自由落下運動の微分方程式
重力の影響だけを受けて垂直方向に落下する物体の位置を観察します。ただし、空気の摩擦や抵抗などの影響を無視します。このような落下現象を自由落下（free fall）と呼びます。垂直落下を想定しているため、物体の高度の変化だけが問題になります。そこで、数直線を時計回りに90度回転した上で、数直線の原点\(0\)の位置を物体の初期地点と合致させます。物体の位置を\(y\in \mathbb{R} \)で表記し、時間を\(t\in \mathbb{R} _{+}\)で表記します。2つの変数\(y,t\)の関係が、\begin{equation*}y=y\left( t\right)
\end{equation*}と記述されているものとします。つまり、時点\(t\)における物体の位置が\(y\left( t\right) \)であるということです。初期時点\(0\)における位置は、\begin{equation}y\left( 0\right) =0 \quad \cdots (1)
\end{equation}であることに注意してください。したがって、\(y\left( t\right) \)の値は時点\(t\)までの物体の落下距離と一致します。
時点\(t\)における点の速度（velocity）は、\begin{equation*}v\left( t\right) =\frac{dy\left( t\right) }{dt}
\end{equation*}であり、時点\(t\)における点の加速度（acceleration）は、\begin{equation}a\left( t\right) =\frac{dv\left( t\right) }{dt}=\frac{d^{2}y\left( t\right)
}{dt^{2}} \quad \cdots (2)
\end{equation}です。物体が動く、止まる、加速する、減速するなど、運動の状態が変化するということは、その物体の加速度の変化として記述されます。
ニュートンの運動の第2法則より、任意の時点\(t\in \mathbb{R} _{+}\)において、\begin{equation}m\left( t\right) a\left( t\right) =F\left( t\right) \quad \cdots (3)
\end{equation}すなわち、\begin{equation*}
a\left( t\right) =\frac{F\left( t\right) }{m\left( t\right) }
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、\(m\left( t\right) \)は時点\(t\)における物体の質量（mass）であり、\(a\left(t\right) \)は時点\(t\)における物体の加速度（acceleration）であり、\(F\left( t\right) \)は時点\(t\)において物体に作用する力（force）です。つまり、物体の加速度\(a\left( t\right) \)は物体に作用する力\(F\left( t\right) \)に比例し、物体の質量\(m\left( t\right) \)に反比例します。
物体の質量は時間が変化しても一定であるため、定数\(m>0\)が存在して、任意の時点\(t\in \mathbb{R} _{+}\)において、\begin{equation*}m\left( t\right) =m
\end{equation*}が成り立ちます。また、自由落下を想定しているため、物体に作用する力\(F\left( t\right) \)は重力（gravity）だけです。質量\(m\)の物体に働く重力の大きさは、重力定数\(g>0\)を用いて\(mg\)と記述されます。時間\(t\)の経過とともに物体が位置を変えても重力定数\(g\)はほぼ一定であるため、任意の時点\(t\in \mathbb{R} _{+}\)において、\begin{equation*}F\left( t\right) =mg
\end{equation*}が成り立ちます。これらと\(\left( 3\right) \)より、\begin{equation*}ma\left( t\right) =mg
\end{equation*}を得ます。さらに\(m>0\)であるため両辺を\(m\)で割ることができ、その結果\(m\)が消去されて、\begin{equation*}a\left( t\right) =g
\end{equation*}を得ます。これと\(\left(2\right) \)より、\begin{equation}\frac{d^{2}y\left( t\right) }{dt^{2}}=g \quad \cdots (4)
\end{equation}を得ます。この微分方程式の初期条件は、\(\left( 1\right) \)より、\begin{equation*}y\left( 0\right) =0
\end{equation*}です。以上により、自由落下運動を記述する微分方程式および初期値問題が得られました。
自由落下を想定した場合、\(\left( 4\right) \)より、任意の時点\(t\)において、物体は正の加速度\(g\)を持つことが明らかになりました。したがって、時間\(t\)の経過とともに物体は同じ割合で加速し続けます。言い換えると、時間の経過とともに、自由落下する物体の速度は同じ割合で増加し続けるということです。以上の事実を指して、自由落下は等加速度直線運動（uniformly accelerated linear motion）であると言います。
微分方程式\(\left( 4\right) \)の中に物体の質量\(m\)が登場しないことも特筆すべきです。つまり、自由落下を想定した場合、物体の質量が異なる場合でも、それらの物体は同一の運動法則にもとづいて運動します。
自由落下運動の微分方程式の解
自由落下運動の微分方程式の解は以下の通りです。
\end{equation*}と記述されているものとする。加えて、微分方程式\begin{equation*}
\frac{d^{2}y\left( t\right) }{dt^{2}}=g
\end{equation*}が与えられているものとする。ただし、\(g>0\)は定数である。以下の初期条件\begin{equation*}y\left( 0\right) =0
\end{equation*}のもとでの初期値問題の解は、\begin{equation*}
y\left( t\right) =\frac{1}{2}gt^{2}
\end{equation*}である。さらに、\begin{equation*}
\frac{dy\left( t\right) }{dt}=gt
\end{equation*}もまた成り立つ。
\end{equation*}とみなします。先の命題より、自由落下運動に関する初期値問題の解は、\begin{equation*}
y\left( t\right) =\frac{1}{2}gt^{2}
\end{equation*}であるため、\begin{eqnarray*}
y\left( 4\right) &=&\frac{1}{2}\cdot 9.8\cdot 4^{2} \\
&=&78.4
\end{eqnarray*}を得ます。したがって、初期時点における物体の高さは\(78.4\)メートルであることが明らかになりました。
物体の位置と測度の関係
自由落下運動を描写する微分方程式に関する初期値問題の解が、\begin{equation}
y=\frac{1}{2}gt^{2} \quad \cdots (1)
\end{equation}であるとともに、\begin{equation}
\frac{dy}{dt}=gt \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つことが明らかになりました。速度の定義より、\(\left(2\right) \)を、\begin{equation}v=gt \quad \cdots (3)
\end{equation}と表現することもできます。\(\left( 1\right) ,\left( 3\right) \)から\(t\)を消去すると、\begin{equation*}y=\frac{1}{2}g\left( \frac{v}{g}\right) ^{2}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
2gy=v^{2}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
v=\sqrt{2gy}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
v\left( t\right) =\sqrt{2gy\left( t\right) }
\end{equation*}を得ます。以上の関係を用いることにより、物体の位置\(y\left( t\right) \)から物体の速度\(v\left( t\right) \)を導出できます。
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