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DIFFERENTIATION OF SCALAR FIELDS

全微分可能性と連続性

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全微分可能なスカラー場は連続

スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において偏微分可能である場合、\(f\)は\(a\)において必ずしも連続ではありません。同様に、スカラー場\(f\)が定義域上の点\(a\)において任意の方向に方向微分可能である場合にも、\(f\)は\(a\)において連続であるとは限りません。一方、スカラー場\(f\)が定義域上の\(a\)において全微分可能である場合、\(f\)は\(a\)において連続であることが保証されます。

命題(スカラー場は全微分可能な点において連続)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において全微分可能であるならば、\(f\)は\(a\)において連続である。
証明

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したがって以下の命題を得ます。

命題(全微分可能なスカラー場は連続)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が全微分可能であるならば、\(f\)は連続である。

上の命題の逆は成立するとは限りません。つまり、スカラー場\(f\)が定義域上の点\(a\)において連続でありながら全微分可能ではない状況は起こり得ます。

例(連続だが全微分可能ではないスカラー場)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left\vert x\right\vert
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は点\(0\)において連続ですが微分可能ではありません。1変数関数は特別なスカラー場であるとともに、1変数関数に関しては全微分と微分は概念として一致するため、これは連続だが全微分可能ではないスカラー場の例になっています。

定義域が\(2\)次元以上のユークリッド空間もしくはその部分集合であるようなスカラー場に関する例は以下の通りです。

例(連続だが全微分可能ではないスカラー場)
スカラー場\(f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\sqrt{x^{2}+y^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。このスカラー場\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において全微分可能ではない一方、\begin{eqnarray*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\sqrt{x^{2}+y^{2}}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\sqrt{0^{2}+0^{2}} \\
&=&f\left( 0,0\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つため\(\left( 0,0\right) \)において連続です。

 

スカラー場が全微分可能でないことの証明

上の命題の対偶より、スカラー場\(f\)が定義域上の点\(a\)において連続でない場合、\(f\)は\(a\)において全微分可能ではありません。つまり、スカラー場が全微分可能でないことを示すためには、そのスカラー場が連続ではないことを示せばよいということです。

例(スカラー場が全微分可能でないことの証明)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\frac{xy^{2}}{x^{2}+y^{4}} & \left( if\ \left( x,y\right) \not=\left(
0,0\right) \right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。このスカラー場\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において連続ではありません。実際、\(f\)の定義より、\begin{equation*}
f\left( 0,0\right) =0
\end{equation*}が成り立つ一方で、\(\left( x,y\right) \)を以下のような\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合\begin{equation*}
\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x=y^{2}\right\}
\end{equation*}上の点をとりながら\(\left( 0,0\right) \)へ限りなく近づける場合、\begin{eqnarray*}
\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) &\Leftrightarrow &\left(
y^{2},y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) \quad \because x=y^{2} \\
&\Leftrightarrow &y\rightarrow 0
\end{eqnarray*}であることに留意すると、\begin{eqnarray*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\left( \frac{xy^{2}}{x^{2}+y^{4}}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{y\rightarrow 0}\left( \frac{y^{4}}{y^{4}+y^{4}}\right) \quad
\because x=y^{2} \\
&=&\lim_{y\rightarrow 0}\left( \frac{1}{2}\right) \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}となりますが、これは\(f\left( 0,0\right) \)と一致しないため、ゆえに\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において連続ではありません。したがって、\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において全微分可能ではありません。

 

演習問題

問題(全微分可能性と連続性)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\frac{xy}{x^{2}+y^{2}} & \left( if\ \left( x,y\right) \not=\left( 0,0\right)
\right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。このスカラー場\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において全微分可能ではないことを証明してください。
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次回は全微分と偏微分の関係について解説します。

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