分離可能な1階常微分方程式
2つの変数\(x,y\)の間に成立する関係が関数\(f\)を用いて、\begin{equation*}y=f\left( x\right)
\end{equation*}と記述されているものとします。さらに、1階の常微分方程式\begin{equation}
F\left( x,y,\frac{dy}{dx}\right) =0 \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられている状況を想定します。特に、常微分方程式\(\left(1\right) \)が変数\(x\)に関する関数\(g\left( x\right) \)と変数\(y\)に関する関数\(h\left( y\right) \)を用いて以下の形\begin{equation}\frac{dy}{dx}=g\left( x\right) \cdot h\left( y\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}すなわち、\begin{equation*}
\frac{df\left( x\right) }{dx}=g\left( x\right) \cdot h\left( f\left(
x\right) \right)
\end{equation*}で表現される場合には、常微分方程式\(\left(1\right) \)は分離可能である（separable）と言います。また、\(\left( 2\right) \)を分離型の常微分方程式（separable differential equation）と呼びます。
例（分離可能な1階常微分方程式）
以下の微分方程式\begin{equation}
\frac{dy}{dx}=xy \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられているものとします。関数\(g,h\)をそれぞれ、\begin{eqnarray*}g\left( x\right) &=&x \\
h\left( y\right) &=&y
\end{eqnarray*}と定義すれば、\(\left( 1\right) \)を、\begin{equation*}\frac{dy}{dx}=g\left( x\right) \cdot h\left( y\right)
\end{equation*}と表現できるため、\(\left( 1\right) \)は分離可能です。
\frac{dy}{dx}=xy \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられているものとします。関数\(g,h\)をそれぞれ、\begin{eqnarray*}g\left( x\right) &=&x \\
h\left( y\right) &=&y
\end{eqnarray*}と定義すれば、\(\left( 1\right) \)を、\begin{equation*}\frac{dy}{dx}=g\left( x\right) \cdot h\left( y\right)
\end{equation*}と表現できるため、\(\left( 1\right) \)は分離可能です。
例（分離可能な1階常微分方程式）
以下の微分方程式\begin{equation}
\frac{dy}{dx}+\frac{x-1}{y}=0 \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられているものとします。これを変形すると、\begin{equation*}
\frac{dy}{dx}=\frac{1-x}{y}
\end{equation*}となるため、関数\(g,h\)をそれぞれ、\begin{eqnarray*}g\left( x\right) &=&1-x \\
h\left( y\right) &=&\frac{1}{y}
\end{eqnarray*}と定義すれば、\(\left( 1\right) \)を、\begin{equation*}\frac{dy}{dx}=g\left( x\right) \cdot h\left( y\right)
\end{equation*}と表現できるため、\(\left( 1\right) \)は分離可能です。
\frac{dy}{dx}+\frac{x-1}{y}=0 \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられているものとします。これを変形すると、\begin{equation*}
\frac{dy}{dx}=\frac{1-x}{y}
\end{equation*}となるため、関数\(g,h\)をそれぞれ、\begin{eqnarray*}g\left( x\right) &=&1-x \\
h\left( y\right) &=&\frac{1}{y}
\end{eqnarray*}と定義すれば、\(\left( 1\right) \)を、\begin{equation*}\frac{dy}{dx}=g\left( x\right) \cdot h\left( y\right)
\end{equation*}と表現できるため、\(\left( 1\right) \)は分離可能です。
例（分離可能な1階常微分方程式）
以下の微分方程式\begin{equation}
\frac{dy}{dx}=\frac{x^{2}+3x}{y+2y^{2}} \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられているものとします。関数\(g,h\)をそれぞれ、\begin{eqnarray*}g\left( x\right) &=&x^{2}+3x \\
h\left( y\right) &=&\frac{1}{y+2y^{2}}
\end{eqnarray*}と定義すれば、\(\left( 1\right) \)を、\begin{equation*}\frac{dy}{dx}=g\left( x\right) \cdot h\left( y\right)
\end{equation*}と表現できるため、\(\left( 1\right) \)は分離可能です。
\frac{dy}{dx}=\frac{x^{2}+3x}{y+2y^{2}} \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられているものとします。関数\(g,h\)をそれぞれ、\begin{eqnarray*}g\left( x\right) &=&x^{2}+3x \\
h\left( y\right) &=&\frac{1}{y+2y^{2}}
