スルツキー方程式
消費者の選好が消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)として表現されているとともに\(\succsim \)が合理性と連続性の仮定を満たす場合、\(\succsim \)を表現する連続な効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在します。加えて、\(\succsim \)が狭義凸性を満たす場合には需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)と間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在します。つまり、価格ベクトルと所得\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、これに対して需要関数\(x^{\ast }\)が定める値\(x^{\ast }\left( p,w\right) \)は\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題の唯一の解である一方、間接効用関数\(v\)が定める値\(v\left( p,w\right) \)は\(\left(p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題の解において消費者が得る効用であり、両者の間には、\begin{equation*}v\left( p,w\right) =u\left( x^{\ast }\left( p,w\right) \right)
\end{equation*}という関係が成立します。商品\(i\ \left( =1,\cdots ,N\right) \)の需要関数\(x_{i}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が所得\(w\)に関して偏微分可能であるならば、\(\left( p,w\right) \)における商品\(i\)の需要に対する所得効果が、\begin{equation*}\frac{\partial x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial w}
\end{equation*}と定義されます。これは、消費者による効用最大化を前提とした場合に、\(\left( p,w\right) \)を出発点に所得\(w\)だけが限界的に上昇したときにもたらされる商品\(i\)の消費量の変化を表す指標です。また、商品\(i\)の需要関数\(x_{i}\)が商品\(j\ \left( =1,\cdots ,N\right) \)の価格\(p_{j}\)に関して偏微分可能であるならば、\(\left( p,w\right) \)における商品\(i\)の需要に対する商品\(j\)の価格の価格効果が、\begin{equation*}\frac{\partial x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial p_{j}}
\end{equation*}と定義されます。これは、消費者による効用最大化を前提とした場合に、\(\left( p,w\right) \)を出発点に商品\(j\)の価格\(p_{j}\)だけが限界的に上昇したときにもたらされる商品\(i\)の消費量の変化を表す指標です。
同様の条件のもとでは補償需要関数\(h^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)と支出関数\(e:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\rightarrow \mathbb{R} \)もまた存在します。ただし、\begin{equation*}U=\left\{ v\in u\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \ |\ v\geq u\left( 0\right) \right\}
\end{equation*}です。つまり、価格ベクトルと目標効用\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)を任意に選んだとき、これに対して補償需要関数\(h^{\ast }\)が定める値\(h^{\ast }\left( p,v\right) \)は\(\left(p,v\right) \)のもとでの支出最小化問題の唯一の解である一方、支出関数\(e\)が定める値\(e\left( p,v\right) \)は\(\left( p,v\right) \)のもとでの支出最小化問題の解において消費者が直面する支出であり、両者の間には、\begin{equation*}e\left( p,v\right) =p\cdot h^{\ast }\left( p,v\right)
\end{equation*}という関係が成立します。商品\(i\ \left( =1,\cdots ,N\right) \)の補償需要関数\(h_{i}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が商品\(j\)の価格\(p_{j}\)に関して偏微分可能であるならば、\(\left( p,w\right) \)における商品\(i\)の補償需要に対する商品\(j\)の価格の代替効果が、\begin{equation*}\frac{\partial h_{i}^{\ast }\left( p,v\right) }{\partial p_{j}}
\end{equation*}と定義されます。これは、消費者による支出最小化を前提とした場合に、\(\left( p,v\right) \)を出発点に商品\(j\)の価格\(p_{j}\)だけが限界的に上昇したときにもたらされる商品\(i\)の補償需要の変化を表す指標です。
所得効果、価格効果、代替効果の間には以下の関係が成り立ちます。これをスルツキー方程式（Slutsky equation）と呼びます。証明では効用最大化問題と支出最小化問題の双対性やシェファードの補題などを利用します。
\end{equation*}である。さらに、\(u,x^{\ast},h^{\ast },v,e\)が\(C^{1}\)級であるとともに、任意の\(\left( p,v\right)\in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)において、\begin{equation*}\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :\frac{\partial u\left( h^{\ast
}\left( p,v\right) \right) }{\partial x_{i}}\not=0
\end{equation*}が成り立つものとする。価格ベクトルと所得\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)および商品\(i,j\in \left\{ 1,\cdots,N\right\} \)をそれぞれ任意に選んだとき、以上の条件のもとでは、\begin{equation*}\left( a\right) \ \frac{\partial x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial
p_{j}}=\frac{\partial h_{i}^{\ast }\left( p,v\left( p,w\right) \right) }{\partial p_{j}}-\frac{\partial x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial w}\cdot x_{j}^{\ast }\left( p,w\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。また、価格ベクトルと目標効用\(\left( p,v\right)\in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)および商品\(i,j\in \left\{1,\cdots ,N\right\} \)をそれぞれ任意に選んだとき、以上の条件のもとでは、\begin{equation*}\left( b\right) \ \frac{\partial h_{i}^{\ast }\left( p,v\right) }{\partial
p_{j}}=\frac{\partial x_{i}^{\ast }\left( p,e\left( p,v\right) \right) }{\partial p_{j}}+\frac{\partial x_{i}\left( p,e\left( p,v\right) \right) }{\partial w}\cdot x_{j}^{\ast }\left( p,e\left( p,v\right) \right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。
\end{equation*}を定めるものとします。この場合、需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)が存在して、これはそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2},w\right)\in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \\
x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\frac{w}{2p_{1}} \\
\frac{w}{2p_{2}}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めます。また、間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left(p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}v\left( p_{1},p_{2},w\right) =\frac{w^{2}}{4p_{1}p_{2}}
\end{equation*}を定めます。同時に、補償需要関数\(h^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times U\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)が存在して、これはそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2},v\right)\in \mathbb{R} _{++}^{2}\times U\)に対して、\begin{equation*}h^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) =\left(
\begin{array}{c}
h_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) \\
h_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\left( \frac{p_{2}}{p_{1}}v\right) ^{\frac{1}{2}} \\
\left( \frac{p_{1}}{p_{2}}v\right) ^{\frac{1}{2}}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めます。また、支出関数\(e:\mathbb{R} _{++}^{2}\times U\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、これはそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2},v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times U\)に対して、\begin{equation*}e\left( p_{1},p_{2},v\right) =2\left( p_{1}p_{2}v\right) ^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定めます。ただし、\(u\left( 0,0\right) =0\)であるため、\begin{equation*}U=\left\{ v\in u\left( \mathbb{R} _{+}^{2}\right) \ |\ v>0\right\}
\end{equation*}です。さて、価格ベクトルと所得\(\left( p_{1},p_{2},w\right)\in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\frac{\partial x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) }{\partial p_{1}} &=&\frac{\partial }{\partial p_{1}}\left( \frac{w}{2p_{1}}\right) \\
&=&-\frac{w}{2p_{1}^{2}}
\end{eqnarray*}である一方で、\begin{eqnarray*}
&&\frac{\partial h_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\left(
p_{1},p_{2},w\right) \right) }{\partial p_{1}}-\frac{\partial x_{1}^{\ast
}\left( p_{1},p_{2},w\right) }{\partial w}\cdot x_{1}^{\ast }\left(
p_{1},p_{2},w\right) \\
&=&\left. \frac{\partial }{\partial p_{1}}\left( \frac{p_{2}}{p_{1}}v\right)
