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CONSUMER THEORY

線型効用関数

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線型効用関数

消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上に定義された効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの消費ベクトル\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して定める値が、\begin{equation*}\forall n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :\alpha _{n}>0
\end{equation*}を満たす定数\(\alpha _{1},\cdots ,\alpha_{N}\)を用いて、\begin{equation*}u\left( x\right) =\alpha _{1}x_{1}+\cdots +\alpha _{N}x_{N}
\end{equation*}という形で表されるとき、このような効用関数\(u\)を線型効用関数(linear utility function)と呼びます。

例(線型効用関数)
2財モデルにおける線型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}
\end{equation*}を定めます。ただし、\(\alpha _{1},\alpha _{2}>0\)です。例えば、\(\alpha _{1}=1\)かつ\(\alpha _{2}=2\)であれば、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}+2x_{2}
\end{equation*}となります。
例(線型効用関数)
3財モデルにおける線型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) =\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+\alpha
_{3}x_{3}
\end{equation*}を定めます。ただし、\(\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}>0\)です。例えば、\(\alpha _{1}=1\)かつ\(\alpha _{2}=2\)かつ\(\alpha _{3}=3\)であれば、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) =x_{1}+2x_{2}+3x_{3}
\end{equation*}となります。

 

完全代替財

線型効用関数はどのような選好を表現しているのでしょうか。具体例として、2財モデルにおいて消費者の選好が線型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)によって表現される状況を想定します。つまり、\(u\)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}
\end{equation*}を定めるということです。消費ベクトル\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)を任意に選んだとき、そこでのそれぞれの商品の限界効用は、\begin{eqnarray*}MU_{1}\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\frac{\partial u\left(
x_{1},x_{2}\right) }{\partial x_{1}}=\alpha _{1} \\
MU_{1}\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\frac{\partial u\left(
x_{1},x_{2}\right) }{\partial x_{2}}=\alpha _{2}
\end{eqnarray*}であるため、\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)における商品\(1\)の商品\(2\)で測った限界代替率は、\begin{equation*}MRS_{12}\left( x_{1},x_{2}\right) =\frac{MU_{1}\left( x_{1},x_{2}\right) }{MU_{2}\left( x_{1},x_{2}\right) }=\frac{\alpha _{1}}{\alpha _{2}}
\end{equation*}となります。任意の\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)について同様の議論が成立するため、線型効用関数のもとでは消費ベクトル\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)に依存せず限界代替率\(MRS_{12}\left( x_{1},x_{2}\right) \)が定数\(\frac{\alpha _{1}}{\alpha _{2}}\)になります。

これは何を意味しているのでしょうか。限界代替率\(MRS_{12}\left( x_{1},x_{2}\right) \)とは、消費ベクトル\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)を出発点として商品\(1\)の消費量を\(1\)単位変化させたときに効用水準を\(u\left( x_{1},x_{2}\right) \)に保つために変化させる必要のある商品\(2\)の量を表しています。言い換えると、消費者が\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)を選択しているとき、消費者にとっての\(1\)単位の商品\(1\)の主観的な価値は\(MRS_{12}\left( x_{1},x_{2}\right) \)単位の商品\(2\)の主観的価値と一致するということです。以上を踏まえると、\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)に依存せず\(MRS_{12}\left( x_{1},x_{2}\right) \)が\(\frac{\alpha _{1}}{\alpha _{2}}\)で一定であることとは、商品\(1,2\)の消費量とは関係なく常に、消費者にとって\(1\)単位の商品\(1\)の主観的価値が\(\frac{\alpha _{1}}{\alpha _{2}}\)単位の商品\(2\)の主観的価値と一致することを意味します。

\(N\)財モデルにおける線型効用関数についても同様の議論が成立します。

命題(線型効用関数のもとでの限界代替率)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が線型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)として表される場合には、2つの異なる商品\(i,j\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} \)を任意に選んだとき、任意の\(x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)において、\begin{equation*}MRS_{ij}\left( x\right) =\frac{\alpha _{i}}{\alpha _{j}}
\end{equation*}が成り立つ。
証明

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つまり、\(N\)財モデルにおいて消費者の選好が線型効用関数によって表されている場合には、2つの商品\(i,j\)を任意に選んだとき、消費ベクトル\(x\)に依存せず限界代替率\(MRS_{ij}\left( x\right) \)は\(\frac{\alpha _{i}}{\alpha _{j}}\)で一定です。これは、商品の消費量とは関係なく常に、消費者にとって\(1\)単位の商品\(i\)の主観的価値が\(\frac{\alpha _{i}}{\alpha _{j}}\)単位の商品\(j\)の主観的価値と一致することを意味します。同様の関係が任意の2つの商品\(i,j\)の間に成立します。

