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多変数関数の微分

線型近似としての多変数関数の偏微分

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線型近似としての多変数関数の偏微分

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、値として実数をとる多変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を議論の対象とします。つまり、\(f\)はそれぞれのベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、実数\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{x}\right) =f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}を値として定めるということです。

多変数関数\(f\)の定義域\(X\)において変数\(x_{k}\ \left( k=1,\cdots,n\right) \)がとり得る値からなる集合を、\begin{equation*}X_{k}\subset \mathbb{R} \end{equation*}で表記します。つまり、任意の\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)について、\begin{equation*}\boldsymbol{x}\in X\Leftrightarrow x_{k}\in X_{k}
\end{equation*}を満たすものとして\(X_{k}\)を定義するということです。変数\(x_{k}\)以外のすべての変数からなる組を、\begin{equation*}\boldsymbol{x}_{-k}=\left( x_{1},\cdots ,x_{k-1},x_{k+1},\cdots
,x_{n}\right)
\end{equation*}で表記し、\(\boldsymbol{x}_{-k}\)がとり得る値からなる集合を、\begin{equation*}X_{-k}=X_{1}\times \cdots X_{k-1}\times X_{k+1}\times \cdots X_{n}
\end{equation*}で表記します。\(\boldsymbol{x}_{-k}\in X_{-k}\)です。このとき、\begin{equation*}\boldsymbol{x}=\left( x_{k},\boldsymbol{x}_{-k}\right) \in X_{k}\times
X_{-k}=X
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

多変数関数\(f\)が変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能な定義域上の点\(\boldsymbol{a}=\left( a_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) \in X\)を選びます。つまり、点\(\boldsymbol{a}\)における変数\(x_{k}\)に関する偏微分係数\begin{equation}\frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial x_{k}}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a_{k}+h,\boldsymbol{a}_{-k}\right)
-f\left( a_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) }{h} \quad \cdots (1)
\end{equation}が有限な実数として定まるということです。以上の点\(\boldsymbol{a}\)を念頭においた上で、それぞれの\(x_{k}\in X_{k}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}を値として定める変数\(x_{k}\)に関する1変数関数\begin{equation*}f\left( x_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) :\mathbb{R} \supset X_{k}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義すると、偏微分と微分の関係より、この1変数関数\(f\left( x_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) \)の点\(a_{k}\)における微分係数について以下の関係\begin{equation*}\left. \frac{df\left( x_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) }{dx_{k}}\right\vert
_{x_{k}=a_{k}}=\frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial x_{k}}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、多変数関数\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)が点\(\boldsymbol{a}\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であることと、1変数関数\(f\left( x_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) \)が点\(a_{k}\)において微分可能であることは必要十分であるとともに、多変数関数\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)の点\(\boldsymbol{a}\)における変数\(x_{k}\)に関する偏微分係数(右辺)と1変数関数\(f\left( x_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) \)の点\(a_{k}\)における微分係数(左辺)は一致するということです。

偏微分と微分の関係に関する以上の事実と、無限小を用いた1変数関数の微分の表現を用いると以下を得ます。

命題(線型近似としての偏微分)
多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)および定義域上の点\(\boldsymbol{a}=\left( a_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) \in X\)が与えられたとき、それぞれの\(x_{k}\in X_{k}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}を定める1変数関数\begin{equation*}
f\left( x_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) :X_{k}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義する。この1変数関数\(f\left( x_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( a_{k}+h,\boldsymbol{a}_{-k}\right) -f\left( \boldsymbol{a}\right)
-c\cdot h=o\left( h\right) \quad \left( h\rightarrow 0\right)
\end{equation*}を満たす有限な実数\(c\in \mathbb{R} \)が存在することと、もとの多変数関数\(f\)が点\(\boldsymbol{a}\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であることは必要十分である。さらにこのとき、\begin{equation*}c=\left. \frac{df\left( x_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) }{dx_{k}}\right\vert _{x_{k}=a_{k}}=\frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial x_{k}}
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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上の命題において\(x_{k}=a_{k}+h\)とおくことにより以下を得ます。

