技術的限界代替率

前節では限界生産について学びました。限界生産は、ある生産要素の投入量をわずかに増加させたとき、生産物の最大産出量がどれだけ増加するかを表す指標です。このように、限界生産は産出量の変化に着目した概念でした。

しかし、生産者が生産方法を変更する際には、産出量を変えずに生産要素の組み合わせだけを変更したい場合もあります。例えば、労働者を増やす代わりに機械を減らしたり、逆に機械を増やす代わりに労働者を減らしたりすることが考えられます。このとき重要となるのは、産出量を一定に維持したまま、ある生産要素を1単位増やすと、他の生産要素をどれだけ減らすことができるかという点です。

このような生産要素間の代替可能性を表す指標が技術的限界代替率です。技術的限界代替率は、生産技術が生産要素どうしの代替をどの程度許容しているかを表す概念であり、等量曲線の形状や、生産技術の特徴を理解するうえで重要な役割を果たします。

以下では、まず技術的限界代替率の定義を与え、その後、生産関数や限界生産との関係について考えていきます。

\(N\)生産要素\(1\)生産物モデルにおける生産ベクトルは投入ベクトルと産出量の組\begin{equation*}\left( \boldsymbol{x},y\right) =\left( x_{1},\cdots ,x_{N},y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}
\end{equation*}として表現されます。生産者が技術的に選択可能な生産ベクトルからなる集合は生産集合\begin{equation*}
Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}
\end{equation*}として表現されます。さらに、投入ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)の可能産出量集合は、\begin{equation*}P\left( \boldsymbol{x}\right) =\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ \left( \boldsymbol{x},y\right) \in Y\right\}
\end{equation*}として定義しましたが、これは\(\boldsymbol{x}\)のもとで実現できるすべての生産量からなる集合です。その上で、それぞれの投入ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して、\(\boldsymbol{x}\)のもとで実現可能な産出量の最大値\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{x}\right) =\max P\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}を特定する関数として生産関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} _{+}
\end{equation*}は定義されます。

投入ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)を任意に選びます。そこでの最大産出量は\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)です。この\(\boldsymbol{x}\)を出発点として、生産要素\(i\)の投入量を\(\Delta x_{i}\)だけ変化させたときに、産出量を\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)に維持するために生産要素\(j\)の投入量を\(\Delta x_{j}\)だけ変化させる必要があるのであれば、以下の関係\begin{equation}f\left( x_{1},\cdots ,x_{i}+\Delta x_{i},\cdots ,x_{j}+\Delta x_{j},\cdots
,x_{N}\right) =f\left( \boldsymbol{x}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。そこで、\(\left( 1\right) \)を満たす\(\Delta x_{i}\)と\(\Delta x_{j}\)の比率\(\frac{\Delta x_{j}}{\Delta x_{i}}\)に負の記号を付けた値を、\begin{equation*}MRTS_{ij}\left( \boldsymbol{x}\right) =-\frac{\Delta x_{j}}{\Delta x_{i}}
\end{equation*}で表記し、これを\(\boldsymbol{x}\)における生産要素\(i\)の生産要素\(j\)で測った技術的限界代替率（marginal rate of technical substitution of input \(i\)for input \(j\) at \(\boldsymbol{x}\)）と呼びます。

技術的限界代替率\(MRTS_{ij}\left( \boldsymbol{x}\right) \)は何を表す指標なのでしょうか。技術的限界代替率を構成する\(\Delta x_{i}\)と\(\Delta x_{j}\)は\(\left( 1\right) \)を満たすものとして定義されていますが、これは、投入ベクトル\(\boldsymbol{x}\)を出発点として生産要素\(i\)の投入量を\(\Delta x_{i}\)だけ変化させるとともに生産要素\(j\)の投入量を\(\Delta x_{j}\)だけ変化させれば産出量を\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)に維持できることを意味します。比例関係よりこれは、\(\boldsymbol{x}\)を出発点として生産要素\(i\)の投入量を\(1\)だけ変化させるとともに生産要素\(j\)の投入量を\(\frac{\Delta x_{j}}{\Delta x_{i}}\)だけ変化させれば産出量を\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)に維持できることを意味します。つまり、投入ベクトル\(\boldsymbol{x}\)に直面している生産者にとって、\(1\)単位の生産要素\(i\)と\(MRTS_{ij}\left( \boldsymbol{x}\right) \)単位の生産要素\(j\)は代替可能であるということです。

