限界効用

限界効用

\(N\)種類の商品が存在する経済を想定した上で、消費者が直面する個々の選択肢を\(N\)次元ベクトル\begin{equation*}x=\left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) \in \mathbb{R} ^{N}
\end{equation*}として表現します。ただし、このベクトル\(x\)の第\(n\)成分\(x_{n}\)は商品\(n\)の消費量を表します。消費者が選択可能なすべてのベクトルからなる集合を消費集合\begin{equation*}X\subset \mathbb{R} ^{N}
\end{equation*}として表現します。消費集合\(X\)に直面した消費者は、\(X\)の要素である消費ベクトルどうしを比較しながら自身にとって最も望ましい消費ベクトルを選択します。そこで、消費者が持つ好みの体系を\(X\)上の二項関係\(\succsim \)として定式化し、これを選好関係と呼びます。具体的には、2つの消費ベクトル\(x,y\in X\)を任意に選んだときに、\begin{equation*}x\succsim y\Leftrightarrow \text{消費者は}x\text{を}y\text{以上に好む}
\end{equation*}を満たすものとして\(\succsim \)を定義します。さらに、\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する状況を想定します。効用関数の定義より、任意の消費ベクトル\(x,y\in X\)に対して、\begin{equation*}u\left( x\right) \geq u\left( y\right) \Leftrightarrow x\succsim y
\end{equation*}という関係が成り立つため、選好関係\(\succsim \)によって表現される消費ベクトルの間の相対的な望ましさを、消費ベクトルがもたらす効用の大小関係として表現できます。

消費ベクトル\(x\in X\)を任意に選んだ上で、そこを出発点として特定の商品\(n\ \left( =1,\cdots ,N\right) \)の消費量\(x_{n}\)だけを\(\Delta x_{n}\)だけ変化させると、それに応じて効用の値は\(u\left( x\right) \)から\(u\left( x_{1},\cdots,x_{n}+\Delta x_{n},\cdots ,x_{N}\right) \)まで変化します。このとき、効用\(u\left( x\right) \)の変化量と商品\(n\)の消費量\(x_{n}\)の変化量の比\begin{equation*}MU_{n}\left( x\right) =\frac{u\left( x_{1},\cdots ,x_{n}+\Delta x_{n},\cdots
,x_{N}\right) -u\left( x\right) }{\Delta x_{n}}
\end{equation*}を\(x\)における商品\(n\)の限界効用（marginal utility ofgood \(n\) at \(x\)）と呼びます。これは、消費ベクトル\(x\)を出発点に商品\(n\)の消費量だけを\(1\)単位だけ変化させた場合の効用の変化量を表す指標です。

偏微分による限界効用の定義

繰り返しになりますが、消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、消費ベクトル\(x\in X\)と商品\(n\ \left( =1,\cdots ,N\right) \)をそれぞれ任意に選ぶと、点\(x\)における商品\(n\)の限界効用は、\begin{equation*}MU_{n}\left( x\right) =\frac{u\left( x_{1},\cdots ,x_{n}+\Delta x_{n},\cdots
,x_{N}\right) -u\left( x\right) }{\Delta x_{n}}
\end{equation*}と定義されますが、先に例を通じて確認したように、。ただ、この値は商品\(n\)の変化量\(\Delta x_{n}\)に依存するため一意的に定まるとは限りません。このような問題を解決するために偏微分を用いて限界効用を定義します。

効用関数\(u:\mathbb{R} ^{N}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(x\in X\)において変数\(x_{n}\)に関して偏微分可能である場合には、十分小さい\(\Delta x_{n}\)について、\begin{equation*}u\left( x_{1},\cdots ,x_{n}+\Delta x_{n},\cdots ,x_{N}\right) \approx
u\left( x\right) +\frac{\partial u\left( x\right) }{\partial x_{n}}\Delta
x_{n}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{u\left( x_{1},\cdots ,x_{n}+\Delta x_{n},\cdots ,x_{N}\right) -u\left(
x\right) }{\Delta x_{n}}\approx \frac{\partial u\left( x\right) }{\partial
x_{n}}
\end{equation*}という近似関係が成り立ちます。一般に、偏微分係数が存在する場合には1つの実数として定まるため、上の近似式の右辺の値が存在する場合には一意的に定まります。以上を踏まえた上で、以降では、点\(x\)における商品\(n\)の限界効用を、\begin{equation*}MU_{n}\left( x\right) =\frac{\partial u\left( x\right) }{\partial x_{n}}
\end{equation*}と定義します。つまり、効用関数\(u\)の点\(x\)における変数\(x_{n}\)に関する偏微分係数として\(x\)における商品\(n\)の限界効用を定義するということです。なお、点\(x\)において、\begin{equation*}\frac{\partial u\left( x\right) }{\partial x_{n}}>0
\end{equation*}が成り立つことは、点\(x\)を出発点に商品\(n\)の消費量だけが増加すると効用が増加することを意味し、\begin{equation*}\frac{\partial u\left( x\right) }{\partial x_{n}}<0
\end{equation*}が成り立つことは、点\(x\)を出発点に商品\(n\)の消費量だけが増加すると効用が減少することを意味します。

