技術的限界代替率
分析対象である生産者にとって、経済に存在する商品の中でも\(N\)種類の商品が生産要素であり、それらとは異なる\(1\)種類の商品が生産物である状況、すなわち\(N\)生産要素\(1\)生産物モデルを想定します。
生産者の技術が生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)および生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)として表現されているものとします。投入ベクトル\(\overline{x}\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)を任意に選んだとき、これに対して\(f\)が定める値は、\(\overline{x}\)のもとで技術的に実現可能であるような産出量の最大値\begin{equation*}f\left( \overline{x}\right) =\max \left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ \left( x,y\right) \in Y\right\}
\end{equation*}です。この\(\overline{x}\)を出発点として生産要素\(i\)の投入量を\(\Delta x_{i}\)だけ変化させたときに、産出量を\(f\left( \overline{x}\right) \)に維持するために生産要素\(j\)の投入量を\(\Delta x_{j}\)だけ変化させる必要があるのであれば、\begin{equation}f\left( \overline{x}_{1},\cdots ,\overline{x}_{i}+\Delta x_{i},\cdots ,\overline{x}_{j}+\Delta x_{j},\cdots ,\overline{x}_{N}\right) =f\left(
\overline{x}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}という関係が成り立ちます。そこで、\(\left(1\right) \)を満たす\(\Delta x_{i}\)と\(\Delta x_{j}\)の比率\(\frac{\Delta x_{j}}{\Delta x_{i}}\)に負の記号を付けた値を、\begin{equation*}MRTS_{ij}\left( \overline{x}\right) =-\frac{\Delta x_{j}}{\Delta x_{i}}
\end{equation*}で表記し、これを\(\overline{x}\)における生産要素\(i\)の生産要素\(j\)で測った技術的限界代替率（marginal rate of technical substitution of input \(i\) forinput \(j\) at \(\overline{x}\)）と呼びます。
技術的限界代替率\(MRTS_{ij}\left( \overline{x}\right) \)は何を表す指標なのでしょうか。技術的限界代替率を構成する\(\Delta x_{i}\)と\(\Delta x_{j}\)は\(\left( 1\right) \)を満たすものとして定義されていますが、これは、投入ベクトル\(\overline{x}\)を出発点として生産要素\(i\)の投入量を\(\Delta x_{i}\)だけ変化させるとともに生産要素\(j\)の投入量を\(\Delta x_{j}\)だけ変化させれば産出量を\(f\left( \overline{x}\right) \)に維持できることを意味します。比例関係よりこれは、\(\overline{x}\)を出発点として生産要素\(i\)の投入量を\(1\)だけ変化させるとともに生産要素\(j\)の投入量を\(\frac{\Delta x_{j}}{\Delta x_{i}}\)だけ変化させれば産出量を\(f\left( \overline{x}\right) \)に維持できることを意味します。言い換えると、与えられた投入ベクトルのもとで最大の産出量を実現しようとする生産者が投入ベクトル\(\overline{x}\)に直面したとき、この生産者の技術のもとでは、\(1\)単位の生産要素\(i\)は\(MRTS_{ij}\left( \overline{x}\right) \)単位の生産要素\(j\)と実質的に等しく、両者を交換しても産出量は\(f\left( \overline{x}\right) \)から変化しないということです。
生産要素\(i\)の投入量を増やす場合には\(\Delta x_{i}>0\)となりますが、それでもなお産出量を一定に保つためには、通常、別の生産要素\(j\)の投入量を減らす必要があるため\(\Delta x_{j}<0\)となります。したがって、通常は\(\frac{\Delta x_{j}}{\Delta x_{i}}<0\)となるため、技術的限界代替率を正の実数として定義するために負の記号をつけて\(-\frac{\Delta x_{j}}{\Delta x_{i}}\)と定義します。
\end{equation*}を定めるものとします。投入ベクトル\(\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)を任意に選んだとき、そこを出発点として生産要素\(1\)の投入量を\(\Delta x_{1}\)だけ変化させたときに、産出量を\(f\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \)に維持するために生産要素\(2\)の投入量を\(\Delta x_{2}\)だけ変化させる必要があるものとします。つまり、\begin{equation*}f\left( \overline{x}_{1}+\Delta x_{1},\overline{x}_{2}+\Delta x_{2}\right)
=f\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つということです。\(f\)の定義よりこれは、\begin{equation*}\left( \overline{x}_{1}+\Delta x_{1}\right) +2\left( \overline{x}_{2}+\Delta
x_{2}\right) =\overline{x}_{1}+2\overline{x}_{2}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\Delta x_{1}+2\Delta x_{2}=0