\end{eqnarray*}と定義すれば、\(\left( 1\right) \)を、\begin{equation*}\frac{dy}{dx}=g\left( x\right) \cdot h\left( y\right)
\end{equation*}と表現できるため、\(\left( 1\right) \)は分離可能です。
例（分離可能な1階常微分方程式）
1階の常微分方程式\begin{equation*}
F\left( x,y,\frac{dy}{dx}\right) =0
\end{equation*}が、変数\(x\)に関する関数\(g\left( x\right) \)を用いて、\begin{equation*}\frac{dy}{dx}=g\left( x\right)
\end{equation*}と表現される場合、以下の関数\begin{equation*}
h\left( y\right) =1
\end{equation*}を用いて、\begin{equation*}
\frac{dy}{dx}=g\left( x\right) \cdot h\left( y\right)
\end{equation*}と表現できるため、これを分離可能な1階常微分方程式とみなすことができます。
F\left( x,y,\frac{dy}{dx}\right) =0
\end{equation*}が、変数\(x\)に関する関数\(g\left( x\right) \)を用いて、\begin{equation*}\frac{dy}{dx}=g\left( x\right)
\end{equation*}と表現される場合、以下の関数\begin{equation*}
h\left( y\right) =1
\end{equation*}を用いて、\begin{equation*}
\frac{dy}{dx}=g\left( x\right) \cdot h\left( y\right)
\end{equation*}と表現できるため、これを分離可能な1階常微分方程式とみなすことができます。
例（分離可能な1階常微分方程式）
1階の常微分方程式\begin{equation*}
F\left( x,y,\frac{dy}{dx}\right) =0
\end{equation*}が、変数\(y\)に関する関数\(h\left( y\right) \)を用いて、\begin{equation*}\frac{dy}{dx}=h\left( y\right)
\end{equation*}と表現される場合、以下の関数\begin{equation*}
g\left( x\right) =1
\end{equation*}を用いて、\begin{equation*}
\frac{dy}{dx}=g\left( x\right) \cdot h\left( y\right)
\end{equation*}と表現できるため、これを分離可能な1階常微分方程式とみなすことができます。
F\left( x,y,\frac{dy}{dx}\right) =0
\end{equation*}が、変数\(y\)に関する関数\(h\left( y\right) \)を用いて、\begin{equation*}\frac{dy}{dx}=h\left( y\right)
\end{equation*}と表現される場合、以下の関数\begin{equation*}
g\left( x\right) =1
\end{equation*}を用いて、\begin{equation*}
\frac{dy}{dx}=g\left( x\right) \cdot h\left( y\right)
\end{equation*}と表現できるため、これを分離可能な1階常微分方程式とみなすことができます。
分離可能な1階常微分方程式の解法
分離可能な1回常微分方程式については以下の命題が成り立ちます。証明では直接置換を利用します。
命題（分離可能な1階常微分方程式の解法）
2つの変数\(x,y\)の間に成立する関係が関数\(f\)を用いて、\begin{equation*}y=f\left( x\right)
\end{equation*}と表されているものとする。分離型の常微分方程式\begin{equation*}
\frac{dy}{dx}=g\left( x\right) \cdot h\left( y\right)
\end{equation*}が与えられているものとする。\(h\left( y\right) \not=0\)であるとともに、関数\(h\)が連続であり、関数\(f\)が\(C^{1}\)級である場合には、\begin{equation*}\int \frac{1}{h\left( y\right) }dy=\int g\left( x\right) dx+C
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(C\)は積分定数である。
\end{equation*}と表されているものとする。分離型の常微分方程式\begin{equation*}
\frac{dy}{dx}=g\left( x\right) \cdot h\left( y\right)
\end{equation*}が与えられているものとする。\(h\left( y\right) \not=0\)であるとともに、関数\(h\)が連続であり、関数\(f\)が\(C^{1}\)級である場合には、\begin{equation*}\int \frac{1}{h\left( y\right) }dy=\int g\left( x\right) dx+C
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(C\)は積分定数である。
以上を踏まえた上で、分離可能な1階常微分方程式の解法を整理します。
- 1階の常微分方程式\begin{equation*}F\left( x,y,\frac{dy}{dx}\right) =0
\end{equation*}が分離可能であることを確認する。つまり、以下の条件\begin{equation*}
\frac{dy}{dx}=g\left( x\right) \cdot h\left( y\right)
\end{equation*}を満たす関数\(g\left( x\right) ,h\left(y\right) \)を特定する。 - \(h\left( y\right) \not=0\)であることを確認した上で、以下の方程式\begin{equation*}\int \frac{1}{h\left( y\right) }dy=\int g\left( x\right) dx+C\end{equation*}を構成し、両辺を具体的に積分する。
