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限界効用

消費集合\(X\subset \mathbb{R}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R}\)が与えられているものとします。消費ベクトル\(\overline{x}\in X\)を任意に選んだ上で、そこを出発点として特定の商品\(i\ \left( =1,\cdots ,N\right) \)の消費量\(x_{i}\)だけを\(\Delta x_{i}\)だけ変化させると、それに応じて効用の値は\(u\left( \overline{x}\right) \)から\(u\left( \overline{x}_{1},\cdots ,\overline{x}_{i}+\Delta x_{i},\cdots ,\overline{x}_{N}\right) \)まで変化します。このとき、効用\(u\left( x\right) \)の変化量と商品\(i\)の消費量\(x_{i}\)の変化量の比を、\begin{equation*}MU_{i}\left( \overline{x}\right) =\frac{u\left( \overline{x}_{1},\cdots ,\overline{x}_{i}+\Delta x_{i},\cdots ,\overline{x}_{N}\right) -u\left(
\overline{x}\right) }{\Delta x_{i}}
\end{equation*}で表記し、これを\(\overline{x}\)における商品\(i\)の限界効用(marginal utility of commodity \(i\)at \(\overline{x}\))と呼びます。これは、消費ベクトル\(\overline{x}\)を出発点に商品\(i\)の消費量だけを\(1\)単位だけ変化させた場合の効用の変化量を表す指標です。

例(限界効用)
1財モデルにおいて消費集合は\(\mathbb{R} _{+}\)であるとともに、選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x\right) =\frac{1}{2}x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。消費ベクトル\(\overline{x}\in \mathbb{R} _{+}\)を任意に選んだとき、そこでの商品の限界効用は、\begin{eqnarray*}MU\left( \overline{x}\right) &=&\frac{u\left( \overline{x}+\Delta x\right)
-u\left( \overline{x}\right) }{\Delta x}\quad \because MU\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{\Delta x}\left[ \frac{\left( \overline{x}+\Delta x\right) ^{2}}{2}-\frac{\overline{x}^{2}}{2}\right] \quad \because u\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{\Delta x}\left[ \frac{2\overline{x}\cdot \Delta x+\left( \Delta
x\right) ^{2}}{2}\right] \\
&=&\frac{2\overline{x}+\Delta x}{2} \\
&=&a+\frac{\Delta x}{2}
\end{eqnarray*}となります。例えば、\(\overline{x}=1\)の場合には、\begin{equation*}MU\left( 1\right) =1+\frac{\Delta x}{2}
\end{equation*}であり、\(\overline{x}=2\)の場合には、\begin{equation*}MU\left( 2\right) =2+\frac{\Delta x}{2}
\end{equation*}となります。

例(限界効用)
2財モデルにおいて消費集合は\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)であるとともに、選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}x_{2}
\end{equation*}を定めるものとします。消費ベクトル\(\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}\)を任意に選んだとき、そこでの商品\(1\)の限界効用は、\begin{eqnarray*}MU_{1}\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) &=&\frac{u\left(
\overline{x}_{1}+\Delta x_{1},\overline{x}_{2}\right) -u\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) }{\Delta x_{1}}\quad \because MU\text{の定義} \\
&=&\frac{\left( \overline{x}_{1}+\Delta x_{1}\right) \overline{x}_{2}-\overline{x}_{1}\overline{x}_{2}}{\Delta x_{1}}\quad \because u\text{の定義} \\
&=&\frac{\Delta x_{1}\overline{x}_{2}}{\Delta x_{1}} \\
&=&\overline{x}_{2}
\end{eqnarray*}となります。一方、\(\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \)における商品\(2\)の限界効用は、\begin{eqnarray*}MU_{2}\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) &=&\frac{u\left(
\overline{x}_{1},\overline{x}_{2}+\Delta x_{2}\right) -u\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) }{\Delta x_{2}}\quad \because MU\text{の定義} \\
&=&\frac{a_{1}\left( \overline{x}_{2}+\Delta x_{2}\right) -\overline{x}_{1}\overline{x}_{2}}{\Delta x_{2}}\quad \because u\text{の定義} \\
&=&\frac{\overline{x}_{1}\Delta x_{2}}{\Delta x_{2}} \\
&=&\overline{x}_{1}
\end{eqnarray*}となります。例えば、\(\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) =\left( 1,1\right) \)の場合には、\begin{eqnarray*}MU_{1}\left( 1,1\right) &=&1 \\
MU_{2}\left( 1,1\right) &=&1
\end{eqnarray*}であり、\(\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) =\left( 2,3\right) \)の場合には、\begin{eqnarray*}MU_{1}\left( 2,3\right) &=&3 \\
MU_{2}\left( 2,3\right) &=&2
\end{eqnarray*}となります。