\end{equation*}と言い換えられます。したがって、投入ベクトル\(\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \)における生産要素\(1\)の生産要素\(2\)で測った技術的限界代替率は、\begin{eqnarray*}MRTS_{12}\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) &=&-\frac{\Delta
x_{2}}{\Delta x_{1}}\quad \because MRTS\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}となります。つまり、投入ベクトル\(\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \)に直面した生産者にとって、\(1\)単位の生産要素\(1\)と\(\frac{1}{2}\)単位の生産要素\(2\)は実質的に等しく、両者を交換しても産出量は\(f\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \)から変化しません。この例では、技術的限界代替率\(MRTS_{12}\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \)の値は定数\(\frac{1}{2}\)であり、これは投入ベクトル\(\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \)の水準に依存しません。つまり、2つの商品をそれぞれどの程度投入しているとは関係なく、常に、この生産者にとって\(1\)単位の生産要素\(1\)と\(\frac{1}{2}\)単位の生産要素\(2\)は技術的に交換可能であるということです。ただ、これは例外であり、多くの場合、技術的限界代替率\(MRTS_{ij}\left( \overline{x}\right) \)の水準は投入ベクトル\(\overline{x}\)に依存して変化します。
微分による技術的限界代替率の定義
繰り返しになりますが、1生産物モデルにおいて生産者の技術が生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)として表現されているとき、投入ベクトル\(\overline{x}\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)と異なる2つの生産要素\(i,j\ \left( =1,\cdots ,N\right) \)をそれぞれ任意に選ぶと、点\(\overline{x}\)における生産要素\(i\)の生産要素\(j\)で測った技術的限界代替率は、\begin{equation}f\left( \overline{x}_{1},\cdots ,\overline{x}_{i}+\Delta x_{i},\cdots ,\overline{x}_{j}+\Delta x_{j},\cdots ,\overline{x}_{N}\right) =f\left(
\overline{x}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす\(\Delta x_{i}\)と\(\Delta x_{j}\)を用いて、\begin{equation}MRTS_{ij}\left( \overline{x}\right) =-\frac{\Delta x_{j}}{\Delta x_{i}}
\quad \cdots (2)
\end{equation}と定義されますが、この値は生産要素\(i,j\)の投入量\(\Delta x_{i},\Delta x_{j}\)のに依存するため一意的に定まりません。このような問題を解決するために微分を用いて技術的限界代替率を定義します。具体的には、\(\left( 1\right) \)において問題にしているのは生産要素\(i,j\)の投入量\(x_{i},x_{j}\)の変化であるため、\(f\)を変数\(x_{i},x_{j}\)に関する関数とみなします。その上で、\(f\)が点\(\overline{x}\)において全微分可能である場合には十分小さい\(\Delta x_{i}\)と\(\Delta x_{j}\)について、\begin{eqnarray*}f\left( \overline{x}_{1},\cdots ,\overline{x}_{i}+\Delta x_{i},\cdots ,\overline{x}_{j}+\Delta x_{j},\cdots ,\overline{x}_{N}\right) &\approx
&f\left( \overline{x}\right) +\nabla f\left( \overline{x}\right) \cdot
\left( \Delta x_{i},\Delta x_{j}\right) \\
&=&f\left( \overline{x}\right) +\left( \frac{\partial f\left( \overline{x}\right) }{\partial x_{i}},\frac{\partial f\left( \overline{x}\right) }{\partial x_{j}}\right) \cdot \left( \Delta x_{i},\Delta x_{j}\right) \\
&=&f\left( \overline{x}\right) +\frac{\partial f\left( \overline{x}\right) }{\partial x_{i}}\Delta x_{i}+\frac{\partial f\left( \overline{x}\right) }{\partial x_{j}}\Delta x_{j}
\end{eqnarray*}という近似関係が成立することを踏まえると、これと\(\left( 1\right) \)より、十分小さい\(\Delta x_{i}\)と\(\Delta x_{j}\)について、\begin{equation*}\frac{\partial f\left( \overline{x}\right) }{\partial x_{i}}\Delta x_{i}+\frac{\partial f\left( \overline{x}\right) }{\partial x_{j}}\Delta
x_{j}\approx 0