- 得られた方程式を\(y\)について解ける場合には解く。\(y\)について解ける場合には陽関数として表現された解が得られ、\(y\)について解けない場合には陰関数として表現された解が得られる。
- \(h\left( y\right) =0\)の場合については別途に考える。
例（分離可能な1階常微分方程式の解法）
以下の常微分方程式\begin{equation}
\frac{dy}{dx}=xy \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられているものとします。以下の関数\begin{eqnarray}
g\left( x\right) &=&x \quad \cdots (1) \\
h\left( y\right) &=&y \quad \cdots (2)
\end{eqnarray}に注目すると、\(\left( 1\right) \)は分離可能な常微分方程式\begin{equation*}\frac{dy}{dx}=g\left( x\right) \cdot h\left( y\right)
\end{equation*}とみなされます。先の命題より、\(h\left( y\right) \not=0\)すなわち\(y\not=0\)の場合には、以下の方程式\begin{equation}\int \frac{1}{h\left( y\right) }dy=\int g\left( x\right) dx+C \quad \cdots (3)
\end{equation}が成立します。\(\left( 3\right) \)の左辺については、\begin{eqnarray*}\int \frac{1}{h\left( y\right) }dy &=&\int \frac{1}{y}dy\quad \because
\left( 2\right) \\
&=&\ln \left( \left\vert y\right\vert \right) +C
\end{eqnarray*}である一方で、\(\left( 3\right) \)の右辺については、\begin{eqnarray*}\int g\left( x\right) dx &=&\int xdx\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\frac{1}{2}x^{2}+C
\end{eqnarray*}であるため、これらを踏まえると\(\left( 3\right) \)は、\begin{equation*}\ln \left( \left\vert y\right\vert \right) =\frac{1}{2}x^{2}+C
\end{equation*}となります。さらにこのとき、\begin{equation*}
\left\vert y\right\vert =\exp \left( \frac{1}{2}x^{2}+C\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{eqnarray*}
y &=&\pm \exp \left( \frac{1}{2}x^{2}+C\right) \\
&=&\pm \exp \left( \frac{1}{2}x^{2}\right) \exp \left( C\right) \\
&=&C\exp \left( \frac{1}{2}x^{2}\right) \quad \because \pm \exp \left(
C\right) \text{を}C\text{とおく}
\end{eqnarray*}を得ます。任意の定数\(C\)について同様の議論が成立するため、\begin{equation}y=C\exp \left( \frac{1}{2}x^{2}\right) \quad \cdots (4)
\end{equation}は常微分方程式\(\left( 1\right) \)の一般解であることが明らかになりました。実際、\(\left( 4\right) \)の導関数は、\begin{equation*}\frac{dy}{dx}=Cx\exp \left( \frac{1}{2}x^{2}\right)
\end{equation*}であり、これらを\(\left(1\right) \)に代入すると、\begin{equation*}Cx\exp \left( \frac{1}{2}x^{2}\right) =xC\exp \left( \frac{1}{2}x^{2}\right)
\end{equation*}となり、等号が成立します。一方、\(h\left( y\right) =0\)すなわち\(y=0\)の場合、その導関数は、\begin{equation*}\frac{dy}{dx}=0
\end{equation*}であるため、これらを\(\left( 1\right) \)に代入すると、\begin{equation*}0=x\cdot 0
\end{equation*}となり、等号が成立します。したがって、\begin{equation}
y=0 \quad \cdots (5)
\end{equation}もまた常微分方程式\(\left( 1\right) \)の解です。ただし、\(\left( 4\right) \)において\(C=0\)とした場合の特殊解は\(\left( 5\right) \)と一致するため、\(\left( 4\right) \)は\(\left( 5\right) \)を含んでいます。
\frac{dy}{dx}=xy \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられているものとします。以下の関数\begin{eqnarray}
g\left( x\right) &=&x \quad \cdots (1) \\
h\left( y\right) &=&y \quad \cdots (2)
\end{eqnarray}に注目すると、\(\left( 1\right) \)は分離可能な常微分方程式\begin{equation*}\frac{dy}{dx}=g\left( x\right) \cdot h\left( y\right)
\end{equation*}とみなされます。先の命題より、\(h\left( y\right) \not=0\)すなわち\(y\not=0\)の場合には、以下の方程式\begin{equation}\int \frac{1}{h\left( y\right) }dy=\int g\left( x\right) dx+C \quad \cdots (3)
