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CONSUMER THEORY

限界効用

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限界効用

消費集合\(X\subset \mathbb{R}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R}\)が与えられているものとします。消費ベクトル\(a=\left( a_{1},\cdots ,a_{N}\right) \in X\)を任意に選んだ上で、そこを出発点として特定の商品\(i\)の消費量\(x_{i}\)だけを\(\Delta x_{i}\)だけ変化させると、それに応じて効用の値\(u\left( x\right) \)は\(u\left( a\right) \)から\(u\left( a_{1},\cdots ,a_{i}+\Delta x_{i},\cdots ,a_{N}\right) \)まで変化します。このとき、\(u\left( x\right) \)の変化量と\(x_{i}\)の変化量の比を、\begin{equation*}
MU_{i}\left( a\right) =\frac{u\left( a_{1},\cdots ,a_{i}+\Delta x_{i},\cdots
,a_{N}\right) -u\left( a\right) }{\Delta x_{i}}
\end{equation*}と表記し、これを\(a\)における商品\(i\)の限界効用(marginal utility of commodity \(i\) at \(a\))と呼びます。これは、消費ベクトル\(a\)を出発点に商品\(i\)の消費量だけを\(1\)単位だけ変化させた場合の効用の変化量を表す指標です。

例(限界効用)
1財モデルにおいて消費集合は\(\mathbb{R} _{+}\)であるとともに、選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x\right) =\frac{1}{2}x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。消費ベクトル\(a\in \mathbb{R} _{+}\)を任意に選んだとき、そこでの商品の限界効用は、\begin{eqnarray*}MU\left( a\right) &=&\frac{u\left( a+\Delta x\right) -u\left( a\right) }{\Delta x}\quad \because MU\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{\Delta x}\left[ \frac{\left( a+\Delta x\right) ^{2}}{2}-\frac{a^{2}}{2}\right] \quad \because u\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{\Delta x}\left[ \frac{2a\cdot \Delta x+\left( \Delta x\right)
^{2}}{2}\right] \\
&=&\frac{2a+\Delta x}{2} \\
&=&a+\frac{\Delta x}{2}
\end{eqnarray*}となります。例えば、\(a=1\)の場合には、\begin{equation*}MU\left( 1\right) =1+\frac{\Delta x}{2}
\end{equation*}であり、\(a=2\)の場合には、\begin{equation*}MU\left( 2\right) =2+\frac{\Delta x}{2}
\end{equation*}となります。
例(限界効用)
2財モデルにおいて消費集合は\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)であるとともに、選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}x_{2}
\end{equation*}を定めるものとします。消費ベクトル\(\left(a_{1},a_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}\)を任意に選んだとき、そこでの商品\(1\)の限界効用は、\begin{eqnarray*}MU_{1}\left( a_{1},a_{2}\right) &=&\frac{u\left( a_{1}+\Delta
x_{1},a_{2}\right) -u\left( a_{1},a_{2}\right) }{\Delta x_{1}}\quad \because
MU\text{の定義} \\
&=&\frac{\left( a_{1}+\Delta x_{1}\right) a_{2}-a_{1}a_{2}}{\Delta x_{1}}\quad \because u\text{の定義} \\
&=&\frac{\Delta x_{1}a_{2}}{\Delta x_{1}} \\
&=&a_{2}
\end{eqnarray*}となります。同様に、商品\(2\)の限界効用は、\begin{eqnarray*}MU_{2}\left( a_{1},a_{2}\right) &=&\frac{u\left( a_{1},a_{2}+\Delta
x_{2}\right) -u\left( a_{1},a_{2}\right) }{\Delta x_{2}}\quad \because MU\text{の定義} \\
&=&\frac{a_{1}\left( a_{2}+\Delta x_{2}\right) -a_{1}a_{2}}{\Delta x_{2}}\quad \because u\text{の定義} \\
&=&\frac{a_{1}\Delta x_{2}}{\Delta x_{2}} \\
&=&a_{1}
\end{eqnarray*}となります。例えば、\(\left( a_{1},a_{2}\right) =\left( 1,1\right) \)の場合には、\begin{eqnarray*}MU_{1}\left( 1,1\right) &=&1 \\
MU_{2}\left( 1,1\right) &=&1
\end{eqnarray*}であり、\(\left( a_{1},a_{2}\right) =\left(2,3\right) \)の場合には、\begin{eqnarray*}MU_{1}\left( 2,3\right) &=&3 \\
MU_{2}\left( 2,3\right) &=&2
\end{eqnarray*}となります。

