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多変数関数の微分

線型近似としての方向微分

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線型近似としての方向微分

多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が方向\(e\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)に関して方向微分可能な点\(a\in X\)を任意に選びます。この場合、点\(a\)における\(e\)方向の方向微分係数に相当する有限な実数\begin{equation*}f_{e}^{\prime }\left( a\right) =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left(
a+he\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}が存在します。\(f\)は方向微分可能な点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているため、\(0\)に十分近い任意の\(h\in \mathbb{R} \)に対して\(f\left( a+he\right) \)が有限な実数として定まることが保証されます。したがって、点\(0\)に十分近いそれぞれの\(h\in N_{\varepsilon }\left( 0\right) \)に対して、\begin{equation*}g\left( h\right) =f\left( a+he\right)
\end{equation*}を定める1変数関数\(g:\mathbb{R} \supset N_{\varepsilon }\left( 0\right) \rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。ただし、\(N_{\varepsilon }\left( 0\right) \)は点\(0\)を中心とする半径\(\varepsilon>0\)の近傍です。上のように定義される1変数関数\(g\)は変数\(h\)に関する1変数のベクトル値関数\(a+he:\mathbb{R} \supset N_{\varepsilon }\left( 0\right) \rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)と多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の合成関数であることに注意してください。方向微分と微分の関係より、多変数関数\(f\)が点\(a\)において\(C^{1}\)級である場合には、\(f\)が点\(a\)において\(e\)方向に微分可能であることと、1変数関数\(g\)が点\(0\)において微分可能であることは必要十分であるとともに、\begin{equation*}\left. \frac{dg\left( h\right) }{dh}\right\vert _{h=0}=f_{e}^{\prime }\left(
a\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

方向微分と微分の関係に関する以上の事実と、無限小を用いた1変数関数の微分の表現を用いると以下を得ます。

命題(線型近似としての方向微分)
多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と方向ベクトル\(e\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)および定義域上の点\(a\in X\)が与えられたとき、それぞれの\(h\in N_{\varepsilon }\left( 0\right) \)に対して、\begin{equation*}g\left( h\right) =f\left( a+he\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}を定める1変数関数\begin{equation*}
g:\mathbb{R} \supset N_{\varepsilon }\left( 0\right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義する。\(f\)が点\(a\)において\(C^{1}\)級である場合、この1変数関数\(g\)に関して、\begin{equation*}g\left( h\right) -g\left( 0\right) -g^{\prime }\left( 0\right) \cdot
h=o\left( h\right) \quad \left( h\rightarrow 0\right)
\end{equation*}を満たす有限な実数\(g^{\prime }\left( 0\right) \in \mathbb{R} \)が存在することは、もとの多変数関数\(f\)が点\(a\)において\(e\)方向に方向微分可能であるための必要十分条件である。さらにこのとき、\begin{equation*}g^{\prime }\left( 0\right) =f_{e}^{\prime }\left( a\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。

証明

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以上の命題はどのような示唆を与えてくれるのでしょうか。多変数関数\(f\)が点\(a\)において\(C^{1}\)級であるとともに点\(a\)において\(e\)方向に方向微分可能であるものとします。1変数関数\(g\left( h\right) \)に注目したとき、この場合、変数\(h\)に関する関数\begin{equation*}g\left( h\right) -g\left( 0\right) -g^{\prime }\left( 0\right) \cdot h
\end{equation*}は、やはり変数\(h\)に関する関数\begin{equation*}h
\end{equation*}よりも点\(0\)において高位の無限小になります。つまり、点\(0\)に限りなく近い任意の\(h\)において、\(g\left( h\right) -\left[ g\left( 0\right)+g^{\prime }\left( 0\right) \cdot h\right] \)と\(h\)はともに\(0\)に限りなく近づくだけでなく、\(g\left( h\right) -\left[ g\left( 0\right) +g^{\prime }\left( 0\right) \cdot h\right] \)の大きさは\(h\)の大きさと比べるほど無視できるほど小さくなります。言い換えると、変数\(h\)を点\(0\)に限りなく近づける場合、\(g\left(h\right) \)と\(g\left( 0\right) +g^{\prime }\left( 0\right) \cdot h\)の誤差は\(0\)に限りなく近づくだけでなく、その誤差の大きさは\(h\)と\(0\)の誤差すなわち\(h\)と比べても無視できるほど小さくなるということです。したがって、多変数関数\(f\)が点\(a\)において\(C^{1}\)級であるとともに点\(a\)において\(e\)方向に方向微分可能である場合には、変数\(h\)に関する1変数関数\(g\)に関して、点\(0\)に限りなく近い任意の\(0\)において、\begin{equation*}g\left( h\right) \approx g\left( 0\right) +g^{\prime }\left( 0\right) \cdot h
\end{equation*}という近似式が成り立ちます。さらに、\(g\)の定義\begin{equation*}g\left( h\right) =f\left( a+he\right)
\end{equation*}に加えて、\begin{equation*}
g^{\prime }\left( 0\right) =f_{e}^{\prime }\left( a\right)
\end{equation*}であることを踏まえると、先の近似式を、\begin{equation*}
f\left( a+he\right) \approx f\left( a\right) +f_{e}^{\prime }\left( a\right)
\cdot h
\end{equation*}と表現できます。