\end{equation}が成立します。\(\left( 3\right) \)の左辺については、\begin{eqnarray*}\int \frac{1}{h\left( y\right) }dy &=&\int \frac{1}{y}dy\quad \because
\left( 2\right) \\
&=&\ln \left( \left\vert y\right\vert \right) +C
\end{eqnarray*}である一方で、\(\left( 3\right) \)の右辺については、\begin{eqnarray*}\int g\left( x\right) dx &=&\int xdx\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\frac{1}{2}x^{2}+C
\end{eqnarray*}であるため、これらを踏まえると\(\left( 3\right) \)は、\begin{equation*}\ln \left( \left\vert y\right\vert \right) =\frac{1}{2}x^{2}+C
\end{equation*}となります。さらにこのとき、\begin{equation*}
\left\vert y\right\vert =\exp \left( \frac{1}{2}x^{2}+C\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{eqnarray*}
y &=&\pm \exp \left( \frac{1}{2}x^{2}+C\right) \\
&=&\pm \exp \left( \frac{1}{2}x^{2}\right) \exp \left( C\right) \\
&=&C\exp \left( \frac{1}{2}x^{2}\right) \quad \because \pm \exp \left(
C\right) \text{を}C\text{とおく}
\end{eqnarray*}を得ます。任意の定数\(C\)について同様の議論が成立するため、\begin{equation}y=C\exp \left( \frac{1}{2}x^{2}\right) \quad \cdots (4)
\end{equation}は常微分方程式\(\left( 1\right) \)の一般解であることが明らかになりました。実際、\(\left( 4\right) \)の導関数は、\begin{equation*}\frac{dy}{dx}=Cx\exp \left( \frac{1}{2}x^{2}\right)
\end{equation*}であり、これらを\(\left(1\right) \)に代入すると、\begin{equation*}Cx\exp \left( \frac{1}{2}x^{2}\right) =xC\exp \left( \frac{1}{2}x^{2}\right)
\end{equation*}となり、等号が成立します。一方、\(h\left( y\right) =0\)すなわち\(y=0\)の場合、その導関数は、\begin{equation*}\frac{dy}{dx}=0
\end{equation*}であるため、これらを\(\left( 1\right) \)に代入すると、\begin{equation*}0=x\cdot 0
\end{equation*}となり、等号が成立します。したがって、\begin{equation}
y=0 \quad \cdots (5)
\end{equation}もまた常微分方程式\(\left( 1\right) \)の解です。ただし、\(\left( 4\right) \)において\(C=0\)とした場合の特殊解は\(\left( 5\right) \)と一致するため、\(\left( 4\right) \)は\(\left( 5\right) \)を含んでいます。
例（分離可能な1階常微分方程式の解法）
以下の微分方程式\begin{equation}
\frac{dy}{dx}+\frac{x-1}{y}=0 \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられているものとします。以下の関数\begin{eqnarray}
g\left( x\right) &=&1-x \quad \cdots (1) \\
h\left( y\right) &=&\frac{1}{y} \quad \cdots (2)
\end{eqnarray}に注目すると、\(\left( 1\right) \)は分離可能な常微分方程式\begin{equation*}\frac{dy}{dx}=g\left( x\right) \cdot h\left( y\right)
\end{equation*}とみなされます。先の命題より、\(h\left( y\right) \not=0\)すなわち\(y\not=0\)の場合には、以下の方程式\begin{equation}\int \frac{1}{h\left( y\right) }dy=\int g\left( x\right) dx+C \quad \cdots (3)
\end{equation}が成立します。\(\left( 3\right) \)の左辺については、\begin{eqnarray*}\int \frac{1}{h\left( y\right) }dy &=&\int ydy\quad \because \left( 2\right)
\\
&=&\frac{1}{2}y^{2}+C
\end{eqnarray*}である一方で、\(\left( 3\right) \)の右辺については、\begin{eqnarray*}\int g\left( x\right) dx &=&\int \left( 1-x\right) dx\quad \because \left(
1\right) \\
&=&x-\frac{1}{2}x^{2}+C \\
&=&-\frac{1}{2}\left( x^{2}-2x+1\right) +C \\
&=&-\frac{1}{2}\left( x-1\right) ^{2}+C
\end{eqnarray*}であるため、これらを踏まえると\(\left( 3\right) \)は、\begin{equation*}\frac{1}{2}y^{2}=-\frac{1}{2}\left( x-1\right) ^{2}+C
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
