1生産物モデルにおける利潤最大化問題とベルジュの最大値定理

前節では、生産者が与えられた価格のもとで解くべき利潤最大化問題を定式化するとともに、生産関数が存在する場合には、その問題を生産関数を用いた形に書き換えても一般性が失われないことを示しました。

しかし、利潤最大化問題を定式化できたとしても、それだけでは十分ではありません。数学的には、その最大化問題が実際に解を持つことを保証する必要があります。生産集合によっては、利潤をいくらでも大きくできるため最大値が存在しない場合や、利潤の上限には近づけるものの、その上限を達成する生産ベクトルが存在しない場合があるからです。また、経済分析では、価格が変化したときに最大利潤や利潤最大解がどのように変化するかを調べることも重要であり、その際にベルジュの最大値定理を利用できれば望ましいです。

本節では、利潤最大化問題の解が存在するための条件について考えます。まず、生産集合を制約とする利潤最大化問題に対してベルジュの最大値定理を直接適用することが困難である理由を確認します。その上で、問題の一般性を失うことなく利潤最大化問題をベルジュの最大値定理を適用できる形へ変換する方法を導入し、解の存在を保証するための十分条件を明らかにします。

\(N\)生産要素\(1\)生産物モデルにおける生産ベクトルは投入ベクトルと産出量の組\begin{equation*}\boldsymbol{z}=\left( \boldsymbol{x},y\right) =\left( x_{1},\cdots
,x_{N},y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}
\end{equation*}として表現されます。生産者が技術的に選択可能な生産ベクトルからなる集合は生産集合\begin{equation*}
Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}
\end{equation*}として表現されます。生産要素と生産物の価格からなる価格ベクトル\begin{equation*}
\boldsymbol{q}=\left( \boldsymbol{w},p\right) =\left( w_{1},\cdots
,w_{N},p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}
\end{equation*}に直面した際に、生産ベクトル\(\boldsymbol{z}=\left( \boldsymbol{x},y\right) \in Y\)を選択することにより得られる利得を、\begin{equation*}\pi \left( \boldsymbol{q},\boldsymbol{z}\right) =py-\boldsymbol{w}\cdot
\boldsymbol{x}
\end{equation*}で表記します。価格ベクトル\(\boldsymbol{q}=\left( \boldsymbol{w},p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)に直面した生産者が解くべき利潤最大化問題は、以下のような制約付き最大化問題\begin{equation*}\max_{\boldsymbol{z}\in \mathbb{R} _{+}^{N+1}}\pi \left( \boldsymbol{q},\boldsymbol{z}\right) \quad \text{s.t.}\quad \boldsymbol{z}\in Y
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\max_{\left( \boldsymbol{x},y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}}py-\boldsymbol{w}\cdot \boldsymbol{x}\quad \text{s.t.}\quad
\left( \boldsymbol{x},y\right) \in Y
\end{equation*}として定式化されます。消費者に関する効用最大化問題や支出最小化問題と同様、生産者に関する利潤最大化問題に対してもベルジュの最大値定理を適用できるでしょうか。

ベルジュの最大値定理を利用する上で見通しを良くするために、それぞれの価格ベクトル\(\left( \boldsymbol{w},p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)に対して、\begin{equation*}Y\left( \boldsymbol{w},p\right) =Y
\end{equation*}を像として定める定値対応\begin{equation*}
Y:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N+1}
\end{equation*}を便宜的に導入すれば、\(\left( \boldsymbol{w},p\right) \)のもとでの利潤最大化問題を、\begin{equation*}\max_{\left( \boldsymbol{x},y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}}py-\boldsymbol{w}\cdot \boldsymbol{x}\quad \text{s.t.}\quad
\left( \boldsymbol{x},y\right) \in Y\left( \boldsymbol{w},p\right)
\end{equation*}と表現できます。目的関数\(py-\boldsymbol{w}\cdot \boldsymbol{x}\)は明らかに連続関数であるため、ベルジュの最大値定理が要求する条件を満たしています。したがって、制約条件を規定する対応\(Y\)が非空値かつコンパクト値をとる連続対応であるならば、1生産物モデルにおける利潤最大化問題にもベルジュの最大値定理を適用できます。ただ、この対応\(Y\)はそれらの性質を満たすとは限りません。

例（利潤最大化問題の制約条件）

1生産要素1生産物モデルにおける生産集合が、\begin{equation*}
Y=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ y\leq x^{\frac{1}{2}}\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします（下図）。

それぞれの価格ベクトル\(\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{equation*}Y\left( w,p\right) =Y
\end{equation*}を像として定める対応\(Y:\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)を便宜的に導入すれば、\(\left( w,p\right) \)のもとでの利潤最大化問題を、\begin{equation*}\max_{\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}}py-wx\quad \text{s.t.}\quad \left( x,y\right) \in Y\left(
w,p\right)
\end{equation*}と表現できますが、\(Y\left( w,p\right) \)すなわち\(Y\)は有界ではないためコンパクト集合でもなく、したがってベルジュの最大値定理を利用できません。

