ある消費ベクトルを基準に、ある商品の消費量だけを 1 単位変化させたときの効用の変化量を限界効用と呼びます。限界効用を効用関数の偏微分係数として定義します。限界効用の絶対的な水準は重要ではありません。

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限界効用

消費集合\(X\subset \mathbb{R}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R}\)について考えます。消費ベクトル\(\overline{x}=\left( \overline{x}_{1},\cdots ,\overline{x}_{N}\right) \in X\)を任意に選んだ上で、そこを出発点として、特定の商品\(i\)の消費量\(x_{i}\)だけ\(\Delta x_{i}\)だけ変化させると、それに応じて効用は\(u\left( \overline{x}\right) \)から\(u\left( \overline{x}_{1},\cdots ,\overline{x}_{i}+\Delta x_{i},\cdots ,\overline{x}_{N}\right) \)まで変化します。このとき、効用の変化量と商品\(i\)の消費量の変化量の比を、\begin{equation*}
MU_{1}\left( \overline{x}\right) =\frac{u\left( \overline{x}_{1},\cdots ,\overline{x}_{i}+\Delta x_{i},\cdots ,\overline{x}_{N}\right) -u\left(
\overline{x}\right) }{\Delta x_{i}}
\end{equation*}と表記し、これを\(\overline{x}\)における商品\(i\)の限界効用(marginal utility of commodity \(i\) at \(\overline{x}\))と呼びます。これは、消費ベクトル\(\overline{x}\)を基準に商品\(i\)の消費量だけを\(1\)単位変化させたときの効用の変化量に相当します。

例(限界効用)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\)が、\begin{equation*}
u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}^{\alpha }x_{2}^{\beta }
\end{equation*}で与えられているものとします。ただし、\(\alpha \)と\(\beta \)は正の実数であるような定数です。消費ベクトル\(\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \)における商品\(1\)の限界効用は、\begin{equation*}
MU_{1}\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) =\frac{u\left(
\overline{x}_{1}+\Delta x_{1},\overline{x}_{2}\right) }{\Delta x_{1}}=\frac{\left( \overline{x}_{1}+\Delta x_{1}\right) ^{\alpha }\overline{x}_{2}^{\beta }}{\Delta x_{1}}
\end{equation*}ですが、これは\(\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \)や\(\Delta x_{1}\)に依存して変化します。また、\(\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \)における商品\(2\)の限界効用は、\begin{equation*}
MU_{2}\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) =\frac{u\left(
\overline{x}_{1},\overline{x}_{2}+\Delta x_{2}\right) }{\Delta x_{2}}=\frac{\overline{x}_{1}^{\alpha }\left( \overline{x}_{2}+\Delta x_{2}\right)
^{\beta }}{\Delta x_{2}}
\end{equation*}ですが、これは\(\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \)や\(\Delta x_{2}\)に依存して変化します。

 

微分による限界効用の定義

消費集合\(X\subset \mathbb{R}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R}\)が与えられたとき、消費ベクトル\(\overline{x}\in X\)と商品\(i\in \{1,\cdots ,N\}\)をそれぞれ任意に選ぶと、\(\overline{x}\)における商品\(i\)の限界効用は、\begin{equation}
MU_{i}\left( \overline{x}\right) =\frac{u\left( \overline{x}_{1},\cdots ,\overline{x}_{i}+\Delta x_{i},\cdots ,\overline{x}_{N}\right) -u\left(
\overline{x}\right) }{\Delta x_{i}} \tag{1}
\end{equation}となりますが、これは商品\(i\)の変化量\(\Delta x_{i}\)に依存するため一意的に定まるとは限りません。こうした問題を解決するために、微分を用いて限界効用を定義します。