y^{2}+\left( x-1\right) ^{2}=2C \quad \cdots (4)
\end{equation}となります。任意の定数\(C\)について同様の議論が成立するため、\(\left( 4\right) \)は常微分方程式\(\left( 1\right) \)の一般解であることが明らかになりました。実際、\(\left(4\right) \)の両辺を変数\(x\)について微分すると、\begin{equation*}2yy^{\prime }+2\left( x-1\right) =0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{dy}{dx}+\frac{x-1}{y}=0
\end{equation*}となり、\(\left( 1\right) \)が得られます。一方、\(h\left( y\right) =0\)すなわち\(y=0\)の場合、これは\(\left( 1\right) \)の解ではありません。
\frac{dy}{dx}+\frac{x-1}{y}=0 \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられているものとします。以下の関数\begin{eqnarray}
g\left( x\right) &=&1-x \quad \cdots (1) \\
h\left( y\right) &=&\frac{1}{y} \quad \cdots (2)
\end{eqnarray}に注目すると、\(\left( 1\right) \)は分離可能な常微分方程式\begin{equation*}\frac{dy}{dx}=g\left( x\right) \cdot h\left( y\right)
\end{equation*}とみなされます。先の命題より、\(h\left( y\right) \not=0\)すなわち\(y\not=0\)の場合には、以下の方程式\begin{equation}\int \frac{1}{h\left( y\right) }dy=\int g\left( x\right) dx+C \quad \cdots (3)
\end{equation}が成立します。\(\left( 3\right) \)の左辺については、\begin{eqnarray*}\int \frac{1}{h\left( y\right) }dy &=&\int ydy\quad \because \left( 2\right)
\\
&=&\frac{1}{2}y^{2}+C
\end{eqnarray*}である一方で、\(\left( 3\right) \)の右辺については、\begin{eqnarray*}\int g\left( x\right) dx &=&\int \left( 1-x\right) dx\quad \because \left(
1\right) \\
&=&x-\frac{1}{2}x^{2}+C \\
&=&-\frac{1}{2}\left( x^{2}-2x+1\right) +C \\
&=&-\frac{1}{2}\left( x-1\right) ^{2}+C
\end{eqnarray*}であるため、これらを踏まえると\(\left( 3\right) \)は、\begin{equation*}\frac{1}{2}y^{2}=-\frac{1}{2}\left( x-1\right) ^{2}+C
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
y^{2}+\left( x-1\right) ^{2}=2C \quad \cdots (4)
\end{equation}となります。任意の定数\(C\)について同様の議論が成立するため、\(\left( 4\right) \)は常微分方程式\(\left( 1\right) \)の一般解であることが明らかになりました。実際、\(\left(4\right) \)の両辺を変数\(x\)について微分すると、\begin{equation*}2yy^{\prime }+2\left( x-1\right) =0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{dy}{dx}+\frac{x-1}{y}=0
\end{equation*}となり、\(\left( 1\right) \)が得られます。一方、\(h\left( y\right) =0\)すなわち\(y=0\)の場合、これは\(\left( 1\right) \)の解ではありません。
例（分離可能な1階常微分方程式の解法）
以下の微分方程式\begin{equation}
\frac{dy}{dx}=\frac{x^{2}+3x}{y+2y^{2}} \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられているものとします。以下の関数\begin{eqnarray}
g\left( x\right) &=&x^{2}+3x \quad \cdots (1) \\
h\left( y\right) &=&\frac{1}{y+2y^{2}} \quad \cdots (2)
\end{eqnarray}に注目すると、\(\left( 1\right) \)は分離可能な常微分方程式\begin{equation*}\frac{dy}{dx}=g\left( x\right) \cdot h\left( y\right)
\end{equation*}とみなされます。先の命題より、\(h\left( y\right) \not=0\)すなわち\(y\not=0\)かつ\(y\not=-\frac{1}{2}\)の場合には、以下の方程式\begin{equation}\int \frac{1}{h\left( y\right) }dy=\int g\left( x\right) dx+C \quad \cdots (3)
\end{equation}が成立します。\(\left( 3\right) \)の左辺については、\begin{eqnarray*}\int \frac{1}{h\left( y\right) }dy &=&\int \left( y+2y^{2}\right) dy\quad
\because \left( 2\right) \\
&=&\frac{1}{2}y^{2}+\frac{2}{3}y^{3}+C
\end{eqnarray*}である一方で、\(\left( 3\right) \)の右辺については、\begin{eqnarray*}\int g\left( x\right) dx &=&\int \left( x^{2}+3x\right) dx\quad \because
