同次関数
2次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{2}\)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、値として実数をとる2変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を議論の対象とします。つまり、\(f\)はそれぞれのベクトル\(\left( x,y\right)\in X\)に対して、実数\begin{equation*}f\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}を値として定めるということです。
実数\(k\in \mathbb{R} \)について、関数\(f\)が定義域\(X\)上において\(k\)次の同次関数であることは、\begin{equation*}\forall \left( x,y\right) \in X,\ \forall \lambda \in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} :\left[ \left( \lambda x,\lambda y\right) \in
X\Rightarrow f\left( \lambda x,\lambda y\right) =\lambda ^{k}f\left(
x,y\right) \right]
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、関数\(f\)に入力するベクトル\(\left( x,y\right) \)をスカラー\(\lambda \)倍すると、関数\(f\)が出力する値が\(\lambda ^{k}\)倍されるということです。
特に、関数\(f\)の定義域\(X\)が非ゼロのスカラー倍について閉じている場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall \left( x,y\right) \in X,\ \forall \lambda \in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} :\left( \lambda x,\lambda y\right) \in X
\end{equation*}が成り立つ場合、\(f\)が\(X\)上において\(k\)次の同次関数であることを、\begin{equation*}\forall \left( x,y\right) \in X,\ \forall \lambda \in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} :f\left( \lambda x,\lambda y\right) =\lambda
^{k}f\left( x,y\right)
\end{equation*}と表現できます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \times \mathbb{R} \)と\(\lambda \in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}f\left( \lambda x,\lambda y\right) &=&\frac{\lambda y}{\lambda x}\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\frac{y}{x} \\
&=&f\left( x,y\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lambda ^{0}f\left( x,y\right) \quad \because \lambda ^{0}=1
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(f\)は\(0\)次の同次関数であることが明らかになりました。
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)と\(\lambda \in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}f\left( \lambda x,\lambda y\right) &=&\left( \lambda x\right) +\left(
\lambda y\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lambda \left( x+y\right) \\
&=&\lambda f\left( x,y\right) \quad \because f\text{の定義}
\\
&=&\lambda ^{1}f\left( x,y\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(f\)は\(1\)次の同次関数であることが明らかになりました。
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)と\(\lambda \in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}f\left( \lambda x,\lambda y\right) &=&\left( \lambda x\right) ^{2}+\left(
\lambda y\right) ^{2}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lambda ^{2}\left( x^{2}+y^{2}\right) \\
&=&\lambda ^{2}f\left( x,y\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(f\)は\(2\)次の同次関数であることが明らかになりました。
同次型の1階常微分方程式
2つの変数\(x,y\)の間に成立する関係が関数\(f\)を用いて、\begin{equation*}y=f\left( x\right)
\end{equation*}と記述されているものとします。さらに、1階の常微分方程式\begin{equation}
F\left( x,y,\frac{dy}{dx}\right) =0 \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられている状況を想定します。特に、常微分方程式\(\left(1\right) \)が\(0\)次同次関数\(g\left(x,y\right) \)を用いて以下の形\begin{equation*}\frac{dy}{dx}=g\left( x,y\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{df\left( x\right) }{dx}=g\left( x,f\left( x\right) \right)
\end{equation*}で表現される場合には、これを同次型の微分方程式（homogeneous differential equation）と呼びます。
