線型1階常微分方程式
2つの変数\(x,y\)の間に成立する関係が関数\(f\)を用いて、\begin{equation*}y=f\left( x\right)
\end{equation*}と記述されているものとします。さらに、1階の常微分方程式\begin{equation}
F\left( x,y,\frac{dy}{dx}\right) =0 \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられている状況を想定します。特に、常微分方程式\(\left(1\right) \)が変数\(x\)に関する関数\(g\left( x\right) ,h\left( x\right) \)を用いて以下の形\begin{equation}\frac{dy}{dx}+g\left( x\right) y=h\left( x\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}すなわち、\begin{equation*}
\frac{df\left( x\right) }{dx}+g\left( x\right) f\left( x\right) =h\left(
x\right)
\end{equation*}で表現される場合には、これを線型1階常微分方程式（first order linear differential equation）と呼びます。
\frac{dy}{dx}+y=x \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられているものとします。関数\(g,h\)を、\begin{eqnarray*}g\left( x\right) &=&1 \\
h\left( x\right) &=&x
\end{eqnarray*}と定義すれば、\(\left( 1\right) \)を、\begin{equation*}\frac{dy}{dx}+g\left( x\right) y=h\left( x\right)
\end{equation*}と表現できるため、\(\left( 1\right) \)は線型1階常微分方程式です。
\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x}y=3x \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられているものとします。関数\(g,h\)を、\begin{eqnarray*}g\left( x\right) &=&\frac{1}{x} \\
h\left( x\right) &=&3x
\end{eqnarray*}と定義すれば、\(\left( 1\right) \)を、\begin{equation*}\frac{dy}{dx}+g\left( x\right) y=h\left( x\right)
\end{equation*}と表現できるため、\(\left( 1\right) \)は線型1階常微分方程式です。
\frac{dy}{dx}+y=\frac{1}{1+e^{2x}} \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられているものとします。関数\(g,h\)を、\begin{eqnarray*}g\left( x\right) &=&1 \\
h\left( x\right) &=&\frac{1}{1+e^{2x}}
\end{eqnarray*}と定義すれば、\(\left( 1\right) \)を、\begin{equation*}\frac{dy}{dx}+g\left( x\right) y=h\left( x\right)
\end{equation*}と表現できるため、\(\left( 1\right) \)は線型1階常微分方程式です。
積分因子と線型1階常微分方程式の解法
線型1階常微分方程式\begin{equation}
\frac{dy}{dx}+g\left( x\right) y=h\left( x\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}すなわち、\begin{equation*}
\frac{df\left( x\right) }{dx}+g\left( x\right) f\left( x\right) =h\left(
x\right)
\end{equation*}が与えられているものとします。これに対して、以下の条件\begin{equation}
\mu \left( x\right) g\left( x\right) =\frac{d\mu \left( x\right) }{dx}
\quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす関数\(\mu \left( x\right) \)を積分因子（integrating factor）と呼びます。
積分因子\(\mu \left( x\right) \)を微分方程式\(\left( 1\right) \)の各辺にかけると、\begin{equation*}\mu \left( x\right) \frac{df\left( x\right) }{dx}+\mu \left( x\right)
g\left( x\right) f\left( x\right) =\mu \left( x\right) h\left( x\right)
\end{equation*}を得ますが、これと\(\left( 2\right) \)より、\begin{equation*}\mu \left( x\right) \frac{df\left( x\right) }{dx}+\frac{d\mu \left( x\right)
}{dx}f\left( x\right) =\mu \left( x\right) h\left( x\right)
