常微分方程式
2つの変数\(x,y\)の間に成立する関係が関数\(f\)を用いて、\begin{equation*}y=f\left( x\right)
\end{equation*}と記述されているものとします。つまり、変数\(x\)の値が変化するにともない変数\(y\)の値が変化する状況を想定するということです。この場合、\(x\)を独立変数（independent variable）と呼び、\(y\)を従属変数（dependent variable）と呼びます。
関数\(f\)が\(n\)階微分可能である場合には、各階の導関数\begin{eqnarray*}y^{\prime } &=&\frac{dy}{dx}=\frac{df\left( x\right) }{dx} \\
y^{\prime \prime } &=&\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{d^{2}f\left( x\right) }{dx^{2}} \\
&&\vdots \\
y^{\left( n\right) } &=&\frac{d^{n}y}{dx^{n}}=\frac{d^{n}f\left( x\right) }{dx^{n}}
\end{eqnarray*}がそれぞれ存在することが保証されます。
以上を踏まえた上で、独立変数\(x\)と関数\(f\left(x\right) \)および導関数\(\frac{df\left(x\right) }{dx},\frac{d^{2}f\left( x\right) }{dx^{2}},\cdots ,\frac{d^{n}f\left( x\right) }{dx^{n}}\)の間に成立する関係を表す方程式を常微分方程式（ordinary differential equation）と呼び、これを、\begin{equation*}F\left( x,f\left( x\right) ,\frac{df\left( x\right) }{dx},\frac{d^{2}f\left(
x\right) }{dx^{2}},\cdots ,\frac{d^{n}f\left( x\right) }{dx^{n}}\right) =0
\end{equation*}または、\begin{equation*}
F\left( x,y,\frac{dy}{dx},\frac{d^{2}y}{dx^{2}},\cdots ,\frac{d^{n}y}{dx^{n}}\right) =0
\end{equation*}または、\begin{equation*}
F\left( x,y,y^{\prime },y^{\prime \prime },\cdots ,y^{\left( n\right)
}\right) =0
\end{equation*}などで表記します。常微分方程式に含まれる最高次数の導関数の次数を、その常微分方程式の階数（order of a differential equation）と呼びます。
\end{equation*}と表現されているものとします。以下の方程式\begin{equation*}
f\left( x\right) -\frac{df\left( x\right) }{dx}=0
\end{equation*}は\(1\)次の常微分方程式です。これを、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{df\left( x\right) }{dx}
\end{equation*}または、\begin{equation*}
y=\frac{dy}{dx}
\end{equation*}または、\begin{equation*}
y=y^{\prime }
\end{equation*}などと表現することもできます。この常微分方程式は「関数\(f\left( x\right) \)の導関数はもとの関数\(f\left( x\right) \)と一致する」という主張に相当します。
\end{equation*}と表現されているものとします。以下の方程式\begin{equation*}
\frac{df\left( x\right) }{dx}-3x^{2}=0
\end{equation*}は\(1\)次の常微分方程式です。これを、\begin{equation*}\frac{df\left( x\right) }{dx}=3x^{2}
\end{equation*}または、\begin{equation*}
\frac{dy}{dx}=3x^{2}
\end{equation*}または、\begin{equation*}
y^{\prime }=3x^{2}
\end{equation*}などと表現することもできます。この常微分方程式は「関数\(f\left( x\right) \)の導関数は関数\(3x^{2}\)と一致する」という主張に相当します。
\end{equation*}と表現されているものとします。以下の方程式\begin{equation*}
\frac{d^{2}f\left( x\right) }{dx^{2}}-5\frac{df\left( x\right) }{dx}+6f\left( x\right) =0
\end{equation*}は\(2\)次の常微分方程式です。これを、\begin{equation*}\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-5\frac{dy}{dx}+6y=0
\end{equation*}または、\begin{equation*}
y^{\prime \prime }-5y^{\prime }+6y=0
\end{equation*}などと表現することもできます。
\end{equation*}と表現されているものとします。「各時点\(t\)における人口の瞬間増加率\(f^{\prime }\left( t\right) \)はその時点\(t\)における人口\(f\left( t\right) \)の2倍と一致する」という主張は、以下の常微分方程式\begin{equation*}f^{\prime }\left( t\right) =2f\left( t\right)
\end{equation*}として表現されます。これを、\begin{equation*}
\frac{dP}{dt}=2P
\end{equation*}または、\begin{equation*}
P^{\prime }=2P
\end{equation*}などと表現することもできます。これは\(1\)次の常微分方程式です。
常微分方程式の解
常微分方程式\begin{equation}
