast }\left( p,v\left( p,w\right) \right) \)を商品\(n\)の価格に関する1変数関数とみなした上で、それを変化前の価格\(p_{n}\)と変化後の価格\(p_{n}+\Delta p_{n}\)を端点とする区間上で積分すれば補償変分\(CV\)が得られます。下図では\(\Delta p_{n}>0\)である状況、すなわち商品\(n\)の価格が上昇した場合の\(CV\)を図示しています。

図:補償変分
図:補償変分

一方、先の価格変化に対応する等価変分\begin{equation*}
EV=EV\left( p,\left( p_{n}+\Delta p_{n},p_{-n}\right) ,w\right)
\end{equation*}は、\begin{equation*}
v\left( p_{n}+\Delta p_{n},p_{-n},w\right) =v\left( p,w+EV\right)
\end{equation*}を満たすものとして定義されますが、先の命題より、これは、\begin{equation*}
EV=\int_{p_{n}+\Delta p_{n}}^{p_{n}}h_{n}^{\ast }\left( x,p_{-n},v\left(
p_{n}+\Delta p_{n},p_{-n},w\right) \right) dx
\end{equation*}として導出可能です。つまり、価格変化後の商品\(n\)の補償需要関数\(h_{n}^{\ast }\left( p,v\left( p_{n}+\Delta p_{n},p_{-n},w\right) \right) \)を商品\(n\)の価格に関する1変数関数とみなした上で、それを変化前の価格\(p_{n}\)と変化後の価格\(p_{n}+\Delta p_{n}\)を端点とする区間上で積分すれば等価変分\(EV\)が得られます。下図では\(\Delta p_{n}>0\)である状況、すなわち商品\(n\)の価格が上昇した場合の\(EV\)を図示しています。商品\(n\)の補償需要曲線が価格上昇後に左へシフトしているのは、商品\(n\)が普通財である状況を想定しているからです。

図:等価変分
図:等価変分

価格変化前の商品\(n\)の補償需要関数\(h_{n}^{\ast }\left(p,v\left( p,w\right) \right) \)を観察できれば補償変分\(CV\)を特定でき、価格変化後の商品\(n\)の補償需要関数\(h_{n}^{\ast }\left( p,v\left( p_{n}+\Delta p_{n},p_{-n},w\right) \right) \)を観察できれば等価変分\(EV\)を特定できます。ただ、実際には補償需要関数を観察するのは困難です。そこで、観察が比較的容易な需要関数を用いて補償変分\(CV\)ないし等価変分\(EV\)の近似値を得ることを考えます。

図:消費者余剰
図:消費者余剰

図中の点\(A\)における商品\(n\)の補償需要は、\begin{equation*}h_{n}^{\ast }\left( p_{n}+\Delta p_{n},p_{-n},v\left( p_{n}+\Delta
p_{n},p_{-n},w\right) \right)
\end{equation*}ですが、需要関数と補償需要関数の関係より、これは、商品\(n\)の需要\begin{equation*}x_{n}^{\ast }\left( p_{n}+\Delta p_{n},p_{-n},w\right)
\end{equation*}と一致します。一方、図中の点\(B\)における商品\(n\)の補償需要は、\begin{equation*}h_{n}^{\ast }\left( p,v\left( p,w\right) \right)
\end{equation*}ですが、需要関数と補償需要関数の関係より、これは、商品\(n\)の需要\begin{equation*}x_{n}^{\ast }\left( p,w\right)
\end{equation*}と一致します。したがって、商品\(n\)の需要関数\(x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) \)のグラフは2つの点\(A,B\)を通過することが明らかになりました。

図から明らかであるように、変化前の価格\(p_{n}\)と変化後の価格\(p_{n}+\Delta p_{n}\)を端点とする区間上において、商品\(n\)の需要関数\(x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) \)は、価格変化前の商品\(n\)の補償需要関数\(h_{n}^{\ast }\left( p,v\left( p,w\right) \right) \)と価格変化後の補償需要関数\(h_{n}^{\ast }\left( p,v\left( p_{n}+\Delta p_{n},p_{-n},w\right)\right) \)によって挟まれています。したがって、以下の関係\begin{eqnarray*}&&\int_{p_{n}+\Delta p_{n}}^{p_{n}}h_{n}^{\ast }\left( x,p_{-n},v\left(
p_{n}+\Delta p_{n},p_{-n},w\right) \right) dx \\
&\leq &\int_{p_{n}+\Delta p_{n}}^{p_{n}}x_{n}^{\ast }\left(
x,p_{-n},w\right) dx \\
&\leq &\int_{p_{n}+\Delta p_{n}}^{p_{n}}h_{n}^{\ast }\left( x,p_{-n},v\left(
p,w\right) \right) dx
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
EV\leq \int_{p_{n}+\Delta p_{n}}^{p_{n}}x_{n}^{\ast }\left(
x,p_{-n},w\right) dx\leq CV
\end{equation*}が成り立ちます。

図:消費者余剰
図:消費者余剰

以上の議論では\(\Delta p_{n}>0\)かつ商品\(n\)が普通財である状況を想定しましたが、他のケースについても不等号の向きが変わるだけで、同様の結論が得られます。したがって、すべてのケースの議論の結論をまとめて表現すると、\begin{equation*}\min \left\{ CV,EV\right\} \leq \int_{p_{n}+\Delta p_{n}}^{p_{n}}x_{n}^{\ast
}\left( x,p_{-n},w\right) dx\leq \max \left\{ CV,EV\right\}
\end{equation*}となります。つまり、商品\(n\)の需要関数\(x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) \)を商品\(n\)の価格に関する1変数関数とみなした上で、それを変化前の価格\(p_{n}\)と変化後の価格\(p_{n}+\Delta p_{n}\)を端点とする区間上で積分して得られる値は、補償変分\(CV\)と等価変分\(EV\)の間の値になることが保証されるということです。したがって、この指標は補償変分\(CV\)や等価変分\(EV\)を近似していると言えます。そこで、この値を消費者余剰(consumer surplus)と呼び、\begin{equation*}CS=\int_{p_{n}+\Delta p_{n}}^{p_{n}}x_{n}^{\ast }\left( x,p_{-n},w\right) dx
\end{equation*}で表記します。消費者余剰の値は出発点とする価格ベクトルと所得\(\left( p,w\right) \)および価格変化後の価格ベクトル\(\left( p_{n}+\Delta p_{n},p_{-n}\right) \)に依存するため、そのことを明示したい場合には、\begin{equation*}CS=CS\left( p,\left( p_{n}+\Delta p_{n},p_{-n}\right) ,w\right)
\end{equation*}で表記します。先の議論より、以下の関係\begin{equation*}
\min \left\{ CV,EV\right\} \leq CS\leq \max \left\{ CV,EV\right\}
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。

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