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PRODUCER THEORY

フリーランチ不可能性

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フリーランチ不可能性

生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)が以下の条件\begin{equation*}\forall y\in Y:\left( y\in \mathbb{R} _{+}^{N}\Rightarrow y=0\right)
\end{equation*}を満たすならば、すなわち任意の成分が非負であるような生産ベクトルがゼロベクトルに限定される場合には、\(Y\)はフリーランチ不可能性(no free lunch)を満たすと言います。

技術的に選択可能な生産ベクトルの中でも\(y\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)を満たすものを任意に選びます。つまり、\(y\)において投入は一切行われていません。フリーランチ不可能性が成り立たない場合には\(y\not=0\)となり、したがって\(y_{n}>0\)を満たす商品\(n\)、すなわち生産物が存在することになります。つまり、生産者はこの生産ベクトル\(y\)において生産要素を投入することなく生産物を生産することに成功しています。フリーランチ不可能性はこのような可能性を排除します。

例(フリーランチ不可能)
2種類の商品が存在する経済における生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{2}\)が下図のグレーの領域として描かれています。\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の点において\(Y\)の要素であるものは\(\left(0,0\right) \)だけであるため、この\(Y\)はフリーランチ不可能性を満たしています。

図:フリーランチ不可能
図:フリーランチ不可能
例(フリーランチ可能)
2種類の商品が存在する経済における生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{2}\)が下図のグレーの領域として描かれています。\(\left( 0,0\right) \)以外の\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の点が\(Y\)の要素であるため、この\(Y\)はフリーランチ不可能性を満たしません。例えば、\(\left( 0,y_{2}^{\prime }\right) \in Y\)ですが、これは商品\(1\)を投入することなく商品\(2\)を\(y_{2}^{\prime }>0\)だけ生産できてしまうことを意味します。

図:フリーランチ可能
図:フリーランチ可能

 

生産関数の性質としてのフリーランチ不可能性

経済に存在する商品が\(N\)種類の生産要素と\(M\)種類の生産物に区別可能である場合、それぞれの生産ベクトルは投入ベクトルと産出ベクトルの組\(\left(x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+M}\)として表されるため、生産集合は\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+M}\)を満たす集合として定義されます。フリーランチ不可能性とは投入を行わなければ産出も行われないという仮定であり、この場合、\begin{equation*}\forall \left( x,y\right) \in Y:\left( x=0\Rightarrow y=0\right)
\end{equation*}と表現されます。

生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{M}\)は任意の\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+M}\)に対して、\begin{equation*}\left( x,y\right) \in Y\Leftrightarrow f\left( x\right) \geq y
\end{equation*}を満たすものとして定義されますが、操業停止可能性を認める場合、フリーランチ不可能性は生産関数が満たすべき以下のような性質として表現可能です。

命題(生産関数の性質としてのフリーランチ不可能性)
生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+M}\)および生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{M}\)が与えられたとき、操業停止可能性が成り立つ場合、\begin{equation*}f\left( 0\right) =0
\end{equation*}が成り立つことは、フリーランチ不可能性が成り立つための必要十分条件である。

証明

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例(フリーランチ不可能性)
経済に存在する商品が\(N\)種類の生産要素と\(1\)種類の生産物に分離可能である場合、それぞれの生産ベクトルは投入ベクトルと産出量の組\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)として表されるため、生産集合は\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)を満たす集合として定義されます。生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの投入ベクトル\(x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して産出量\(f\left(x\right) \in \mathbb{R} _{+}\)を定める関数であり、任意の生産ベクトル\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)に対して、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \left( x,y\right) \in Y\Leftrightarrow f\left( x\right)
\geq y \\
&&\left( b\right) \ \left( x,y\right) \in Y^{f}\Leftrightarrow f\left(
x\right) =y
\end{eqnarray*}を満たすものとして定義されます。ただし、\(Y^{f}\)は\(Y\)の境界です。具体例として、生産要素と生産物が1種類ずつ存在する経済における生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{2}\)が下図のグレーの領域として、変換フロンティア\(Y^{f}\)がその境界として描かれています。ただし、\(x\)が生産要素の投入量、\(y\)が生産物の生産量です。\(f\left( 0\right) =0\)が成り立つため、上の命題よりフリーランチ不可能性が成立しています。

図:フリーランチ不可能
図:フリーランチ不可能
例(フリーランチ不可能性)
2種類の生産要素と1種類の生産物が存在する経済における生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{3}\)が、それぞれの\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定める生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)によって表現されているものとします。このとき、\begin{equation*}f\left( 0,0\right) =0^{\frac{1}{2}}0^{\frac{1}{2}}=0
\end{equation*}であるため、先の命題よりフリーランチ不可能性が成り立ちます。

 

演習問題

問題(フリーランチ不可能性)
生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)に対して、\begin{equation*}Y\cap \mathbb{R} _{+}^{N}\subset \left\{ 0\right\}
\end{equation*}が成り立つことは、フリーランチ不可能性が成り立つための必要十分条件であることを証明してください。

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問題(フリーランチ不可能性)
2種類の生産要素と1種類の生産物が存在する経済における生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{3}\)が、それぞれの\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}+2x_{2}
\end{equation*}を定める生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)によって表現されているものとします。フリーランチ不可能性が成り立つことを示してください。
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問題(フリーランチ不可能性)
2種類の生産要素と1種類の生産物が存在する経済における生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{3}\)が、それぞれの\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x_{1},x_{2}\right) =\min \left\{ x_{1},\frac{x_{2}}{2}\right\}
\end{equation*}を定める生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)によって表現されているものとします。フリーランチ不可能性が成り立つことを示してください。
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次回は無償廃棄可能性と呼ばれる仮定について解説します。

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