相似拡大性を満たす選好関係
\(N\)種類の商品が存在する経済を想定した上で、消費者が直面する個々の選択肢を\(N\)次元ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{x}=\left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) \in \mathbb{R} ^{N}
\end{equation*}として表現します。ただし、このベクトル\(\boldsymbol{x}\)の第\(n\)成分\(x_{n}\)は商品\(n\)の消費量を表します。消費者が選択可能なすべてのベクトルからなる集合を消費集合\begin{equation*}X\subset \mathbb{R} ^{N}
\end{equation*}として表現します。消費集合\(X\)に直面した消費者は、\(X\)の要素である消費ベクトルどうしを比較しながら自身にとって最も望ましい消費ベクトルを選択します。そこで、消費者が持つ好みの体系を\(X\)上の二項関係\(\succsim \)として定式化し、これを選好関係と呼びます。具体的には、2つの消費ベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in X\)を任意に選んだときに、\begin{equation*}\boldsymbol{x}\succsim \boldsymbol{y}\Leftrightarrow \text{消費者は}\boldsymbol{x}\text{を}\boldsymbol{y}\text{以上に好む}
\end{equation*}を満たすものとして\(\succsim \)を定義します。
消費集合が\(X=\mathbb{R} _{+}^{N}\)である状況を想定します。その上で、消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} _{+}^{N}:\left( \boldsymbol{x}\sim \boldsymbol{y}\Rightarrow \forall \alpha
\in \mathbb{R} _{++}:\alpha \boldsymbol{x}\sim \alpha \boldsymbol{y}\right)
\end{equation*}を満たす場合には、つまり、無差別な2つの消費ベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\)を任意に選んだとき、すべての商品の消費量を同じ割合\(\alpha \)で変化させることにより得られる消費ベクトル\(\alpha \boldsymbol{x},\alpha \boldsymbol{y}\)もまた無差別であることが保証される場合には、\(\succsim \)は相似拡大性（homothetic）を満たすとか、ホモセティック（homothetic）であるなどと言います。
\end{equation}を満たすものとして定義されているものとします。つまり、商品の消費量が多いほど望ましいという選好です。\(x\sim y\)を満たす消費ベクトル\(x,y\in \mathbb{R} _{+}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}x\sim y &\Leftrightarrow &x\succsim y\wedge y\succsim x\quad \because \sim
\text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &x\geq y\wedge y\geq x\quad \because \left( 1\right) \\
&\Leftrightarrow &x=y
\end{eqnarray*}が成り立ちます。\(x=y\)ゆえに、正の実数\(\alpha \in \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき\(\alpha x=\alpha y\)が成り立ち、さらに、\begin{eqnarray*}\alpha x=\alpha y &\Leftrightarrow &ax\geq ay\wedge ay\geq ax \\
&\Leftrightarrow &ax\succsim ay\wedge ay\succsim ax\quad \because \left(
1\right) \\
&\Leftrightarrow &\alpha x\sim \alpha y\quad \because \sim \text{の定義}
\end{eqnarray*}を得ます。以上より、\(\left( 1\right) \)を満たすものとして定義される\(\succsim \)は相似拡大性を満たすことが明らかになりました。
y_{1}y_{2} \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たすものとして定義されているものとします。つまり、2種類の商品の消費量の積が多いほど望ましいという選好です。\(\boldsymbol{x}\sim \boldsymbol{y}\)を満たす消費ベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{x}\sim \boldsymbol{y} &\Leftrightarrow &\boldsymbol{x}\succsim
\boldsymbol{y}\wedge \boldsymbol{y}\succsim \boldsymbol{x}\quad \because
\sim \text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &x_{1}x_{2}\geq y_{1}y_{2}\wedge y_{1}y_{2}\geq
x_{1}x_{2}\quad \because \left( 1\right) \\
&\Leftrightarrow &x_{1}x_{2}=y_{1}y_{2}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。\(x_{1}x_{2}=y_{1}y_{2}\)ゆえに、正の実数\(\alpha \in \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき\(\alpha x_{1}x_{2}=\alpha y_{1}y_{2}\)が成り立つため、\begin{eqnarray*}\alpha x_{1}x_{2}=\alpha y_{1}y_{2} &\Leftrightarrow &\alpha