命題(線型近似としての偏微分)
多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)および定義域上の点\(\boldsymbol{a}=\left( a_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) \in X\)が与えられたとき、それぞれの\(x_{k}\in X_{k}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}を定める1変数関数\begin{equation*}
f\left( x_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) :X_{k}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義する。この1変数関数\(f\left( x_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) -f\left( \boldsymbol{a}\right)
-c\cdot \left( x_{k}-a_{k}\right) =o\left( x_{k}-a_{k}\right) \quad \left(
x_{k}\rightarrow a_{k}\right)
\end{equation*}を満たす有限な実数\(c\in \mathbb{R} \)が存在することと、もとの多変数関数\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)が点\(\boldsymbol{a}\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であることは必要十分条件である。さらにこのとき、\begin{equation*}c=\left. \frac{df\left( x_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) }{dx_{k}}\right\vert _{x_{k}=a_{k}}=\frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial x_{k}}
\end{equation*}が成り立つ。

以上の命題はどのような示唆を与えてくれるのでしょうか。多変数関数\(f\)が点\(\left( a_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) \)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であるものとします。1変数関数\(f\left( x_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) \)に注目したとき、この場合、変数\(x_{k}\)に関する関数\begin{equation*}f\left( x_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) -\left[ f\left( \boldsymbol{a}\right) +c\cdot \left( x_{k}-a_{k}\right) \right] \end{equation*}が、やはり変数\(x_{k}\)に関する関数\begin{equation*}x_{k}-a_{k}
\end{equation*}よりも点\(a_{k}\)において高位の無限小になるような有限な実数\(c\)が存在します。つまり、点\(a_{k}\)に限りなく近い任意の\(x_{k}\)において\(f\left( x_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) -\left[ f\left( \boldsymbol{a}\right) +c\cdot \left( x_{k}-a_{k}\right) \right] \)と\(x_{k}-a_{k}\)はともに\(0\)に限りなく近づくだけでなく、\(f\left( x_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) -\left[ f\left( \boldsymbol{a}\right) +c\cdot \left( x_{k}-a_{k}\right) \right] \)の大きさは\(x_{k}-a_{k}\)の大きさと比べると無視できるほど小さくなります。言い換えると、変数\(x_{k}\)を点\(a_{k}\)に限りなく近づける場合、\(f\left( x_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) \)と\(f\left( \boldsymbol{a}\right) +c\cdot \left(x_{k}-a_{k}\right) \)の誤差は\(0\)に限りなく近づくだけでなく、その誤差の大きさは\(x_{k}\)と\(a_{k}\)の誤差と比べても無視できるほど小さくなるということです。したがって、多変数関数\(f\)が点\(\boldsymbol{a}\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能である場合には、1変数関数\(f\left( x_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) \)に関して、点\(a_{k}\)に限りなく近い任意の\(x_{k}\)において、\begin{equation*}f\left( x_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) \approx f\left( \boldsymbol{a}\right) +c\cdot \left( x_{k}-a_{k}\right)
\end{equation*}という近似式が成り立ちます。加えて、\begin{equation*}
c=\left. \frac{df\left( x_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) }{dx_{k}}\right\vert _{x_{k}=a_{k}}=\frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial x_{k}}
\end{equation*}であることを踏まえると、先の近似式を、\begin{equation*}
f\left( x_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) \approx f\left( \boldsymbol{a}\right) +\frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial x_{k}}\cdot
\left( x_{k}-a_{k}\right)
\end{equation*}と表現できます。

