供給の法則
生産者の技術が生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)ないし変換関数\(F:\mathbb{R} ^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)として表現されているとともに、利潤最大化を目指す生産者の意思決定が供給対応\(Y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\twoheadrightarrow Y\)として表現されているものとします。つまり、価格ベクトル\(p\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)のもとでの利潤最大化問題の解からなる集合は、\begin{eqnarray*}Y^{\ast }\left( p\right) &=&\left\{ y\in Y\ |\ \forall z\in Y:p\cdot y\geq
p\cdot z\right\} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{R} ^{N}\ |\ F\left( y\right) \leq 0\wedge \forall z\in Y:p\cdot y\geq p\cdot
z\right\}
\end{eqnarray*}です。加えて、供給対応\(Y^{\ast }\)が非空値をとる場合には、2つの価格ベクトル\(p,p^{\prime }\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)を任意に選んだとき、\(p\)のもとでの利潤最大化問題の解\(y\in Y^{\ast}\left( p\right) \)と、\(p^{\prime }\)のもとでの利潤最大化問題の解\(y^{\prime }\in Y^{\ast }\left( p\right) \)をそれぞれとることができます。このとき、\begin{equation*}\left( p^{\prime }-p\right) \cdot \left( y^{\prime }-y\right) \geq 0
\end{equation*}という関係が成り立ちます（演習問題）。これを供給の法則（law of supply）と呼びます。
\end{equation*}という関係が成り立つ。
供給の法則は何を意味しているのでしょうか。価格ベクトル\(p\)を出発点に、その他の商品の価格を一定にしたまま、商品\(i\)の価格だけを\(\Delta p_{i}\)だけ上昇させることで得られる価格ベクトルを、\begin{equation*}p^{\prime }=\left( p_{1},\cdots ,p_{i}+\Delta p_{i},\cdots ,p_{N}\right)
\end{equation*}で表記します。このとき、\begin{eqnarray*}
p^{\prime }-p &=&\left( p_{1},\cdots ,p_{i}+\Delta p_{i},\cdots
,p_{N}\right) -\left( p_{1},\cdots ,p_{i},\cdots ,p_{N}\right) \\
&=&\left( 0,\cdots ,\Delta p_{i},\cdots ,0\right) \\
&\geq &0
\end{eqnarray*}となります。\(p\)のもとでの利潤最大化問題の解\(y\in Y^{\ast }\left( p\right) \)と、\(p^{\prime }\)のもとでの利潤最大化問題の解\(y^{\prime }\in Y^{\ast }\left(p\right) \)をそれぞれ任意に選んだとき、供給の法則より、\begin{eqnarray*}\left( p^{\prime }-p\right) \cdot \left( y^{\prime }-y\right) \geq 0
&\Leftrightarrow &\left( 0,\cdots ,\Delta p_{i},\cdots ,0\right) \cdot
\left( y^{\prime }-y\right) \geq 0 \\
&\Leftrightarrow &\Delta p_{i}\left( y_{i}^{\prime }-y_{i}\right) \geq 0 \\
&\Rightarrow &y_{i}^{\prime }\geq y_{i}\quad \because \Delta p_{i}>0
\end{eqnarray*}を得ます。つまり、生産者が利潤最大化の原理にもとづいて行動をするのであれば、商品\(i\)の価格だけが上昇した場合には商品\(i\)の純供給は増加する（正確には、減少しない）ということです。特に、商品\(i\)が生産要素である場合、要素価格が上昇すると投入量が減少することを意味し、商品\(i\)が生産物である場合、生産物価格が上昇すると産出量が増加することを意味します。
純供給関数\(y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\twoheadrightarrow Y\)が存在する場合には、これと純供給対応\(Y^{\ast }\)との間に、\begin{equation*}\forall p\in \mathbb{R} _{++}^{N}:Y^{\ast }\left( p\right) =\left\{ y^{\ast }\left( p\right)
\right\}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。先と同様の議論を繰り返すことにより、純供給関数が供給の法則を満たすことを示すことができます。
-y^{\ast }\left( p\right) \right] \geq 0
\end{equation*}という関係が成り立つ。
\begin{array}{c}
y_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2}\right) \\
y_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2}\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
-\frac{p_{2}^{2}}{2p_{1}^{2}} \\
\frac{p_{2}}{p_{1}}\end{array}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めるものとします。\begin{eqnarray*}
\frac{\partial y_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2}\right) }{\partial p_{1}} &=&\frac{\partial }{\partial p_{1}}\left( -\frac{p_{2}^{2}}{2p_{1}^{2}}\right) =\frac{p_{2}^{2}}{p_{1}^{3}}>0 \\
\frac{\partial y_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2}\right) }{\partial p_{2}} &=&\frac{\partial }{\partial p_{2}}\left( \frac{p_{2}}{p_{1}}\right) =\frac{1}{p_{1}}>0
\end{eqnarray*}が成り立つため供給の法則が成立しています。