^{\frac{1}{2}}\right\vert _{v=v\left( p_{1},p_{2},p\right) }-\frac{\partial
}{\partial w}\left( \frac{w}{2p_{1}}\right) \cdot \frac{w}{2p_{1}} \\
&=&\left. \left( p_{2}v\right) ^{\frac{1}{2}}\frac{\partial }{\partial p_{1}}\left( \frac{1}{p_{1}}\right) ^{\frac{1}{2}}\right\vert _{v=v\left(
p_{1},p_{2},p\right) }-\frac{1}{2p_{1}}\cdot \frac{w}{2p_{1}} \\
&=&\left. -\left( p_{2}v\right) ^{\frac{1}{2}}\frac{1}{2}\left( \frac{1}{p_{1}}\right) ^{-\frac{1}{2}}\frac{1}{p_{1}^{2}}\right\vert _{v=v\left(
p_{1},p_{2},p\right) }-\frac{1}{2p_{1}}\cdot \frac{w}{2p_{1}} \\
&=&-\left( \frac{w^{2}}{4p_{1}}\right) ^{\frac{1}{2}}\frac{1}{2}\left( \frac{1}{p_{1}}\right) ^{-\frac{1}{2}}\frac{1}{p_{1}^{2}}-\frac{1}{2p_{1}}\cdot
\frac{w}{2p_{1}} \\
&=&-\frac{w}{4p_{1}^{2}}-\frac{w}{4p_{1}^{2}} \\
&=&-\frac{w}{2p_{1}^{2}}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\frac{\partial x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) }{\partial p_{1}}=\frac{\partial h_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\left( p_{1},p_{2},w\right)
\right) }{\partial p_{1}}-\frac{\partial x_{1}^{\ast }\left(
p_{1},p_{2},w\right) }{\partial w}\cdot x_{1}^{\ast }\left(
p_{1},p_{2},w\right)
\end{equation*}という関係が成立していますが、これは命題の主張と整合的です。また、\begin{eqnarray*}
\frac{\partial x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) }{\partial p_{2}} &=&\frac{\partial }{\partial p_{2}}\left( \frac{w}{2p_{1}}\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}である一方で、\begin{eqnarray*}
&&\frac{\partial h_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\left(
p_{1},p_{2},w\right) \right) }{\partial p_{2}}-\frac{\partial x_{1}^{\ast
}\left( p_{1},p_{2},w\right) }{\partial w}\cdot x_{2}^{\ast }\left(
p_{1},p_{2},w\right) \\
&=&\left. \frac{\partial }{\partial p_{2}}\left( \frac{p_{2}}{p_{1}}v\right)
^{\frac{1}{2}}\right\vert _{v=v\left( p_{1},p_{2},p\right) }-\frac{\partial
}{\partial w}\left( \frac{w}{2p_{1}}\right) \cdot \frac{w}{2p_{2}} \\
&=&\left. \left( \frac{v}{p_{1}}\right) ^{\frac{1}{2}}\frac{\partial }{\partial p_{2}}p_{2}^{\frac{1}{2}}\right\vert _{v=v\left(
p_{1},p_{2},p\right) }-\frac{1}{2p_{1}}\cdot \frac{w}{2p_{2}} \\
&=&\left. \left( \frac{v}{p_{1}}\right) ^{\frac{1}{2}}\frac{1}{2}p_{2}^{-\frac{1}{2}}\right\vert _{v=v\left( p_{1},p_{2},p\right) }-\frac{1}{2p_{1}}\cdot \frac{w}{2p_{2}} \\
&=&\left( \frac{w^{2}}{4p_{1}^{2}p_{2}}\right) ^{\frac{1}{2}}\frac{1}{2}p_{2}^{-\frac{1}{2}}-\frac{1}{2p_{1}}\cdot \frac{w}{2p_{2}} \\
&=&\frac{w}{2p_{1}}\cdot \frac{1}{2p_{2}}-\frac{1}{2p_{1}}\cdot \frac{w}{2p_{2}} \\
&=&0
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\frac{\partial x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) }{\partial p_{2}}=\frac{\partial h_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\left( p_{1},p_{2},w\right)
\right) }{\partial p_{2}}-\frac{\partial x_{1}^{\ast }\left(
p_{1},p_{2},w\right) }{\partial w}\cdot x_{2}^{\ast }\left(
p_{1},p_{2},w\right)
\end{equation*}という関係が成立していますが、これは命題の主張と整合的です。もう一方の主張についても同様です。
スルツキー方程式の経済学的解釈
価格ベクトルと所得\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)および商品\(i\in \left\{ 1,\cdots,N\right\} \)をそれぞれ任意に選んだとき、スルツキー方程式より、\begin{equation*}\frac{\partial x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial p_{i}}=\frac{\partial h_{i}^{\ast }\left( p,v\left( p,w\right) \right) }{\partial p_{i}}-\frac{\partial x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial w}\cdot x_{i}^{\ast