\end{equation*}という関係が成り立ちます。特に、\(\frac{\partial f\left( \overline{x}\right) }{\partial x_{j}}\not=0\)である場合には、\begin{equation*}-\frac{\Delta x_{j}}{\Delta x_{i}}\approx \frac{\frac{\partial f\left(
\overline{x}\right) }{\partial x_{i}}}{\frac{\partial f\left( \overline{x}\right) }{\partial x_{j}}}
\end{equation*}となるため、これと\(\left( 2\right) \)より、十分小さい\(\Delta x_{i}\)と\(\Delta x_{j}\)について、\begin{equation*}MRTS_{ij}\left( \overline{x}\right) \approx \frac{\frac{\partial f\left(
\overline{x}\right) }{\partial x_{i}}}{\frac{\partial f\left( \overline{x}\right) }{\partial x_{j}}}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。一般に、偏微分係数が存在する場合には一意的であるため、上の近似式の右辺の値が存在する場合には一意的に定まります。以上を踏まえた上で、以降では点\(\overline{x}\)における生産要素\(i\)の生産要素\(j\)で測った技術的限界代替率を、\begin{equation*}MRTS_{ij}\left( \overline{x}\right) =\frac{\frac{\partial f\left( \overline{x}\right) }{\partial x_{i}}}{\frac{\partial f\left( \overline{x}\right) }{\partial x_{j}}}
\end{equation*}と定義します。限界生産の定義より、上の定義を、\begin{equation*}
MRTS_{ij}\left( \overline{x}\right) =\frac{MP_{i}\left( \overline{x}\right)
}{MP_{j}\left( \overline{x}\right) }
\end{equation*}と言い換えることができます。つまり、技術的限界代替率を限界生産の比として定義するということです。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多変数の多項式関数であるため全微分可能です。また、投入ベクトル\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)を任意に選んだとき、そこでの限界生産は、\begin{eqnarray*}MP_{1}\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\frac{\partial f\left(
x_{1},x_{2}\right) }{\partial x_{1}}=1\not=0 \\
MP_{2}\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\frac{\partial f\left(
x_{1},x_{2}\right) }{\partial x_{2}}=2\not=0
\end{eqnarray*}となります。したがって、点\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)における技術的限界代替率が存在し、\begin{eqnarray*}MRTS_{12}\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\frac{MP_{1}\left( x_{1},x_{2}\right)
}{MP_{2}\left( x_{1},x_{2}\right) }=\frac{1}{2} \\
MRTS_{21}\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\frac{MP_{2}\left( x_{1},x_{2}\right)
}{MP_{1}\left( x_{1},x_{2}\right) }=2
\end{eqnarray*}となります。つまり、技術的限界代替率は投入ベクトル\(\left(x_{1},x_{2}\right) \)とは関係なく常に一定です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多変数の多項式関数\(x_{1}x_{2}\)と無理関数\(x^{\frac{1}{2}}\)の合成関数であるため全微分可能です。また、投入ベクトル\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)を任意に選んだとき、そこでの限界生産は、\begin{eqnarray*}MP_{1}\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\frac{\partial f\left(
x_{1},x_{2}\right) }{\partial x_{1}}=\frac{1}{2}x_{1}^{-\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}}\quad \left( if\ x_{1}\not=0\right) \\
MP_{2}\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\frac{\partial f\left(
x_{1},x_{2}\right) }{\partial x_{2}}=\frac{1}{2}x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{-\frac{1}{2}}\quad \left( if\ x_{2}\not=0\right)
\end{eqnarray*}となります。したがって、点\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)における技術的限界代替率が存在し、\begin{eqnarray*}MRTS_{12}\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\frac{MP_{1}\left( x_{1},x_{2}\right)