 

微分による限界効用の定義

繰り返しになりますが、消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、消費ベクトル\(a\in X\)と商品\(i\)をそれぞれ任意に選ぶと、点\(a\)における商品\(i\)の限界効用は、\begin{equation}MU_{i}\left( a\right) =\frac{u\left( a_{1},\cdots ,a_{i}+\Delta x_{i},\cdots
,a_{N}\right) -u\left( a\right) }{\Delta x_{i}} \quad \cdots (1)
\end{equation}と定義されますが、先に例を通じて確認したように、この値は商品\(i\)の変化量\(\Delta x_{i}\)に依存するため一意的に定まりません。このような問題を解決するために微分を用いて限界効用を定義します。具体的には、効用関数\(u\)が点\(a\)において偏微分可能である場合には十分小さい\(\Delta x_{i}\)について、\begin{equation*}u\left( a_{1},\cdots ,a_{i}+\Delta x_{i},\cdots ,a_{N}\right) \approx
u\left( a\right) +\frac{\partial u\left( a\right) }{\partial x_{i}}\Delta
x_{i}
\end{equation*}という近似関係が成立するため、これと\(\left( 1\right) \)より、十分小さい\(\Delta x_{i}\)について、\begin{equation*}MU_{i}\left( a\right) \approx \frac{\partial u\left( a\right) }{\partial
x_{i}}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。一般に、偏微分係数が存在する場合には一意的であるため、上の近似式の右辺の値が存在する場合には一意的に定まります。以上を踏まえた上で、以降では点\(a\)における商品\(i\)の限界効用を、\begin{equation*}MU_{i}\left( a\right) =\frac{\partial u\left( a\right) }{\partial x_{i}}
\end{equation*}と定義します。つまり、効用関数\(u\)の点\(a\)における変数\(x_{i}\)に関する偏微分係数として\(MU_{i}\left( a\right) \)を定義するということです。

例(限界効用)
1財モデルにおいて消費集合は\(\mathbb{R} _{+}\)であるとともに、選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x\right) =\frac{1}{2}x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。消費ベクトル\(a\in \mathbb{R} _{+}\)を任意に選んだとき、そこでの商品の限界効用は、\begin{eqnarray*}MU\left( a\right) &=&\frac{du\left( a\right) }{dx}\quad \because MU\text{の定義} \\
&=&\left. \frac{d}{\partial x}\left( \frac{1}{2}x^{2}\right) \right\vert
_{x=a}\quad \because u\text{の定義} \\
&=&\left. x\right\vert _{x=a} \\
&=&a
\end{eqnarray*}となります。例えば、\(a=1\)の場合には、\begin{equation*}MU\left( 1\right) =1
\end{equation*}であり、\(a=2\)の場合には、\begin{equation*}MU\left( 2\right) =2
\end{equation*}となります。
例(限界効用)
2財モデルにおいて消費集合は\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)であるとともに、選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}x_{2}
\end{equation*}を定めるものとします。消費ベクトル\(\left(a_{1},a_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}\)を任意に選んだとき、そこでの商品\(1\)の限界効用は、\begin{eqnarray*}MU_{1}\left( a_{1},a_{2}\right) &=&\frac{\partial u\left( a_{1},a_{2}\right)
}{\partial x_{1}}\quad \because MU\text{の定義} \\
&=&\left. \frac{\partial }{\partial x_{1}}\left( x_{1}x_{2}\right)
\right\vert _{\left( x_{1},x_{2}\right) =\left( a_{1},a_{2}\right) }\quad
\because u\text{の定義} \\
&=&\left. x_{2}\right\vert _{\left( x_{1},x_{2}\right) =\left(
a_{1},a_{2}\right) } \\
&=&a_{2}
\end{eqnarray*}となります。同様に、商品\(2\)の限界効用は、\begin{eqnarray*}MU_{2}\left( a_{1},a_{2}\right) &=&\frac{\partial u\left( a_{1},a_{2}\right)
}{\partial x_{2}}\quad \because MU\text{の定義} \\
&=&\left. \frac{\partial }{\partial x_{2}}\left( x_{1}x_{2}\right)
\right\vert _{\left( x_{1},x_{2}\right) =\left( a_{1},a_{2}\right) }\quad
\because u\text{の定義} \\
&=&\left. x_{1}\right\vert _{\left( x_{1},x_{2}\right) =\left(
a_{1},a_{2}\right) } \\
&=&a_{1}
\end{eqnarray*}となります。例えば、\(\left( a_{1},a_{2}\right) =\left( 1,1\right) \)の場合には、\begin{eqnarray*}MU_{1}\left( 1,1\right) &=&1 \\
MU_{2}\left( 1,1\right) &=&1
\end{eqnarray*}であり、\(\left( a_{1},a_{2}\right) =\left(2,3\right) \)の場合には、\begin{eqnarray*}MU_{1}\left( 2,3\right) &=&3 \\
MU_{2}\left( 2,3\right) &=&2
\end{eqnarray*}となります。