\left( 1\right) \\
&=&\frac{1}{3}x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}+C
\end{eqnarray*}であるため、これらを踏まえると\(\left( 3\right) \)は、\begin{equation*}\frac{1}{2}y^{2}+\frac{2}{3}y^{3}=\frac{1}{3}x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}+C
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
3y^{2}+4y^{3}=2x^{3}+9x^{2}+6C \quad \cdots (4)
\end{equation}となります。任意の定数\(C\)について同様の議論が成立するため、\(\left( 4\right) \)は常微分方程式\(\left( 1\right) \)の一般解であることが明らかになりました。実際、\(\left(4\right) \)の両辺を変数\(x\)について微分すると、\begin{equation*}6yy^{\prime }+12y^{2}y^{\prime }=6x^{2}+18x
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{dy}{dx}=\frac{x^{2}+3x}{y+2y^{2}}
\end{equation*}となり、\(\left( 1\right) \)が得られます。一方、\(h\left( y\right) =0\)すなわち\(y=0\)または\(y=-\frac{1}{2}\)の場合、これらは\(\left(1\right) \)の解ではありません。
\frac{dy}{dx}=\frac{x^{2}+3x}{y+2y^{2}} \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられているものとします。以下の関数\begin{eqnarray}
g\left( x\right) &=&x^{2}+3x \quad \cdots (1) \\
h\left( y\right) &=&\frac{1}{y+2y^{2}} \quad \cdots (2)
\end{eqnarray}に注目すると、\(\left( 1\right) \)は分離可能な常微分方程式\begin{equation*}\frac{dy}{dx}=g\left( x\right) \cdot h\left( y\right)
\end{equation*}とみなされます。先の命題より、\(h\left( y\right) \not=0\)すなわち\(y\not=0\)かつ\(y\not=-\frac{1}{2}\)の場合には、以下の方程式\begin{equation}\int \frac{1}{h\left( y\right) }dy=\int g\left( x\right) dx+C \quad \cdots (3)
\end{equation}が成立します。\(\left( 3\right) \)の左辺については、\begin{eqnarray*}\int \frac{1}{h\left( y\right) }dy &=&\int \left( y+2y^{2}\right) dy\quad
\because \left( 2\right) \\
&=&\frac{1}{2}y^{2}+\frac{2}{3}y^{3}+C
\end{eqnarray*}である一方で、\(\left( 3\right) \)の右辺については、\begin{eqnarray*}\int g\left( x\right) dx &=&\int \left( x^{2}+3x\right) dx\quad \because
\left( 1\right) \\
&=&\frac{1}{3}x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}+C
\end{eqnarray*}であるため、これらを踏まえると\(\left( 3\right) \)は、\begin{equation*}\frac{1}{2}y^{2}+\frac{2}{3}y^{3}=\frac{1}{3}x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}+C
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
3y^{2}+4y^{3}=2x^{3}+9x^{2}+6C \quad \cdots (4)
\end{equation}となります。任意の定数\(C\)について同様の議論が成立するため、\(\left( 4\right) \)は常微分方程式\(\left( 1\right) \)の一般解であることが明らかになりました。実際、\(\left(4\right) \)の両辺を変数\(x\)について微分すると、\begin{equation*}6yy^{\prime }+12y^{2}y^{\prime }=6x^{2}+18x
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{dy}{dx}=\frac{x^{2}+3x}{y+2y^{2}}
\end{equation*}となり、\(\left( 1\right) \)が得られます。一方、\(h\left( y\right) =0\)すなわち\(y=0\)または\(y=-\frac{1}{2}\)の場合、これらは\(\left(1\right) \)の解ではありません。
例（分離可能な1階常微分方程式の解法）
1階の常微分方程式\begin{equation*}
F\left( x,y,\frac{dy}{dx}\right) =0
\end{equation*}が、変数\(x\)に関する関数\(g\left( x\right) \)を用いて、\begin{equation*}\frac{dy}{dx}=g\left( x\right)
\end{equation*}と表現される場合、以下の関数\begin{equation*}
h\left( y\right) =1
\end{equation*}を用いて、\begin{equation*}
\frac{dy}{dx}=g\left( x\right) \cdot h\left( y\right)
