完全微分方程式の解法

完全微分方程式

2つの変数\(x,y\)の間に成立する関係が関数\(f\)を用いて、\begin{equation*}y=f\left( x\right)
\end{equation*}と記述されているものとします。さらに、1階の常微分方程式\begin{equation*}
F\left( x,y,\frac{dy}{dx}\right) =0
\end{equation*}が与えられている状況を想定します。特に、常微分方程式\(\left(1\right) \)が変数\(x,y\)に関する2変数関数\(g\left( x,y\right) ,h\left( x,y\right) \)を用いて以下の形\begin{equation}\frac{dy}{dx}g\left( x,y\right) +h\left( x,y\right) =0 \quad \cdots (1)
\end{equation}すなわち、\begin{equation*}
\frac{df\left( x\right) }{dx}g\left( x,f\left( x\right) \right) +h\left(
x,f\left( x\right) \right) =0
\end{equation*}で表現されるとともに、それに対して以下の2つの条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \frac{\partial \mu \left( x,y\right) }{\partial x}=h\left( x,y\right) \\
&&\left( b\right) \ \frac{\partial \mu \left( x,y\right) }{\partial y}=g\left( x,y\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \frac{\partial \mu \left( x,f\left( x\right) \right) }{\partial x}=h\left( x,f\left( x\right) \right) \\
&&\left( b\right) \ \frac{\partial \mu \left( x,f\left( x\right) \right) }{\partial y}=g\left( x,f\left( x\right) \right)
\end{eqnarray*}をともに満たす変数\(x,y\)に関する2変数関数\(\mu \left(x,y\right) \)が存在する場合には、微分方程式\(\left( 1\right) \)を完全微分方程式（exact differential equation）と呼びます。

完全微分方程式\(\left( 1\right) \)が与えられたとき、\(\left( a\right) ,\left( b\right) \)を用いて\(\left(1\right) \)を言い換えると、\begin{equation}\frac{df\left( x\right) }{dx}\frac{\partial \mu \left( x,f\left( x\right)
\right) }{\partial y}+\frac{\partial \mu \left( x,f\left( x\right) \right) }{\partial x}=0 \quad \cdots (2)
\end{equation}を得ます。その一方で、関数\(\mu \left( x,f\left( x\right) \right) \)を1変数のベクトル値関数\(\left( x,f\left( x\right) \right) \)と2変数の実数値関数\(\mu \left( x,y\right) \)の合成関数とみなすことができるため、\(\left( x,f\left( x\right) \right) \)が微分可能であり\(\mu \left( x,y\right) \)が全微分可能である場合には、合成関数の微分より、\begin{eqnarray*}\frac{d\mu \left( x,f\left( x\right) \right) }{dx} &=&\nabla \mu \left(
x,y\right) \cdot \frac{d}{dx}\left( x,f\left( x\right) \right) \\
&=&\left( \frac{\partial \mu \left( x,y\right) }{\partial x},\frac{\partial
\mu \left( x,y\right) }{\partial y}\right) \cdot \left( 1,\frac{df\left(
x\right) }{dx}\right) \\
&=&\frac{\partial \mu \left( x,y\right) }{\partial x}+\frac{\partial \mu
\left( x,y\right) }{\partial y}\frac{df\left( x\right) }{dx} \\
&=&\frac{\partial \mu \left( x,f\left( x\right) \right) }{\partial x}+\frac{\partial \mu \left( x,f\left( x\right) \right) }{\partial y}\frac{df\left(
x\right) }{dx}
\end{eqnarray*}を得るため、これと\(\left( 2\right) \)より、\begin{equation*}\frac{d\mu \left( x,f\left( x\right) \right) }{dx}=0
\end{equation*}を得ます。すると、\begin{equation*}
\mu \left( x,f\left( x\right) \right) =\int 0dx
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\mu \left( x,f\left( x\right) \right) =C
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
\mu \left( x,y\right) =C \quad \cdots (3)
\end{equation}となります。

以上の議論より、完全微分方程式\(\left( 1\right) \)の陰関数表示された一般解を\(\left( 3\right) \)として特定できることが明らかになりました。では、微分方程式が完全微分方程式であることをどのように判定すればよいのでしょうか。また、微分方程式が完全微分方程式である場合、関数\(\mu \left( x,y\right) \)をどのように特定すればよいのでしょうか。順番に解説します。

