効用の平均変化率
\(N\)種類の商品が存在する経済を想定した上で、消費者が直面する個々の選択肢を\(N\)次元ベクトル\begin{equation*} \boldsymbol{x}=\left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) \in \mathbb{R} ^{N}
\end{equation*}として表現します。ただし、このベクトル\(\boldsymbol{x}\)の第\(n\)成分\(x_{n}\)は商品\(n\)の消費量を表します。消費者が選択可能なすべてのベクトルからなる集合を消費集合\begin{equation*} X\subset \mathbb{R} ^{N}
\end{equation*}として表現します。消費集合\(X\)に直面した消費者は、\(X\)の要素である消費ベクトルどうしを比較しながら自身にとって最も望ましい消費ベクトルを選択します。そこで、消費者が持つ好みの体系を\(X\)上の二項関係\(\succsim \)として定式化し、これを選好関係と呼びます。具体的には、2つの消費ベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in X\)を任意に選んだときに、\begin{equation*} \boldsymbol{x}\succsim \boldsymbol{y}\Leftrightarrow \text{消費者は}\boldsymbol{x}\text{を}\boldsymbol{y}\text{以上に好む}
\end{equation*}を満たすものとして\(\succsim \)を定義します。さらに、\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する状況を想定します。効用関数の定義より、任意の消費ベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in X\)に対して、\begin{equation*} u\left( \boldsymbol{x}\right) \geq u\left( \boldsymbol{y}\right)
\Leftrightarrow \boldsymbol{x}\succsim \boldsymbol{y}
\end{equation*}という関係が成り立つため、選好関係\(\succsim \)によって表現される消費ベクトルの間の相対的な望ましさを、消費ベクトルがもたらす効用の大小関係として表現できます。
消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)を任意に選んだ上で、そこを出発点として特定の商品\(n\ \left( =1,\cdots ,N\right) \)の消費量\(x_{n}\)だけを\(\Delta x_{n}\)だけ変化させると、それに応じて効用の値は\(u\left( \boldsymbol{x}\right) \)から\(u\left( x_{1},\cdots ,x_{n}+\Delta x_{n},\cdots ,x_{N}\right) \)まで変化します。このとき、効用\(u\left( \boldsymbol{x}\right) \)の変化量と商品\(n\)の消費量\(x_{n}\)の変化量の比をとれば効用の平均変化率\begin{equation*} \frac{u\left( x_{1},\cdots ,x_{n}+\Delta x_{n},\cdots ,x_{N}\right) -u\left(
\boldsymbol{x}\right) }{\Delta x_{n}}
\end{equation*}が得られます。これは消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\)を出発点に商品\(n\)の消費量だけを\(\Delta x_{n}\)だけ変化させたときの、消費量1単位当たりの平均的な効用の変化量を表す指標です。これを消費ベクトル\(x\)を出発点とする商品\(n\)の消費量の変化\(\Delta x_{n}\)に関する効用の平均変化率（average rate of change in utility with respect to the consumption of commodity \(n\), starting from the consumption vector \(\boldsymbol{x}\)）と呼びます。
\end{equation*}と定義されます。
\end{equation*}を定めるものとします。消費ベクトル\(x\in \mathbb{R} _{+}\)を任意に選んだとき、効用の平均変化率は、\begin{eqnarray*} \frac{u\left( x+\Delta x\right) -u\left( x\right) }{\Delta x} &=&\frac{\left( x+\Delta x\right) ^{2}-x^{2}}{\Delta x}\quad \because u\text{の定義} \\
&=&\frac{x^{2}+2x\Delta x+\left( \Delta x\right) ^{2}-x^{2}}{\Delta x} \\
&=&2x+\Delta x
\end{eqnarray*}です。この例から明らかであるように、通常、効用の平均変化率の大きさは基準とする消費ベクトル\(x\)と消費の変化量\(\Delta x\)に依存して変化します。つまり、同一の効用関数を扱っていても点\(x\)や変化量\(\Delta \)が変われば効用の平均変化率は変化するということです。
}{\Delta x_{1}} \\
&&\frac{u\left( x_{1},x_{2}+\Delta x_{2}\right) -u\left( x_{1},x_{2}\right)
}{\Delta x_{2}}
\end{eqnarray*}とそれぞれ定義されます。