結論を整理します。多変数関数\(f\)が点\(a\)において\(C^{1}\)級である場合、\(f\)を点\(a\)において\(e\)方向に方向微分することとは、\(f\left( x\right) \)の変数\(x\)を\(a+he\)に置き換えることで得られる変数\(h\)に関する1変数関数\(f\left(a+he\right) \)を、点\(0\)の周辺において変数\(h\)に関する1次式\begin{equation*}f\left( a\right) +f_{e}^{\prime }\left( a\right) \cdot h
\end{equation*}で近似することを意味します。この近似式を\(0\)における\(f\left( a+he\right) \)の1次の近似多項式(1st degree approximating polynomial of \(f\left( a+he\right) \) at \(0\))と呼びます。

例(多変数関数の値の近似)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x^{3}y
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(C^{1}\)級です。方向ベクトル\(\left( e_{1},e_{2}\right) \)を任意に選びます。\(f\)は\(\left( e_{1},e_{2}\right) \)方向に方向微分可能であり、方向導関数\(f_{\left( e_{1},e_{2}\right) }^{\prime }:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}f_{\left( e_{1},e_{2}\right) }^{\prime }\left( x,y\right) &=&\left. \frac{d}{dh}f\left( x_{1}+he_{1},x_{2}+he_{2}\right) \right\vert _{h=0}\quad
\because \text{方向微分と微分の関係} \\
&=&\left. \frac{d}{dh}\left( x_{1}+he_{1}\right) ^{3}\left(
x_{2}+he_{2}\right) \right\vert _{h=0}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&x_{1}^{2}\left( 3e_{1}x_{2}+e_{2}x_{1}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。したがって、点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\(0\)に限りなく近い任意の\(h\)について、\begin{eqnarray*}f\left( a+he_{1},b+he_{2}\right) &\approx &f\left( a,b\right) +f_{\left(
e_{1},e_{2}\right) }^{\prime }\left( a,b\right) \cdot h \\
&=&a^{3}b+a^{2}\left( 3e_{1}b+e_{2}a\right) h
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。例えば、方向ベクトルとして、\begin{equation*}
\left( e_{1},e_{2}\right) =\left( 1,0\right)
\end{equation*}を採用した場合、上の近似式は、\begin{equation*}
f\left( a+h,b\right) \approx a^{3}b+a^{2}3bh
\end{equation*}となります。例えば、\begin{equation*}
\left( a,b,h\right) =\left( 1,1,0.05\right)
\end{equation*}のもとでは、\begin{eqnarray*}
f\left( 1.05,1\right) &\approx &1+3\cdot 0.05 \\
&=&1.15
\end{eqnarray*}という近似値が得られます。

 

1変数関数のグラフの接線の傾きとして方向微分係数

多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において\(C^{1}\)級であるとともに、点\(a\)において\(e\)方向に方向微分可能であるものとします。変数\(h\)に関する1変数関数\(f\left( a+he\right) :\mathbb{R} \supset N_{\varepsilon }\left( 0\right) \rightarrow \mathbb{R} \)を定義したとき、この場合、点\(0\)の周辺の任意の\(h\)について、\begin{equation*}f\left( a+he\right) \approx f\left( a\right) +f_{e}^{\prime }\left( a\right)
\cdot h
\end{equation*}という近似関係が成立することが明らかになりました。ただし、\(f_{e}^{\prime }\left( a\right) \)はもとの多変数関数\(f\)の点\(a\)における\(e\)方向の方向微分係数であり、これは1変数関数\(f\left( a+he\right) \)の点\(0\)における微分係数と一致します。上の近似式の右辺の式を点\(0\)における\(f\left( a+he\right) \)の1次の近似多項式と呼びました。

この近似多項式のグラフは、\begin{equation*}
\left\{ \left( h,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y=f\left( a\right) +f_{e}^{\prime }\left( a\right) \cdot h\right\}
\end{equation*}となりますが、これは点\(\left( 0,f\left( a\right) \right) \)を通過する傾きが\(f_{e}^{\prime }\left( a\right) \)の直線です。この直線を\(f\left( a+he\right) \)のグラフの点\(0\)における接線(tangent line)と呼びます。一方、関数\(f\left( a+he\right) \)のグラフは、\begin{equation*}\left\{ \left( h,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y=f\left( a+he\right) \right\}
\end{equation*}と定義されます。結論を整理すると、多変数関数\(f\)が点\(a\)において\(C^{1}\)級であるとともに点\(a\)において\(e\)方向に方向微分可能である場合には、変数\(h\)に関する1変数関数\(f\left(a+he\right) \)について、点\(0\)に限りなく近い任意の\(h\)において、\begin{equation*}f\left( a+he\right) \approx f\left( a\right) +f_{e}^{\prime }\left( a\right)
\cdot h
\end{equation*}という近似式が成り立つため、点\(0\)の周辺において\(f\left( a+he\right) \)のグラフは点\(0\)における接線と近似的に等しくなります。

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