^{2}x_{1}x_{2}=\alpha ^{2}y_{1}y_{2}\quad \because \alpha >0 \\
&\Leftrightarrow &\alpha ^{2}x_{1}x_{2}\geq \alpha ^{2}y_{1}y_{2}\wedge
\alpha ^{2}y_{1}y_{2}\geq \alpha ^{2}x_{1}x_{2} \\
&\Leftrightarrow &\alpha x_{1}\alpha x_{2}\geq \alpha y_{1}\alpha
y_{2}\wedge \alpha y_{1}\alpha y_{2}\geq \alpha x_{1}\alpha x_{2} \\
&\Leftrightarrow &a\boldsymbol{x}\succsim a\boldsymbol{y}\wedge a\boldsymbol{y}\succsim a\boldsymbol{x}\quad \because \left( 1\right) \\
&\Leftrightarrow &\alpha \boldsymbol{x}\sim \alpha \boldsymbol{y}\quad
\because \sim \text{の定義}
\end{eqnarray*}を得ます。以上より、\(\left( 1\right) \)を満たすものとして定義される\(\succsim \)は相似拡大性を満たすことが明らかになりました。
\left( y_{2}-1\right) \geq \left( x_{1}-1\right) \left( x_{2}-1\right)
\right\}
\end{equation*}を定義します。つまり、2種類の商品の消費量の消費量がともに\(1\)以上であり、そこから先は余剰部分の積が\(\left( x_{1}-1\right) \left( x_{2}-1\right) \)以上であるような消費ベクトルからなる集合が\(B\left( \boldsymbol{x}\right) \)です。その上で、任意の\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{y}\succsim \boldsymbol{x}\Leftrightarrow \boldsymbol{y}\in
B\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}を満たすものとして\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)を定義します。この選好関係\(\succsim \)は相似拡大性を満たしません。つまり、\begin{equation*}\exists \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} _{+}^{2}:\left[ \boldsymbol{x}\sim \boldsymbol{y}\wedge \exists \alpha \in \mathbb{R} _{++}:\lnot \left( \alpha \boldsymbol{x}\sim \alpha \boldsymbol{y}\right) \right] \end{equation*}が成り立ちます。実際、以下の消費ベクトル\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{x} &=&\left( 3,1.5\right) \\
\boldsymbol{y} &=&\left( 2,2\right)
\end{eqnarray*}に注目すると、\(B\left( \boldsymbol{x}\right) \)の定義より\(\boldsymbol{x}\in B\left( \boldsymbol{y}\right) \)と\(\boldsymbol{y}\in B\left( \boldsymbol{x}\right) \)がともに成り立つため\(\boldsymbol{x}\succsim \boldsymbol{y}\)かつ\(\boldsymbol{y}\succsim \boldsymbol{x}\)すなわち\(\boldsymbol{x}\sim \boldsymbol{y}\)が成り立つ一方で、\begin{equation*}\alpha =\frac{1}{2}
\end{equation*}に注目したとき、\begin{eqnarray*}
\alpha \boldsymbol{x} &=&\left( 1.5,0.75\right) \\
\alpha \boldsymbol{y} &=&\left( 1,1\right)
\end{eqnarray*}であるため、\(B\left( \boldsymbol{x}\right) \)の定義より\(a\boldsymbol{x}\not\in B\left( a\boldsymbol{y}\right) \)であるため\(\alpha \boldsymbol{x}\succsim \alpha \boldsymbol{y}\)は成り立たず、ゆえに\(\alpha \boldsymbol{x}\sim \alpha \boldsymbol{y}\)も成り立ちません。
相似拡大選好のもとでの無差別曲線
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と単調性に加えて相似拡大性を満たすものとします。選好関係\(\succsim \)が合理性を満たす場合、消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)は複数の無差別曲線に分割されます。つまり、それぞれの消費ベクトルは何らかの無差別集合に属し、同一の消費ベクトルが異なる無差別集合に属することはありません。また、選好関係\(\succsim \)が単調性を満たす場合、異なる無差別集合どうしは互いに平行な曲線となり、右上に位置する無差別曲線ほどより望ましい消費ベクトルに対応します。
上図のように同一の無差別曲線\(I\left( \boldsymbol{x}\right) \)に属する消費ベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\)を任意に選びます。選好\(\succsim \)が相似拡大性を満たす場合には任意の非負の実数\(\alpha \)に対して\(\alpha \boldsymbol{x}\)と\(\alpha \boldsymbol{y}\)が無差別になるため、これらは同一の無差別曲線\(I\left( \alpha \boldsymbol{y}\right) \)に属します。つまり、相似拡大性を満たす選好関係のもとでは、ある無差別曲線を原点を中心として相似拡大もしくは相似縮小すれば、別の任意の無差別曲線を得ることができます。