}\left( p,w\right)
\end{equation*}を得ますが、これは何を意味しているのでしょうか。左辺\(\frac{\partial x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial p_{i}}\)は商品\(i\)の自己価格効果であり、これは、消費者による効用最大化を前提とした場合に、\(\left( p,w\right) \)を出発点に商品\(i\)の価格\(p_{i}\)だけが限界的に上昇した場合の商品\(i\)の需要の変化を表します。その他の条件、すなわち商品\(i\)以外のすべての商品の価格\(p_{-i}\)と所得\(w\)が一定のままで商品\(i\)の価格\(p_{i}\)だけが上昇した場合、なぜ商品\(i\)の需要\(x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) \)が変化するのでしょうか。
1つ目の理由は価格比の変化です。その他の条件は一定で商品\(i\)の価格\(p_{i}\)だけが上昇すると商品\(i\)は相対的に割高になるため、相対的に割安になった他の商品への乗り換えが起こり、その結果、商品\(i\)の消費量が減少します。これを代替効果（substitution effect）と呼びます。
2つ目の理由は実質所得の変化です。その他の条件は一定で商品\(i\)の価格\(p_{i}\)だけが上昇すると消費者の予算集合は縮小するため、消費者は以前よりも望ましくない消費ベクトルを選ばざるを得なくなります。つまり、商品\(i\)の価格が上昇する前後において名目所得\(w\)は一定でも、実質的な所得は減少しているということです。その結果、多くの場合、商品\(i\)の消費量が減少します。これを所得効果（wealth effect）と呼びます。
商品\(i\)の価格が下落する場合についても同様に考えます。つまり、商品\(i\)の価格が下落する場合、相対的に割安になった商品\(i\)の消費量は増加します（代替効果）。商品\(i\)の価格が下落すると消費者の予算集合が拡大するため、消費者は以前よりも望ましい消費ベクトルを選択できるようになりますが、これは実質的な所得が増加したことを意味します。その結果、多くの場合、商品\(i\)の消費量が増加します（所得効果）。
スルツキー方程式は価格効果を代替効果と所得効果に切り分けて評価する際の指針を与えてくれます。効用最大化を行う消費者が価格ベクトルと所得\(\left( p,w\right) \)に直面した場合、商品\(i\)の需要は\(x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) \)となります。今、商品\(i\)の価格だけが\(\Delta p_{i}\)だけ上昇して\(\left( p_{i}+\Delta p_{i},p_{-i},w\right) \)へ移行すると、商品\(i\)の需要は\(x_{i}^{\ast }\left( p_{i}+\Delta p_{i},p_{-i},w\right) \)へと変化します。したがって、商品\(i\)に関する自己価格効果は、\begin{equation*}x_{i}^{\ast }\left( p_{i}+\Delta p_{i},p_{-i},w\right) -x_{i}^{\ast }\left(
p,w\right)
\end{equation*}となります。\(\Delta p_{i}\)が十分小さい場合には、\begin{equation*}x_{i}^{\ast }\left( p_{i}+\Delta p_{i},p_{-i},w\right) -x_{i}^{\ast }\left(
p,w\right) \approx \frac{\partial x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial
p_{i}}\cdot \Delta p_{i}
\end{equation*}という近似関係が成立することに注意してください。\(\Delta p_{i}=1\)である場合、これはスルツキー方程式の左辺に相当します。
価格効果から代替効果だけを抽出するためには所得効果を相殺する必要があります。つまり、商品\(i\)の価格が上昇したことにより減少した実質所得を仮想的に補填した上で、商品\(i\)の消費の変化を評価する必要があるということです。当初の\(\left( p,w\right) \)に直面した消費者が需要\(x^{\ast }\left( p,w\right) \)から得る効用は\(v\left( p,w\right) \)です。新たな価格\(\left( p_{i}+\Delta p_{i},p_{-i}\right) \)のもとで効用\(v\left( p,w\right) \)を実現するためには補償需要\(h^{\ast }\left( p_{i}+\Delta p_{i},p_{-i},v\left(p,w\right) \right) \)を選択する必要があります。関係を以下の表に整理しました。
$$\begin{array}{ccc}
\hline
消費ベクトル & x^{\ast }\left( p,w\right) & h^{\ast }\left( p_{i}+\Delta p_{i},p_{-i},v\left( p,w\right) \right) \\ \hline
価格ベクトル & p & \left( p_{i}+\Delta p_{i},p_{-i}\right) \\ \hline
効用 & v\left( p,w\right) & v\left( p,w\right) \\ \hline
支出 & w & e\left( p_{i}+\Delta p_{i},p_{-i},v\left( p,w\right) \right) \\ \hline
\end{array}$$
\(x^{\ast }\left( p,w\right) \)から\(h^{\ast }\left( p_{i}+\Delta p_{i},p_{-i},v\left( p,w\right) \right) \)への移行は、実質所得が一定のもとで価格比のみが変化したことによる消費の変化と解釈できます。なぜなら、両者を比べると価格ベクトルが変化しているため商品の価格比は変化している一方で、両者において消費者は等しい効用を得ているからです。したがって、商品\(i\)に関する代替効果は、\begin{equation*}h_{i}^{\ast }\left( p_{i}+\Delta p_{i},p_{-i},v\left( p,w\right) \right)
-x_{i}^{\ast }\left( p,w\right)
\end{equation*}となります。効用最大化問題と支出最小化問題の双対性より、\begin{equation*}