}{MP_{2}\left( x_{1},x_{2}\right) }=x_{1}^{-1}x_{2} \\
MRTS_{21}\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\frac{MP_{2}\left( x_{1},x_{2}\right)
}{MP_{1}\left( x_{1},x_{2}\right) }=x_{1}x_{2}^{-1}
\end{eqnarray*}となります。
技術的限界代替率とその逆数の関係
先の例が示唆するように、投入ベクトル\(x\)における生産要素\(i\)の生産要素\(j\)で測った技術的限界代替率\(MRTS_{ij}\left(x\right) \)と、生産要素\(j\)の生産要素\(i\)で測った技術的限界代替率\(MRTS_{ji}\left( x\right) \)がともに存在するとともに非ゼロである場合には、\begin{equation*}MRTS_{ij}\left( x\right) =\frac{1}{MRTS_{ji}\left( x\right) }
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、\(MRTS_{ij}\left( x\right) \)と\(MRTS_{ji}\left( x\right) \)はお互いに逆数の関係にありますが、これをどのように理解すればよいでしょうか。
投入ベクトル\(x\)における生産要素\(i\)の生産要素\(j\)で測った技術的限界代替率が\(MRTS_{ij}\left( x\right) \)であることとは、与えられた投入ベクトルのもとで最大の産出量を実現しようとする生産者が投入ベクトル\(x\)に直面したとき、この生産者の技術のもとでは、\(1\)単位の生産要素\(i\)は\(MRTS_{ij}\left( x\right) \)単位の生産要素\(j\)と実質的に等しく、両者を交換しても産出量は\(f\left( x\right) \)から変化しないことを意味します。すると比例関係より\(\frac{1}{MRTS_{ij}\left( x\right) }\)単位の生産要素\(i\)は\(1\)単位の生産要素\(j\)と実質的に等しいことになりますが、これは\(x\)における生産要素\(j\)の生産要素\(i\)で測った技術的限界代替率が\(\frac{1}{MRTS_{ij}\left( x\right) }\)であること、すなわち、\begin{equation*}MRTS_{ji}\left( x\right) =\frac{1}{MRTS_{ij}\left( x\right) }
\end{equation*}が成り立つことを意味します。これを変形すると、\begin{equation*}
MRTS_{ij}\left( x\right) =\frac{1}{MRTS_{ji}\left( x\right) }
\end{equation*}もまた成立します。
技術的限界代替率の幾何学的解釈
2生産要素1生産物モデルにおいて生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が与えられたとき、投入ベクトル\(\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対応する等量曲線は、\begin{equation*}R^{\ast }\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) =\left\{ \left(
x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ f\left( x_{1},x_{2}\right) =f\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \right\}
\end{equation*}と定義されます。さて、\(f\)が点\(\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \)において\(C^{1}\)級であるとともに、そこでの変数\(x_{2}\)に関する偏微分係数が、\begin{equation*}\frac{\partial f\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) }{\partial
x_{2}}\not=0
\end{equation*}を満たすものとします。その上で、それぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}g\left( x_{1},x_{2}\right) =f\left( x_{1},x_{2}\right) -f\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right)
\end{equation*}を定める多変数関数\(g:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。以上の条件のもとでは陰関数定理が適用可能であるため、点\(\overline{x}_{1}\)を中心とする近傍\(N_{\varepsilon }\left( \overline{x}_{1}\right) \)上に定義された変数\(x_{1}\)に関する関数\(h:N_{\varepsilon }\left( \overline{x}_{1}\right) \rightarrow \mathbb{R} \)が存在し、これは以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall x_{1}\in N_{\varepsilon }\left( \overline{x}_{1}\right) :g\left( x_{1},h\left( x_{1}\right) \right) =0 \\
&&\left( b\right) \ h\left( \overline{x}_{1}\right) =\overline{x}_{2} \\
&&\left( c\right) \ \frac{dh\left( \overline{x}_{1}\right) }{dx_{1}}=-\frac{\frac{\partial f\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) }{\partial
