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CONSUMER THEORY

選好の相似拡大性(ホモセティックな選好)

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相似拡大性を満たす選好関係

消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が与えられたとき、任意の消費ベクトル\(x,y\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)について、\begin{equation*}x\sim y\Rightarrow \forall \alpha \in \mathbb{R} _{+}:\alpha x\sim \alpha y
\end{equation*}を満たす場合、\(\succsim \)は相似拡大性(homothetic)を満たすとか、ホモセティック(homothetic)であるなどと言います。つまり、\(\succsim \)が相似拡大性を満たすこととは、無差別な消費ベクトル\(x,y\)を任意に選んだとき、すべての商品の消費量を同じ割合\(\alpha \)で増やして得られる消費ベクトル\(\alpha x,\alpha y\)どうしもまた無差別になることを意味します。

例(相似拡大性を満たす選好関係)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と単調性に加えて相似拡大性を満たすものとします。選好関係\(\succsim \)が合理性を満たす場合、消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)は複数の無差別曲線に分割されます。つまり、任意の消費ベクトルは何らかの無差別集合に属し、同一の消費ベクトルが異なる無差別集合に属することはありません。また、選好関係\(\succsim \)が単調性を満たす場合、異なる無差別集合どうしは互いに平行な曲線となり、右上に位置する無差別曲線はより望ましい消費ベクトルに対応します。

図:相似拡大性
図:相似拡大性

上図のように、同一の無差別曲線\(I\left( x\right) \)に属する消費ベクトル\(x,y\)を任意に選びます。選好\(\succsim \)が相似拡大性を満たす場合には、任意の非負の実数\(\alpha \)に対して\(\alpha x\)と\(\alpha y\)が無差別になるため、これらは同一の無差別曲線\(I\left( \alpha y\right) \)に属します。したがって、相似拡大性を満たす選好関係のもとでは、ある無差別曲線を原点を中心として相似拡大もしくは相似縮小すれば、別の任意の無差別曲線を得ることができます。

通常、消費者の選好関係を包括的に記述するためには、消費集合に含まれる任意の2つの消費ベクトルに対して、消費者がどちらを好むかを判定する必要があります。ただ、その作業量は膨大で、実質的には不可能です。一方、選好が相似拡大的であるものと仮定した場合、ある消費ベクトル\(x\)が属する無差別集合\(I\left( x\right) \)に関するデータさえ得られれば、それを相似拡大ないし相似縮小することにより、他の任意の無差別集合を得ることができます。したがって、理論の検証など、統計的な作業では多くの場合、相似拡大性を仮定します。

 

1次同次の効用関数

消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上に定義された効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が1次同次であるとは、\begin{equation*}\forall x\in \mathbb{R} _{+}^{N},\ \forall \alpha \in \mathbb{R} _{+}:u\left( \alpha x\right) =\alpha u\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、任意の消費ベクトル\(x\)を出発点としたとき、そこからすべての商品の消費量を任意の割合\(\alpha \)で増加させると、消費者が得られる効用の水準もまた\(\alpha \)倍になるということです。

例(1次同次の効用関数)
効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。消費ベクトル\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)および\(\alpha \in \mathbb{R} _{+}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}u\left( \alpha \left( x_{1},x_{2}\right) \right) &=&u\left( \alpha
x_{1},\alpha x_{2}\right) \\
&=&\left( \alpha x_{1}\right) ^{\frac{1}{2}}\left( \alpha x_{2}\right) ^{\frac{1}{2}}\quad \because u\text{の定義} \\
&=&\alpha x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}} \\
&=&\alpha u\left( x_{1},x_{2}\right) \quad \because u\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\(u\)が1次同次であることが示されました。
例(1次同次の効用関数)
効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =\min \left\{ x_{1},\frac{x_{2}}{2}\right\}
\end{equation*}を定めるものとします。消費ベクトル\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)および\(\alpha \in \mathbb{R} _{+}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}u\left( \alpha \left( x_{1},x_{2}\right) \right) &=&u\left( \alpha
x_{1},\alpha x_{2}\right) \\
&=&\min \left\{ \alpha x_{1},\frac{\alpha x_{2}}{2}\right\} \quad \because u\text{の定義} \\
&=&\alpha \min \left\{ x_{1},\frac{x_{2}}{2}\right\} \quad \because \alpha
\in \mathbb{R} _{+} \\
&=&\alpha u\left( x_{1},x_{2}\right) \quad \because u\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\(u\)が1次同次であることが示されました。
例(1次同次の効用関数)
効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}+2x_{2}
\end{equation*}を定めるものとします。消費ベクトル\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)および\(\alpha \in \mathbb{R} _{+}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}u\left( \alpha \left( x_{1},x_{2}\right) \right) &=&u\left( \alpha
x_{1},\alpha x_{2}\right) \\
&=&\alpha x_{1}+2\alpha x_{2}\quad \because u\text{の定義}
\\
&=&\alpha \left( x_{1}+2x_{2}\right) \\
&=&\alpha u\left( x_{1},x_{2}\right) \quad \because u\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\(u\)が1次同次であることが示されました。

選好関係を表す効用関数が存在するとともに、その効用関数が1次同次である場合、選好関係が相似拡大性を満たすことが保証されます。

命題(相似拡大選好と1次同次効用関数の関係)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するとき、\(u\)が1次同次関数であるならば、\(\succsim \)は相似拡大性を満たす。
証明

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この命題は、選好関係を表現する効用関数が存在することを前提とした上での主張であることに注意してください。では、選好関係が相似拡大性を満たす場合、その選好関係を表現する1次同次の効用関数は存在するのでしょうか。1次同次の効用関数が存在するための条件については、場を改めて詳しく解説します。

 

演習問題

問題(選好の相似拡大性)
効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}^{\frac{1}{3}}x_{2}^{\frac{2}{3}}
\end{equation*}を定めるものとします。この効用関数\(u\)が1次同次であることを示した上で、それぞれの点\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)における商品\(1\)の商品\(2\)で測った限界代替率を求めてください。また、得られた限界代替率からどのようなことが言えるでしょうか。議論してください。
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問題(選好の相似拡大性)
効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =2x_{1}+5x_{2}
\end{equation*}を定めるものとします。この効用関数\(u\)が1次同次であることを示した上で、それぞれの点\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)における商品\(1\)の商品\(2\)で測った限界代替率を求めてください。また、得られた限界代替率からどのようなことが言えるでしょうか。議論してください。
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次回は選好関係に関する準線型性と呼ばれる仮定について解説します。

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