x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) =h_{i}^{\ast }\left( p,v\left( p,w\right)
\right)
\end{equation*}という関係が成り立つため、代替効果を、\begin{equation*}
h_{i}^{\ast }\left( p_{i}+\Delta p_{i},p_{-i},v\left( p,w\right) \right)
-h_{i}^{\ast }\left( p,v\left( p,w\right) \right)
\end{equation*}と表現できます。\(\Delta p_{i}\)が十分小さい場合には、\begin{equation*}h_{i}^{\ast }\left( p_{i}+\Delta p_{i},p_{-i},v\left( p,w\right) \right)
-h_{i}^{\ast }\left( p,v\left( p,w\right) \right) \approx \frac{\partial
h_{i}^{\ast }\left( p,v\left( p,w\right) \right) }{\partial p_{i}}\cdot
\Delta p_{i}
\end{equation*}という近似関係が成立することに注意してください。\(\Delta p_{i}=1\)である場合、これはスルツキー方程式の右辺の第1項に相当します。つまり、スルツキー方程式の右辺の第1項は代替効果を表しているということです。
価格効果から所得効果を抽出するためには代替効果を相殺する必要があります。先に明らかになったように代替効果は\(x^{\ast}\left( p,w\right) \)から\(h^{\ast }\left( p_{i}+\Delta p_{i},p_{-i},v\left( p,w\right) \right) \)への変化であるため、所得効果は\(h^{\ast }\left( p_{i}+\Delta p_{i},p_{-i},v\left(p,w\right) \right) \)から\(x^{\ast }\left( p_{i}+\Delta p_{i},p_{-i},w\right) \)への変化であるという推測が立ちます。以下の表を通じて確認します。
$$\begin{array}{ccc}
\hline
消費ベクトル & h^{\ast }\left( p_{i}+\Delta p_{i},p_{-i},v\left( p,w\right) \right) & x^{\ast }\left( p_{i}+\Delta p_{i},p_{-i},w\right) \\ \hline
価格ベクトル & \left( p_{i}+\Delta p_{i},p_{-i}\right) & \left( p_{i}+\Delta p_{i},p_{-i}\right) \\ \hline
効用 & v\left( p,w\right) & v\left( p_{i}+\Delta p_{i},p_{-i},w\right) \\ \hline
支出 & e\left( p_{i}+\Delta p_{i},p_{-i},v\left( p,w\right) \right) & w \\ \hline
\end{array}$$
両者を比べると価格ベクトルは一定であるため商品の価格比は一定である一方で、両者において消費者は得られる効用は変化しているため、\(h^{\ast }\left( p_{i}+\Delta p_{i},p_{-i},v\left( p,w\right) \right) \)から\(x^{\ast }\left( p_{i}+\Delta p_{i},p_{-i},w\right) \)への変化は価格比が一定のもとで実質所得のみが変化したことによる消費の変化と解釈できます。したがって、商品\(i\)に関する所得効果は、\begin{equation*}x_{i}^{\ast }\left( p_{i}+\Delta p_{i},p_{-i},w\right) -h_{i}^{\ast }\left(
p_{i}+\Delta p_{i},p_{-i},v\left( p,w\right) \right)
\end{equation*}となります。効用最大化問題と支出最小化問題の双対性より、\begin{eqnarray*}
x_{i}^{\ast }\left( p_{i}+\Delta p_{i},p_{-i},w\right) &=&x_{i}^{\ast
}\left( p_{i}+\Delta p_{i},p_{-i},e\left( p_{i}+\Delta p_{i},p_{-i},v\left(
p_{i}+\Delta p_{i},p_{-i},w\right) \right) \right) \\
h_{i}^{\ast }\left( p_{i}+\Delta p_{i},p_{-i},v\left( p,w\right) \right)
&=&x_{i}^{\ast }\left( p_{i}+\Delta p_{i},p_{-i},e\left( p_{i}+\Delta
p_{i},p_{-i},v\left( p,w\right) \right) \right)
\end{eqnarray*}などの関係が成り立つため、所得効果を、\begin{equation*}
x_{i}^{\ast }\left( p_{i}+\Delta p_{i},p_{-i},e\left( p_{i}+\Delta
p_{i},p_{-i},v\left( p_{i}+\Delta p_{i},p_{-i},w\right) \right) \right)
-x_{i}^{\ast }\left( p_{i}+\Delta p_{i},p_{-i},e\left( p_{i}+\Delta
p_{i},p_{-i},v\left( p,w\right) \right) \right)
\end{equation*}と表現できます。\(\Delta p_{i}\)が十分小さい場合には、\begin{eqnarray*}&&x_{i}^{\ast }\left( p_{i}+\Delta p_{i},p_{-i},e\left( p_{i}+\Delta
p_{i},p_{-i},v\left( p_{i}+\Delta p_{i},p_{-i},w\right) \right) \right)
-x_{i}^{\ast }\left( p_{i}+\Delta p_{i},p_{-i},e\left( p_{i}+\Delta
p_{i},p_{-i},v\left( p,w\right) \right) \right) \\
&\approx &-\frac{\partial x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial w}\cdot
\frac{\partial e\left( p,v\left( p,w\right) \right) }{\partial p_{i}}\cdot
\Delta p_{i} \\
&=&-\frac{\partial x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial w}\cdot