結論を整理すると、多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(\boldsymbol{a}\in X\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であることは、1変数関数\(f\left( x_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) \)に関して、点\(a_{k}\)の周辺の任意の点\(x_{k}\)において以下の近似式\begin{equation*}f\left( x_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) \approx f\left( \boldsymbol{a}\right) +\frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial x_{k}}\cdot
\left( x_{k}-a_{k}\right)
\end{equation*}が成立することを意味します。つまり、変数\(x_{k}\)に関する1次の多項式関数\begin{eqnarray*}P_{1,a_{k}}\left( x_{k}\right) &=&f\left( a_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) +\frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial x_{k}}\cdot \left(
x_{k}-a_{k}\right) \\
&=&\frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial x_{k}}\cdot x_{k}+\left[ f\left( \boldsymbol{a}\right) -\frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial x_{k}}\cdot a_{k}\right] \end{eqnarray*}を定義したとき、点\(a_{k}\)の周辺において、1変数関数\(f\left( x_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) \)は関数\(P_{1,a_{k}}\left( x_{k}\right) \)と近似的に等しくなるということです。この関数\(P_{1,a_{k}}\left( x_{k}\right) \)を点\(a_{k}\)における\(f\left( x_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) \)\(1\)次のテイラー近似多項式(1st degree approximating polynomial of \(f\left( \cdot ,\boldsymbol{a}_{-k}\right) \) at \(a_{k}\))と呼びます。関数\(f\)を点\(\boldsymbol{a}\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分することとは、点\(a_{k}\)の周辺において、1変数関数\(f\left( x_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) \)を、よりシンプルな1次の多項式関数\(P_{1,a_{k}}\left(x_{k}\right) \)で近似することを意味します。

例(線型近似としての偏微分)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x^{3}y^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は変数\(x\)に関して偏微分可能であり、偏導関数\(\frac{\partial f}{\partial x}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}\frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial x}=3x^{2}y^{2}
\end{equation*}を定めます。したがって、点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、点\(a\)における1変数関数\(f\left( x,b\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)の1次のテイラー近似多項式\begin{eqnarray*}P_{1,a}\left( x\right) &=&f\left( a,b\right) +\frac{\partial f\left(
a,b\right) }{\partial x}\cdot \left( x-a\right) \\
&=&a^{3}b^{2}+3a^{2}b^{2}\left( x-a\right) \\
&=&3a^{2}b^{2}x-2a^{3}b^{2}
\end{eqnarray*}が定義可能です。これは変数\(x\)に関する1次の多項式関数です。さらに、先の議論より、点\(a\)の周辺の任意の点\(x\)において、以下の近似式\begin{equation*}f\left( x,b\right) \approx P_{1,a}\left( x\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
x^{3}b^{2}\approx 3a^{2}b^{2}x-2a^{3}b^{2}
\end{equation*}が成り立ちます。また、\(f\)は変数\(y\)に関して偏微分可能であり、偏導関数\(\frac{\partial f}{\partial y}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}\frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial y}=2x^{2}y
\end{equation*}を定めます。したがって、点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、点\(b\)における1変数関数\(f\left( a,y\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)の1次のテイラー近似多項式\begin{eqnarray*}P_{1,b}\left( y\right) &=&f\left( a,b\right) +\frac{\partial f\left(
a,b\right) }{\partial y}\cdot \left( y-b\right) \\
&=&a^{3}b^{2}+2a^{2}b\left( y-b\right) \\
&=&2a^{2}by+a^{3}b^{2}-2a^{2}b^{2}
\end{eqnarray*}が定義可能です。これは変数\(y\)に関する1次の多項式関数です。さらに、先の議論より、点\(b\)の周辺の任意の点\(y\)において、以下の近似式\begin{equation*}f\left( a,y\right) \approx P_{1,b}\left( y\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
a^{3}y^{2}\approx 2a^{2}by+a^{3}b^{2}-2a^{2}b^{2}
\end{equation*}が成り立ちます。

 

近似多項式は1変数関数のグラフの接線の方程式

多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(\left( a_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) \in X\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能である場合には、点\(a_{k}\)の周辺の任意の点\(x_{k}\)において、1変数関数\(f\left( x_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) \)を、変数\(x_{k}\)に関する1次の多項式関数\begin{eqnarray*}P_{1,a_{k}}\left( x_{k}\right) &=&f\left( \boldsymbol{a}\right) +\frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial x_{k}}\cdot \left(
x_{k}-a_{k}\right) \\
&=&\frac{\partial f\left( a_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) }{\partial x_{k}}\cdot x_{k}+\left[ f\left( \boldsymbol{a}\right) -\frac{\partial f\left(
\boldsymbol{a}\right) }{\partial x_{k}}\cdot a_{k}\right] \end{eqnarray*}で近似できることが明らかになりました。