生産要素\(i\)の投入量を増やす場合には\(\Delta x_{i}>0\)となりますが、それでもなお産出量を一定に保つためには、通常、別の生産要素\(j\)の投入量を減らす必要があるため\(\Delta x_{j}<0\)となります。したがって、通常は\(\frac{\Delta x_{j}}{\Delta x_{i}}<0\)となるため、技術的限界代替率を正の実数として定義するために負の記号をつけて、\begin{equation*}MRTS_{ij}\left( \boldsymbol{x}\right) =-\frac{\Delta x_{j}}{\Delta x_{i}}
\end{equation*}と定義します。

偏微分による技術的限界代替率の定義

生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が与えられたとき、投入ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)および異なる2つの生産要素\(i,j\ \left( =1,\cdots ,N\right) \)をそれぞれ任意に選ぶと、点\(\boldsymbol{x}\)における生産要素\(i\)の生産要素\(j\)で測った技術的限界代替率は、\begin{equation}f\left( x_{1},\cdots ,x_{i}+\Delta x_{i},\cdots ,x_{j}+\Delta x_{j},\cdots
,x_{N}\right) =f\left( \boldsymbol{x}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす\(\Delta x_{i}\)と\(\Delta x_{j}\)を用いて、\begin{equation}MRTS_{ij}\left( \boldsymbol{x}\right) =-\frac{\Delta x_{j}}{\Delta x_{i}}
\quad \cdots (2)
\end{equation}と定義されますが、通常、この値は生産要素\(i\)の変化量\(\Delta x_{i}\)や生産要素\(j\)の変化量\(\Delta x_{j}\)に依存するため一意的に定まりません。このような問題を解決するために微分を用いて技術的限界代替率を定義します。

具体的には、関係式\(\left( 1\right) \)において問題にしているのは生産要素\(i,j\)の投入量\(x_{i},x_{j}\)の変化であるため、生産関数\(f\)を変数\(x_{i},x_{j}\)に関する関数とみなします。その上で、\(f\)が点\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)において全微分可能である場合には十分小さい\(\Delta x_{i}\)と\(\Delta x_{j}\)について、\begin{eqnarray*}f\left( x_{1},\cdots ,x_{i}+\Delta x_{i},\cdots ,x_{j}+\Delta x_{j},\cdots
,x_{N}\right) &\approx &f\left( \boldsymbol{x}\right) +\nabla f\left(
\boldsymbol{x}\right) \cdot \left( \Delta x_{i},\Delta x_{j}\right) \\
&=&f\left( \boldsymbol{x}\right) +\left( \frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{i}},\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{j}}\right) \cdot \left( \Delta x_{i},\Delta x_{j}\right) \\
&=&f\left( \boldsymbol{x}\right) +\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{i}}\Delta x_{i}+\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{j}}\Delta x_{j}
\end{eqnarray*}という近似関係が成立することを踏まえると、これと\(\left( 1\right) \)より、十分小さい\(\Delta x_{i}\)と\(\Delta x_{j}\)について、\begin{equation*}\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{i}}\Delta x_{i}+\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{j}}\Delta
x_{j}\approx 0
\end{equation*}という関係が成り立ちます。特に、\(\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{j}}\not=0\)である場合には、\begin{equation*}-\frac{\Delta x_{j}}{\Delta x_{i}}\approx \frac{\frac{\partial f\left(
\boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{i}}}{\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{j}}}
\end{equation*}となるため、これと\(\left( 2\right) \)より、十分小さい\(\Delta x_{i}\)と\(\Delta x_{j}\)について、\begin{equation*}MRTS_{ij}\left( \boldsymbol{x}\right) \approx \frac{\frac{\partial f\left(
\boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{i}}}{\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{j}}}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。一般に、偏微分係数が存在する場合には一意的であるため、上の近似式の右辺の値が存在する場合には一意的に定まります。以上を踏まえた上で、以降では点\(\boldsymbol{x}\)における生産要素\(i\)の生産要素\(j\)で測った技術的限界代替率を、\begin{equation*}MRTS_{ij}\left( \boldsymbol{x}\right) =\frac{\frac{\partial f\left(
\boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{i}}}{\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{j}}}
\end{equation*}と定義します。つまり、投入ベクトル\(\boldsymbol{x}\)における生産要素\(i\)の生産要素\(j\)で測った技術的限界代替率\(MRTS_{ij}\left( \boldsymbol{x}\right) \)を、生産関数\(f\)の点\(\boldsymbol{x}\)における変数\(x_{i}\)に関する偏微分係数\(\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{i}}\)と点\(\boldsymbol{x}\)における変数\(x_{j}\)に関する偏微分係数\(\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{j}}\)の比として定義するということです。