\end{equation*}を得ます。左辺は関数の積\(\mu \left( x\right) f\left( x\right) \)の微分と一致するため、\begin{equation*}\frac{d}{dx}\left[ \mu \left( x\right) f\left( x\right) \right] =\mu \left(
x\right) h\left( x\right)
\end{equation*}を得ます。両辺が変数\(x\)について積分可能である場合には、\begin{equation*}\mu \left( x\right) f\left( x\right) +C=\int \mu \left( x\right) h\left(
x\right) dx
\end{equation*}となるため、\(\mu \left( x\right) \not=0\)の場合には、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{\int \mu \left( x\right) h\left( x\right) dx-C}{\mu
\left( x\right) }
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\frac{\int \mu \left( x\right) h\left( x\right) dx+C}{\mu
\left( x\right) }
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
y=\frac{\int \mu \left( x\right) h\left( x\right) dx+C}{\mu \left( x\right) }
\quad \cdots (3)
\end{equation}を得ます。
以上の議論より、積分因子\(\mu \left( x\right) \)を特定できれば、微分方程式\(\left( 1\right) \)の一般解を\(\left(3\right) \)として導出できることが明らかになりました。では、どのような条件のもとで積分因子が存在することを保証できるのでしょうか。また、積分因子が存在する場合、それを具体的に特定できるのでしょうか。以下の命題が答えを与えます。
\frac{dy}{dx}+g\left( x\right) y=h\left( x\right)
\end{equation*}が与えられているものとする。関数\(g\)が連続である場合には以下の関数\begin{equation*}\mu \left( x\right) =\exp \left( \int g\left( x\right) dx\right)
\end{equation*}が定義可能であるとともに、以下の関係\begin{equation*}
\mu \left( x\right) g\left( x\right) =\frac{d\mu \left( x\right) }{dx}
\end{equation*}が成り立つ。
これまでの議論を踏まえると以下を得ます。
\frac{dy}{dx}+g\left( x\right) y=h\left( x\right)
\end{equation*}が与えられているものとする。関数\(g,h\)が連続である場合には以下の関数\begin{equation*}\mu \left( x\right) =\exp \left( \int g\left( x\right) dx\right)
\end{equation*}が定義可能であるとともに、先の線型1階常微分方程式の解が、\begin{equation*}
y=\frac{\int \mu \left( x\right) h\left( x\right) dx+C}{\mu \left( x\right) }
\end{equation*}と定まる。ただし、\(C\)は積分定数である。
以上を踏まえた上で、線型1階常微分方程式の解法を整理します。
- 1階の常微分方程式\begin{equation*}F\left( x,y,\frac{dy}{dx}\right) =0
\end{equation*}が線型であることを確認する。つまり、以下の条件\begin{equation*}
\frac{dy}{dx}+g\left( x\right) y=h\left( x\right)
\end{equation*}を満たす関数\(g,h\)を特定する。また、関数\(g,h\)が連続であることを確認する。 - 積分因子\begin{equation*}\mu \left( x\right) =\exp \left( \int g\left( x\right) dx\right)
\end{equation*}を特定する。ただし、\(\int g\left( x\right) dx\)の積分結果において積分定数\(C\)を省略できる。 - 以下の方程式\begin{equation*}y=\frac{\int \mu \left( x\right) h\left( x\right) dx+C}{\mu \left( x\right) }
\end{equation*}を構成し、右辺を具体的に積分する。
\frac{dy}{dx}+y=x \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられているものとします。先に示したように、これは線型1階常微分方程式\begin{equation*}
\frac{dy}{dx}+g\left( x\right) y=h\left( x\right)
\end{equation*}です。ただし、関数\(g,h\)はそれぞれ、\begin{eqnarray*}g\left( x\right) &=&1 \\
h\left( x\right) &=&x
\end{eqnarray*}であるとともに、これらは連続関数です。積分因子は、\begin{eqnarray*}
\mu \left( x\right) &=&\exp \left( \int g\left( x\right) dx\right) \\
&=&\exp \left( \int 1dx\right) \\
&=&\exp \left( x\right) \\