1変数関数\(f\left( x_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) :\mathbb{R} \supset X_{k}\rightarrow \mathbb{R} \)のグラフは、\begin{equation*}G\left( f\left( x_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) \right) =\left\{ \left(
x_{k},y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y=f\left( x_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) \right\}
\end{equation*}ですが、これは点\(\left(a_{k},f\left( \boldsymbol{a}\right) \right) \)を通過します。

近似多項式\(P_{1,a_{k}}\left( x_{k}\right) \)のグラフは、\begin{eqnarray*}G\left( P_{1,a_{k}}\right) &=&\left\{ \left( x_{k},y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y=P_{1,a_{k}}\left( x_{k}\right) \right\} \\
&=&\left\{ \left( x_{k},y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y=f\left( \boldsymbol{a}\right) +\frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial x_{k}}\cdot \left( x_{k}-a_{k}\right) \right\} \\
&=&\left\{ \left( x_{k},y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y=\frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial x_{k}}\cdot x_{k}+\left[ f\left( \boldsymbol{a}\right) -\frac{\partial f\left(
\boldsymbol{a}\right) }{\partial x_{k}}\cdot a_{k}\right] \right\}
\end{eqnarray*}ですが、これは点\(\left(a_{k},f\left( \boldsymbol{a}\right) \right) \)を通過し、傾きが\(\frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial x_{k}}\)であるような直線です。

1変数関数\(f\left( x_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) \)のグラフと近似多項式\(P_{1,a_{k}}\left( x_{k}\right) \)のグラフはともに点\(\left( a_{k},f\left( \boldsymbol{a}\right) \right) \)を通過することが明らかになりました。したがって両者は点\(\left( a_{k},f\left( \boldsymbol{a}\right) \right) \)において交わります。さらに、点\(a_{k}\)に限りなく近い任意の点\(x_{k}\)において、\begin{equation*}f\left( x_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) \approx P_{1,a_{k}}\left(
x_{k}\right)
\end{equation*}という近似式が成り立つため、点\(a_{k}\)の周辺において1変数関数\(f\left( x_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) \)のグラフと近似多項式\(P_{1,a_{k}}\left(x_{k}\right) \)のグラフは近似的に等しくなります。

このような事情を踏まえた上で、多変数関数\(f\)が点\(\boldsymbol{a}\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能である場合には、近似多項式\(P_{1,a_{k}}\left( x_{k}\right) \)のグラフ\begin{eqnarray*}G\left( P_{1,a_{k}}\right) &=&\left\{ \left( x_{k},y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y=P_{1,a_{k}}\left( x_{k}\right) \right\} \\
&=&\left\{ \left( x_{k},y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y=f\left( \boldsymbol{a}\right) +\frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial x_{k}}\cdot \left( x_{k}-a_{k}\right) \right\}
\end{eqnarray*}のことを、1変数関数\(f\left( x,\boldsymbol{a}_{-k}\right) \)のグラフの点\(\left( a_{k},f\left( \boldsymbol{a}\right) \right) \)における接線(tangent line)と呼びます。これは点\(\left( a_{k},f\left( \boldsymbol{a}\right) \right) \)を通過し、傾きが\(\frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial x_{k}}\)であるような直線です。