\end{equation*}を定めるものとします。消費ベクトル\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)を任意に選んだとき、\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)における商品\(1\)の消費の変化に関する効用の平均変化率は、\begin{eqnarray*} \frac{u\left( x_{1}+\Delta x_{1},x_{2}\right) -u\left( x_{1},x_{2}\right) }{\Delta x_{1}} &=&\lim_{\Delta x_{1}\rightarrow 0}\frac{\left( x_{1}+\Delta
x_{1}\right) x_{2}-x_{1}x_{2}}{\Delta x_{1}}\quad \because u\text{の定義} \\
&=&\lim_{\Delta x_{1}\rightarrow 0}\frac{\Delta x_{1}x_{2}}{\Delta x_{1}} \\
&=&x_{2}
\end{eqnarray*}であり、\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)における商品\(2\)の消費の変化に関する効用の平均変化率は、\begin{eqnarray*} \frac{u\left( x_{1},x_{2}+\Delta x_{2}\right) -u\left( x_{1},x_{2}\right) }{\Delta x_{2}} &=&\lim_{\Delta x_{2}\rightarrow 0}\frac{x_{1}\left(
x_{2}+\Delta x_{2}\right) -x_{1}x_{2}}{\Delta x_{2}}\quad \because u\text{の定義} \\
&=&\lim_{\Delta x_{2}\rightarrow 0}\frac{x_{1}\Delta x_{2}}{\Delta x_{2}} \\
&=&x_{1}
\end{eqnarray*}です。
限界効用
消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)と商品\(n\ \left( =1,\cdots ,N\right) \)をそれぞれ選ぶと、点\(\boldsymbol{x}\)を出発点とする商品\(n\)の消費量の変化\(\Delta x_{n}\)に関する効用の平均変化率は、\begin{equation*} \frac{u\left( x_{1},\cdots ,x_{n}+\Delta x_{n},\cdots ,x_{N}\right) -u\left(
\boldsymbol{x}\right) }{\Delta x_{n}}
\end{equation*}と定義されますが、先に例を通じて確認したように、この値は商品\(n\)の消費の変化量\(\Delta x_{n}\)に依存するため一意的に定まるとは限りません。このような問題を解決するために、偏微分を用いて定義される代替的な指標を利用します。
具体的には、効用の平均変化率の\(\Delta x_{n}\rightarrow 0\)の場合の極限が存在する場合、それは偏微分係数\begin{equation*} \frac{\partial u\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{n}}=\lim_{\Delta
x_{n}\rightarrow 0}\frac{u\left( x_{1},\cdots ,x_{n}+\Delta x_{n},\cdots
,x_{N}\right) -u\left( \boldsymbol{x}\right) }{\Delta x_{n}}
\end{equation*}として一致するため、これを\(\boldsymbol{x}\)における商品\(n\)の限界効用（marginal utility of good \(n\) at \(\boldsymbol{x}\)）と呼び、\begin{equation*} MU_{n}\left( \boldsymbol{x}\right) =\frac{\partial u\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{n}}
\end{equation*}で表記します。これは消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\)を出発点に商品\(n\)の消費量\(x_{n}\)だけを変化させる場合について、その変化量\(\Delta x_{n}\)を限りなく\(0\)に近づけたときの、消費量1単位当たりの平均的な効用の変化量を表す指標です。偏微分係数は一意的に定まるため、効用の平均変化率とは異なり、限界効用が存在する場合には一意的に定まります。
消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)において、\begin{equation*} \frac{\partial u\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{n}}>0
\end{equation*}が成り立つことは、点\(\boldsymbol{x}\)を出発点に商品\(n\)の消費量だけが増加すると効用が増加することを意味し、\begin{equation*} \frac{\partial u\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{n}}<0
\end{equation*}が成り立つことは、点\(\boldsymbol{x}\)を出発点に商品\(n\)の消費量だけが増加すると効用が減少することを意味します。
効用関数\(u:\mathbb{R} ^{N}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の任意の点\(\boldsymbol{x}\in X\)において変数\(x_{n}\)に関して偏微分可能である場合には偏導関数\begin{equation*} \frac{\partial u}{\partial x_{n}}:\mathbb{R} ^{N}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が存在するため、この場合、それぞれの\(\boldsymbol{x}\in X\)において、そこでの商品\(n\)の限界効用\begin{equation*} MU_{n}\left( \boldsymbol{x}\right) =\frac{\partial u\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{n}}
