選好の相似拡大性（ホモセティックな選好）

相似拡大性を満たす選好関係

消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が、\begin{equation*}\forall x,y\in \mathbb{R} _{+}^{N}:\left( x\sim y\Rightarrow \forall \alpha \in \mathbb{R} _{++}:\alpha x\sim \alpha y\right)
\end{equation*}を満たす場合には、つまり、無差別な2つの消費ベクトル\(x,y\)を任意に選んだとき、すべての商品の消費量を同じ割合\(\alpha \)で変化させて得られる消費ベクトル\(\alpha x,\alpha y\)もまた無差別であることが保証される場合には、\(\succsim \)は相似拡大性（homothetic）を満たすとか、ホモセティック（homothetic）であるなどと言います。

例（相似拡大性を満たす選好関係）

消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と単調性に加えて相似拡大性を満たすものとします。選好関係\(\succsim \)が合理性を満たす場合、消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)は複数の無差別曲線に分割されます。つまり、任意の消費ベクトルは何らかの無差別集合に属し、同一の消費ベクトルが異なる無差別集合に属することはありません。また、選好関係\(\succsim \)が単調性を満たす場合、異なる無差別集合どうしは互いに平行な曲線となり、右上に位置する無差別曲線はより望ましい消費ベクトルに対応します。

上図のように同一の無差別曲線\(I\left( x\right) \)に属する消費ベクトル\(x,y\)を任意に選びます。選好\(\succsim \)が相似拡大性を満たす場合には任意の非負の実数\(\alpha \)に対して\(\alpha x\)と\(\alpha y\)が無差別になるため、これらは同一の無差別曲線\(I\left( \alpha y\right) \)に属します。したがって、相似拡大性を満たす選好関係のもとでは、ある無差別曲線を原点を中心として相似拡大もしくは相似縮小すれば、別の任意の無差別曲線を得ることができます。

通常、消費者の選好を包括的に記述するためには、消費集合に含まれる任意の2つの消費ベクトルに対して、消費者がどちらを好むか判定する必要があります。ただ、その作業量は膨大であり実質的には不可能です。一方、選好が相似拡大的であるものと仮定した場合、ある消費ベクトル\(x\)が属する無差別集合\(I\left( x\right) \)に関するデータさえ得られれば、それを相似拡大ないし相似縮小することにより他の任意の無差別集合を得ることができます。そのような事情もあり、統計にもとづいて理論の検証を行う場合などには相似拡大性を仮定します。

1次同次の効用関数

消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上に定義された効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が1次同次関数（homogeneous of degree 1）であることとは、\begin{equation*}\forall x\in \mathbb{R} _{+}^{N},\ \forall \alpha \in \mathbb{R} _{++}:u\left( \alpha x\right) =\alpha u\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、任意の消費ベクトル\(x\)を出発点としたとき、そこからすべての商品の消費量を同じ割合\(\alpha \)で変化させると、消費者が得られる効用の水準もまた\(\alpha \)倍になるということです。

選好関係を表す効用関数が存在するとともに、その効用関数が1次同次である場合、選好関係が相似拡大性を満たすことが保証されます。

この命題は、選好関係を表現する効用関数が存在することを前提とした上での主張であることに注意してください。

1次同次の効用関数のもとでの限界代替率

効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が全微分可能である場合には、点\(x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)における商品\(i\)の商品\(j\)で測った限界代替率は、\begin{equation}MRS_{ij}\left( x\right) =\frac{\frac{\partial u\left( x\right) }{\partial
x_{i}}}{\frac{\partial u\left( x\right) }{\partial x_{j}}} \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。\(u\)が1次同次である場合には、正の実数\(\alpha >0\)を任意に選んだとき、点\(\alpha x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)における商品\(i\)の商品\(j\)で測った限界代替率は、\begin{eqnarray*}MRS_{ij}\left( \alpha x\right) &=&\frac{\frac{\partial u\left( \alpha
x\right) }{\partial x_{i}}}{\frac{\partial u\left( \alpha x\right) }{\partial x_{j}}}\quad \because MRS\text{の定義} \\
&=&\frac{\frac{\partial \alpha u\left( x\right) }{\partial x_{i}}}{\frac{\partial \alpha u\left( x\right) }{\partial x_{j}}}\quad \because u\text{の1次同次性} \\
&=&\frac{\alpha \frac{\partial u\left( x\right) }{\partial x_{i}}}{\alpha
\frac{\partial u\left( x\right) }{\partial x_{j}}}\quad \because \text{関数の定数倍の偏微分} \\
&=&\frac{\frac{\partial u\left( x\right) }{\partial x_{i}}}{\frac{\partial
u\left( x\right) }{\partial x_{j}}}\quad \because \alpha >0 \\
&=&MRS_{ij}\left( x\right) \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
MRS_{ij}\left( \alpha x\right) =MRS_{ij}\left( x\right)
\end{equation*}となります。つまり、消費ベクトル\(x\)を出発点にすべての商品の消費量を同じ割合\(\alpha \)で変化させて消費ベクトル\(\alpha x\)へ移行した場合、その前後において限界代替率は変化しません。言い換えると、限界代替率の値は2つの商品\(i,j\)の消費量の割合のみに依存するということです。これは、限界代替率を与える関数\begin{equation*}MRS_{ij}\left( x\right) :\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が0次同次であることを意味します。

演習問題