F\left( x,y,y^{\prime },y^{\prime \prime },\cdots ,y^{\left( n\right)
}\right) =0 \quad \cdots (1)
\end{equation}は独立変数\(x\)と関数\(y=f\left( x\right) \)およびその導関数\(y^{\prime },y^{\prime \prime },\cdots ,y^{\left( n\right) }\)の間に成立する関係を記述したものであるため、\(\left( 1\right) \)が実際に成立するかどうかは関数\(y=f\left( x\right) \)の選び方に依存します。そこで、\(\left( 1\right) \)を成立させるような関数\begin{equation*}y=f\left( x\right)
\end{equation*}を常微分方程式\(\left( 1\right) \)の解（solution）と呼びます。つまり、関数\(y=f\left( x\right) \)が常微分方程式\(\left( 1\right) \)の解であることとは、関数\(y=f\left( x\right) \)およびその導関数\(y^{\prime },y^{\prime\prime },\cdots ,y^{\left( n\right) }\)を常微分方程式\(\left( 1\right) \)に代入した場合に等号が成立することを意味します。
y=y^{\prime } \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられているものとします。以下の関数\begin{equation}
y=e^{x} \quad \cdots (2)
\end{equation}に注目すると、その導関数は、\begin{equation*}
y^{\prime }=e^{x}
\end{equation*}であるため、これらを\(\left( 1\right) \)に代入すると、\begin{equation*}e^{x}=e^{x}
\end{equation*}となり、等号が成立します。したがって、関数\(\left( 2\right) \)は常微分方程式\(\left( 1\right) \)の解です。
y^{\prime }=3x^{2} \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられているものとします。以下の関数\begin{equation}
y=x^{3} \quad \cdots (2)
\end{equation}に注目すると、その導関数は、\begin{equation*}
y^{\prime }=3x^{2}
\end{equation*}であるため、これを\(\left( 1\right) \)に代入すると、\begin{equation*}3x^{2}=3x^{2}
\end{equation*}となり、等号が成立します。したがって、関数\(\left( 2\right) \)は常微分方程式\(\left( 1\right) \)の解です。
\end{equation*}と表現されているとともに、以下の常微分方程式\begin{equation}
P^{\prime }=2P \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられているものとします。以下の関数\begin{equation}
P=e^{2t} \quad \cdots (2)
\end{equation}に注目すると、その導関数は、\begin{equation*}
P^{\prime }=2e^{2t}
\end{equation*}であるため、これらを\(\left( 1\right) \)に代入すると、\begin{equation*}2e^{2t}=2e^{2t}
\end{equation*}となり、等号が成立します。したがって、関数\(\left( 2\right) \)は常微分方程式\(\left( 1\right) \)の解です。
常微分方程式の解は一意的であるとは限らない
常微分方程式の解は一意的であるとは限りません。以下の例より明らかです。
y^{\prime \prime }-5y^{\prime }+6y=0 \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられているものとします。以下の関数\begin{equation}
y=e^{2x} \quad \cdots (2)
\end{equation}に注目すると、その導関数は、\begin{equation*}
y^{\prime }=2e^{2x}
\end{equation*}であり、2階導関数は、\begin{equation*}
y^{\prime \prime }=4e^{2x}
\end{equation*}であるため、これらを\(\left( 1\right) \)に代入すると、\begin{equation*}4e^{2x}-5\cdot 2e^{2x}+6e^{2x}=0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
0=0
\end{equation*}となり、等号が成立します。したがって、関数\(\left( 2\right) \)は常微分方程式\(\left( 1\right) \)の解です。また、以下の関数\begin{equation}y=e^{3x} \quad \cdots (3)
\end{equation}に注目すると、その導関数は、\begin{equation*}
y^{\prime }=3e^{3x}
\end{equation*}であり、2階導関数は、\begin{equation*}
y^{\prime \prime }=9e^{3x}
\end{equation*}であるため、これらを\(\left( 1\right) \)に代入すると、\begin{equation*}9e^{3x}-5\cdot 3e^{3x}+6e^{3x}=0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
0=0
\end{equation*}となり、等号が成立します。したがって、関数\(\left( 3\right) \)もまた常微分方程式\(\left( 1\right) \)の解です。
常微分方程式の解は存在するとは限らない
常微分方程式の解は存在するとは限りません。以下の例より明らかです。