\end{equation*}が有限な実数として定まることが保証されます。
\end{equation*}と定義されます。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数は微分可能であるため、\(x\in \mathbb{R} _{+}\)を任意に選んだとき、\(x\)における商品の限界効用は、\begin{eqnarray*} MU\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}x^{2} \\
&=&2x
\end{eqnarray*}となります。したがって、\(x=1\)における商品の限界効用は、\begin{equation*} MU\left( 1\right) =2
\end{equation*}であり、\(x=2\)における商品の限界効用は、\begin{equation*} MU\left( 2\right) =4
\end{equation*}です。
}{\partial x_{1}} \\
MU_{2}\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\frac{\partial u\left( x_{1},x_{2}\right)
}{\partial x_{2}}
\end{eqnarray*}と定義されます。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数は偏微分可能であるため、消費ベクトル\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)を任意に選んだとき、\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)における商品\(1\)の限界効用は、\begin{eqnarray*} MU_{1}\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\frac{\partial }{\partial x_{1}}\left(
x_{1}x_{2}\right) \\
&=&x_{2}
\end{eqnarray*}であり、\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)における商品\(2\)の限界効用は、\begin{eqnarray*} MU_{2}\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\frac{\partial }{\partial x_{2}}\left(
x_{1}x_{2}\right) \\
&=&x_{1}
\end{eqnarray*}です。したがって、\(\left( x_{1},x_{2}\right) =\left( 1,1\right) \)におけるそれぞれの商品の限界効用は、\begin{eqnarray*} MU_{1}\left( 1,1\right) &=&1 \\
MU_{2}\left( 1,1\right) &=&1
\end{eqnarray*}であり、\(\left( x_{1},x_{2}\right) =\left( 2,3\right) \)におけるそれぞれの商品の限界効用は、\begin{eqnarray*} MU_{1}\left( 2,3\right) &=&3 \\
MU_{2}\left( 2,3\right) &=&2
\end{eqnarray*}です。
限界効用の値は効用関数の基数的性質
消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:\mathbb{R} ^{N}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、狭義単調増加関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で合成関数\(f\circ u:X\rightarrow \mathbb{R} \)をとると、これはそれぞれの消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して以下の値\begin{equation*} \left( f\circ u\right) \left( \boldsymbol{x}\right) =f\left( u\left(
\boldsymbol{x}\right) \right)
\end{equation*}を定めますが、この合成関数\(f\circ u\)もまた\(\succsim \)を表現する効用関数になることが保証されます。つまり、消費ベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in X\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*} \left( f\circ u\right) \left( \boldsymbol{x}\right) \geq \left( f\circ
u\right) \left( \boldsymbol{y}\right) \Leftrightarrow \boldsymbol{x}\succsim
\boldsymbol{y}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
f\left( u\left( \boldsymbol{x}\right) \right) \geq f\left( u\left(
\boldsymbol{y}\right) \right) \Leftrightarrow \boldsymbol{x}\succsim