h_{i}^{\ast }\left( p,v\left( p,w\right) \right) \cdot \Delta p_{i}\quad
\because \text{シェファードの補題} \\
&=&-\frac{\partial x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial w}\cdot
x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) \cdot \Delta p_{i}\quad \because \text{効用最大化問題と支出最小化問題の双対性}
\end{eqnarray*}という近似関係が成立することに注意してください。\(\Delta p_{i}=1\)である場合、これはスルツキー方程式の右辺の第2項に相当します。つまり、スルツキー方程式の右辺の第2項は代替効果を表しているということです。
スルツキー方程式の活用例
価格ベクトルと所得\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)および商品\(i\in \left\{ 1,\cdots,N\right\} \)をそれぞれ任意に選んだとき、スルツキー方程式より、\begin{equation*}\frac{\partial x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial p_{i}}=\frac{\partial h_{i}^{\ast }\left( p,v\left( p,w\right) \right) }{\partial p_{i}}-\frac{\partial x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial w}\cdot x_{i}^{\ast
}\left( p,w\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。先の議論から明らかになったように、左辺は商品\(i\)の需要に関する価格効果である一方、右辺の第1項は代替効果であり、右辺の第2項は所得効果です。通常、代替効果を特定するためには補償需要関数\(h_{i}^{\ast }\)を特定した上でそれを自身の価格\(p_{i}\)について偏微分する必要がありますが、上の関係より、\begin{equation*}\frac{\partial h_{i}^{\ast }\left( p,v\left( p,w\right) \right) }{\partial
p_{i}}=\frac{\partial x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial p_{i}}+\frac{\partial x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial w}\cdot x_{i}^{\ast
}\left( p,w\right)
\end{equation*}を得るため、需要関数\(x_{i}^{\ast }\)から代替効果を特定できます。
\end{equation*}を定めるものとします。この場合、需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)が存在して、これはそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2},w\right)\in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \\
x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\frac{w}{2p_{1}} \\
\frac{w}{2p_{2}}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるとともに、間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left(p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}v\left( p_{1},p_{2},w\right) =\frac{w^{2}}{4p_{1}p_{2}}
\end{equation*}を定めます。価格ベクトルと所得の組\(\left(p_{1},p_{2},v\left( p_{1},p_{2},w\right) \right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、そこでの商品\(1\)に関する代替効果は、\begin{eqnarray*}\frac{\partial x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) }{\partial p_{1}}+\frac{\partial x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) }{\partial w}\cdot
\partial x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) &=&\frac{\partial }{\partial p_{1}}\left( \frac{w}{2p_{1}}\right) +\frac{\partial }{\partial w}\left( \frac{w}{2p_{1}}\right) \cdot \frac{w}{2p_{1}} \\
&=&-\frac{w}{2p_{1}^{2}}+\frac{w}{4p_{1}^{2}} \\
&=&-\frac{w}{4p_{1}^{2}}
\end{eqnarray*}であり、商品\(2\)に関する代替効果は、\begin{eqnarray*}\frac{\partial x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) }{\partial p_{2}}+\frac{\partial x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) }{\partial w}\cdot
\partial x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) &=&\frac{\partial }{\partial p_{2}}\left( \frac{w}{2p_{2}}\right) +\frac{\partial }{\partial w}\left( \frac{w}{2p_{2}}\right) \cdot \frac{w}{2p_{2}} \\
&=&-\frac{w}{2p_{2}^{2}}+\frac{w}{4p_{2}^{2}} \\
&=&-\frac{w}{4p_{2}^{2}}
\end{eqnarray*}となります。
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