具体的には、効用関数\(u\)が点\(\overline{x}\)において偏微分可能である場合には、十分小さい\(\Delta x_{i}\)において、\begin{equation*}
u\left( \overline{x}_{1},\cdots ,\overline{x}_{i}+\Delta x_{i},\cdots ,\overline{x}_{N}\right) \approx u\left( \overline{x}\right) +\frac{\partial
u\left( \overline{x}\right) }{\partial x_{i}}\Delta x_{i}
\end{equation*}という近似関係が成り立ちます。これと\(\left( 1\right) \)より、\begin{equation*}
MU_{i}\left( \overline{x}\right) \approx \frac{\partial u\left( \overline{x}\right) }{\partial x_{i}}
\end{equation*}を得ます。一般に、偏微分係数が存在する場合には一意的であるため、右辺の値が存在する場合には一意的に定まります。そこで以降では、\(\overline{x}\)における商品\(i\)の限界効用を、\begin{equation*}
MU_{i}\left( \overline{x}\right) =\frac{\partial u\left( \overline{x}\right)
}{\partial x_{i}}
\end{equation*}と定義します。

例(限界効用)
先の例と同様に、消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\)が、\begin{equation*}
u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}^{\alpha }x_{2}^{\beta }
\end{equation*}で与えられているものとします。ただし、\(\alpha \)と\(\beta \)は正の実数であるような定数です。消費ベクトル\(\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \)における商品\(1\)の限界効用は、\begin{equation*}
MU_{1}\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) =\frac{\partial
u\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) }{\partial x_{1}}=\alpha
\overline{x}_{1}^{\alpha -1}\overline{x}_{2}^{\beta }
\end{equation*}であり、\(\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \)における商品\(2\)の限界効用は、\begin{equation*}
MU_{2}\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) =\frac{\partial
u\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) }{\partial x_{2}}=\beta
\overline{x}_{1}^{\alpha }\overline{x}_{2}^{\beta -1}
\end{equation*}です。

 

限界効用の基数性

復習になりますが、消費集合\(X\subset \mathbb{R}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R}\)が存在するとき、単調増加関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)を任意に選んだ上で、合成関数\(f\circ u:X\rightarrow \mathbb{R}\)を作成すると、これもまた\(\succsim \)を表す効用関数です。したがって、効用関数として\(u\)と\(f\circ u\)のどちらを採用しても一般性は失われません。

消費ベクトル\(\overline{x}\in X\)と商品\(i\in \{1,\cdots ,N\}\)をそれぞれ任意に選びます。\(u\)は点\(\overline{x}\)において偏微分可能であり、\(f\)は点\(u\left( \overline{x}\right) \)において微分可能であるものとします。効用関数として\(u\)を採用するとき、限界効用\(U_{i}\left( \overline{x}\right) \)は、\begin{equation}
\frac{\partial u\left( \overline{x}\right) }{\partial x_{i}} \tag{1}
\end{equation}となります。一方、効用関数として\(f\circ u\)を採用する場合、限界効用\(U_{i}\left( \overline{x}\right) \)は、\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \left( f\circ u\right) \left( \overline{x}\right) }{\partial
x_{i}} &=&\left. \frac{df\left( y\right) }{dy}\right\vert _{y=u\left(
\overline{x}\right) }\frac{\partial u\left( \overline{x}\right) }{\partial
x_{i}}\quad \because \text{合成関数の微分} \\
&>&\frac{\partial u\left( \overline{x}\right) }{\partial x_{i}}\quad
\because f\text{は単調増加関数}
\end{eqnarray*}となり、これは\(\left( 1\right) \)よりも大きくなります。つまり、消費ベクトル\(\overline{x}\)と商品\(i\)をそれぞれ任意に選んだとき、限界効用\(U_{i}\left( \overline{x}\right) \)の絶対的な水準は、どの効用関数を採用するかに依存して変化します。採用する効用関数に依存して限界効用が変化してしまうということは、限界効用の値そのものは重要ではないことを意味します。

次回は限界代替率と呼ばれる概念について解説します。

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