x_{1}}}{\frac{\partial f\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) }{\partial x_{2}}}\left( =-MRTS_{12}\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \right)
\end{eqnarray*}を満たします。\(\left( a\right),\left( b\right) \)より、関数\(x_{2}=h\left(x_{1}\right) \)は等量曲線\(R^{\ast }\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \)を定義する方程式\(f\left( x_{1},x_{2}\right) =f\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \)を点\(\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \)の近くで\(x_{1}\)について解いた陰関数です。したがって、この関数\(h\)の点\(\overline{x}_{1}\)における微分係数\(\frac{dh\left( \overline{x}_{1}\right) }{dx_{1}}\)は等量曲線\(R^{\ast }\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \)上の点\(\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \)における接線の傾きの大きさに相当しますが、\(\left( c\right) \)より、その微分係数の大きさは技術的限界代替率\(MRTS_{12}\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \)と一致します。
以上の関係を図示したものが上のグラフです。先の議論から明らかになったように、産出量\(f\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \)に対応する等量曲線\(R^{\ast }\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \)上の点\(\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \)における接線の傾きの大きさは技術的限界代替率\(MRTS_{12}\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \)と一致します。
技術的限界代替率逓減の法則
生産者の技術が生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)および生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)として表現されているものとします。\(f\)が全微分可能である場合には、2つの異なる生産要素\(i,j\ \left( =1,\cdots ,N\right) \)を任意に選んだとき、それぞれの投入ベクトル\(x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して生産要素\(i\)の生産要素\(j\)で測った技術的限界代替率\begin{equation*}MRTS_{ij}\left( x\right) =\frac{\frac{\partial f\left( \overline{x}\right) }{\partial x_{i}}}{\frac{\partial f\left( \overline{x}\right) }{\partial x_{j}}}
\end{equation*}を値として定める多変数関数\begin{equation*}
MRTS_{ij}:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が存在することが保証されます。投入ベクトル\(x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)を任意に選んだ上で、\(x\)に対応する等量曲線\begin{equation*}R^{\ast }\left( x\right) =\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}^{N}\ |\ f\left( y\right) =f\left( x\right) \right\}
\end{equation*}に属する異なる2つの投入ベクトル\(x,y\in R^{\ast }\left(x\right) \)を任意に選びます。このとき、\begin{equation*}x_{i}<y_{i}\Rightarrow MRTS_{ij}\left( x\right) >MRTS_{ij}\left( y\right)
\end{equation*}が成立する場合には技術的限界代替率逓減の法則（law of diminishing marginal rate of technical substitution）が成り立つと言います。
投入ベクトル\(x\)における技術的限界代替率が\(MRTS_{ij}\left( x\right) \)であることは、与えられた投入ベクトルのもとで最大の産出量を実現しようとする生産者が投入ベクトル\(x\)に直面したとき、この生産者の技術のもとでは、\(1\)単位の生産要素\(i\)は\(MRTS_{ij}\left( x\right) \)単位の生産要素\(j\)と代替可能であり、両者を交換しても産出量は\(f\left( x\right) \)から変化しないことを意味します。\(x\)と同じ等量曲線に属する投入ベクトル\(y\)における技術的限界代替率が\(MRTS_{ij}\left( y\right) \)であることは、\(1\)単位の生産要素\(i\)は\(MRTS_{ij}\left( y\right) \)単位の生産要素\(j\)と代替可能であり、両者を交換しても産出量は\(f\left( y\right) \ \left( =f\left(x\right) \right) \)と変化しないことを意味します。したがって、技術的限界代替率の法則が成り立つことは、産出量を一定に保ったまま生産要素\(i\)の投入を増やした場合、生産要素\(i\)によって他の生産要素\(j\)を代替していくことが次第に困難になることを意味します。