&=&e^{x}
\end{eqnarray*}となります。したがって、\begin{eqnarray*}
y &=&\frac{\int \mu \left( x\right) h\left( x\right) dx+C}{\mu \left(
x\right) } \\
&=&\frac{\int e^{x}xdx+C}{e^{x}} \\
&=&\frac{e^{x}\left( x-1\right) +C}{e^{x}} \\
&=&\frac{xe^{x}-e^{x}+C}{e^{x}} \\
&=&\frac{xe^{x}-e^{x}+e^{C}}{e^{x}} \\
&=&x-1+e^{C-x} \\
&=&x-1+e^{c}e^{-x} \\
&=&x-1+Ce^{-x}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
y=x-1+Ce^{-x}
\end{equation*}を得ます。これが\(\left(1\right) \)の一般解です。実際、導関数は、\begin{equation*}y^{\prime }=1-Ce^{-x}
\end{equation*}であり、これらを\(\left(1\right) \)に代入すると、\begin{equation*}\left( 1-Ce^{-x}\right) +\left( x-1+Ce^{-x}\right) =x
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
x=x
\end{equation*}となり、等号が成立します。
\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x}y=3x \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられているものとします。先に示したように、これは線型1階常微分方程式\begin{equation*}
\frac{dy}{dx}+g\left( x\right) y=h\left( x\right)
\end{equation*}です。ただし、関数\(g,h\)はそれぞれ、\begin{eqnarray*}g\left( x\right) &=&\frac{1}{x} \\
h\left( x\right) &=&3x
\end{eqnarray*}であるとともに、これらは連続関数です。積分因子は、\begin{eqnarray*}
\mu \left( x\right) &=&\exp \left( \int g\left( x\right) dx\right) \\
&=&\exp \left( \int \frac{1}{x}dx\right) \\
&=&\exp \left( \ln \left( \left\vert x\right\vert \right) \right) \\
&=&\left\vert x\right\vert
\end{eqnarray*}となります。したがって、\begin{eqnarray*}
y &=&\frac{\int \mu \left( x\right) h\left( x\right) dx+C}{\mu \left(
x\right) } \\
&=&\frac{\int 3\left\vert x\right\vert xdx+C}{\left\vert x\right\vert } \\
&=&\frac{\int 3x^{2}dx+C}{x} \\
&=&\frac{x^{3}+C}{x} \\
&=&x^{2}+\frac{C}{x}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
y=x^{2}+\frac{C}{x}
\end{equation*}を得ます。これが\(\left(1\right) \)の一般解です。実際、導関数は、\begin{equation*}y^{\prime }=2x-\frac{C}{x^{2}}
\end{equation*}であり、これらを\(\left(1\right) \)に代入すると、\begin{equation*}\left( 2x-\frac{C}{x^{2}}\right) +\frac{1}{x}\left( x^{2}+\frac{C}{x}\right)
=3x
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
3x=3x
\end{equation*}となり、等号が成立します。
演習問題
\frac{dy}{dx}+\frac{2y}{x}=\frac{\sin \left( x\right) }{x^{2}}
\end{equation*}の解を求めてください。
\frac{dy}{dx}-\frac{y}{x}+xe^{-x}=0
\end{equation*}の解を求めてください。
\frac{dy}{dx}-\frac{3y}{x+1}=\left( x+1\right) ^{4}
\end{equation*}の解を求めてください。
\frac{dy}{dx}+2xy=2xe^{-x^{2}}
\end{equation*}の解を求めてください。
x\frac{dy}{dx}+2y=x^{2}-x+1
\end{equation*}が与えられているものとします。ただし、\(x>0\)です。以下の初期条件\begin{equation*}y\left( 1\right) =\frac{1}{2}
\end{equation*}のもとでの初期値問題の解を求めてください。
x^{3}\frac{dy}{dx}+4x^{2}y=e^{-x}
\end{equation*}が与えられているものとします。ただし、\(x<0\)です。以下の初期条件\begin{equation*}y\left( -1\right) =0
\end{equation*}のもとでの初期値問題の解を求めてください。
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