\boldsymbol{y}
\end{equation*}が成り立つことが保証されるということです。したがって、効用関数として\(u\)と\(f\circ u\)のどちらを採用しても一般性は失われません。この事実は限界効用に関してどのような示唆を与えてくれるのでしょうか。
\end{equation*}を定めるものとします。消費ベクトル\(x\in \mathbb{R} _{+}\)を任意に選んだとき、そこでの商品の限界効用は、\begin{eqnarray*} MU\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left( \frac{1}{2}x^{2}\right) \\
&=&x
\end{eqnarray*}です。また、それぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*} v\left( x\right) =\frac{1}{4}x^{4}
\end{equation*}を定める関数\(v:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)を定義すると、これは\(u\)の狭義単調増加変換であるため、\(v\)もまた\(\succsim \)を表す効用関数です。したがって、効用関数として\(u\)の代わりに\(v\)を採用しても一般性は失われません。その一方で、\(v\)を効用関数として採用した場合の\(x\in \mathbb{R} _{+}\)における商品の限界効用は、\begin{eqnarray*} MU\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left( \frac{1}{4}x^{4}\right) \\
&=&x^{3}
\end{eqnarray*}となりますが、これは効用関数として\(u\)を採用した場合の点\(x\)における限界効用\(x\)とは異なります（\(x>0\)の場合）。つまり、関数\(u,v\)はともに同一の選好\(\succsim \)を表す効用関数であるにも関わらず、それぞれの消費ベクトル\(x\)において、そこでの限界効用の水準はどちらの効用関数を採用するかに依存して変わってしまいます。
消費者の選好関係\(\succsim \)が与えられたとき、それを表現する効用関数は一意的には定まりません。実際、狭義単調増加関数は無数に存在するため、\(\succsim \)を表す効用関数\(u \)が与えられたとき、それは無数の形で狭義単調増加変換が可能であり、そうして得られる無数の関数はいずれも同一の選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数となります。つまり、その中のどの効用関数を採用しても一般性は失われないということです。その一方で、先の例が示唆するように、消費ベクトルを任意に選んだとき、そこでの限界効用の水準はどの効用関数を採用するかに依存して変化します。採用する効用関数に依存して限界効用の絶対的な水準が変化してしまうということは、限界効用の絶対的な水準は重要な情報ではないことを意味します。
狭義単調増加変換と限界効用の符号
消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:\mathbb{R} ^{N}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、狭義単調増加関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で合成関数\(f\circ u:X\rightarrow \mathbb{R} \)をとると、この\(f\circ u\)もまた\(\succsim \)を表現する効用関数であることが保証されます。
\(u\)が偏微分可能かつ\(f\)が微分可能である場合、多変数関数と1変数関数の合成関数の偏微分より、\begin{equation} \frac{\partial \left( f\circ u\right) \left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{n}}=\left. \frac{df\left( y\right) }{dy}\right\vert _{y=u\left(
\boldsymbol{x}\right) }\cdot \frac{\partial u\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{n}} \quad \cdots (1)
\end{equation}を得ます。\(f\)は狭義単調増加かつ微分可能であることから、\begin{equation*} \left. \frac{df\left( y\right) }{dy}\right\vert _{y=u\left( \boldsymbol{x}\right) }\geq 0
\end{equation*}が成り立ちます。狭義の不等号ではなく不等号である理由は、狭義単調増加関数であっても、ある点において導関数が\(0\)になる場合があるからです。一方、\begin{equation*} \left. \frac{df\left( y\right) }{dy}\right\vert _{y=u\left( \boldsymbol{x}\right) }>0
\end{equation*}が成り立つ場合には、これと\(\left( 1\right) \)より、\(\frac{\partial \left( f\circ u\right) \left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{n}}\)と\(\frac{\partial u\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{n}}\)の符号は常に一致することが保証されます。つまり、消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)と商品\(n\ \left( =1,\cdots ,N\right) \)をそれぞれ任意に選んだとき、効用関数として\(u\)と\(f\circ u\)のどちらを採用した場合でも、点\(\boldsymbol{x}\)を出発点に商品\(n\)の消費を増やした場合に効用が増えるかどうか、その増減方向は常に一致します。限界効用の絶対的な水準とは異なり、限界効用の符号、すなわち効用の増減方向に関する情報は重要です。
