レオンチェフ効用関数のもとでの支出最小化問題
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)がレオンチェフ型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)によって表現されているものとします。つまり、\(u\)がそれぞれの消費ベクトル\(x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して定める効用が、\begin{equation*}u\left( x\right) =\min \left\{ \alpha _{1}x_{1},\cdots ,\alpha
_{N}x_{N}\right\}
\end{equation*}であるということです。ただし、\(\alpha _{1},\cdots ,\alpha_{N}>0\)です。
レオンチェフ型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)は単調増加な連続関数であるとともに、\begin{equation*}u\left( 0\right) =\min \left\{ 0,\cdots ,0\right\} =0
\end{equation*}であることを踏まえると、\(u\)の値域は、\begin{equation*}u\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) =\mathbb{R} _{+}
\end{equation*}となります。価格ベクトルと目標効用水準の組\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{+}\)のもとでの支出最小化問題は、
$$\begin{array}{cl}\min\limits_{\left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) } & p\cdot x \\
s.t. & \min \left\{ \alpha _{1}x_{1},\cdots ,\alpha _{N}x_{N}\right\} \geq v \\
& x_{1}\geq 0 \\
& \vdots \\
& x_{N}\geq 0\end{array}$$
と定式化されます。レオンチェフ型効用関数\(u\)は連続であるため、上の支出最小化問題には解が存在することが保証されます。
レオンチェフ型効用関数のもとでの補償需要関数
価格ベクトルと目標効用水準の組\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{+}\)が与えられたとき、目標効用水準が\(v=0\)である場合、ゼロベクトル\(0\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)が支出最小化問題の解になります。そこで以降では\(v>0\)の場合について考えます。レオンチェフ型効用関数\(u\)は消費集合の内点\(x\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)において\(u\left( x\right) >0\)を満たす一方、境界点\(x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\backslash \mathbb{R} _{++}^{N}\)において\(u\left( x\right) =0\)を満たします。したがって、消費集合の境界点は\(v>0\)を満たす\(\left(p,v\right) \)のもとでの支出最小化問題の解になり得ないため、比較対象となる消費ベクトルを消費集合の内部\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)の点に制限しても一般性は失われません。言い換えると、\(v>0\)を満たす\(\left( p,v\right) \)を前提としたとき、レオンチェフ型効用関数のもとでの支出最小化問題の解は内点解であることが保証されます。加えて、レオンチェフ型効用関数は連続であるため支出最小化問題の解において消費者は目標水準と等しい効用を得ます。以上を踏まえると、\(\left( p,v\right) \)のもとでの支出最小化問題を、
$$\begin{array}{cl}\min\limits_{\left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) } & p\cdot x \\
s.t. & \min \left\{ \alpha _{1}x_{1},\cdots ,\alpha _{N}x_{N}\right\} =v
\\
& x_{1}>0 \\
& \vdots \\
& x_{N}>0
\end{array}$$
と表現しても一般性は失われません。この問題を解くことにより以下が得られます。
\end{equation*}を定める。
_{2}x_{2}\right\}
\end{equation*}を定めます。ただし、\(\alpha _{1},\alpha _{2}>0\)です。上の命題より、商品\(n\ \left(=1,2\right) \)の補償需要関数\(h_{n}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(\left(p_{1},p_{2},v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}h_{n}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) =\frac{v}{\alpha _{n}}
\end{equation*}を定めます。
_{2}x_{2},\alpha _{3}x_{3}\right\}
\end{equation*}を定めます。ただし、\(\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}>0\)です。上の命題より、商品\(n\ \left( =1,2,3\right) \)の補償需要関数\(h_{n}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{3}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(\left(p_{1},p_{2},p_{3},v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{3}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}h_{n}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},p_{3},v\right) =\frac{v}{\alpha _{n}}
\end{equation*}を定めます。
レオンチェフ型効用関数のもとでの支出関数
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)がレオンチェフ型効用関数として表される場合には補償関数が存在することが明らかになりました。したがって、補償需要関数を支出を表す式\(p\cdot x\)に代入することにより支出関数が得られます。
\end{equation*}を定める。
_{2}x_{2}\right\}
\end{equation*}を定めます。ただし、\(\alpha _{1},\alpha _{2}>0\)です。上の命題より、支出関数\(e:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、これはそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2},v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}e\left( p_{1},p_{2},v\right) =v\left( \frac{p_{1}}{\alpha _{1}}+\frac{p_{2}}{\alpha _{2}}\right)
\end{equation*}を定めます。
_{2}x_{2},\alpha _{3}x_{3}\right\}
\end{equation*}を定めます。ただし、\(\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}>0\)です。上の命題より、支出関数\(e:\mathbb{R} _{++}^{3}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、これはそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2},p_{3},v\right)\in \mathbb{R} _{++}^{3}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}e\left( p_{1},p_{2},p_{3},v\right) =v\left( \frac{p_{1}}{\alpha _{1}}+\frac{p_{2}}{\alpha _{2}}+\frac{p_{3}}{\alpha _{3}}\right)
\end{equation*}を定めます。
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