多変数関数の全微分可能性と連続性

多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において全微分可能であるならば、\(f\)は点\(a\)において連続である。

多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が微分可能であるものとします。定義域\(X\)上の任意の点において全微分可能であるということです。すると、上の命題より\(f\)は定義域\(X\)上の任意の点において連続であることが保証されます。

関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\sqrt{x^{2}+y^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は点\(\left(0,0\right) \)において全微分可能ではありません（演習問題）。その一方で、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\sqrt{x^{2}+y^{2}}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\sqrt{0^{2}+0^{2}} \\
&=&f\left( 0,0\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため点\(\left( 0,0\right) \)において連続です。

関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\frac{xy^{2}}{x^{2}+y^{4}} & \left( if\ \left( x,y\right) \not=\left(
0,0\right) \right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は点\(\left(0,0\right) \)において連続ではありません。実際、\(f\)の定義より、\begin{equation*}f\left( 0,0\right) =0
\end{equation*}が成り立つ一方で、変数\(\left( x,y\right) \)を以下の\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合\begin{equation*}\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x=y^{2}\right\}
\end{equation*}上の点をとりながら点\(\left( 0,0\right) \)へ限りなく近づける場合、\begin{eqnarray*}\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) &\Leftrightarrow &\left(
y^{2},y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) \quad \because x=y^{2} \\
&\Leftrightarrow &y\rightarrow 0
\end{eqnarray*}であることに留意すると、\begin{eqnarray*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\left( \frac{xy^{2}}{x^{2}+y^{4}}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{y\rightarrow 0}\left( \frac{y^{4}}{y^{4}+y^{4}}\right) \quad
\because x=y^{2} \\
&=&\lim_{y\rightarrow 0}\left( \frac{1}{2}\right) \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}となりますが、これは\(f\left( 0,0\right) \)すなわち\(0\)と一致しないため、\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において連続ではありません。したがって、\(f\)は点\(\left(0,0\right) \)において全微分可能ではありません。

関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\frac{xy}{x^{2}+y^{2}} & \left( if\ \left( x,y\right) \not=\left( 0,0\right)
\right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は点\(\left(0,0\right) \)において全微分可能ではないことを証明してください。

関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\sqrt{\left\vert x\right\vert }\sqrt{\left\vert
y\right\vert }
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は点\(\left(0,0\right) \)において連続である一方で全微分可能ではないことを証明してください。

関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\sqrt{x^{2}+y^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は点\(\left(0,0\right) \)において連続である一方で全微分可能ではないことを証明してください。