\end{equation*}を定めるものとします。消費ベクトル\(x\in \mathbb{R} _{+}\)を任意に選んだとき、そこでの商品の限界効用は、\begin{equation*} MU\left( x\right) =x
\end{equation*}です。それぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*} v\left( x\right) =\frac{1}{4}x^{4}
\end{equation*}を定める関数\(v:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)は\(u\)の単調増加変換であるため、これもまた\(\succsim \)を表す効用関数です。この場合の点\(x\in \mathbb{R} _{+}\)における商品の限界効用は、\begin{equation*} MU\left( x\right) =x^{3}
\end{equation*}です。\(x>0\)を満たす任意の消費ベクトル\(x\)において\(x\)と\(x^{3}\)の符号はともに正です。つまり、どちらの効用関数を採用する場合においても「消費量が多いほど望ましい」ことに変わりはありません。
限界効用逓減の法則
偏微分可能な効用関数\(u:\mathbb{R} ^{N}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。消費ベクトル\(x\in X\)と商品\(n\ \left( =1,\cdots ,N\right) \)をそれぞれ任意に選んだときに、\begin{equation*} MU_{n}\left( x\right) =\frac{\partial u\left( x\right) }{\partial x_{n}}\geq
0
\end{equation*}が成り立つものとします。つまり、任意の消費ベクトル\(x=\left( x_{n},x_{-n}\right) \)を出発点としたとき、他のすべての商品の消費量を\(x_{-n}\)に固定したまま商品\(n\)の消費量\(x_{n}\)だけを増やすと効用は減少しない（増えることもある）ということです。加えて、商品\(n\)の限界効用を与える関数\(MU_{n}:\mathbb{R} ^{N}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)もまた偏微分可能であるとともに、消費ベクトル\(x\in X\)を任意に選んだときに、\begin{equation*} \frac{\partial MU_{n}\left( x\right) }{\partial x_{n}}=\frac{\partial
^{2}u\left( x\right) }{\partial x_{n}^{2}}<0
\end{equation*}が成り立つものとします。つまり、任意の消費ベクトル\(x=\left( x_{n},x_{-n}\right) \)を出発点としたとき、他のすべての商品の消費量を\(x_{-n}\)に固定したまま商品\(n\)の消費量\(x_{n}\)だけを増やすと商品\(n\)の限界効用は減少するということです。以上の2つの条件\begin{eqnarray*} &&\left( a\right) \ MU_{n}\left( x\right) \geq 0 \\
&&\left( b\right) \ \frac{\partial MU_{n}\left( x\right) }{\partial x_{n}}<0
\end{eqnarray*}が成立する場合には、商品\(n\)について限界効用逓減の法則（law of diminishing marginal utility）が成り立つと言います。これは、他の商品の消費量を固定したまま商品\(n\)の消費量を増やしていくと、効用は増えていく（または減らない）ものの、効用の増分は減少していくことを意味します。
しかし、通常の消費者理論では、効用関数の値そのものではなく、それによって表現される消費ベクトルの選好順位が重要です。したがって、限界効用逓減の法則についても、それが効用関数の狭義単調増加変換に対して保存される性質であるか確認する必要があります。
\end{equation*}を定めるものとします。限界効用は、\begin{equation*}
MU\left( x\right) =\frac{1}{2\sqrt{x}}\geq 0
\end{equation*}を満たし、さらに、\begin{equation*}
\frac{dMU\left( x\right) }{dx}=-\frac{1}{4x^{\frac{3}{2}}}<0
\end{equation*}が成り立つため、この効用関数については限界効用逓減の法則が成り立ちます。関数\(v:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*} v\left( x\right) =\left[ u\left( x\right) \right] ^{2}=x
\end{equation*}を定めるものとします。\(v\)は\(u\)の狭義単調増加変換であるため\(u\)と同じ選好関係を表します。しかし、\(v\)のもとでの限界効用は、\begin{equation*} MU\left( x\right) =1\geq 0
\end{equation*}を満たす一方で、\begin{equation*}
\frac{dMU\left( x\right) }{dx}=0