 

微分による限界効用の定義

繰り返しになりますが、消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、消費ベクトル\(\overline{x}\in X\)と商品\(i\ \left( =1,\cdots ,N\right) \)をそれぞれ任意に選ぶと、点\(\overline{x}\)における商品\(i\)の限界効用は、\begin{equation}MU_{i}\left( \overline{x}\right) =\frac{u\left( \overline{x}_{1},\cdots ,\overline{x}_{i}+\Delta x_{i},\cdots ,\overline{x}_{N}\right) -u\left(
\overline{x}\right) }{\Delta x_{i}} \quad \cdots (1)
\end{equation}と定義されますが、先に例を通じて確認したように、この値は商品\(i\)の変化量\(\Delta x_{i}\)に依存するため一意的に定まりません。このような問題を解決するために微分を用いて限界効用を定義します。具体的には、効用関数\(u\)が点\(\overline{x}\)において偏微分可能である場合には十分小さい\(\Delta x_{i}\)について、\begin{equation*}u\left( \overline{x}_{1},\cdots ,\overline{x}_{i}+\Delta x_{i},\cdots ,\overline{x}_{N}\right) \approx u\left( \overline{x}\right) +\frac{\partial
u\left( \overline{x}\right) }{\partial x_{i}}\Delta x_{i}
\end{equation*}という近似関係が成立するため、これと\(\left( 1\right) \)より、十分小さい\(\Delta x_{i}\)について、\begin{equation*}MU_{i}\left( \overline{x}\right) \approx \frac{\partial u\left( \overline{x}\right) }{\partial x_{i}}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。一般に、偏微分係数が存在する場合には一意的であるため、上の近似式の右辺の値が存在する場合には一意的に定まります。以上を踏まえた上で、以降では点\(\overline{x}\)における商品\(i\)の限界効用を、\begin{equation*}MU_{i}\left( \overline{x}\right) =\frac{\partial u\left( \overline{x}\right)
}{\partial x_{i}}
\end{equation*}と定義します。つまり、効用関数\(u\)の点\(\overline{x}\)における変数\(x_{i}\)に関する偏微分係数として\(MU_{i}\left( \overline{x}\right) \)を定義するということです。

効用関数\(u:\mathbb{R} ^{N}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が商品\(i\)の消費量\(x_{i}\)に関して偏微分可能である場合には、すなわち、変数\(x_{i}\)に関する偏導関数\begin{equation*}\frac{\partial u\left( x\right) }{\partial x_{i}}:X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が存在する場合には、それぞれの消費ベクトル\(x\in X\)に対して、そこでの商品\(i\)の限界効用\begin{equation*}MU_{i}\left( x\right) =\frac{\partial u\left( x\right) }{\partial x_{i}}
\end{equation*}が存在することが保証されます。

例(限界効用)
1財モデルにおいて消費集合は\(\mathbb{R} _{+}\)であるとともに、選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x\right) =\frac{1}{2}x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(u\)は微分可能であるため、消費ベクトル\(x\in \mathbb{R} _{+}\)を任意に選んだとき、そこでの商品の限界効用は、\begin{eqnarray*}MU\left( x\right) &=&\frac{du\left( x\right) }{dx}\quad \because MU\text{の定義} \\
&=&\frac{d}{dx}\left( \frac{1}{2}x^{2}\right) \quad \because u\text{の定義} \\
&=&x
\end{eqnarray*}となります。例えば、\(x=1\)の場合には、\begin{equation*}MU\left( 1\right) =1
\end{equation*}であり、\(x=2\)の場合には、\begin{equation*}MU\left( 2\right) =2
\end{equation*}となります。