通常、消費者の選好を包括的に記述するためには、消費集合に含まれる任意の2つの消費ベクトルに対して、消費者がどちらを好むか判定する必要があります。ただ、その作業量は膨大であり実質的には不可能です。一方、選好が相似拡大的であるものと仮定した場合、ある消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\)が属する無差別集合\(I\left( \boldsymbol{x}\right) \)に関するデータさえ得られれば、それを相似拡大ないし相似縮小することにより他の任意の無差別集合を得ることができます。そのような事情もあり、統計にもとづいて理論の検証を行う場合などには相似拡大性を仮定します。
1次同次の効用関数
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上に定義された効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が1次同次関数（homogeneous of degree 1）であることは、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} _{+}^{N},\ \forall \alpha \in \mathbb{R} _{++}:u\left( \alpha \boldsymbol{x}\right) =\alpha u\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。つまり、任意の消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\)を出発点としたとき、そこからすべての商品の消費量を同じ割合\(\alpha \)で変化させると、消費者が得られる効用の水準もまた\(\alpha \)倍になるということです。
\end{equation*}を定めるものとします。消費ベクトル\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)および\(\alpha \in \mathbb{R} _{++}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}u\left( \alpha x_{1},\alpha x_{2}\right) &=&\left( \alpha x_{1}\right) ^{\frac{1}{2}}\left( \alpha x_{2}\right) ^{\frac{1}{2}}\quad \because u\text{の定義} \\
&=&\alpha x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}} \\
&=&\alpha u\left( x_{1},x_{2}\right) \quad \because u\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(u\)が1次同次関数であることが明らかになりました。
\end{equation*}を定めるものとします。消費ベクトル\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)および\(\alpha \in \mathbb{R} _{++}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}u\left( \alpha x_{1},\alpha x_{2}\right) &=&\min \left\{ \alpha x_{1},\frac{\alpha x_{2}}{2}\right\} \quad \because u\text{の定義} \\
&=&\alpha \min \left\{ x_{1},\frac{x_{2}}{2}\right\} \quad \because \alpha
\in \mathbb{R} _{++} \\
&=&\alpha u\left( x_{1},x_{2}\right) \quad \because u\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(u\)が1次同次関数であることが明らかになりました。
\end{equation*}を定めるものとします。消費ベクトル\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)および\(\alpha \in \mathbb{R} _{++}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}u\left( \alpha \left( x_{1},x_{2}\right) \right) &=&u\left( \alpha
x_{1},\alpha x_{2}\right) \\
&=&\alpha x_{1}+2\alpha x_{2}\quad \because u\text{の定義}
\\
&=&\alpha \left( x_{1}+2x_{2}\right) \\
&=&\alpha u\left( x_{1},x_{2}\right) \quad \because u\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(u\)が1次同次関数であることが明らかになりました。
選好関係を表す効用関数が存在するとともに、その効用関数が1次同次である場合、選好関係が相似拡大性を満たすことが保証されます。
この命題は、選好関係を表現する効用関数が存在することを前提とした上での主張であることに注意してください。
1次同次の効用関数のもとでの限界代替率
効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が全微分可能である場合には、点\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)における商品\(i\)の商品\(j\)で測った限界代替率は、\begin{equation}MRS_{ij}\left( \boldsymbol{x}\right) =\frac{\frac{\partial u\left(
\boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{i}}}{\frac{\partial u\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{j}}} \quad \cdots (1)
\end{equation}と表現されます。\(u\)が1次同次である場合には、正の実数\(\alpha >0\)を任意に選んだとき、消費ベクトル\(\alpha \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)における商品\(i\)の商品\(j\)で測った限界代替率は、\begin{eqnarray*}MRS_{ij}\left( \alpha \boldsymbol{x}\right) &=&\frac{\frac{\partial u\left(
\alpha \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{i}}}{\frac{\partial u\left(
\alpha \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{j}}}\quad \because \left(
1\right) \\
&=&\frac{\frac{\partial \alpha u\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{i}}}{\frac{\partial \alpha u\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{j}}}\quad \because u\text{の1次同次性} \\
&=&\frac{\alpha \frac{\partial u\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{i}}}{\alpha \frac{\partial u\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{j}}}\quad \because \text{定数倍の偏微分法則} \\
&=&\frac{\frac{\partial u\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{i}}}{\frac{\partial u\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{j}}}\quad
\because \alpha >0 \\
&=&MRS_{ij}\left( \boldsymbol{x}\right) \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
MRS_{ij}\left( \alpha \boldsymbol{x}\right) =MRS_{ij}\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}となります。つまり、消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\)を出発点にすべての商品の消費量を同じ割合\(\alpha \)で変化させて消費ベクトル\(\alpha \boldsymbol{x}\)へ移行した場合、その前後において限界代替率は変化しません。言い換えると、限界代替率の値は2つの商品\(i,j\)の消費量の割合のみに依存するということです。これは、限界代替率を与える関数\begin{equation*}MRS_{ij}\left( \boldsymbol{x}\right) :\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が0次同次であることを意味します。
演習問題
\alpha \in \mathbb{R} _{++}:\alpha \boldsymbol{x}\succsim \alpha \boldsymbol{y}\right)
\end{equation*}を満たす場合には、\(\succsim \)が相似拡大性を満たすことを証明してください。また、その逆の主張は成り立つとは限らないことを示す反例を提示してください。
\end{equation*}を定めるものとします。この効用関数\(u\)が1次同次であることを示した上で、それぞれの点\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)における商品\(1\)の商品\(2\)で測った限界代替率を求めてください。得られた限界代替率からどのようなことが言えるでしょうか。議論してください。
\end{equation*}を定めるものとします。この効用関数\(u\)が1次同次であることを示した上で、それぞれの点\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)における商品\(1\)の商品\(2\)で測った限界代替率を求めてください。得られた限界代替率からどのようなことが言えるでしょうか。議論してください。
x_{N}^{\alpha _{N}}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(k>0\)かつ\(\alpha_{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right) \)です。このような\(u\)をコブ・ダグラス型効用関数と呼びます。消費者の選好がコブ・ダグラス型効用関数によって表される場合、選好関係は相似拡大性を満たすでしょうか。議論してください。
_{N}x_{N}\right\}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(\alpha _{n}>0\ \left(n=1,\cdots ,N\right) \)です。このような\(u\)をレオンチェフ型効用関数と呼びます。消費者の選好がレオンチェフ型効用関数によって表される場合、選好関係は相似拡大性を満たすでしょうか。議論してください。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(\alpha _{n}>0\ \left(n=1,\cdots ,N\right) \)です。このような\(u\)を線型効用関数と呼びます。消費者の選好が線型効用関数によって表される場合、選好関係は相似拡大性を満たすでしょうか。議論してください。
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