完全微分方程式の解法

常微分方程式\begin{equation}
\frac{dy}{dx}g\left( x,y\right) +h\left( x,y\right) =0 \quad \cdots (1)
\end{equation}が完全微分方程式である場合には、すなわち、以下の条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \frac{\partial \mu \left( x,y\right) }{\partial x}=h\left( x,y\right) \\
&&\left( b\right) \ \frac{\partial \mu \left( x,y\right) }{\partial y}=g\left( x,y\right)
\end{eqnarray*}をともに満たす関数\(\mu\left( x,y\right) \)が存在する場合には、\(\left( 1\right) \)の一般解を、\begin{equation*}\mu \left( x,y\right) =C
\end{equation*}と特定できることが明らかになりました。では、\(\left( 1\right) \)が完全微分方程式であることをどのように判定できるのでしょうか。

まずは、微分方程式が完全微分方程式であるための必要条件を特定します。

先の命題の逆もまた成立します。

以上の2つの命題より、常微分方程式\begin{equation*}
\frac{dy}{dx}g\left( x,y\right) +h\left( x,y\right) =0
\end{equation*}が完全微分方程式であることと、以下の条件\begin{equation*}
\frac{\partial g\left( x,y\right) }{\partial x}=\frac{\partial h\left(
x,y\right) }{\partial y}
\end{equation*}が成り立つことは必要十分であることが明らかになりました。

以上を踏まえた上で、完全微分方程式の解法を整理します。

1. 1階の常微分方程式\begin{equation*}F\left( x,y,\frac{dy}{dx}\right) =0
   \end{equation*}が完全微分方程式であることを確認する。つまり、以下の条件\begin{equation}
   \frac{dy}{dx}g\left( x,y\right) +h\left( x,y\right) =0 \quad \cdots (1)
   \end{equation}を満たす関数\(g\left( x,y\right) ,h\left(x,y\right) \)を特定した上で、以下の条件\begin{equation*}\frac{\partial g\left( x,y\right) }{\partial x}=\frac{\partial h\left(
   x,y\right) }{\partial y}
   \end{equation*}が成り立つことを確認する。この場合、以下の条件\begin{eqnarray*}
   &&\left( a\right) \ \frac{\partial \mu \left( x,y\right) }{\partial x}=h\left( x,y\right) \\
   &&\left( b\right) \ \frac{\partial \mu \left( x,y\right) }{\partial y}=g\left( x,y\right)
   \end{eqnarray*}を満たす関数\(\mu \left( x,y\right) \)が存在することが保証される。
2. 条件\(\left( a\right) \)より、以下の方程式\begin{equation}\mu \left( x,y\right) =\int h\left( x,y\right) dx+G\left( y\right) \quad \cdots (2)\end{equation}が成り立つため、右辺の第1項を具体的に計算する。その上で、\(\left( 2\right) \)と条件\(\left( b\right) \)より、\begin{equation*}\frac{\partial }{\partial y}\left[ \int h\left( x,y\right) dx+G\left(
   y\right) \right] =g\left( x,y\right)
   \end{equation*}が得られるため、これを解くことにより\(G\left( y\right) \)を特定する。得られた\(G\left( y\right) \)を\(\left( 2\right) \)に代入すれば\(\mu \left( x,y\right) \)を特定できる。もしくは、条件\(\left( b\right) \)より、以下の方程式\begin{equation}\mu \left( x,y\right) =\int g\left( x,y\right) dy+H\left( y\right) \quad \cdots (3)
   \end{equation}が成り立つため、右辺の第1項を具体的に計算する。その上で、\(\left( 3\right) \)と条件\(\left( a\right) \)より、\begin{equation*}\frac{\partial }{\partial x}\left[ \int g\left( x,y\right) dy+H\left(
   y\right) \right] =h\left( x,y\right)
   \end{equation*}が得られるため、これを解くことにより\(H\left( y\right) \)を特定する。得られた\(H\left( y\right) \)を\(\left( 3\right) \)に代入すれば\(\mu \left( x,y\right) \)を特定できる。
3. 得られた関数\(\mu \left( x,y\right) \)を用いて、\begin{equation*}\mu \left( x,y\right) =C\end{equation*}と表現される関数は微分方程式\(\left( 1\right) \)の一般解である。

演習問題