利潤最大化問題の局所的コンパクト化

先に例を通じて確認したように、生産集合は一般に非有界であるため、そのままではベルジュの最大値定理を適用できません。本節では、利潤最大化問題をベルジュの最大値定理を適用できる形に書き換えますが、それに先立ち、生産集合を局所的なコンパクト集合へ置き換えた最大化問題を構成します。そして、その最大化問題には解が存在するとともに、その解集合がもとの利潤最大化問題の解集合と一致することを示します。

生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)は非空な閉凸集合であり、操業停止可能性を満たし、産出方向後退不存在性を満たすものとします。価格ベクトル\(\boldsymbol{q}_{0}\in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)を任意に選んだとき、先の命題より、それに対して、\begin{equation*}\boldsymbol{q}_{0}\in K_{\boldsymbol{q}_{0}}
\end{equation*}および、\begin{equation*}
\exists \varepsilon _{\boldsymbol{q}_{0}}>0,\ \forall \boldsymbol{q}\in K_{\boldsymbol{q}_{0}}:\left\{ \boldsymbol{z}\in Y\ |\ \pi \left( \boldsymbol{q},\boldsymbol{z}\right) \geq 0\right\} \subset \overline{N}_{\varepsilon _{\boldsymbol{q}_{0}}}\left( \boldsymbol{0}\right)
\end{equation*}を満たすコンパクト集合\(K_{\boldsymbol{q}_{0}}\subset \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)が存在します。\(\varepsilon _{\boldsymbol{q}_{0}}\)や\(K_{\boldsymbol{q}_{0}}\)に添字\(\boldsymbol{q}_{0}\)がついているのは、最初に選ぶ\(\boldsymbol{q}_{0}\)に応じて\(\varepsilon _{\boldsymbol{q}_{0}}\)や\(K_{\boldsymbol{q}_{0}}\)が変化するからです。その上で、それぞれの価格ベクトル\(\boldsymbol{q}\in K_{\boldsymbol{q}_{0}}\)に対して、\begin{equation*}\Gamma _{\boldsymbol{q}_{0}}\left( \boldsymbol{q}\right) =Y\cap \overline{N}_{\varepsilon _{\boldsymbol{q}_{0}}}\left( \boldsymbol{0}\right)
\end{equation*}を定める定値対応\begin{equation*}
\Gamma _{\boldsymbol{q}_{0}}:K_{\boldsymbol{q}_{0}}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N+1}
\end{equation*}を定義します。以上のように定義される対応\(\Gamma _{\boldsymbol{q}_{0}}\)を価格ベクトル\(\boldsymbol{q}_{0}\)のもとでの局所制約対応（local constraint correspondence）と呼ぶこととします。

価格ベクトル\(\boldsymbol{q}\in K_{\boldsymbol{q}_{0}}\)に対して、以下の制約付き最大化問題\begin{equation*}\max_{\boldsymbol{z}\in \mathbb{R} _{+}^{N+1}}\pi \left( \boldsymbol{q},\boldsymbol{z}\right) \quad \text{s.t.}\quad \boldsymbol{z}\in \Gamma _{\boldsymbol{q}_{0}}\left( \boldsymbol{q}\right)
\end{equation*}を構成します。この問題には解が存在することが保証されるとともに、その解集合は先に選んだ価格ベクトル\(\boldsymbol{q}\in K_{\boldsymbol{q}_{0}}\)のもとでの利潤最大化問題\begin{equation*}\max_{\boldsymbol{z}\in \mathbb{R} _{+}^{N+1}}\pi \left( \boldsymbol{q},\boldsymbol{z}\right) \quad \text{s.t.}\quad \boldsymbol{z}\in Y
\end{equation*}の解集合と一致することが保証されます。しかも、制約対応\(\Gamma _{\boldsymbol{q}_{0}}\)は定義域\(K_{\boldsymbol{q}_{0}}\)上において非空値かつコンパクト値をとる連続対応です。

以上より、各価格ベクトル\(\boldsymbol{q}_{0}\in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)の近傍において、もとの利潤最大化問題は、非空なコンパクト集合を制約集合とする等価な最大化問題へ変化できることが明らかになりました。しかも、この制約集合は価格ベクトルに依存しない定値対応として表現できるため、ベルジュの最大値定理が要求する条件を満たしています。

以上より、利潤最大化問題に対してベルジュの最大値定理を適用する準備が整いました。以降では、この結果を利用して、最大利潤関数（供給関数）の連続性や利潤最大化対応（要素需要対応）の上半連続性について考察します。