\end{equation*}と表現できるため、これを分離可能な1階常微分方程式とみなすことができます。したがって、先の命題より、関数\(f\)が\(C^{1}\)級である場合には、\begin{equation*}\int 1dy=\int g\left( x\right) dx+C
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
y=\int g\left( x\right) dx+C
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、\(C\)は積分定数です。
F\left( x,y,\frac{dy}{dx}\right) =0
\end{equation*}が、変数\(x\)に関する関数\(g\left( x\right) \)を用いて、\begin{equation*}\frac{dy}{dx}=g\left( x\right)
\end{equation*}と表現される場合、以下の関数\begin{equation*}
h\left( y\right) =1
\end{equation*}を用いて、\begin{equation*}
\frac{dy}{dx}=g\left( x\right) \cdot h\left( y\right)
\end{equation*}と表現できるため、これを分離可能な1階常微分方程式とみなすことができます。したがって、先の命題より、関数\(f\)が\(C^{1}\)級である場合には、\begin{equation*}\int 1dy=\int g\left( x\right) dx+C
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
y=\int g\left( x\right) dx+C
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、\(C\)は積分定数です。
例（分離可能な1階常微分方程式）
1階の常微分方程式\begin{equation*}
F\left( x,y,\frac{dy}{dx}\right) =0
\end{equation*}が、変数\(y\)に関する関数\(h\left( y\right) \)を用いて、\begin{equation*}\frac{dy}{dx}=h\left( y\right)
\end{equation*}と表現される場合、以下の関数\begin{equation*}
g\left( x\right) =1
\end{equation*}を用いて、\begin{equation*}
\frac{dy}{dx}=g\left( x\right) \cdot h\left( y\right)
\end{equation*}と表現できるため、これを分離可能な1階常微分方程式とみなすことができます。したがって、先の命題より、\(h\left( y\right) \not=0\)であるとともに、関数\(h\)が連続であり、関数\(f\)が\(C^{1}\)級である場合には、\begin{equation*}\int \frac{1}{h\left( y\right) }dy=\int 1dx+C
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\int \frac{1}{h\left( y\right) }dy=x+C
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、\(C\)は積分定数です。
F\left( x,y,\frac{dy}{dx}\right) =0
\end{equation*}が、変数\(y\)に関する関数\(h\left( y\right) \)を用いて、\begin{equation*}\frac{dy}{dx}=h\left( y\right)
\end{equation*}と表現される場合、以下の関数\begin{equation*}
g\left( x\right) =1
\end{equation*}を用いて、\begin{equation*}
\frac{dy}{dx}=g\left( x\right) \cdot h\left( y\right)
\end{equation*}と表現できるため、これを分離可能な1階常微分方程式とみなすことができます。したがって、先の命題より、\(h\left( y\right) \not=0\)であるとともに、関数\(h\)が連続であり、関数\(f\)が\(C^{1}\)級である場合には、\begin{equation*}\int \frac{1}{h\left( y\right) }dy=\int 1dx+C
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\int \frac{1}{h\left( y\right) }dy=x+C
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、\(C\)は積分定数です。
演習問題
問題（分離可能な1階常微分方程式）
以下の常微分方程式\begin{equation*}
\left( x^{2}+4\right) y^{\prime }=2xy
\end{equation*}の解を求めてください。
\left( x^{2}+4\right) y^{\prime }=2xy
\end{equation*}の解を求めてください。
問題（分離可能な1階常微分方程式）
以下の常微分方程式\begin{equation*}
y^{\prime }=y\left( y+2\right)
\end{equation*}の解を求めてください。
y^{\prime }=y\left( y+2\right)
\end{equation*}の解を求めてください。
問題（分離可能な1階常微分方程式）
以下の常微分方程式\begin{equation*}
y^{\prime }=5y-3
\end{equation*}の解を求めてください。その上で、以下の初期条件\begin{equation*}
y\left( 2\right) =1
\end{equation*}のもとでの初期値問題の解を求めてください。
y^{\prime }=5y-3
\end{equation*}の解を求めてください。その上で、以下の初期条件\begin{equation*}
y\left( 2\right) =1
\end{equation*}のもとでの初期値問題の解を求めてください。
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