人口増減とマルサス成長モデル（微分方程式の応用例）

マルサス成長モデル（人口変化率が一定の場合の人口増減モデル）

時間が経過するにともない人口が変化する状況を想定します。人口を\(P\in \mathbb{R} _{+}\)で表記し、時間を\(t\in \mathbb{R} _{+}\)で表記します。2つの変数\(P,t\)の関係が、\begin{equation*}P=P\left( t\right)
\end{equation*}と記述されているものとします。つまり、時点\(t\)における人口が\(P\left( t\right) \)であるということです。このとき、微分\begin{equation*}\frac{dP}{dt}=\frac{dP\left( t\right) }{dt}
\end{equation*}は、時点\(t\)における人口の瞬間変化率に相当します。

マルサスの成長モデル（Malthusian growth model）では、各時点\(t\)における人口の瞬間変化率\(\frac{dP\left(t\right) }{dt}\)は、その時の人口のサイズ\(P\left( t\right) \)に比例するものとみなします。加えて、時間\(t\)の経過とともに人口\(P\left( t\right) \)が変化した場合でも、人口の瞬間変化率\(\frac{dP\left( t\right) }{dt}\)は常に一定であるものと仮定します。つまり、何らかの定数\(r\in \mathbb{R} \)が存在して、任意の時点\(t\in \mathbb{R} _{+}\)について、\begin{equation}\frac{dP\left( t\right) }{dt}=rP\left( t\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}すなわち、\begin{equation*}
\frac{dP}{dt}=rP
\end{equation*}が成り立つ状況を想定するということです。初期時点\(0\)における人口を\(P_{0}\in \mathbb{R} _{+}\)で表記するのであれば、微分方程式\(\left( 1\right) \)の初期条件は、\begin{equation*}P\left( 0\right) =P_{0}
\end{equation*}となります。

微分方程式\(\left( 1\right) \)に含まれる定数\(r\)を1人当たり人口増加率（per capita population growth rate）と呼びます。\(\left( 1\right) \)より、\begin{equation*}r=\frac{\frac{dP\left( t\right) }{dt}}{P\left( t\right) }
\end{equation*}を得ます。つまり、1人当たり増加率\(r\)は人口の瞬間変化率\(\frac{dP\left(t\right) }{dt}\)を人口\(P\left( t\right) \)で割ることにより得られる値であるため、これは全体の人口を\(1\)とみなした場合の人口の瞬間変化率に相当します。全体の人口を\(1\)へと基準化した指標を利用することにより、人口サイズが異なる複数の集団の人口の変化速度を比べられるようになります。

マルサスの成長モデルでは1人当たり人口増加率\(r\)は常に一定であるものと仮定します。人口\(P\left( t\right) \)が変化しても、1人当たり人口増加率\(r\)は変化しないということです。\(r>0\)の場合には人口が増加し続けることを意味し、\(r<0\)の場合には人口が減少し続けることを意味します。

マルサスの成長モデルはマルサスモデル（Malthusian model）とも呼ばれます。この名称はイギリスの経済学者トマス・ロバート・マルサス（Thomas Robert Malthus）の名に由来しています。マルサスの成長モデルは指数モデル（exponential model）と呼ばれることもありますが、その理由は後ほど明らかになります。

マルサスモデルの解

マルサスモデルの解は以下の通りです。

1人当たり増加率\(r\)を一定とみなすマルサスモデルのもとでは、時点\(t\)における人口が、\begin{equation*}P\left( t\right) =P_{0}e^{rt}
\end{equation*}と定まることが明らかになりました。つまり、人口は指数関数的に増加するということです。マルサスモデルが指数モデルと呼ばれる理由は以上の通りです。

演習問題