無差別な消費ベクトル x,y を任意に選んだとき、すべての商品の消費量を同じ割合 α で増やして得られる消費ベクトル αx,αy どうしもまた無差別であるならば、選好は相似拡大性を満たすとか、ホモセティックであるなどと言います。相似拡大性を満たす選好は同次関数であるような効用関数によって特徴づけられます。

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相似拡大性を満たす選好関係

消費集合\(X\subset \mathbb{R}^{N}\)における選好関係が与えられたとき、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ X=\mathbb{R} _{+}^{N} \\
&&\left( b\right) \ \forall x,y\in X:\left[ x\sim y\ \Rightarrow \ \forall
\alpha \in \mathbb{R}_{+}:\alpha x\sim \alpha y\right] \end{eqnarray*}がともに成り立つ場合には、\(\succsim \)は相似拡大性(homothetic)を満たすとか、ホモセティック(homothetic)であるなどと言います。

上の条件\(\left( a\right) \)は、任意の商品について、その消費量は任意の非負の実数を値として取り得ることを意味します。条件\(\left( b\right) \)は、無差別な消費ベクトル\(x,y\)を任意に選んだとき、すべての商品の消費量を同じ割合\(\alpha \)で増やして得られる消費ベクトル\(\alpha x,\alpha y\)どうしもまた無差別になることを意味します。条件\(\left( b\right) \)において\(\alpha \)は任意の非負の実数を値として取り得るため、\(\alpha x\)や\(\alpha y\)が消費ベクトルであることを保証するために、条件\(\left( a\right) \)が必要になります。

 

相似拡大選好のもとでの無差別集合

消費集合を\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)とし、\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)が完備性と単調性に加え、相似拡大性を満たすものとします。選好関係\(\succsim \)が合理性を満たす場合、消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)は複数の無差別曲線に分割されます。つまり、任意の消費ベクトルは何らかの無差別集合に属し、同一の消費ベクトルが異なる無差別集合に属することはありません。また、選好関係\(\succsim \)が単調性を満たす場合、異なる無差別集合どうしは互いに平行な曲線となり、右上に位置する無差別曲線はより望ましい消費ベクトルに対応します。

下図のように、無差別な消費ベクトル\(x,y\)を任意に選ぶと、これらは同一の無差別曲線\(I\left( x\right) \)に属します。選好\(\succsim \)が相似拡大性を満たす場合には、任意の非負の実数\(\alpha \)に対して\(\alpha x\)と\(\alpha y\)が無差別になるため、これらは同一の無差別曲線\(I\left( \alpha y\right) \)に属します。したがって、相似拡大性を満たす選好関係のもとでは、ある無差別曲線を原点を中心として相似拡大もしくは相似縮小すれば、別の任意の無差別曲線を得ることができます。

図:相似拡大性
図:相似拡大性

消費者の選好を包括的に記述するためには、消費集合に含まれる任意の2つの消費ベクトルに対して、消費者がどちらを好むかを把握する必要がありますが、その作業量は膨大で、実質的には不可能です。一方、選好が相似拡大的であると仮定した場合、ある消費ベクトル\(x\)に関する無差別集合\(I\left( x\right) \)に関するデータが得られれば、それを相似拡大ないし相似縮小することにより、他の任意の無差別集合を得ることができます。したがって、理論の検証など、統計的な作業では多くの場合、相似拡大性を仮定します。

 

効用関数の同次性

選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u\)が存在する場合、\(u\)が同次関数であるならば、\(\succsim \)は相似拡大性を満たすことが保証されます。ただし、効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R}\)が\(\lambda \)次同次関数であることとは、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ X=\mathbb{R} _{+}^{N} \\
&&\left( b\right) \ \forall x\in X,\ \forall \alpha \in \mathbb{R}_{+}:u\left( \alpha x\right) =\alpha ^{\lambda }u\left( x\right)
\end{eqnarray*}が成り立つこととして定義します。つまり、任意の消費ベクトル\(x\)を基準にすべての財の消費量を任意の割合\(\alpha \)で増加させて新たな消費ベクトル\(\alpha x\)を得ると、\(\alpha x\)の効用は\(x\)の効用の\(\alpha ^{\lambda }\)倍になるということです。

命題(同次効用関数によって表現される選好の相似拡大性)
消費集合\(X\subset \mathbb{R}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R}\)が存在するとき、\(u\)が同次関数であるならば、\(\succsim \)は相似拡大性を満たす。
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例(同次効用関数)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R}\)が、\begin{equation*}
u\left( x_{1},\cdots x_{N}\right) =\prod\limits_{n=1}^{N}x_{n}^{\alpha _{n}}
\end{equation*}で与えられているものとします。ただし、任意の\(n\in \{1,\cdots ,N\}\)について\(\alpha _{n}\)は正の実数です。例えば、\(N=2\)であれば、\begin{equation*}
u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}
\end{equation*}であり、\(N=3\)であれば、\begin{equation*}
u\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) =x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha
_{2}}x_{3}^{\alpha _{3}}
\end{equation*}となります。消費ベクトル\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) \in \mathbb{R}_{+}^{N}\)と非負の実数\(\alpha \geq 0\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}
u\left( \alpha x\right) &=&\prod\limits_{n=1}^{N}\left( \alpha
x_{n}\right) ^{\alpha _{n}}\quad \because u\text{の定義} \\
&=&\alpha ^{\alpha _{1}+\cdots +\alpha
_{N}}\prod\limits_{n=1}^{N}x_{n}^{\alpha _{n}} \\
&=&\alpha ^{\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{N}}u\left( x\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(u\)は\(\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{N}\)次の同次関数です。したがって、\(\succsim \)は相似拡大性を満たします。

同次関数であるような効用関数によって表現される選好関係は相似拡大性を満たすことが示されましたが、その逆は成り立つとは限りません。つまり、相似拡大性を満たす選好関係を表現する効用関数は同次関数であるとは限りません。そのことを示すために、相似拡大性を満たす選好関係\(\succsim \)を表現する同次な効用関数\(u\)が存在するものとしましょう。以前に示したように、選好関係を表す効用関数が与えられたとき、その効用関数を任意の形で正の単調変換を行って得られる関数もまた同じ選好を表す効用関数です。したがって、先の効用関数\(u\)から同次関数ではない関数\(u^{\prime }\)を作り出すような正の単調変換を想定した場合にも、\(u^{\prime }\)は\(\succsim \)を表現する効用関数となります。このようにして、相似拡大性を満たす選好関係を表現する同次関数ではない効用関数を常に作り出すことができます。

以上の議論は、選好関係を表現する効用関数が存在することを前提とした上でのものですが、そもそも、選好関係の相似拡大性から、効用関数の存在について何らかのことを言えるのでしょうか。選好関係が相似拡大性を満たす場合、その選好関係を表現する効用関数は存在するのでしょうか。効用関数が存在するための条件については、場を改めて詳しく解説します。

次回は選好関係に関する準線型性と呼ばれる仮定について解説します。

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