例(限界効用)
2財モデルにおいて消費集合は\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)であるとともに、選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}x_{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(u\)は偏微分可能であるため、消費ベクトル\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}\)を任意に選んだとき、そこでの商品\(1\)の限界効用は、\begin{eqnarray*}MU_{1}\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\frac{\partial u\left(
x_{1},x_{2}\right) }{\partial x_{1}}\quad \because MU\text{の定義} \\
&=&\frac{\partial }{\partial x_{1}}\left( x_{1}x_{2}\right) \quad \because u\text{の定義} \\
&=&x_{2}
\end{eqnarray*}であり、商品\(2\)の限界効用は、\begin{eqnarray*}MU_{2}\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\frac{\partial u\left(
x_{1},x_{2}\right) }{\partial x_{2}}\quad \because MU\text{の定義} \\
&=&\frac{\partial }{\partial x_{2}}\left( x_{1}x_{2}\right) \quad \because u\text{の定義} \\
&=&x_{1}
\end{eqnarray*}となります。例えば、\(\left( x_{1},x_{2}\right) =\left( 1,1\right) \)の場合には、\begin{eqnarray*}MU_{1}\left( 1,1\right) &=&1 \\
MU_{2}\left( 1,1\right) &=&1
\end{eqnarray*}であり、\(\left( x_{1},x_{2}\right) =\left(2,3\right) \)の場合には、\begin{eqnarray*}MU_{1}\left( 2,3\right) &=&3 \\
MU_{2}\left( 2,3\right) &=&2
\end{eqnarray*}となります。

 

限界効用の値は効用関数の基数的性質

消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、狭義の単調増加関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で両者の合成関数\(f\circ u:X\rightarrow \mathbb{R} \)をとると、この\(f\circ u\)もまた\(\succsim \)を表現する効用関数であることが保証されます。したがって、効用関数として\(u\)と\(f\circ u\)のどちらを採用しても一般性は失われません。この事実は限界効用に関してどのような示唆を与えてくれるのでしょうか。

例(限界効用の値は効用関数の基数的性質)
1財モデルにおいて消費集合は\(\mathbb{R} _{+}\)であるとともに、選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x\right) =\frac{1}{2}x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。消費ベクトル\(x\in \mathbb{R} _{+}\)を任意に選んだとき、そこでの商品の限界効用は、\begin{equation*}MU\left( x\right) =x
\end{equation*}です。また、それぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}v\left( x\right) =\frac{1}{4}x^{4}
\end{equation*}を定める関数\(v:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)を定義すると、これは\(u\)の単調増加変換であるため、\(v\)もまた\(\succsim \)を表す効用関数です。したがって、効用関数として\(u\)の代わりに\(v\)を採用しても一般性は失われません。その一方で、\(v\)を効用関数として採用した場合の\(x\in \mathbb{R} _{+}\)における商品の限界効用は、\begin{equation*}MU\left( x\right) =x^{3}
\end{equation*}となりますが、これは効用関数として\(u\)を採用した場合の点\(x\)における限界効用である\(x\)とは異なります(\(x>0\)の場合)。つまり、関数\(u,v\)はともに同一の選好\(\succsim \)を表す効用関数であるにも関わらず、それぞれの消費ベクトル\(x\)において、そこでの限界効用の水準はどちらの効用関数を採用するかに依存して変わってしまいます。

消費者の選好関係\(\succsim \)が与えられたとき、それを表現する効用関数は一意的には定まりません。実際、単調増加関数は無数に存在するため、\(\succsim \)を表す効用関数\(u\)が与えられたとき、それは無数の形で単調増加変換が可能であり、そうして得られる無数の関数はいずれも同一の選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数となります。つまり、その中のどの効用関数を採用しても一般性は失われないということです。その一方で、上の例が示唆するように、消費ベクトルを任意に選んだとき、そこでの限界効用の水準はどの効用関数を採用するかに依存して変化します。採用する効用関数に依存して限界効用の絶対的な水準が変化してしまうということは、限界効用の絶対的な水準は重要な情報ではないことを意味します。

 