生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が点\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)において偏微分可能である場合、投入ベクトル\(\boldsymbol{x}\)における生産要素\(i\)の限界生産は、\begin{equation*}MP_{i}\left( \boldsymbol{x}\right) =\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{i}}
\end{equation*}と定義されるため、これを用いると、\begin{equation*}
MRTS_{ij}\left( \boldsymbol{x}\right) =\frac{MP_{i}\left( \boldsymbol{x}\right) }{MP_{j}\left( \boldsymbol{x}\right) }
\end{equation*}を得ます。つまり、投入ベクトル\(\boldsymbol{x}\)における生産要素\(i\)の生産要素\(j\)で測った技術的限界代替率\(MRTS_{ij}\left( \boldsymbol{x}\right) \)は、点\(\boldsymbol{x}\)における生産要素\(i\)の限界生産\(MP_{i}\left( \boldsymbol{x}\right) \)と点\(\boldsymbol{x}\)における生産要素\(j\)の限界生産\(MP_{j}\left( \boldsymbol{x}\right) \)の比と一致するということです。

技術的限界代替率とその逆数の関係

投入ベクトル\(\boldsymbol{x}\)における生産要素\(i\)の生産要素\(j\)で測った技術的限界代替率\(MRTS_{ij}\left( \boldsymbol{x}\right) \)と、生産要素\(j\)の生産要素\(i\)で測った技術的限界代替率\(MRTS_{ji}\left( \boldsymbol{x}\right) \)がともに存在するとともに非ゼロである場合には、\begin{eqnarray*}MRTS_{ij}\left( \boldsymbol{x}\right) &=&\frac{MP_{i}\left( \boldsymbol{x}\right) }{MP_{j}\left( \boldsymbol{x}\right) } \\
&=&\frac{1}{\frac{MP_{j}\left( \boldsymbol{x}\right) }{MP_{i}\left(
\boldsymbol{x}\right) }} \\
&=&\frac{1}{MRTS_{ji}\left( \boldsymbol{x}\right) }
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
MRTS_{ij}\left( \boldsymbol{x}\right) =\frac{1}{MRTS_{ji}\left( \boldsymbol{x}\right) }
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、\(MRTS_{ij}\left( \boldsymbol{x}\right) \)と\(MRTS_{ji}\left( \boldsymbol{x}\right) \)はお互いに逆数の関係にありますが、これをどのように理解すればよいでしょうか。

投入ベクトル\(\boldsymbol{x}\)における生産要素\(i\)の生産要素\(j\)で測った技術的限界代替率が\(MRTS_{ij}\left( \boldsymbol{x}\right) \)であることとは、\(\boldsymbol{x}\)に直面した生産者にとって\(1\)単位の生産要素\(i\)は\(MRTS_{ij}\left( \boldsymbol{x}\right) \)単位の生産要素\(j\)と実質的に等しく、両者を交換しても産出量は\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)から変化しないことを意味します。すると比例関係より\(\frac{1}{MRTS_{ij}\left( \boldsymbol{x}\right) }\)単位の生産要素\(i\)は\(1\)単位の生産要素\(j\)と実質的に等しいことになりますが、これは\(\boldsymbol{x}\)における生産要素\(j\)の生産要素\(i\)で測った技術的限界代替率が\(\frac{1}{MRTS_{ij}\left( \boldsymbol{x}\right) }\)であること、すなわち、\begin{equation*}MRTS_{ji}\left( \boldsymbol{x}\right) =\frac{1}{MRTS_{ij}\left( \boldsymbol{x}\right) }
\end{equation*}が成り立つことを意味します。これを変形すると、\begin{equation*}
MRTS_{ij}\left( \boldsymbol{x}\right) =\frac{1}{MRTS_{ji}\left( \boldsymbol{x}\right) }
\end{equation*}を得ます。