 

限界効用は効用関数の基数的性質

消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、単調増加関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、両者の合成関数\(f\circ u:X\rightarrow \mathbb{R} \)をとると、この\(f\circ u\)もまた\(\succsim \)を表現する効用関数であることが保証されます。したがって、効用関数として\(u\)と\(f\circ u\)のどちらを採用しても一般性は失われません。この事実は限界効用に関してどのような示唆を与えてくれるのでしょうか。

例(限界効用は効用関数の基数的性質)
1財モデルにおいて消費集合は\(\mathbb{R} _{+}\)であるとともに、選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x\right) =\frac{1}{2}x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。消費ベクトル\(a\in \mathbb{R} _{+}\)を任意に選んだとき、そこでの商品の限界効用は、\begin{equation*}MU\left( a\right) =a
\end{equation*}です。また、それぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{eqnarray*}g\left( x\right) &=&\left[ u\left( x\right) \right] ^{2} \\
&=&\left[ \frac{1}{2}x^{2}\right] ^{2}\quad \because u\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{4}x^{4}
\end{eqnarray*}を定める関数\(g:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)を定義すると、これは\(u\)の単調増加変換であるため、\(g\)もまた\(\succsim \)を表す効用関数です。したがって、効用関数として\(u\)の代わりに\(g\)を採用しても問題はありません。その一方で、\(g\)を効用関数として採用した場合の\(a\in \mathbb{R} _{+}\)における商品の限界効用は、\begin{equation*}MU\left( a\right) =a^{3}
\end{equation*}となりますが、これは効用関数として\(u\)を採用した場合の\(a\)における限界効用である\(a\)とは異なります(\(a>0\)の場合)。つまり、関数\(u,g\)はともに同一の選好\(\succsim \)を表す効用関数であるにも関わらず、それぞれの消費ベクトル\(a\)において、そこでの商品の限界効用はどちらの効用関数を採用するかに依存して変わってしまいます。

消費者の選好関係\(\succsim \)が与えられたとき、それを表現する効用関数は一意的には定まりません。実際、単調増加関数は無数に存在するため、\(\succsim \)を表す効用関数\(u\)が与えられたとき、それは無数の形で単調増加変換が可能であり、そうして得られる無数の関数はいずれも同一の選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数となります。つまり、その中のどの効用関数を採用しても一般性は失われないということです。その一方で、上の例が示唆するように、消費ベクトル\(a\)を任意に選んだとき、そこでの限界効用の水準はどの効用関数を採用するかに依存して変化します。採用する効用関数に依存して限界効用の絶対的な水準が変化してしまうということは、限界効用の絶対的な水準はそれほど重要ではないことを意味します。

 

演習問題

問題(限界効用)
効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。それぞれの消費ベクトル\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)におけるそれぞれの商品の限界効用を求めてください。
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問題(限界効用)
効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =3x_{1}+5x_{2}
\end{equation*}を定めるものとします。それぞれの消費ベクトル\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)におけるそれぞれの商品の限界効用を求めてください。
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次回は限界代替率と呼ばれる概念について解説します。

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限界代替率

限界代替率

ある消費ベクトルを出発点として、商品 i の消費量を 1 単位変化させてもなお、効用水準を保つために変化させる必要のある商品 j の量を、その消費ベクトルにおける商品 i の商品 j で測った限界代替率と呼びます。限界代替率は限界効用の比として表現できます。

DISCUSSION

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