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CONSUMER THEORY

有限集合上の効用関数の存在条件

有限な消費集合上に定義された選好関係を表す効用関数

一般に、選好関係を表現する効用関数は存在するとは限りません。では、どのような条件のもとで選好関係を表す効用関数が存在することを保証できるのでしょうか。実は、消費集合\(X\subset \mathbb{R}^{N}\)が有限集合である場合、\(X\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性を満たすのであれば、それを表す効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R}\)が存在することを保証できます。しかも、そのような関数\(u\)を具体的に構成できます。まずは、そのような関数\(u\)の候補を提示します。

消費ベクトル\(x\in X\)を任意に選んだときに、その下方位集合は、\begin{equation*}
L\left( x\right) =\left\{ y\in X\ |\ x\succsim y\right\}
\end{equation*}と定義されます。つまり、\(L\left( x\right) \)は\(\succsim \)のもとで\(x\)と同等であるか\(x\)より望ましくない消費ベクトルからなる集合です。以上を踏まえた上で、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}
u\left( x\right) =\#L\left( x\right)
\end{equation*}を定める関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R}\)を定義します。ただし、\(\#L\left( x\right) \)は集合\(L\left( x\right) \)の要素の個数を表す記号です。仮定より消費集合\(X\)は有限集合であるため、その部分集合\(L\left( x\right) \)もまた有限集合であることから、任意の\(x\)に対して\(\#L\left( x\right) \)すなわち\(u\left( x\right) \)は非負の整数となります。

例(有限な消費集合上に定義された関数)
消費集合\(X\)が有限集合であり、それらの要素が、\begin{equation*}
X=\left\{ x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします。さらに、\(X\)上に定義された選好関係\(\succsim \)は合理性を満たすともに、\begin{equation}
x_{3}\succ x_{1}\sim x_{5}\succ x_{2}\sim x_{4} \quad ots (1)
\end{equation}を満たすものとします。このとき、先の関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R}\)がそれぞれの消費ベクトル\(x\in X\)対して定める値は、\begin{eqnarray*}
u\left( x_{1}\right) &=&\#L\left( x_{1}\right) =\#\left\{
x_{1},x_{2},x_{4},x_{5}\right\} =4 \\
u\left( x_{2}\right) &=&\#L\left( x_{2}\right) =\#\left\{
x_{2},x_{4}\right\} =2 \\
u\left( x_{3}\right) &=&\#L\left( x_{3}\right) =\#\left\{
x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}\right\} =5 \\
u\left( x_{4}\right) &=&\#L\left( x_{4}\right) =\#\left\{
x_{2},x_{4}\right\} =2 \\
u\left( x_{5}\right) &=&\#L\left( x_{5}\right) =\#\left\{
x_{1},x_{2},x_{4},x_{5}\right\} =4
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation}
u\left( x_{3}\right) >u\left( x_{1}\right) =u\left( x_{5}\right) >u\left(
x_{2}\right) =u\left( x_{4}\right) \quad ots (2)
\end{equation}が成り立ちます。\(\left( 1\right) \)と\(\left( 2\right) \)を見比べると、\(\succsim \)のもとでの消費ベクトルどうしの相対的な望ましさが効用の大小関係としてもそのまま表現されているため、すなわち、\begin{eqnarray*}
\forall x,y &\in &X:\left[ x\succ y\Leftrightarrow u\left( x\right) >u\left(
y\right) \right] \\
\forall x,y &\in &X:\left[ x\sim y\Leftrightarrow u\left( x\right) =u\left(
y\right) \right] \end{eqnarray*}という関係がともに成り立っているため、\(u\)は\(\succsim \)を表す効用関数です。

上の例が示唆するように、有限な消費集合\(X\)上に定義された選好関係\(\succsim \)が合理性を満たす場合、先のように定義された関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R}\)は\(\succsim \)を表現する効用関数になります。つまり、消費ベクトル\(x,y\in X\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
x\succsim y\Leftrightarrow u\left( x\right) \geq u\left( y\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。証明は以下の通りです。

まずは\(\Rightarrow \)の証明です。\(x\succsim y\)を満たす消費ベクトル\(x,y\in X\)を任意に選びます。このとき、任意の\(z\in X\)について、\begin{eqnarray*}
z\in L\left( y\right) &\Leftrightarrow &y\succsim z\quad \because L\left(
\cdot \right) \text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &y\succsim z\wedge x\succsim y\quad \because x\succsim y \\
&\Rightarrow &x\succsim z\quad \because \text{推移性} \\
&\Leftrightarrow &z\in L\left( x\right) \quad \because L\left( \cdot \right)
\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
L\left( y\right) \subset L\left( x\right)
\end{equation*}であることが示されました。\(L\left( x\right) \)と\(L\left( y\right) \)はともに有限集合であるため、このとき、\begin{equation*}
\#L\left( y\right) \leq \#L\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちますが、関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R}\)の定義より、これは、\begin{equation*}
u\left( y\right) \leq u\left( x\right)
\end{equation*}であることを意味するため証明が完了しました。

\(\Leftarrow \)の証明は演習問題とします(対偶を示してください)。

命題(有限集合上の効用関数の存在条件)
消費集合\(X\subset \mathbb{R}^{N}\)が有限集合であるとともに、\(X\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性を満たす場合には、\(\succsim \)を表す効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R}\)が存在する。具体的には、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}
u\left( x\right) =\#L\left( x\right)
\end{equation*}を定める関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R}\)はそのような関数の一例である。
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次回は可算集合上に定義された選好関係を表す効用関数が存在するための条件について解説します。

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