技術的限界代替率の幾何学的解釈

2生産要素1生産物モデルにおいて生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が与えられたとき、投入ベクトル\(\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)を任意に選んだ上で、方程式\begin{equation*}F\left( x_{1},x_{2}\right) =f\left( x_{1},x_{2}\right) -f\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) =0
\end{equation*}を定義します。明らかに、\begin{equation*}
F\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) =0
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \)は方程式\(F\left( x_{1},x_{2}\right) =0\)の解です。加えて、この投入ベクトル\(\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \)のもとで実現する最大産出量\(f\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \)に等しい最大産出量を実現する投入ベクトル集合からなる集合は、\begin{eqnarray*}R^{\ast }\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) &=&\left\{ \left(
x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ f\left( x_{1},x_{2}\right) =f\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \right\} \\
&=&\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ F\left( x_{1},x_{2}\right) =0\right\} \quad \because F\text{の定義}
\end{eqnarray*}となります。これを等量曲線と呼びます。つまり、等量曲線\(R^{\ast }\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \)は方程式\(F\left( x_{1},x_{2}\right) =0\)の解からなる集合です。さて、生産関数\(f\)は点\(\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \)を中心とする近傍\(N_{\varepsilon }\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \)で\(C^{1}\)級であるとともに、点\(\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \)において、\begin{equation*}\frac{\partial f\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) }{\partial
x_{2}}\not=0
\end{equation*}が成り立つものとします。以上の条件のもとでは陰関数定理が適用可能であるため、点\(\overline{x}_{1}\)を中心とする近傍上に定義された関数\begin{equation*}h:\mathbb{R} _{+}^{2}\supset N_{\delta }\left( \overline{x}_{1}\right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}の中に、以下のすべての条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall x_{1}\in N_{\delta }\left( \overline{x}_{1}\right) :F\left( x_{1},h\left( x_{1}\right) \right) =0 \\
&&\left( b\right) \ h\left( \overline{x}_{1}\right) =\overline{x}_{2} \\
&&\left( c\right) \ \forall x_{1}\in N_{\delta }\left( \overline{x}_{1}\right) :\frac{dh\left( x_{1}\right) }{dx_{1}}=-\frac{\frac{\partial
F\left( x_{1},g\left( x_{1}\right) \right) }{\partial x_{1}}}{\frac{\partial
F\left( x_{1},g\left( x_{1}\right) \right) }{\partial x_{1}}}
\end{eqnarray*}を満たすものが1つだけ存在することが保証されます。

条件\(\left( a\right) \)は、点\(\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \)の近傍において関数\(h\left( x_{1}\right) \)が方程式\(F\left( x_{1},x_{2}\right) =0\)の陰関数であることを意味します。つまり、等量曲線\(R^{\ast }\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \)を定義する方程式\(F\left( x_{1},x_{2}\right) =0\)を変数\(x_{1}\)について解くと\(x_{2}=h\left( x_{1}\right) \)が得られるということです。したがって、この関数\(h\left( x_{1}\right) \)の点\(\overline{x}_{1}\)における微分係数\(\frac{dh\left( \overline{x}_{1}\right) }{dx_{1}}\)は等量曲線\(R^{\ast }\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \)上の点\(\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \)における接線の傾きの大きさに相当しますが、それは、\begin{eqnarray*}\frac{dh\left( \overline{x}_{1}\right) }{dx_{1}} &=&-\frac{\frac{\partial
F\left( \overline{x}_{1},h\left( \overline{x}_{1}\right) \right) }{\partial
x_{1}}}{\frac{\partial F\left( \overline{x}_{1},h\left( \overline{x}_{1}\right) \right) }{\partial x_{1}}}\quad \because \overline{x}_{1}\in
N_{\delta }\left( \overline{x}_{1}\right) \text{および}\left( c\right) \\
&=&-\frac{\frac{\partial F\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) }{\partial x_{1}}}{\frac{\partial F\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) }{\partial x_{1}}}\quad \because \left( b\right) \\
&=&-\frac{\frac{\partial f\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) }{\partial x_{1}}}{\frac{\partial \left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) }{\partial x_{1}}}\quad \because F\text{の定義}
\\
&=&MRTS_{12}\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right)
\end{eqnarray*}となり、点\(\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \)における生産要素\(1\)の生産要素\(2\)で測った技術的限界代替率と一致します。

以上の関係を図示したものが上のグラフです。先の議論から明らかになったように、産出量\(f\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \)に対応する等量曲線\(R^{\ast }\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \)上の点\(\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \)における接線の傾きの大きさは技術的限界代替率\(MRTS_{12}\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \)と一致します。