限界効用の符号は効用関数の序数的性質

繰り返しになりますが、消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、狭義の単調増加関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、両者の合成関数\(f\circ u:X\rightarrow \mathbb{R} \)をとると、この\(f\circ u\)もまた\(\succsim \)を表現する効用関数であることが保証されます。両者がともに偏微分可能である場合、多変数関数と1変数関数の合成関数の微分より、\begin{equation}\frac{\partial \left( f\circ u\right) \left( x\right) }{\partial x_{i}}=\left. \frac{df\left( y\right) }{dy}\right\vert _{y=u\left( x\right) }\cdot
\frac{\partial u\left( x\right) }{\partial x_{i}} \quad \cdots (1)
\end{equation}という関係が成り立ちます。\(f\)は狭義の単調増加関数であることから、\begin{equation*}\left. \frac{df\left( y\right) }{dy}\right\vert _{y=u\left( x\right) }>0
\end{equation*}が成り立つことを踏まえると、これと\(\left(1\right) \)より、\(\frac{\partial \left( f\circ u\right)\left( x\right) }{\partial x_{i}}\)と\(\frac{\partial u\left( x\right) }{\partial x_{i}}\)の符号は常に一致することが保証されます。つまり、消費ベクトル\(x\in X\)と商品\(i\ \left( =1,\cdots ,N\right) \)をそれぞれ任意に選んだとき、効用関数として\(u\)と\(f\circ u\)のどちらを採用した場合でも、点\(x\)を出発点に商品\(i\)の消費を増やした場合に効用が増えるかどうか、その増減は同じ方向に評価されます。限界効用の絶対的な水準とは異なり、限界効用の符号、すなわち効用の増減方向に関する情報は重要です。

例(限界効用の符号は効用関数の序数的性質)
先と同様、1財モデルにおいて消費集合は\(\mathbb{R} _{+}\)であるとともに、選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x\right) =\frac{1}{2}x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。消費ベクトル\(x\in \mathbb{R} _{+}\)を任意に選んだとき、そこでの商品の限界効用は、\begin{equation*}MU\left( x\right) =x
\end{equation*}です。それぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}v\left( x\right) =\frac{1}{4}x^{4}
\end{equation*}を定める関数\(v:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)は\(u\)の単調増加変換であるため、これもまた\(\succsim \)を表す効用関数です。この場合の点\(x\in \mathbb{R} _{+}\)における商品の限界効用は、\begin{equation*}MU\left( x\right) =x^{3}
\end{equation*}です。任意の\(x>0\)において\(x\)と\(x^{3}\)の符号はともに正です。つまり、どちらの効用関数を採用した場合でも「消費量が多いほど望ましい」ことに変わりはありません。

 

演習問題

問題(限界効用)
効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。それぞれの消費ベクトル\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)におけるそれぞれの商品の限界効用を求めてください。
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問題(限界効用)
効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =3x_{1}+5x_{2}
\end{equation*}を定めるものとします。それぞれの消費ベクトル\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)におけるそれぞれの商品の限界効用を求めてください。
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問題(コブ・ダグラス型効用関数のもとでの限界効用)
効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x\right) =kx_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots
x_{N}^{\alpha _{N}}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(k>0\)かつ\(\alpha_{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right) \)です。このような\(u\)をコブ・ダグラス型効用関数と呼びます。それぞれの消費ベクトル\(x\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)におけるそれぞれの商品\(n\ \left( =1,\cdots ,N\right) \)の限界効用を求めてください。
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問題(レオンチェフ型効用関数のもとでの限界効用)
関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x\right) =\min \left\{ \alpha _{1}x_{1},\cdots ,\alpha
_{N}x_{N}\right\}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(\alpha _{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right) \)です。このような\(u\)をレオンチェフ型効用関数と呼びます。\(u\)は以下の集合\begin{equation*}X=\left\{ x\in \mathbb{R} _{++}^{N}\ |\ \forall i,j\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :\left(
i\not=j\Rightarrow \alpha _{i}x_{i}\not=\alpha _{j}x_{j}\right) \right\}
\end{equation*}上で偏微分可能です。それぞれの消費ベクトル\(x\in X\)におけるそれぞれの商品\(n\ \left( =1,\cdots,N\right) \)の限界効用を求めてください。
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問題(線型効用関数のもとでの限界効用)
関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x\right) =\alpha _{1}x_{1}+\cdots +\alpha _{N}x_{N}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(\alpha _{n}>0\ \left(n=1,\cdots ,N\right) \)です。このような\(u\)を線型効用関数と呼びます。それぞれの消費ベクトル\(x\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)におけるそれぞれの商品\(n\ \left( =1,\cdots ,N\right) \)の限界効用を求めてください。
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問題(準線型効用関数のもとでの限界効用)
関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して定める値は、関数\(v:\mathbb{R} _{+}^{N-1}\rightarrow \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}u\left( x\right) =x_{i}+v\left( x_{-i}\right)
\end{equation*}と表される。このような\(u\)を商品\(i\)に関する準線型効用関数と呼び、商品\(i\)をニュメレールと呼びます。それぞれの消費ベクトル\(x\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)におけるニュメレール\(i\)およびそれ以外の商品\(j\ \left( \not=i\right) \)の限界効用を求めてください。
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