効用関数\(u:\mathbb{R} ^{N}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の任意の点\(x\in X\)において変数\(x_{n}\)に関して偏微分可能であるならば偏導関数\begin{equation*}\frac{\partial u}{\partial x_{n}}:\mathbb{R} ^{N}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が存在するため、それぞれの\(x\in X\)に対して、そこでの商品\(n\)の限界効用\begin{equation*}MU_{n}\left( x\right) =\frac{\partial u\left( x\right) }{\partial x_{n}}\in \mathbb{R} \end{equation*}が存在することが保証されます。

限界効用の値は効用関数の基数的性質

消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:\mathbb{R} ^{N}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、狭義の単調増加関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で両者の合成関数\(f\circ u:X\rightarrow \mathbb{R} \)をとると、これはそれぞれの消費ベクトル\(x\in X\)に対して以下の値\begin{eqnarray*}\left( f\circ u\right) \left( x\right) &=&f\left( u\left( x\right) \right)
\quad \because \text{合成関数の定義} \\
&\in &\mathbb{R} \end{eqnarray*}を定めますが、この合成関数\(f\circ u\)もまた\(\succsim \)を表現する効用関数であることが保証されます。つまり、消費ベクトル\(x,y\in X\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}\left( f\circ u\right) \left( x\right) \geq \left( f\circ u\right) \left(
y\right) \Leftrightarrow x\succsim y
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
f\left( u\left( x\right) \right) \geq f\left( u\left( y\right) \right)
\Leftrightarrow x\succsim y
\end{equation*}が成り立つことが保証されるということです。したがって、したがって、効用関数として\(u\)と\(f\circ u\)のどちらを採用しても一般性は失われません。この事実は限界効用に関してどのような示唆を与えてくれるのでしょうか。

消費者の選好関係\(\succsim \)が与えられたとき、それを表現する効用関数は一意的には定まりません。実際、単調増加関数は無数に存在するため、\(\succsim \)を表す効用関数\(u\)が与えられたとき、それは無数の形で単調増加変換が可能であり、そうして得られる無数の関数はいずれも同一の選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数となります。つまり、その中のどの効用関数を採用しても一般性は失われないということです。その一方で、上の例が示唆するように、消費ベクトルを任意に選んだとき、そこでの限界効用の水準はどの効用関数を採用するかに依存して変化します。採用する効用関数に依存して限界効用の絶対的な水準が変化してしまうということは、限界効用の絶対的な水準は重要な情報ではないことを意味します。

限界効用の符号は効用関数の序数的性質

繰り返しになりますが、消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:\mathbb{R} ^{N}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、狭義の単調増加関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で合成関数\(f\circ u:X\rightarrow \mathbb{R} \)をとると、この\(f\circ u\)もまた\(\succsim \)を表現する効用関数であることが保証されます。\(u\)が偏微分可能かつ\(f\)が微分可能である場合、多変数関数と1変数関数の合成関数の偏微分より、\begin{equation}\frac{\partial \left( f\circ u\right) \left( x\right) }{\partial x_{n}}=\left. \frac{df\left( y\right) }{dy}\right\vert _{y=u\left( x\right) }\cdot
\frac{\partial u\left( x\right) }{\partial x_{n}} \quad \cdots (1)
\end{equation}を得ます。\(f\)は狭義の単調増加関数であることから、\begin{equation*}\left. \frac{df\left( y\right) }{dy}\right\vert _{y=u\left( x\right) }>0
\end{equation*}が成り立つため、これと\(\left( 1\right) \)より、\(\frac{\partial\left( f\circ u\right) \left( x\right) }{\partial x_{n}}\)と\(\frac{\partial u\left( x\right) }{\partial x_{n}}\)の符号は常に一致することが保証されます。つまり、消費ベクトル\(x\in X\)と商品\(n\ \left( =1,\cdots ,N\right) \)をそれぞれ任意に選んだとき、効用関数として\(u\)と\(f\circ u\)のどちらを採用した場合でも、点\(x\)を出発点に商品\(n\)の消費を増やした場合に効用が増えるかどうか、その増減方向は常に一致します。限界効用の絶対的な水準とは異なり、限界効用の符号、すなわち効用の増減方向に関する情報は重要です。

演習問題