技術的限界代替率逓減の法則

生産者の技術が生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)として表現されているものとします。\(f\)が全微分可能である場合には、2つの異なる生産要素\(i,j\ \left( =1,\cdots ,N\right) \)を任意に選んだとき、それぞれの投入ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して生産要素\(i\)の生産要素\(j\)で測った技術的限界代替率\begin{equation*}MRTS_{ij}\left( \boldsymbol{x}\right) =\frac{\frac{\partial f\left(
\boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{i}}}{\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{j}}}
\end{equation*}を値として定める多変数関数\begin{equation*}
MRTS_{ij}:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が存在することが保証されます。投入ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)を任意に選んだ上で、\(\boldsymbol{x}\)が属する等量曲線\begin{equation*}R^{\ast }\left( \boldsymbol{x}\right) =\left\{ \boldsymbol{y}\in \mathbb{R} _{+}^{N}\ |\ f\left( \boldsymbol{y}\right) =f\left( \boldsymbol{x}\right)
\right\}
\end{equation*}に属する異なる2つの投入ベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in R^{\ast }\left( \boldsymbol{x}\right) \)を任意に選びます。このとき、\begin{equation*}x_{i}<y_{i}\Rightarrow MRTS_{ij}\left( \boldsymbol{x}\right)
>MRTS_{ij}\left( \boldsymbol{y}\right)
\end{equation*}が成立する場合には技術的限界代替率逓減の法則（law of diminishing marginal rate of technical substitution）が成り立つと言います。

投入ベクトル\(\boldsymbol{x}\)における技術的限界代替率が\(MRTS_{ij}\left( \boldsymbol{x}\right) \)であることは、\(\boldsymbol{x}\)に直面した生産者にとって\(1\)単位の生産要素\(i\)が\(MRTS_{ij}\left( \boldsymbol{x}\right) \)単位の生産要素\(j\)と代替可能であることを意味します。\(\boldsymbol{x}\)が属する等量曲線に属する投入ベクトル\(\boldsymbol{y}\)における技術的限界代替率が\(MRTS_{ij}\left( \boldsymbol{y}\right) \)であることは、\(\boldsymbol{y}\)に直面した生産者にとって\(1\)単位の生産要素\(i\)が\(MRTS_{ij}\left( \boldsymbol{y}\right) \)単位の生産要素\(j\)と代替可能であることを意味します。したがって、技術的限界代替率の法則が成り立つことは、産出量を一定に保ったまま生産要素\(i\)の投入を増やした場合、生産要素\(i\)によって他の生産要素\(j\)を代替していくことが次第に困難になることを意味します。

技術的限界代替率は等量曲線上の点における接線の傾きの絶対値に相当します。したがって、技術的限界代替率逓減の法則が成り立つ場合には、ある生産要素\(i\)の投入量\(x_{i}\)が増加するにつれて、等量曲線の傾きの絶対値が次第に小さくなることを意味します。その結果、通常仮定される滑らかな生産関数のもとでは等量曲線が原点に対して狭義凸になります。

限界生産逓減の法則と技術的限界代替率逓減の法則の関係

界生産逓減の法則と技術的限界代替率低減の法則は、ともに生産者理論における代表的な仮定ですが、両者は異なる性質を表しています。

限界生産逓減の法則は、他の生産要素の投入量を固定したまま、ある生産要素だけを追加的に投入すると、その生産要素の限界生産が減少するという性質です。

一方、技術的限界代替率低減の法則は、産出量を一定に保ったまま一方の生産要素を増やしていくと、もう一方の生産要素を追加的に減らすことが次第に困難になるという性質です。

一見すると、限界生産逓減の法則が成り立てば技術的限界代替率低減の法則も成り立つように思えるかもしれません。しかし、一般にはそのような関係はありません。以下の例より明らかです。

逆も成り立ちません。つまり、技術的限界代替率低減の法則を満たす技術が限界生産逓減の法則を満たすとは限りません。以下の例より明らかです。

限界生産逓減の法則と技術的限界代替率低減の法則は、それぞれ独立した仮定であり、一方から他方を導くことは一般にはできません。両者は生産技術の異なる側面を表しています。限界生産逓減の法則は、ある生産要素を単独で追加投入した場合の生産性の変化を表す性質であり、技術的限界代替率低減の法則は、二つの生産要素の代替可能性が投入量の変化によってどのように変化するかを表す性質です。そのため、生産技術を分析する際には、両者を区別して考える必要があります。

演習問題