\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x} \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられているものとします。関数\(g\)を、\begin{equation*}g\left( x,y\right) =\frac{y}{x}
\end{equation*}と定義すれば、\(\left( 1\right) \)を、\begin{equation*}\frac{dy}{dx}=g\left( x,y\right)
\end{equation*}と表現できますが、先に示したように\(g\)は\(0\)次同次関数であるため、\(\left( 1\right) \)は同次型の微分方程式です。
2つの変数\(x,y\)の間に成立する関係が関数\(f\)を用いて、\begin{equation*}y=f\left( x\right)
\end{equation*}と記述されているものとします。さらに、1階の常微分方程式\begin{equation}
F\left( x,y,\frac{dy}{dx}\right) =0 \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられている状況を想定します。さらに、常微分方程式\(\left( 1\right) \)が次数が等しい2つの同次関数\(g\left( x,y\right) ,h\left(x,y\right) \)を用いて、\begin{equation}\frac{dy}{dx}=\frac{g\left( x,y\right) }{h\left( x,y\right) } \quad \cdots (2)
\end{equation}と表されるものとします。
関数\(g,h:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がともに\(k\)次の同次関数である場合、同次関数の定義より、\(\left(\lambda x,\lambda y\right) \in X\)を満たす\(\left(x,y\right) \in X\)をおよび\(\lambda \in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray}g\left( \lambda x,\lambda y\right) &=&\lambda ^{k}g\left( x,y\right)
\quad \cdots (3) \\
h\left( \lambda x,\lambda y\right) &=&\lambda ^{k}h\left( x,y\right)
\quad \cdots (4)
\end{eqnarray}がともに成り立つため、\begin{eqnarray*}
\frac{g\left( \lambda x,\lambda y\right) }{h\left( \lambda x,\lambda
y\right) } &=&\frac{\lambda ^{k}g\left( x,y\right) }{\lambda ^{k}h\left(
x,y\right) }\quad \because \left( 3\right) ,\left( 4\right) \\
&=&\frac{g\left( x,y\right) }{h\left( x,y\right) } \\
&=&\lambda ^{0}\frac{g\left( x,y\right) }{h\left( x,y\right) }\quad \because
\lambda ^{0}=1
\end{eqnarray*}となるため、関数\(\frac{g\left( x,y\right) }{h\left( x,y\right) }\)は\(0\)次同次関数であることが明らかになりました。したがって、\(\left( 2\right) \)は同次型の微分方程式です。
\frac{dy}{dx}=\frac{x-y}{x+y} \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられているものとします。関数\(g,h\)を、\begin{eqnarray*}g\left( x,y\right) &=&x-y \\
h\left( x,y\right) &=&x+y
\end{eqnarray*}と定義すれば、\(\left( 1\right) \)を、\begin{equation}\frac{dy}{dx}=\frac{g\left( x,y\right) }{h\left( x,y\right) } \quad \cdots (2)
\end{equation}と表現できます。任意の\(\left( x,y\right) \)および\(\lambda \in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)について、\begin{eqnarray*}g\left( \lambda x,\lambda y\right) &=&\left( \lambda x\right) -\left(
\lambda y\right) \quad \because g\text{の定義} \\
&=&\lambda \left( x-y\right) \\
&=&\lambda g\left( x,y\right) \quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つため\(g\)は\(1\)次同次関数であり、\begin{eqnarray*}h\left( \lambda x,\lambda y\right) &=&\left( \lambda x\right) +\left(
\lambda y\right) \quad \because g\text{の定義} \\
&=&\lambda \left( x+y\right) \\
&=&\lambda h\left( x,y\right) \quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つため\(h\)は\(1\)次同次関数です。\(g,h\)はともに\(1\)次の同次関数であるため、先の議論より\(\frac{g\left( x,y\right) }{h\left( x,y\right) }\)は\(0\)次の同次関数です。したがって、\(\left( 2\right) \)すなわち\(\left( 1\right) \)は同次型の微分方程式です。
同次型の1階常微分方程式の解法
同次型の1階常微分方程式\begin{equation}
\frac{dy}{dx}=g\left( x,y\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられた状況を想定します。右辺の関数\(g\)は\(0\)次同次の関数であるため、\begin{equation*}g\left( \lambda x,\lambda y\right) =\lambda ^{0}g\left( x,y\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