例(関数のグラフの接線)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x^{3}y^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は変数\(x\)に関して偏微分可能であり、偏導関数\(\frac{\partial f}{\partial x}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}\frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial x}=3x^{2}y^{2}
\end{equation*}を定めます。したがって、点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、点\(a\)における1変数関数\(f\left( x,b\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)の1次のテイラー近似多項式\begin{eqnarray*}P_{1,a}\left( x\right) &=&f\left( a,b\right) +\frac{\partial f\left(
a,b\right) }{\partial x}\cdot \left( x-a\right) \\
&=&a^{3}b^{2}+3a^{2}b^{2}\left( x-a\right) \\
&=&3a^{2}b^{2}x-2a^{3}b^{2}
\end{eqnarray*}が定義可能です。先の議論より、1変数関数\(f\left( x,b\right) \)のグラフの点\(\left( a,f\left( a,b\right) \right) \)における接線は近似多項式\(P_{1,a}\left( x\right) \)のグラフと一致し、具体的には、\begin{equation*}\left\{ \left( x,z\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ z=3a^{2}b^{2}x-2a^{3}b^{2}\right\}
\end{equation*}となります。これは点\(\left( a,a^{3}b^{2}\right) \)を通過し、傾きが\(3a^{2}b^{2}\)であるような直線です。また、\(f\)は変数\(y\)に関して偏微分可能であり、偏導関数\(\frac{\partial f}{\partial y}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}\frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial y}=2x^{2}y
\end{equation*}を定めます。したがって、点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、点\(b\)における1変数関数\(f\left( a,y\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)の1次のテイラー近似多項式\begin{eqnarray*}P_{1,b}\left( y\right) &=&f\left( a,b\right) +\frac{\partial f\left(
a,b\right) }{\partial y}\cdot \left( y-b\right) \\
&=&a^{3}b^{2}+2a^{2}b\left( y-b\right) \\
&=&2a^{2}by+a^{3}b^{2}-2a^{2}b^{2}
\end{eqnarray*}が定義可能です。先の議論より、1変数関数\(f\left( a,y\right) \)のグラフの点\(\left( b,f\left( a,b\right) \right) \)における接線は近似多項式\(P_{1,b}\left( y\right) \)のグラフと一致し、具体的には、\begin{equation*}\left\{ \left( y,z\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ z=2a^{2}by+a^{3}b^{2}-2a^{2}b^{2}\right\}
\end{equation*}となります。これは点\(\left( b,a^{3}b^{2}\right) \)を通過し、傾きが\(2a^{2}b\)であるような直線です。

 

近似多項式を用いた近似値の特定

多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(\left( a_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) \in X\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能である場合には、点\(a_{k}\)の周辺の任意の点\(x_{k}\)において、1変数関数\(f\left( x_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) \)に関して以下の近似式\begin{eqnarray*}f\left( x_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) &\approx &P_{1,a_{k}}\left(
x_{k}\right) \\
&=&f\left( \boldsymbol{a}\right) +\frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial x_{k}}\cdot \left( x_{k}-a_{k}\right)
\end{eqnarray*}が成り立つことが明らかになりました。したがって、点\(a_{k}\)の周辺にある点\(x_{k}\)に対して1変数関数\(f\left( x_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) \)が定める値の近似値を特定するためには、近似多項式\(P_{1,a_{k}}\left( x_{k}\right) \)がその値\(x_{k}\)に対して定める値\begin{equation*}P_{1,a_{k}}\left( x_{k}\right) =f\left( \boldsymbol{a}\right) +\frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial x_{k}}\cdot \left(
x_{k}-a_{k}\right)
\end{equation*}をとればよいということになります。

例(近似多項式を用いた近似値の特定)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x^{3}y^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は変数\(x\)に関して偏微分可能であり、偏導関数\(\frac{\partial f}{\partial x}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}\frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial x}=3x^{2}y^{2}
\end{equation*}を定めます。したがって、点\(\left( 1,2\right) \)に注目したとき、点\(1\)に限りなく近い任意の点\(x\)について、\begin{eqnarray*}f\left( x,2\right) &\approx &P_{1,1}\left( x\right) \\
&=&f\left( 1,2\right) +\frac{\partial f\left( 1,2\right) }{\partial x}\cdot
\left( x-1\right) \\
&=&4+12\left( x-1\right) \\
&=&12x-8
\end{eqnarray*}という近似関係が成り立ちます。以上を踏まえた上で、\(f\left(0.95,2\right) \)の近似値を求めると、\begin{eqnarray*}f\left( 0.95,2\right) &\approx &12\cdot 0.95-8 \\
&=&3.4
\end{eqnarray*}となり、\(f\left( 1.05,2\right) \)の近似値を求めると、\begin{eqnarray*}f\left( 1.05,2\right) &\approx &12\cdot 1.05-8 \\
&=&4.6
\end{eqnarray*}となります。

 

演習問題

問題(多変数関数の値の近似値)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x^{3}y^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。以下の値\begin{eqnarray*}
&&f\left( 1,2.05\right) \\
&&f\left( 1,1.95\right)
\end{eqnarray*}の近似値をそれぞれ求めてください。

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