\left( y^{\prime }\right) ^{2}+1=0 \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられているものとします。微分可能な実数値関数\begin{equation*}
y=f\left( x\right)
\end{equation*}を任意に選んだとき、その導関数\begin{equation*}
y^{\prime }=\frac{df\left( x\right) }{dx}
\end{equation*}もまた実数値関数であるため、以下の関数\begin{equation*}
\left( y^{\prime }\right) ^{2}=\left[ \frac{df\left( x\right) }{dx}\right] ^{2}
\end{equation*}は非負の実数を値としてとります。したがって、この関数を\(\left( 1\right) \)に代入しても等号は成立しません。以上より、常微分方程式\(\left( 1\right) \)の解であるような実数値関数は存在しないことが明らかになりました。
常微分方程式の解は陽関数であるとは限らない
常微分方程式の解は陽関数であるとは限りません。陰関数もまた常微分方程式の解になり得ます。以下の例より明らかです。
y^{\prime }=\frac{y^{2}}{1-xy} \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられているものとします。以下の陰関数\begin{equation}
xy=\ln y \quad \cdots (2)
\end{equation}に注目した上で、両辺を変数\(x\)について微分すると、\begin{equation*}y+xy^{\prime }=\frac{y^{\prime }}{y}
\end{equation*}を得ます。これを変形すると、\begin{equation*}
y^{2}+xyy^{\prime }=y^{\prime }
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
y^{\prime }\left( 1-xy\right) =y^{2}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
y^{\prime }=\frac{y^{2}}{1-xy}
\end{equation*}となり、\(\left( 1\right) \)が得られました。したがって関数\(\left( 2\right) \)は常微分方程式\(\left( 1\right) \)の解です。
常微分方程式の一般解と特殊解
常微分方程式\begin{equation}
F\left( x,y,y^{\prime },y^{\prime \prime },\cdots ,y^{\left( n\right)
}\right) =0 \quad \cdots (1)
\end{equation}の解が定数\(c\)を含む関数\begin{equation}y=f\left( x,c\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}であるとともに、定数\(c\)の選び方とは関係なく\(\left( 2\right) \)が必ず\(\left( 1\right) \)の解になる場合には、このような関数\(\left(2\right) \)を常微分方程式\(\left(1\right) \)の一般解（general solution）と呼びます。また、一般解\(\left( 2\right) \)中の定数\(c\)に具体的な値\(c_{0}\)を代入することにより得られる関数\begin{equation*}y=f\left( x,c_{0}\right)
\end{equation*}を常微分方程式\(\left( 1\right) \)の特殊解（particular solution）と呼びます。
y^{\prime }=3x^{2} \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられているものとします。以下の関数\begin{equation}
y=x^{3}+c \quad \cdots (2)
\end{equation}に注目します。ただし、\(c\)は定数です。導関数は、\begin{equation*}y^{\prime }=3x^{2}
\end{equation*}であるため、これを\(\left( 1\right) \)に代入すると、\begin{equation*}3x^{2}=3x^{2}
\end{equation*}となり、等号が成立します。定数\(c\)の値とは関係なく同様の議論が成立するため、関数\(\left( 2\right) \)は常微分方程式\(\left( 1\right) \)の一般解です。定数\(c\)に具体的な値を代入すると、\begin{eqnarray*}y &=&x^{3}+1 \\
y &=&x^{3}-1 \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}などが得られますが、これらの関数は常微分方程式\(\left( 1\right) \)の特殊解です。
\end{equation*}と表現されているとともに、以下の常微分方程式\begin{equation}
P^{\prime }=2P \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられているものとします。以下の関数\begin{equation}
P=e^{2t+c} \quad \cdots (2)
\end{equation}に注目すると、その導関数は、\begin{equation*}
P^{\prime }=2e^{2t+c}
\end{equation*}であるため、これらを\(\left( 1\right) \)に代入すると、\begin{equation*}2e^{2t+c}=2e^{2t+c}
\end{equation*}となり、等号が成立します。したがって、関数\(\left( 2\right) \)は常微分方程式\(\left( 1\right) \)の一般解です。定数\(c\)に具体的な値を代入すると、\begin{eqnarray*}P &=&e^{2t+1} \\
P &=&e^{2t-1}
\end{eqnarray*}などが得られますが、これらの関数は常微分方程式\(\left( 1\right) \)の特殊解です。
