線型近似としての多変数関数の方向微分

線型近似としての多変数関数の方向微分

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、値として実数をとる多変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(f\)はそれぞれのベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、実数\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{x}\right) =f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}を値として定めるということです。

関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域の内点\(\boldsymbol{a}\in X^{i}\)において方向\(\boldsymbol{e}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)に関して方向微分可能であるものとします。内点の定義より、\(f\)は点\(\boldsymbol{a}\)の周辺の任意の点において定義されているため、\(0\)に十分近い任意の実数\(h\)に対して\(f\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}\right) \)が有限な実数として定まることが保証されます。このような事情を踏まえると、\(0\)に十分近いそれぞれの実数\(h\in N_{\varepsilon }\left( 0\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}を値として定める変数\(h\)に関する1変数関数\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}\right) :\mathbb{R} \supset N_{\varepsilon }\left( 0\right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。ただし、\(N_{\varepsilon }\left( 0\right) \)は点\(0\)を中心とする半径\(\varepsilon>0\)の近傍であり、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( 0\right) =\left( -\varepsilon ,\varepsilon \right)
\end{equation*}です。方向微分と微分の関係より、多変数関数\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)が点\(\boldsymbol{a}\)において\(C^{1}\)級である場合には、1変数関数\(f\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}\right) \)の点\(0\)における微分係数について以下の関係\begin{equation*}\left. \frac{df\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}\right) }{dh}\right\vert
_{h=0}=\frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial \boldsymbol{e}}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、多変数関数\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)が点\(\boldsymbol{a}\)において\(\boldsymbol{e}\)方向に方向微分可能であることと、1変数関数\(f\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}\right) \)の点\(0\)において微分可能であることは必要十分であるため、多変数関数\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)が点\(\boldsymbol{a}\)における\(\boldsymbol{e}\)方向の方向微分係数（右辺）と1変数関数\(f\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}\right) \)の点\(0\)における微分係数（左辺）は一致するということです。

方向微分と微分の関係に関する以上の事実と、無限小を用いた1変数関数の微分の表現を用いると以下を得ます。

以上の命題はどのような示唆を与えてくれるのでしょうか。多変数関数\(f\)が点\(\boldsymbol{a}\)において\(C^{1}\)級であるとともに\(\boldsymbol{e}\)方向へ方向微分可能であるものとします。変数\(h\)に関する1変数関数\(f\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}\right) \)に注目したとき、この場合、変数\(h\)に関する1変数関数\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}\right) -\left[ f\left( \boldsymbol{a}\right) +c\cdot h\right] \end{equation*}は、やはり変数\(h\)に関する1変数関数\begin{equation*}h
\end{equation*}よりも点\(0\)において高位の無限小になるような有限な実数\(c\)が存在します。つまり、点\(0\)に限りなく近い任意の\(h\)において\(f\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}\right) -\left[ f\left( \boldsymbol{a}\right) +c\cdot h\right] \)と\(h\)はともに\(0\)に限りなく近づくだけでなく、\(f\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}\right) -\left[f\left( \boldsymbol{a}\right) +c\cdot h\right] \)の大きさは\(h\)の大きさと比べるほど無視できるほど小さくなります。言い換えると、変数\(h\)を点\(0\)に限りなく近づける場合、\(f\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}\right) \)と\(f\left( \boldsymbol{a}\right) +c\cdot h\)の誤差は\(0\)に限りなく近づくだけでなく、その誤差の大きさは\(h\)と比べても無視できるほど小さくなるということです。したがって、多変数関数\(f\)が点\(\boldsymbol{a}\)において\(C^{1}\)級であるとともに\(\boldsymbol{e}\)方向に方向微分可能である場合には、変数\(h\)に関する1変数関数\(f\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}\right) \)に関して、点\(0\)に限りなく近い任意の\(h\)において、\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}\right) \approx f\left( \boldsymbol{a}\right) +c\cdot h
\end{equation*}という近似式が成り立ちます。加えて、\begin{equation*}
c=\left. \frac{df\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}\right) }{dh}\right\vert _{h=0}=\frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial
\boldsymbol{e}}
\end{equation*}であることを踏まえると、先の近似式を、\begin{equation*}
f\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}\right) \approx f\left( \boldsymbol{a}\right) +\frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial \boldsymbol{e}}\cdot h
\end{equation*}と表現できます。

結論を整理すると、多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域の内点\(\boldsymbol{a}\in X^{i}\)において\(C^{1}\)級である場合、方向ベクトル\(\boldsymbol{e}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)の方向へ方向微分可能であることは、変数\(h\)に関する1変数関数\(f\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}\right) \)に関して、点\(0\)の周辺の任意の点\(h\)において以下の近似式\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}\right) \approx f\left( \boldsymbol{a}\right) +\frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial \boldsymbol{e}}\cdot h
\end{equation*}が成立することを意味します。つまり、変数\(h\)に関する1次の近似多項式\begin{equation*}P_{1,0}\left( h\right) =f\left( \boldsymbol{a}\right) +\frac{\partial
f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial \boldsymbol{e}}\cdot h
\end{equation*}を定義したとき、点\(0\)の周辺において、1変数関数\(f\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}\right) \)は関数\(P_{1,0}\left( h\right) \)と近似的に等しくなるということです。この関数\(P_{1,0}\left( h\right) \)を点\(0\)における\(f\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}\right) \)の1次のテイラー近似多項式（1st degree approximating polynomial of \(f\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}\right) \) at \(0\)）と呼びます。多変数関数\(f\)を点\(\boldsymbol{a}\)において\(\boldsymbol{e}\)方向に方向微分することとは、点\(0\)の周辺において、1変数関数\(f\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}\right) \)を、よりシンプルな1次の多項式関数\(P_{1,0}\left( h\right) \)で近似することを意味します。