\end{equation*}が成り立つため、この効用関数については限界効用逓減の法則が成り立たず、限界効用は一定です。さらに、関数\(w:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*} w\left( x\right) =\left[ u\left( x\right) \right] ^{4}=x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(w\)も\(u\)の狭義単調増加変換であるため\(u\)と同じ選好関係を表します。しかし、\(w\)のもとでの限界効用は、\begin{equation*} MU\left( x\right) =2x\geq 0
\end{equation*}を満たす一方で、\begin{equation*}
\frac{dMU\left( x\right) }{dx}=2>0
\end{equation*}が成り立つため、この効用関数については限界効用逓減の法則は成り立たず、限界効用は逓増します。
以上の効用関数\(u,v,w\)はすべて同一の選好関係を表しているにも関わらず、\(u\)については限界効用が逓減し、\(v\)については一定であり、\(w\)については逓増します。したがって、限界効用が逓減するかどうかは選好関係そのものによって決まる性質ではなく、選好関係を表現するためにどの効用関数を採用するかに依存する性質です。
通常の消費者理論では効用を序数的に解釈するため、同一の選好関係を表現する効用関数どうしの数値的な違いは本質的な意味を持ちません。その意味において、限界効用逓減の法則は、消費者の選好そのものを特徴づける性質としては限定的な意味しか持ちません。
これに対して、消費者の選好関係そのものの性質として重要なのが凸選好です。限界効用逓減とは異なり、凸選好は採用する効用関数の具体的な数値表現には依存しない、選好関係そのものの性質です。そのため、序数的効用にもとづく通常の消費者理論では、限界効用逓減の法則よりも凸選好の方がより本質的な役割を果たします。凸選好については後述します。
演習問題
- 効用の平均変化率を定式化してください。
- 限界効用を定式化してください。
\end{equation*}を定めるものとします。それぞれの消費ベクトル\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)におけるそれぞれの商品の限界効用を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。それぞれの消費ベクトル\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)におけるそれぞれの商品の限界効用を求めてください。
x_{N}^{\alpha _{N}}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(k>0\)かつ\(\alpha _{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right) \)です。このような\(u\)をコブ・ダグラス型効用関数と呼びます。それぞれの消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)におけるそれぞれの商品\(n\ \left( =1,\cdots ,N\right) \)の限界効用を求めてください。
_{N}x_{N}\right\}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(\alpha _{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right) \)です。このような\(u\)をレオンチェフ型効用関数と呼びます。\(u\)は以下の集合\begin{equation*} X=\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} _{++}^{N}\ |\ \forall i,j\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :\left(
i\not=j\Rightarrow \alpha _{i}x_{i}\not=\alpha _{j}x_{j}\right) \right\}
\end{equation*}上で偏微分可能です。それぞれの消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)におけるそれぞれの商品\(n\ \left( =1,\cdots ,N\right) \)の限界効用を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(\alpha _{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right) \)です。このような\(u\)を線型効用関数と呼びます。それぞれの消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)におけるそれぞれの商品\(n\ \left( =1,\cdots ,N\right) \)の限界効用を求めてください。
\end{equation*}と表されるものとします。このような\(u\)を商品\(i\)に関する準線型効用関数と呼び、商品\(i\)をニュメレールと呼びます。それぞれの消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)におけるニュメレール\(i\)およびそれ以外の商品\(j\ \left( \not=i\right) \)の限界効用を求めてください。
\end{equation*}を考えます。
- \(u\)のもとでの限界効用を求め、限界効用が逓減することを示してください。
- 以下の関数\begin{equation*}
v\left( x\right) =\exp \left( u\left( x\right) \right)
\end{equation*}が\(u\)と同一の選好関係を表す効用関数であることを示してください。 - \(v\)のもとでの限界効用を求め、限界効用が逓減しないことを示してください。
- 以上の結果から、限界効用逓減が選好関係そのものの性質ではないことを説明してください。