g\left( x,y\right) =g\left( \lambda x,\lambda y\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つことに注意してください。
\(x\not=0\)の場合には、\begin{equation*}z=\frac{y}{x}
\end{equation*}が定義可能です。\(x\not=0\)の場合には\(\frac{1}{x}\not=0\)であるため、このとき、\begin{eqnarray*}g\left( x,y\right) &=&g\left( 1,\frac{y}{x}\right) \quad \because \frac{1}{x}\not=0\text{および}\left( 2\right) \\
&=&g\left( 1,z\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
g\left( x,y\right) =g\left( 1,z\right) \quad \cdots (3)
\end{equation}が成り立ちます。そこで、関数\(G\)を、\begin{equation*}G\left( z\right) =g\left( 1,z\right)
\end{equation*}と定義します。これと\(\left( 3\right) \)より、\begin{equation}G\left( z\right) =g\left( x,y\right) \quad \cdots (4)
\end{equation}が成り立つことに注意してください。つまり、変数\(x,y\)に関する2変数の\(0\)次同次関数\(g\left(x,y\right) \)は、変数\(z=\frac{y}{x}\)に関する1変数関数\(G\left( z\right) \)へ変換可能であるということです。
\(z=\frac{y}{x}\)ゆえに\(y=zx\)であるため、両辺を変数\(x\)について微分することにより、\begin{equation*}\frac{dy}{dx}=x\frac{dz}{dx}+z\frac{dx}{dx}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{dy}{dx}=x\frac{dz}{dx}+z
\end{equation*}を得ます。これと\(\left(1\right) \)より、\begin{equation*}x\frac{dz}{dx}+z=g\left( x,y\right)
\end{equation*}を得て、さらに\(\left( 4\right) \)より、\begin{equation*}x\frac{dz}{dx}+z=G\left( z\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
\frac{dz}{dx}=\frac{G\left( z\right) -z}{x} \quad \cdots (5)
\end{equation}を得ます。
関数\(P,Q\)をそれぞれ、\begin{eqnarray*}P\left( x\right) &=&\frac{1}{x} \\
Q\left( z\right) &=&G\left( z\right) -z
\end{eqnarray*}と定義すれば、\(\left( 5\right) \)を、\begin{equation}\frac{dz}{dx}=P\left( x\right) \cdot Q\left( z\right) \quad \cdots (6)
\end{equation}と表現できます。以上の議論より、同次型の常微分方程式\(\left(1\right) \)は変数分離型の常微分方程式\(\left( 6\right) \)へ変換可能であることが明らかになりました。そこで、変数分離型の常微分方程式の解法を用いて\(\left( 6\right) \)を解くことにより以下が導かれます。
\end{equation*}と表されているものとする。同次型の常微分方程式\begin{equation*}
\frac{dy}{dx}=g\left( x,y\right)
\end{equation*}が与えられているものとする。\(x\not=0\)である場合に、\begin{equation*}z=\frac{y}{x}
\end{equation*}とおく。\(0\)次同次関数\(g\left( x,y\right) \)は1変数関数\(G\left(z\right) \)に変換可能である。\(G\left( z\right) \not=z\)であるとともに関数\(g\)が連続である場合には、\begin{equation*}\int \frac{1}{G\left( z\right) -z}dz=\ln \left( \left\vert x\right\vert
\right) +C
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(C\)は積分定数である。
以上を踏まえた上で、同次型の1階常微分方程式の解法を整理します。
- 1階の常微分方程式\begin{equation*}F\left( x,y,\frac{dy}{dx}\right) =0
\end{equation*}が同次型であることを確認する。つまり、以下の条件\begin{equation}
\frac{dy}{dx}=g\left( x,y\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす\(0\)次同次関数\(g\left( x,y\right) \)を特定する。もしくは、以下の条件\begin{equation}\frac{dy}{dx}=\frac{g\left( x,y\right) }{h\left( x,y\right) } \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす等しい次数の同次関数\(g\left( x,y\right) ,h\left(x,y\right) \)を特定する。 - \(z=\frac{y}{x}\)とおいた上で、\(\left( 1\right) \)または\(\left( 2\right) \)の右辺の\(0\)次同次関数を変数\(z\)に関する1変数関数\(G\left( z\right) \)へ変換する。
- \(G\left( z\right) \not=z\)であるという条件のもとで、以下の方程式\begin{equation*}\int \frac{1}{G\left( z\right) -z}dz=\ln \left( \left\vert x\right\vert\right) +C
\end{equation*}を構成し、左辺を具体的に積分する。 - 得られた方程式を\(z\)について解ける場合には解く。\(z\)について解ける場合には陽関数として表現された解が得られ、\(z\)について解けない場合には陰関数として表現された解が得られる。
- 得られた解を\(z=\frac{y}{x}\)を用いて変換すれば、もとの常微分方程式の解が得られる。
- \(G\left( z\right) =z\)の場合には別途に考える。