近似多項式は1変数関数のグラフの接線の方程式

多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域の内点\(\boldsymbol{a}\in X^{i}\)において\(C^{1}\)級であるとともに、\(\boldsymbol{e}\)方向へ方向微分可能である場合には、点\(0\)の周辺の任意の点\(h\)において、変数\(h\)に関する1変数関数\(f\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}\right) \)を、変数\(h\)に関する1次の多項式関数\begin{equation*}P_{1,0}\left( h\right) =f\left( \boldsymbol{a}\right) +\frac{\partial
f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial \boldsymbol{e}}\cdot h
\end{equation*}で近似できることが明らかになりました。

1変数関数\(f\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}\right) \)のグラフは、\begin{equation*}G\left( f\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}\right) \right) =\left\{
\left( h,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y=f\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}\right) \right\}
\end{equation*}ですが、これは点\(\left(0,f\left( \boldsymbol{a}\right) \right) \)を通過します。

近似多項式\(P_{1,0}\left( h\right) \)のグラフは、\begin{eqnarray*}G\left( P_{1,0}\left( h\right) \right) &=&\left\{ \left( h,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y=P_{1,0}\left( h\right) \right\} \\
&=&\left\{ \left( h,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y=f\left( \boldsymbol{a}\right) +\frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial \boldsymbol{e}}\cdot h\right\}
\end{eqnarray*}ですが、これは点\(\left(0,f\left( \boldsymbol{a}\right) \right) \)を通過し、傾きが\(\frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial \boldsymbol{e}}\)であるような直線です。

1変数関数\(f\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}\right) \)のグラフと近似多項式\(P_{1,0}\left( h\right) \)のグラフはともに点\(\left( 0,f\left( \boldsymbol{a}\right) \right) \)を通過することが明らかになりました。したがって両者は点\(\left( 0,f\left( \boldsymbol{a}\right) \right) \)において交わります。さらに、点\(0\)に限りなく近い任意の\(h\)において、\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}\right) \approx P_{1,0}\left( h\right)
\end{equation*}という近似式が成り立つため、点\(0\)の周辺において1変数関数\(f\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}\right) \)のグラフと近似多項式\(P_{1,0}\left( h\right) \)のグラフは近似的に等しくなります。

このような事情を踏まえた上で、多変数関数\(f\)が点\(\boldsymbol{a}\)において\(\boldsymbol{e}\)方向に方向微分可能である場合には、近似多項式\(P_{1,0}\left(h\right) \)のグラフ\begin{eqnarray*}G\left( P_{1,0}\left( h\right) \right) &=&\left\{ \left( h,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y=P_{1,0}\left( h\right) \right\} \\
&=&\left\{ \left( h,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y=f\left( \boldsymbol{a}\right) +\frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial \boldsymbol{e}}\cdot h\right\}
\end{eqnarray*}のことを、1変数関数\(f\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}\right) \)のグラフの点\(\left( 0,f\left( \boldsymbol{a}\right) \right) \)における接線（tangent line）と呼びます。これは点\(\left( 0,f\left( \boldsymbol{a}\right) \right) \)を通過し、傾きが\(\frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial \boldsymbol{e}}\)であるような直線です。

近似多項式を用いた近似値の特定

多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域の内点\(\boldsymbol{a}\in X^{i}\)において\(C^{1}\)級であるとともに、\(\boldsymbol{e}\)方向へ方向微分可能である場合には、点\(0\)の周辺の任意の点\(h\)において、1変数関数\(f\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}\right) \)に関して以下の近似式\begin{eqnarray*}f\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}\right) &\approx &P_{1,0}\left(
h\right) \\
&=&f\left( \boldsymbol{a}\right) +\frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial \boldsymbol{e}}\cdot h
\end{eqnarray*}が成り立つことが明らかになりました。したがって、多変数関数\(f\)が点\(\boldsymbol{a}\)の周辺にある点\(\boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}\)に対して定める値\(f\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}\right) \)の近似値を特定するためには、近似多項式が定める値\begin{equation*}P_{1,0}\left( h\right) =f\left( \boldsymbol{a}\right) +\frac{\partial
f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial \boldsymbol{e}}\cdot h
\end{equation*}をとればよいということになります。

関数\(f\)の形状が複雑である場合、値\(f\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}\right) \)を実際に計算するのは困難です。一方、近似多項式\(P_{1,0}\left( h\right) \)は多項式関数であるため比較的容易に値を特定できます。\(h\)が十分小さい場合、簡単な計算によって導出可能な値\(P_{1,0}\left( h\right) \)を真の値\(f\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}\right) \)の近似値として採用できるという点がここでのポイントです。

演習問題