\end{equation*}が成り立ちます。以上のストーリーは技術的限界代替率逓減の法則と整合的です。
\end{equation*}を定めるものとします。先に確認したように、投入ベクトル\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}MRTS_{12}\left( x_{1},x_{2}\right) =\frac{MP_{1}\left( x_{1},x_{2}\right) }{MP_{2}\left( x_{1},x_{2}\right) }=\frac{x_{2}}{x_{1}}
\end{equation*}となります。投入ベクトル\(\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \)を任意に選んだとき、それに対応する等量曲線は、\begin{equation*}R^{\ast }\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) =\left\{ \left(
x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}}=\overline{x}_{1}^{\frac{1}{2}}\overline{x}_{2}^{\frac{1}{2}}\right\}
\end{equation*}となります。この等量曲線上において\(x_{1}\)を増やすと\(x_{2}\)が減少するため、そのような移行によって\(MRTS_{12}\left(x_{1},x_{2}\right) \)は減少します。この結果は限界代替率逓減の法則と整合的です。
限界生産逓減の法則と技術的限界代替率逓減の法則の関係
2生産要素1生産物モデルにおいて生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が与えられたとき、投入ベクトル\(\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対応する等量曲線は、\begin{equation*}R^{\ast }\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) =\left\{ \left(
x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ f\left( x_{1},x_{2}\right) =f\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \right\}
\end{equation*}と定義されます。陰関数定理が要求する条件が満たされる場合、等量曲線\(R^{\ast }\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \)を定義する方程式\begin{equation*}f\left( x_{1},x_{2}\right) =f\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right)
\end{equation*}を点\(\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \)の近傍において\(x_{1}\)について解いた陰関数\begin{equation*}x_{2}=h\left( x_{1}\right)
\end{equation*}が存在するとともに、\begin{equation}
\frac{dh\left( x_{1}\right) }{dx_{1}}=-\frac{f_{x_{1}}^{\prime }\left(
x_{1},x_{2}\right) }{f_{x_{2}}^{\prime }\left( x_{1},x_{2}\right) } \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。すると、点\(\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \)の近傍にある\(R^{\ast}\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \)上の点\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)において、\begin{equation}f\left( x_{1},x_{2}\right) =f\left( x_{1},h\left( x_{1}\right) \right)
\quad \cdots (2)
\end{equation}という関係が成立します。以上を踏まえた上で、そのような点\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)において\(MRTS_{12}\)を全微分すると、\begin{eqnarray*}&&\frac{d}{dx_{1}}MRTS_{12}\left( x_{1},x_{2}\right) \\
&=&\frac{d}{dx_{1}}\left[ \frac{f_{1}^{\prime }\left( x_{1},x_{2}\right) }{f_{2}^{\prime }\left( x_{1},x_{2}\right) }\right] \quad \because MRTS\text{の定義} \\
&=&\frac{\frac{d}{dx_{1}}f_{1}^{\prime }\left( x_{1},x_{2}\right) \cdot
f_{2}^{\prime }\left( x_{1},x_{2}\right) -f_{1}^{\prime }\left(
x_{1},x_{2}\right) \cdot \frac{d}{dx_{1}}f_{2}^{\prime }\left(
x_{1},x_{2}\right) }{\left[ f_{x_{2}}^{\prime }\left( x_{1},x_{2}\right) \right] ^{2}}\quad \because \text{商の全微分}
\\
&=&\frac{\left[ f_{11}^{\prime \prime }\left( x_{1},x_{2}\right)
+f_{12}^{\prime \prime }\left( x_{1},x_{2}\right) \frac{dh\left(