\frac{dy}{dx}=\frac{x-y}{x+y} \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられているものとします。先に示したように、これは同次型の微分方程式です。\(z=\frac{y}{x}\)とおくと、\(\left( 1\right) \)の右辺は、\begin{eqnarray*}\frac{x-y}{x+y} &=&\frac{1-\frac{y}{x}}{1+\frac{y}{x}} \\
&=&\frac{1-z}{1+z}
\end{eqnarray*}となるため、\(\left( 1\right) \)の右辺は\(z\)に関する1変数関数\begin{equation*}G\left( z\right) =\frac{1-z}{1+z}
\end{equation*}へと変換されます。\(G\left( z\right) \not=z\)の場合には、以下の方程式\begin{equation*}\int \frac{1}{\frac{1-z}{1+z}-z}dz=\ln \left( \left\vert x\right\vert
\right) +C
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
\int \frac{1+z}{1-2z-z^{2}}dz=\ln \left( \left\vert x\right\vert \right) +C
\quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。左辺については、\begin{eqnarray*}
\int \frac{1+z}{1-2z-z^{2}}dz &=&-\int \frac{1+z}{z^{2}+2z-1}dz \\
&=&-\frac{1}{2}\ln \left( \left\vert z^{2}+2z-1\right\vert \right)
\end{eqnarray*}となるため、これと\(\left( 2\right) \)より、\begin{equation*}-\frac{1}{2}\ln \left( \left\vert z^{2}+2z-1\right\vert \right) =\ln \left(
\left\vert x\right\vert \right) +C
\end{equation*}すなわち、\begin{eqnarray*}
\ln \left( \left\vert z^{2}+2z-1\right\vert \right) &=&-2\ln \left(
\left\vert x\right\vert \right) +C \\
&=&\ln \left( e^{C}\right) -\ln \left( x^{2}\right) \\
&=&\ln \left( \frac{e^{C}}{x^{2}}\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
z^{2}+2z-1=\frac{e^{C}}{x^{2}}
\end{equation*}を得ます。\(z=\frac{y}{x}\)を踏まえると、\begin{equation*}\left( \frac{y}{x}\right) ^{2}+2\left( \frac{y}{x}\right) -1=\frac{e^{C}}{x^{2}}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
y^{2}+2xy-x^{2}=e^{C}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
y^{2}+2xy-x^{2}=C \quad \cdots (3)
\end{equation}を得ます。これが常微分方程式\(\left( 1\right) \)の一般解です。実際、\(\left(3\right) \)の両辺を\(x\)について微分すると、\begin{equation*}2y\frac{dy}{dx}+2y+2x\frac{dy}{dx}-2x=0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{dy}{dx}\left( 2y+2x\right) =2x-2y
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{dy}{dx}=\frac{x-y}{x+y}
\end{equation*}となり、\(\left( 1\right) \)が得られます。続いて、\(G\left(z\right) =z\)すなわち\(\frac{1-z}{1+z}=z\)の場合について考えます。この場合、\begin{equation*}1-z=z\left( 1+z\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
z^{2}+2z-1=0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
z=-1\pm \sqrt{2}
\end{equation*}となりますが、\(z=\frac{y}{x}\)を踏まえると、\begin{equation*}\frac{y}{x}=-1\pm \sqrt{2}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
y=\left( -1\pm \sqrt{2}\right) x \quad \cdots (4)
\end{equation}を得ます。導関数は、\begin{equation*}
\frac{dy}{dx}=-1\pm \sqrt{2}
\end{equation*}であるため、これらを\(\left( 1\right) \)に代入すると、\begin{equation*}-1\pm \sqrt{2}=\frac{x-\left( -1\pm \sqrt{2}\right) x}{x+\left( -1\pm \sqrt{2}\right) x}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
-1\pm \sqrt{2}=\frac{\left( 2\mp \sqrt{2}\right) x}{\pm \sqrt{2}x}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
-1\pm \sqrt{2}=-1\pm \sqrt{2}
\end{equation*}となり、等号が成立します。したがって、\(\left( 4\right) \)もまた常微分方程式\(\left( 1\right) \)の解です。
演習問題
\left( xy+y^{2}\right) y^{\prime }=y^{2}
\end{equation*}が同次型であることを確認した上で、解を求めてください。
y^{\prime }=\frac{y}{x}-\frac{x}{y}
\end{equation*}が同次型であることを確認した上で、解を求めてください。
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