y^{\prime }=\frac{y^{2}}{1-xy} \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられているものとします。以下の陰関数\begin{equation}
xy=\ln y+c \quad \cdots (2)
\end{equation}に注目します。ただし、\(c\)は定数です。両辺を変数\(x\)について微分すると、\begin{equation*}y+xy^{\prime }=\frac{y^{\prime }}{y}
\end{equation*}を得ます。これを変形すると、\begin{equation*}
y^{2}+xyy^{\prime }=y^{\prime }
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
y^{\prime }\left( 1-xy\right) =y^{2}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
y^{\prime }=\frac{y^{2}}{1-xy}
\end{equation*}となり、\(\left( 1\right) \)が得られました。定数\(c\)の値とは関係なく同様の議論が成立するため、関数\(\left( 2\right) \)は常微分方程式\(\left( 1\right) \)の一般解です。定数\(c\)に具体的な値を代入すると、\begin{eqnarray*}xy &=&\ln y+1 \\
xy &=&\ln y-1
\end{eqnarray*}などが得られますが、これらの関数は常微分方程式\(\left( 1\right) \)の特殊解です。
常微分方程式の初期値問題
常微分方程式\begin{equation}
F\left( x,y,y^{\prime },y^{\prime \prime },\cdots ,y^{\left( n\right)
}\right) =0 \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられたとき、変数\(x,y\)がとり得る具体的な\(x_{0},y_{0}\)を指定した上で、以下の条件\begin{equation}y_{0}=f\left( x_{0}\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たすような\(\left( 1\right) \)の解\(y=f\left( x\right) \)を特定する問題を初期値問題（initial value problem）と呼びます。\(\left( 2\right) \)を初期条件（initial condition）と呼びますが、これを、\begin{equation*}y\left( x_{0}\right) =y_{0}
\end{equation*}と表記できるものと定めます。
\end{equation*}と表現されているとともに、以下の常微分方程式\begin{equation}
P^{\prime }=2P \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられているものとします。先に明らかにしたように、以下の関数\begin{equation}
P=e^{2t+c} \quad \cdots (2)
\end{equation}は常微分方程式\(\left( 1\right) \)の一般解です。その上で、「初期時点\(0\)における人口は\(100\)である」という初期条件\begin{equation*}P\left( 0\right) =100
\end{equation*}のもとでの初期値問題について考えます。\(\left( 2\right) \)を踏まえると、初期条件を、\begin{equation*}e^{2\cdot 0+c}=100
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
e^{c}=100
\end{equation*}と表現できるため、これを\(c\)について解くことにより、\begin{equation*}c=\ln \left( 100\right)
\end{equation*}を得ます。これと\(\left(2\right) \)より、初期値問題の解は、\begin{equation*}P=e^{2t+\ln \left( 100\right) }
\end{equation*}であることが明らかになりました。
演習問題
y=e^{-3x}+2x+3
\end{equation*}が常微分方程式\begin{equation*}
y^{\prime }+3y=6x+11
\end{equation*}の解であることを示してください。
y=cx^{2}
\end{equation*}が常微分方程式\begin{equation*}
xy^{\prime }=2y
\end{equation*}の一般解であることを示してください。
y=c_{1}\sin \left( 2x\right) +c_{2}\cos \left( 2x\right)
\end{equation*}が常微分方程式\begin{equation*}
y^{\prime \prime }+4y=0
\end{equation*}の一般解であることを示してください。
y=\arcsin \left( xy\right)
\end{equation*}が常微分方程式\begin{equation*}
xy^{\prime }+y=y^{\prime }\sqrt{1-x^{2}y^{2}}
\end{equation*}の解であることを示してください。
x^{2}=2y^{2}\ln \left( y\right)
\end{equation*}が常微分方程式\begin{equation*}
y^{\prime }=\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}
\end{equation*}の解であることを示してください。
y=x^{2}e^{-x^{2}}+ce^{-x^{2}}
\end{equation*}が常微分方程式\begin{equation*}
y^{\prime }+2yx=2xe^{-x^{2}}
\end{equation*}の一般解であることを示して下さい。その上で、初期条件\begin{equation*}
y\left( 0\right) =5
\end{equation*}のもとでの初期値問題の解を特定してください。
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