x_{1}\right) }{dx_{1}}\right] \cdot f_{2}^{\prime }\left( x_{1},x_{2}\right)
-f_{1}^{\prime }\left( x_{1},x_{2}\right) \cdot \left[ f_{21}^{\prime \prime
}\left( x_{1},x_{2}\right) +f_{22}^{\prime \prime }\left( x_{1},x_{2}\right)
\frac{dh\left( x_{1}\right) }{dx_{1}}\right] }{\left[ f_{x_{2}}^{\prime
}\left( x_{1},h\left( x_{1}\right) \right) \right] ^{2}} \\
&=&\frac{\left[ f_{11}^{\prime \prime }\left( x_{1},x_{2}\right)
-f_{12}^{\prime \prime }\left( x_{1},x_{2}\right) \frac{f_{1}^{\prime
}\left( x_{1},x_{2}\right) }{f_{2}^{\prime }\left( x_{1},x_{2}\right) }\right] \cdot f_{2}^{\prime }\left( x_{1},x_{2}\right) -f_{1}^{\prime
}\left( x_{1},x_{2}\right) \cdot \left[ f_{21}^{\prime \prime }\left(
x_{1},x_{2}\right) -f_{22}^{\prime \prime }\left( x_{1},x_{2}\right) \frac{f_{1}^{\prime }\left( x_{1},x_{2}\right) }{f_{2}^{\prime }\left(
x_{1},x_{2}\right) }\right] }{\left[ f_{2}^{\prime }\left(
x_{1},x_{2}\right) \right] ^{2}}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\frac{f_{11}^{\prime \prime }\left( x_{1},x_{2}\right) \cdot
f_{2}^{\prime }\left( x_{1},x_{2}\right) -f_{22}^{\prime \prime }\left(
x_{1},x_{2}\right) \cdot \frac{\left[ f_{1}^{\prime }\left(
x_{1},x_{2}\right) \right] ^{2}}{f_{2}^{\prime }\left( x_{1},x_{2}\right) }}{\left[ f_{2}^{\prime }\left( x_{1},x_{2}\right) \right] ^{2}}\quad \because
f_{12}^{\prime \prime }\left( x_{1},x_{2}\right) =f_{21}^{\prime \prime
}\left( x_{1},x_{2}\right) \\
&=&\frac{f_{11}^{\prime \prime }\left( x_{1},x_{2}\right) \cdot \left[
f_{2}^{\prime }\left( x_{1},x_{2}\right) \right] ^{2}-f_{22}^{\prime \prime
}\left( x_{1},x_{2}\right) \cdot \left[ f_{1}^{\prime }\left(
x_{1},x_{2}\right) \right] ^{2}}{\left[ f_{2}^{\prime }\left(
x_{1},x_{2}\right) \right] ^{3}} \\
&=&\frac{\frac{\partial }{\partial x_{1}}MP_{1}\left( x_{1},x_{2}\right)
\cdot \left[ MP_{2}\left( x_{1},x_{2}\right) \right] ^{2}-\frac{\partial }{\partial x_{2}}MP_{2}\left( x_{1},x_{2}\right) \cdot \left[ MP_{1}\left(
x_{1},x_{2}\right) \right] ^{2}}{\left[ MP_{2}\left( x_{1},x_{2}\right) \right] ^{3}}\quad \because MP\text{の定義}
\end{eqnarray*}を得ます。限界生産逓減の法則が成り立つ場合には、\begin{eqnarray*}
MP_{1}\left( x_{1},x_{2}\right) &>&0 \\
MP_{2}\left( x_{1},x_{2}\right) &>&0 \\
\frac{\partial }{\partial x_{1}}MP_{1}\left( x_{1},x_{2}\right) &<&0 \\
\frac{\partial }{\partial x_{2}}MP_{2}\left( x_{1},x_{2}\right) &<&0
\end{eqnarray*}が成り立つことが保証されますが、先の関係を踏まえると、このとき、\begin{equation*}
\frac{d}{dx_{1}}MRTS_{12}\left( x_{1},x_{2}\right) <0
\end{equation*}は成り立つとは限りません。つまり、限界生産逓減の法則は技術的限界代替率逓減の法則を必ずしも含意しないということです。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(A,\alpha \in \mathbb{R} \)は定数であるとともに、\begin{eqnarray*}A &>&0 \\
0 &<&\alpha <1
\end{eqnarray*}がともに成り立つものとします。このような生産関数をコブ・ダグラス型生産関数（Cobb-Douglas production function）と呼びます。以上の\(f\)のもとでは、\(\mathbb{R} _{++}^{2}\)上において技術的限界代替率逓減の法則が成り立つことを示してください。
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