複数の商品の間の主観的な価値が常に一定である場合、つまりそれらの商品の限界代替率が消費ベクトルに依存せず一定である場合、それらの商品を完全代替財(perfect substitutes)と呼びます。線型効用関数は完全代替財を消費する場合の選好を表しています。

例(完全代替財)
500円硬貨と1000円紙幣という2つの商品について考えます。ある人にとって重要なことは得られる金額の大きさであり、硬貨と紙幣の違いは重要ではないならば、この人にとって500円硬貨と1000円紙幣は完全代替財です。具体的には、500円硬貨の数量を\(x_{1}\)で、1000円紙幣の数量を\(x_{2}\)で表す場合、得られる合計金額のみを重視する人の効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)は、それぞれの\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =500x_{1}+1000x_{2}
\end{equation*}を定めます。これは線型効用関数です。消費ベクトル\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}MRS_{12}\left( x_{1},x_{2}\right) =\frac{MU_{1}\left( x_{1},x_{2}\right) }{MU_{2}\left( x_{1},x_{2}\right) }=\frac{500}{1000}=\frac{1}{2}
\end{equation*}が成り立ちますが、これは、この人にとって\(1\)枚の500円硬貨の主観的価値が\(\frac{1}{2}\)枚の1000円紙幣の主観的価値と常に一致することを意味します。
例(完全代替財)
2つのブランドのビールについて考えます。ある人にとって重要なことは酔えるかどうかだけ(飲量)であり、味やブランドの違いは重要でないならば、この人にとってこの2種類のビールは完全代替財です。具体的には、一方のブランドのビールの飲量を\(x_{1}\)で、他方のブランドのビールの飲量を\(x_{2}\)で表す場合、合計飲量だけを重視する人の効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)は、それぞれの\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}+x_{2}
\end{equation*}を定めます。これは線型効用関数です。消費ベクトル\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}MRS_{12}\left( x_{1},x_{2}\right) =\frac{MU_{1}\left( x_{1},x_{2}\right) }{MU_{2}\left( x_{1},x_{2}\right) }=\frac{1}{1}=1
\end{equation*}が成り立ちますが、これは、この人にとって2つのブランドのビールの1単位どうしの主観的価値が常に一致することを意味します。

 

線型効用関数の単調性

線型効用関数は狭義単調増加関数です。

命題(線型効用関数の単調性)
線型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)は狭義単調増加関数である。
証明

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狭義単調増加関数は単調増加関数でもあり、局所非飽和関数でもあります。したがって上の命題より、線型効用関数は単調性と局所非飽和性を満たします。局所非飽和な効用関数のもとではワルラスの法則が成立します。以上より、線型効用関数を分析対象とする場合、消費者は解において所得を使い切ることが保証されます。

 

線型効用関数の連続性

線型効用関数は文字通り線型関数であるため連続関数です。

命題(線型効用関数の連続性)
線型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)は連続関数である。
証明

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線型効用関数の連続微分可能性

線型効用関数は文字通り線型関数であるため連続微分可能(\(C^{1}\)級)です。後の便宜も考えて、消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)の内部\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)における微分微分可能に限定せず、ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{N}\)上で連続微分可能であることを確認しておきます。

命題(線型効用関数の連続微分可能性)
線型効用関数\(u:\mathbb{R} ^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)は連続微分可能である。
証明

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線型効用関数の凹性

線型効用関数は文字通り線型関数であるため、凹関数であるとともに凸関数でもあります。消費者理論の文脈において特に重要なのは凹性です。

命題(線型効用関数の凹性)
線型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)は凹関数である。
証明

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効用関数が\(C^{1}\)級の準凹関数である場合、ある消費ベクトルがクーンタッカーの条件を満たすことは、その消費ベクトルが効用最大化問題の解であるための必要十分条件となります。これまでの議論から明らかになったように、線型効用関数は\(\mathbb{R} ^{N}\)上において\(C^{1}\)級であり、消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上において準凹です。したがって、線型効用関数のもとでの効用最大化問題において、クーンタッカーの条件を満たす消費ベクトルはそのまま効用最大化問題の解になります。

次回は線型効用関数のもとでの効用最大化問題について考えます。

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DISCUSSION

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消費者理論